模型不确定性下的时间一致性投资：稳健远期

因此，标准远期标准可能被视为一种概括，一直到t≥ 与随机效用函数相关的值函数的0。命题3.6表明，对于某些歧义规避标准，类似的一致性性质成立；在[40,41,61]中，这也被用于通过随机控制参数来解决歧义规避问题。这进一步证明了我们对稳健远期标准的定义。我们记得，与一般惩罚函数相关的值字段可能不动态一致（反例见[71]）。因此，虽然标准远期标准可能被视为与随机效用函数相关的价值函数的直接扩展，但定义2.3通过将动态一致性要求（3）施加在耦合（U，γ）上，加强了额外的结构。注意，一般来说，这比γ的动态一致性假设弱。实际上，在下面的4.2节中，我们构造了一个动态一致对（U，γ）的例子，其中惩罚函数本身不是。稳健的远期标准可能会导致时间不一致的最优投资策略。相比之下，当罚函数一致时，我们恢复了优化算法的时间一致性。3.7的提议。假设U（x，t）和γt是一个稳健的正向准则，假设1和2成立。进一步假设每0≤ t<t<∞ ξ∈ L∞（Ft）存在一个鞍点（πt，t（ξ），Qt，t（ξ）），对于该鞍点，u（ξ，t；t）被获得（参见（2））。

然后，鞍点可以被认为是时间组成的Qt，t（ξ）=Qt，\'t（ξ）|FT，和πt，Tu（ξ）=πt，\'Tu（ξ）和πt，Tu（ξ）=πu，Tuξ+ZutπsdSs, 0≤ T≤ U≤ T≤“T。此外，对于x>0，存在一个过程¨πt，t≥ 0和一个正的m artingale Yt，t≥ 0，这样，对于所有0≤ t<t<∞, u（x+Rt′πsdSs；t，t）为πt，t=′πss∈[t，t）和‘Q，其中d‘QdP=YT。上述结果与第4.2节中的示例相结合，表明概率函数（10）的动态一致性是最优投资策略时间一致性的充分必要条件。此外，从示例中可以清楚地看出，这既适用于本文研究的稳健预期标准，也适用于固定范围内的经典稳健预期效用最大化。这就引出了有趣的开放性问题。首先，关于（10）的经济合理性，请参见[71]中的备注3.5。第二，优化问题（2）的一般化，在（10）被违反的情况下，它将保持最优策略的时间一致性。（2）中的表达式源自[32,35]中凹效用泛函的表示，其推广对应于[11,20]中探讨的准凹泛函。在K–allblad[48]的一项平行工作中，研究了它们在效用最大化背景下的使用。然而，时间一致性的含义及其与（10）的联系仍然是开放的。最后，我们证明了罚函数的动态一致性性质导致了鲁棒正向准则在双域的某种“加权子鞅”性质方面的特征化。这将用于推导一个方程，使我们能够研究特定类别的稳健正向标准（U，γ），并找到其示例。3.8的提议。设U（x，t）是一个效用随机场，γt，t是一个可容许的惩罚函数族，假设1成立。

此外，假设假设假设2成立，或者假设（10）成立，并且对于所有T>0，U（x，T）∈ L（FT，Q）表示所有Q∈Q0，T。设V（y，T）为（5）中给出的对偶场。然后，以下两种表述是等价的：i）U（x，t）和γt，t构成一个稳健的正向准则；ii）对于每个y>0和所有t≤ T<∞, 它适用于所有人∈ Qt，Tand Z∈ 扎塔夫（yZt/ZQt，t）≤ EQhV（yZT/ZQT，T）Fti+γt，t（Q）。（13） 此外，还有Z∈ 和一个正鞅Yt，t≥ 尽管如此≤ T<∞,QT∈ Q0，T，其中dqtdp=YT，（13）与zt和QT相等。3.4与风险度量相关的惩罚函数——与（2）类似的偏好规格都是由经济学结果驱动的。不确定性下模糊厌恶选择的公理化方法导致了凹效用函数的数值表示，惩罚函数从凸风险度量的稳健表示中自然出现；请参见[36,57]和[33]了解概述。我们现在总结一些关于这种惩罚函数的事实，并将它们与我们的假设联系起来。为此，让ρt，Tbe作为一个传统的凸风险度量和γt，Tits相关的最小惩罚函数（我们假设它从下面有界），由γt，t（Q）：=ess supX给出∈L∞（英国《金融时报》）情商[-X |英尺]- ρt，t（X）, （14） 问<< P | FT.那么，它认为ρt，t（X）=ess supQ<<P | FT:Q | FT=P | FT情商[-X |英尺]- γt，t（Q）, （15） 为了X∈ L∞（例如，见[8,19]）。在避免歧义的投资组合优化的背景下，通常会限制风险度量ρt，t从下方连续，即Yn∈ L∞这样YnY a.s.和Y∈ L∞, ρt，t（Yn）→ ρt，t（Y）a.s.，而且，在P（E）[ρt，t(-εA）]>0）>0，对于所有ε>0和A∈ P（A）>0。这些属性分别呈现相关的级别集{Q<< P：γ0，T（Q）<c}，c>0，弱紧和Qenon-empty（参见。

