模型不确定性下的时间一致性投资：稳健远期

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英文标题：
《Time--consistent investment under model uncertainty: the robust forward
  criteria》
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作者：
Sigrid Kallblad, Jan Obloj and Thaleia Zariphopoulou
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We combine forward investment performance processes and ambiguity averse portfolio selection. We introduce the notion of robust forward criteria which addresses the issues of ambiguity in model specification and in preferences and investment horizon specification. It describes the evolution of time-consistent ambiguity averse preferences.   We first focus on establishing dual characterizations of the robust forward criteria. This offers various advantages as the dual problem amounts to a search for an infimum whereas the primal problem features a saddle-point. Our approach is based on ideas developed in Schied (2007) and Zitkovic (2009). We then study in detail non-volatile criteria. In particular, we solve explicitly the example of an investor who starts with a logarithmic utility and applies a quadratic penalty function. The investor builds a dynamical estimate of the market price of risk $\\hat \\lambda$ and updates her stochastic utility in accordance with the so-perceived elapsed market opportunities. We show that this leads to a time-consistent optimal investment policy given by a fractional Kelly strategy associated with $\\hat \\lambda$. The leverage is proportional to the investor\'s confidence in her estimate $\\hat \\lambda$.
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中文摘要：
我们将远期投资绩效过程与模糊规避投资组合选择相结合。我们引入了稳健远期标准的概念，它解决了模型规范、偏好和投资期限规范中的模糊性问题。它描述了时间一致性歧义厌恶偏好的演变。我们首先关注于建立鲁棒正向准则的对偶刻画。这提供了多种优势，因为对偶问题相当于搜索下确界，而原始问题具有鞍点。我们的方法基于Schied（2007）和Zitkovic（2009）提出的想法。然后我们详细研究了非挥发性标准。特别是，我们明确地解决了一个投资者的例子，他从对数效用开始，应用二次惩罚函数。投资者对风险$\\hat\\lambda$的市场价格进行动态估计，并根据所感知的市场机会更新其随机效用。我们证明了这导致了由与$\\hat\\lambda$相关的分数Kelly策略给出的时间一致的最优投资策略。杠杆率与投资者对其估值$\\hat\\lambda$的信心成正比。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Time--consistent_investment_under_model_uncertainty:_the_robust_forward_criteria.pdf (536.31 KB)

2022-5-5 04:47:52 上传

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关键词：不确定性 一致性 确定性 不确定 Quantitative

模型不确定性下的时间一致性投资：远期标准*Sigrid K–allblad+Jan Ob l\'ojThaleia Zariphopoulou§第一版：2013年9月；本版本：2022年3月3日摘要我们结合了远期投资绩效流程和避险投资组合选择。我们引入了稳健远期标准的概念，该标准解决了模型规范以及偏好和投资期限规范中的模糊问题。它描述了动态一致的模糊厌恶偏好的演变。我们首先关注于建立稳健远期标准的双重特征。这是有利的，因为对偶问题相当于搜索一个内界，而p-rimalproblem具有一个鞍点。OUR方法基于Schied[71]和ˇZitkovi\'c[79]中提出的观点。然后我们详细研究了非挥发性标准。特别是，我们明确地解决了一个投资者的例子，他从对数效用开始，应用二次惩罚函数。投资者根据所感知的市场机会，动态估计风险^λ的市场价格，并更新随机效用。我们证明了这导致了一个时间一致的最优投资策略，该策略由与^λ相关的分数Kellyst策略给出。杠杆率与投资者的信心成正比。1引言本文作为不确定性下的规范性决策问题，对最优投资做出了贡献。本主题是金融经济学和数学金融以及相关*本文介绍的工作是我们正在进行的模型不确定性下最优投资组合选择研究的一部分，我们欢迎并邀请大家发表意见。