[71]中的引理4.1和上面的备注3.5）。我们注意到X∈ L∞在（14）和（15）中，虽然U（XπT，T）仅位于L中。然而，这并不是一个问题，特别是，我们不必根据风险度量理论对Lp空间的扩展来限制γ，p=[1，∞), （参见[30,46]和[1,29]）。事实上，在[71]的分析中，必须对U（x，t）和γ施加（较弱的）联合可积条件，以确保值函数U（·t，t）得到很好的定义（参见定义2.2）。与风险度量相关的惩罚函数γt，Tin（14）满足定义2的性质i）-iii）。2.然而，一般来说，它不会满足上述弱紧性假设（参见假设1）。为了说明这一点，请注意，对于这类惩罚函数，很自然地将集合Qt，Tin（1）限制为其子集（参见[2]中的定理1.4]）：nQ~ P | FT:EQγt，t（Q）< ∞o、 （16）对于一般凸风险测度，该集不是弱紧集。然而，当我们考虑从下面连续的风险度量时，相关的水平集是。特别是对于一致性风险度量，它对应于γ∈ {0, ∞}, 下面是qat，T：=Q<< P | FT:Q=P在Ftandγt上，t（Q）=0，a.s。是弱紧的。如果进一步的Qat，T {Q~ P | FT}，那么（16）中的集合也是弱紧的。[40]中考虑了此类风险度量的一个例子（参见[52]中的定理3.16）。当然，假设1允许更多的灵活性。对于凸风险度量，时间一致性的特征是属性（10）。实际上，（10）相当于（15）中给出的ρ（参见[31]中的定理4.5），满足0≤ s≤ T≤ T，ρs，T（X）=ρs，T(-ρt，t（X））。（17） 有人认为这个性质，再加上假设1，对引理5.6和5是有效的。7.等待。实际上，假设U（x，T）∈ L∞, 为了x∈ R

对于固定策略‘π∈ Abd，则（12）中的关系式减小为φs，TUX′πT，T= φs，tφt，tUX′πT，T, （18） 式中φ（X）=-ρ（X）。注意（18）由于（17）而成立。在选择特定模型和效用函数时，还验证了价值函数的时间一致性（参见其他[40]）。我们将在这个假设下证明我们的结果留给未来的研究，并将自己局限于更强大的假设2。请注意，任何时间一致的一致性风险度量都允许粘贴属性（11）（参见[2]中的推论1.26）。事实上，在我们的例子中，当Qt、皮重中的所有度量都相当于参考度量时，这些风险度量的结果甚至更明确（关于稳定集和时间一致一致性一致性风险度量之间关系的结果，我们参考[17,31,52]）。4关于布朗过滤中的结构、特定类别和正向标准示例，我们考虑具有二次惩罚结构的对数鲁棒正向准则（参见命题4.1）。这个例子特别有趣，因为它为大型投资基金在实践中经常使用的分数凯利策略提供了理论依据。更准确地说，投资者（动态地）估计市场增长（Kelly）策略^X，并在^X中投资（动态调整）她财富的一部分。在我们的框架中，杠杆作用解释了投资者对^X估计的信心。这个例子属于一类所谓的非波动稳健远期标准。我们将在第4.3节对此进行进一步阐述。具体而言，我们提供了一个正式的讨论，说明了远期标准的结构，以及需要额外的假设，以便从给定的初始条件和惩罚结构中确定唯一的标准。

特别注意非易失性标准，其特点是具有特定的进化特性，并与特定的PDE有关（参见下面的等式（34））。尽管其形式特殊，但第4.1节中的示例说明了关于robustforward标准的一个关键事实。也就是说，对于每个稳健的远期标准，在固定参考市场中存在一个（标准）远期标准，从而产生相同的最优行为。第4.4.4.1节将进一步讨论这一点，即产生分数K elly策略的非挥发性标准。首先，请指定本节中考虑的布朗设置。在这一点上，我们强调，在现实中，投资者无法获得“真实模型”，这是一个抽象的概念。相反，投资者决定参考模型^P。在下面的例子中，这将是对现实最可能描述的动态更新估计。因此，自然期望γt，t（·）（ω）在^P | FT处有一个全局最小值。此外，在下面考虑的例子中，我们还将看到U（·，x，t）的随机性通过^P |FT，t的实现来表示≥ 0.为了简单起见，假设d=1，因为市场仅由一项风险资产组成。还记得圣≡ 1.我们考虑由二维^P-布朗运动Wt=（^Wt，^Wt），t生成的过滤≥ 0，并假设StsolvesdSt=Stλtdt+σtd^Wt, （19） 对于某些F-逐步可测过程σt，σt6=0 a.s.，和^λt，t≥ 0.后者指投资者估计的风险市场价格。此外，在本节中，我们让（πt）t≥0表示投资于风险资产的财富比例。然后，相关的财富过程遵循动态SDXπt=πtXπtσtλtdt+d^Wt, X=X。可接受策略集定义如下：A:=nπ：（πt）适应，（Xπt）定义良好，Xπt>0 A.s。

对于所有的t>0o，当我们想要强调初始财富X=X时，我们也写axt。最后，我们用axt表示[t]上的模拟策略集，∞) 从Xπt=X开始。给定布朗过滤，任何度量Q~^P关于FTA的过程ηt=（ηt，ηt）∈ P×P，t≤ T，因此dqd^PFT=DηT，其中过程DηT:=EZηsd^Ws+Zηsd^Wst、 （20）是[0，t]上的鞅。我们写出Q=Qη，在本例中，通过γt，t（Qη）给它赋值：=等式ηRTtδu |ηu | du英尺如果等式ηhRTt^λsdsi<∞+∞ 否则，（21）对于控制惩罚力度的一些适应的非负过程（δt）（参见下文（29））。投资者知道^P可能是对市场的不准确估计，（δt）量化了她对^P的信任。请注意，γt，t可能无法满足假设1和2。特别是，Qt，Tin（1）可能不是弱致密的。这不是问题，因为在这个例子中，我们给出了直接证明。最后，我们假设存在κ>1/2，使得^E经验κRT^λsds< ∞对于所有的T>0。这是一个方便的可积性假设，可以解释为^P是合理的。注意，根据诺维科夫的条件，它特别意味着（Zνt）在（30）中带有ν≡ 0是一个^P-鞅。4.1的提议。考虑到投资者对上述（λt）和（δt）的选择，让ηt：=-λt/（1+δt），0πt:=δt1+δt^λtσt，（22）和u（x，t）：=lnx-Ztδs1+δs^λsds，t≥ 0，x∈ R+。（23）回想一下，惩罚γ由（21）给出，并假设γ0，T（°η）<∞ 对于T>0。那么，无论如何≤ T≤ T<∞,U（x，t）=ess supπ∈Axtess infη∈ Qt，TEηU（XπT，T）+γT，T（Qη）英尺, （24）得到了（22）中给出的鞍点（\'η，\'π）的最佳值。上述结果表明，（23）中给出的效用随机场U（x，t）和惩罚函数γt，Tin（21）构成了稳健的正向准则。为了进行比较，回忆（参见。