我们要感谢2013年7月在中国科学院北京举办的随机分析新进展研讨会的与会者；2013年7月，比勒菲尔德IGK随机和真实世界模型研讨会；6 2013年9月在维也纳举办的罗马金融数学暑期学校；哥伦比亚大学数学金融研讨会和密歇根大学金融/精算数学研讨会，听取他们的意见和建议。+CMAP，巴黎理工学院。电子邮件：西格丽德。kallblad@cmap.polytechnique.fr.这项工作是D.菲尔的一部分。论文在牛津大学完成，并得到桑坦德研究生奖学金和奥克斯福德·曼定量金融研究所的支持英国牛津牛津大学数学研究所、牛津人定量金融研究所和圣约翰学院。电邮：Jan。Obloj@maths.ox.ac.uk.作者衷心感谢来自ERC的支持，包括Grant RobustFinMath 335421。§部门。德克萨斯大学奥斯汀分校数学与IROM，美国奥斯汀，78712；电子邮件：zariphop@math.utexas.edu.作者要感谢牛津定量金融牛津曼研究所的热情款待和支持。她还感谢NSF RTG-DMS拨款的支持。研究主体庞大且多样。其中，预期效用最大化（EUM）的公理基础可以追溯到冯·诺依曼（von Neumann）、摩根斯坦（Morgenstern）[77]和萨维奇（Savage）[69]，它可能是最广泛使用和研究的框架。在连续时间最佳组合选择中，默顿[59]首次对其进行了探索。由此产生的问题考虑了终端财富预期效用的最大化：maxπEP[U（XπT）]，其中P是所谓的历史概率度量，T是交易期限，U（·）是投资者在T时的可用性。经典EUM框架的缺点。

尽管上述模型很受欢迎，但对模型基本原理（P、T、U）仍有相当多的批评，因为这些输入可能模棱两可、灵活且难以具体说明。首先，投资者对于使用哪种市场模型，尤其是如何确定概率度量，面临着明显的模糊性。这通常被称为奈特的不确定性，指的是奈特最初的贡献[53]。在埃尔斯伯格[27]悖论的推动下，模糊厌恶公理的引入，导致Gilboa和Schmeidler[36]将稳健的EUM范式结合起来。它建立在早期贡献的基础上，包括Anscombe和Aumann[3]以及Schmeidler[73]，此后被大量作品所追随和延伸；我们请读者参阅Maccheroni等人[57]、Schied[71]和F¨ollmer、Schied和Weber[33]以及其中的参考文献，以获取概述。其次，投资范围T可能不固定和/或先验已知。例如，这种情况出现在投资期限不断变化的问题中，或者由于新基金、新的市场机会或新的投资选项和义务的流入，需要对期限进行调整的问题中。与灵活交易期限相关的问题之一是，在何种模型条件和偏好结构下，人们可以以时间一致的方式将标准投资问题扩展到预先规定的期限之外。这个问题最近被K–allblad[47]研究过。投资范围的灵活性也与不受范围选择影响的公用事业直接相关。地平线无偏公用事业的概念是由亨德森和霍布森[39]提出的；另见Choulli等人[14]。第三，关于实用功能的说明、规格和选择存在各种问题。

涵盖所有现有工作超出了本文的范围，我们仅指研究的代表性。首先，效用本身的概念可能相当难以捉摸，人们应该寻找不同的、更实用的标准，以便量化投资者的风险偏好。我们建议读者参考F.Black[9]的一个旧注释，其中标准是选择最佳投资组合，另见何和黄[37]以及Cox、Hobson和Ob l\'oj[15]，以及Sharpe[74]和Monin[60]，其中标准是有针对性的财富分配。另一种研究认为效用是对结果进行排名的合适工具，但对经典的EUM提出了挑战，因为经验证据表明投资者对收益和损失的感受不同。在其他人中，请参见Hersheyand Schoemaker[42]和Kahneman and Tversky[45]。这促进了进一步的分支，并促进了行为金融领域的发展（见Barberis[5]和Jinand Zhou[44]）。第三条线概括了效用的概念，并通过允许状态和路径依赖，脱离了上文U（·）所述的终端地平线确定性效用。最著名的范例之一是递归实用程序，参见[22,26,76]。它们减轻了其标准对应物的几次拉回，并已被广泛使用。在静态框架中也曾考虑过依赖于状态的实用程序（例如，参见[21,50,51]）。一个新的依赖国家的公用事业家族是所谓的远期投资绩效过程，最近由Musiela和Zariphopoulou[63,64]引入。它们的关键特性是它们在时间上是向前创建的。它们是随机过程U（·，T），定义为所有时间范围，从而缓解了范围的灵活性。