[63]）随机域（x，t）=lnx-Zt^λsds，t≥ 0，x∈ R+，（25）构成参考市场^P的标准（非波动）远期标准，市场价格为风险^λt，t≥ 0.我们将在下文中看到，可以通过分析双场来推导上述动力学，见（32）或（34）。然而，下面的证明是直接在原始领域进行的。证据修正0≤ T≤ T<∞. 为了简化符号，让Lt=Rt^λud^Wu。我们有，在1/p+1/q=1和1/~p+1/~q=1的情况下，等式ηhZT^λsdsi=^E“D”ηTZT^λsds^D’ηThLiTds≤^E[（D′ηT）p]1/p^E[hLiqT]1/q≤^EeppLT-pphLiTpp^EheκhLiTipq^E[hLiqT]1/q<∞,在这里我们取p<2κ和p>1，这样pp-P=pp（pp-1） 2（p-1)= κ. 因此，γt，t（Q′η）<∞. LetNπ，ηu:=u（Xπu，u）+Zutδs |ηs | ds，u≥ t、 然后，必须证明E’ηNπ，ηT|Ft≤ Nπ，ηt，对于所有π∈ Axt，这是EηN′π，ηT|Ft≥ N′π，ηt，对于所有η∈ Qt，T.为了简单起见，我们在T=0的情况下给出了索赔。对于π∈ Ax，财富过程满足dxπt=πtXπtσth^λt+ηtdt+dWηti，t≤ T、 Xπ=X，其中Wη是Qη下的布朗运动。由于U（x，t）和π的形式，直接应用了It^o引理yieldsdNπ，ηt=δt1+δt^λth^λt+ηtdt+dWηti-δt1+δt^λtdt-δt1+δt^λtdt+δthηt+ηtidt=δt1+δt^λtηtdt+δt（1+δt）^λtdt+δt1+δt^λtdWηt+δthηt+ηtidt=δt^λt+（1+δt）ηt1+δt+ηtdt+δt1+δt^λtdWηt.注意数量δt/（1+δt）∈ （0，1），因此通过定义γt，Tin（21），过程δs1+δs^λsdWη是Qη下的鞅。因此，N′π，η是所有η的子鞅∈ Q0，和（22）中规定的“η”的鞅。

另一方面，它认为u（XπT，T）+ZTgs（ηs）ds=lnxπT-ZTδs1+δs^λs-δs（1+δs）^λsds=lnxπT-ZTδs1+δs^λsds=lnxπT-ZT^λs+’ηsds。自E’η以来lnxπT≤ E’ηlnx′πT对于任何策略π∈ Ax，我们得出结论，E’ηNπ，ηT≤ E’ηlnx′πT- “η”ZT^λs+’ηsds#=ln x=N，其中等式后面是直接计算（另见[49]第721页）。命题4.1中描述的投资者的最佳行为对应于一些大型基金经理在实践中使用的策略。具体而言，该策略是一种分数凯利策略，其特征是（22）中投资于风险资产的财富的最佳比例。投资者投资于与她对风险^λ市场价格的最佳估计相对应的增长最优（Kelly）投资组合。然而，她并没有完全投资，而是在估值^λ中选择了与信任度成比例的杠杆。如果δt∞ （对估计的信任度有限），然后是“πtλt/σt”，这是与最有可能的模型^P相关的凯利策略。另一方面，如果δt0（对估计不信任），则为“πt0”，最佳行为是不投资。我们强调^λ和δ是投资者的任意输入。它们可能是数据驱动的，来自一个复杂的动态估计过程，可能是专家驱动的，也可能只是来自一个黑盒。特别是，没有假设^λ是对风险λ的真实市场价格的良好估计。事实上，后者从未出现在问题中。至关重要的是，投资者的效用函数（23）随着投资者对市场的感知而演变，从而导致时间一致的行为解决（24）。这似乎很好地反映了投资实践——实际上，投资者永远不知道“真实”的模型。相反，她可能会建立（并不断更新）自己对它的最佳估计，并采取行动。

如命题4.1所示，这仍然可以导致时间一致的最优投资策略。在实践中，杠杆通常具有风险解释，例如，对其进行调整以实现基金的目标波动水平。在我们的框架中，它是根据估计值^λ中的置信度δ来解释的。在实践中，与估值^λ的动态日期相比，杠杆很少调整。类似地，在我们的框架中，对一个人的评估方法的信任很可能会以比评估本身的变化慢得多的规模进行调整。我们注意到，最优投资策略的结构依赖于效用场的对数形式（23）。因此，在有限的时间间隔内，对于一些经典的具有对数效用的模糊规避效用最大化问题，人们可能期望类似类型的行为也是最优的。然而，命题4.1中的稳健远期标准在许多方面提供了量化偏好的最简单方法，对应于（22）中的投资行为。例如，这些偏好是非易变的，而与固定视界T的确定性效用函数相关的价值场是易变的。正如第4.3节中进一步讨论的那样，稳健前瞻标准为研究投资策略和相关偏好的动态行为之间的联系提供了一种替代工具。命题4.1通过为一种非常流行的投资策略提供具有特定简单动态结构的兼容偏好说明了这一点。备注4.2。对于δt≡ δ、 （21）中定义的惩罚函数对应于熵惩罚函数γ（Q）=δH（Q | P）。对于每一个固定的视界T，投资问题都可以重写为（参见。