更重要的是，它们足够灵活，能够将不断变化的市场机会、投资者观点、基准绩效、随机涉及的风险偏好和风险规避波动性，以及当前效用而非（可能遥远的）未来效用的具体化结合起来。我们建议读者参考Musiela和Zariphopoulou[63,64]了解该主题的另一个概述。我们的动机和目标。我们在这里的工作是基于上述对模型输入三元组（P，T，U）的考虑。我们提出了一个框架，同时解决了上述缺点，并结合了健壮的EUM和上述前瞻性性能方法的要素。具体来说，我们考虑的是一个投资者，她投资于一个随机市场，在这个市场中，她不知道“真实”模型，甚至不知道这种真实模型是否存在。相反，她通过随机模型的相对权重来描述市场现实，其中一些模型比其他模型更有可能，一些模型被排除在外，等等。这些观点用惩罚函数表示，并随时间动态更新。投资者对财富的个人评价通过其效用函数来表达。我们对规范性决策采用公理化方法，这意味着，当考虑给定的投资期限时，例如T，投资者的目标是最大化预期的效用函数，如Maccheroni等人[57]和Schied[71]所述。然后，我们通过考虑随机扩展来推广该标准，该扩展适用于所有投资期限。我们将奈特不确定性和稳健效用最大化的经典方法与远期投资绩效标准相结合。这些标准在时间上向前发展，与现有标准相反，现有标准在一定范围内预先规定，并使用动态规划原理向后生成。

这种动态一致性，也被称为自生特性，参见ˇZitkovi\'c[79]和Zariphopoulou及ˇZitkovi\'c[78]），是一种与稳健和模型规范中的最优性相关的自然属性。相比之下，它需要纳入远期投资框架。事实上，这是他们定义的基本要素。主要贡献。我们研究了一对动态一致的效用场和惩罚函数。这种配对编码随机偏好在时间上向前演化，并考虑到模型的模糊性。因此，我们称之为稳健向前标准。我们的贡献是双重的。首先，我们的理论重点是定义和进一步描述新的投资标准。我们考虑了它们的对偶，并结合Schied[71]和ˇZitkovi\'c[79]中提出的思想，建立了一个适当的对偶结果。与现有研究一样，对对偶（鲁棒正演）问题的研究具有各种优势。特别是，在稳健偏好的情况下，对偶问题相当于寻找一个内界，而原始问题的特点是一个延迟点。我们使用对偶公式来研究最优策略的时间一致性问题。我们表明，总体而言，无论是在我们的框架中，还是在经典的鲁棒EUM中，最优策略都可能不具有时间一致性。这可能是由于罚函数的任意动态性造成的。我们证明了在适当的罚函数动态一致性假设下，最优策略的时间一致性是可以保证的。第二，我们构造一个具体的例子，并显式地解决它。也就是说，我们考虑一个投资者，他从对数效用开始，应用二次惩罚函数。当然，我们的解决方案表明，稳健正向标准族是非空的。

更重要的是，这个例子为大型投资者在实践中经常遵循的策略提供了理论上的证明和解释。具体而言，投资者的目标是对风险的市场价格进行动态估计，比如^λ，并根据所感知的市场机会更新其随机效用。我们证明了这导致了一个时间一致的最优投资策略，该策略由一个与^λ相关的（时间一致的）分数凯利策略给出。杠杆率是投资者对估值的信心的函数。论文的结构。本文的组织结构如下。在第2节中，对市场模型进行了说明，并引入了稳健远期标准的概念。在第3节中，建立了鲁棒正向准则的等价对偶刻画。我们还讨论了惩罚函数的自然例子，包括和风险度量相关的惩罚函数，以及惩罚函数的动态一致性和最优投资策略的时间一致性之间的联系。然后，在第4节，在布朗过滤中，我们研究了稳健正向标准的特定类别和示例。我们的主要示例在第4.1节中给出，我们将展示非易失性对数偏好如何导致分数凯利策略。然后我们讨论了一个简单的例子，说明了导致时间不一致的最优投资策略的标准。本节的其余部分主要是对各类标准进行正式讨论。我们的目的是说明该通知的灵活性，以及在其他进化要求下可能会识别出有趣的偏好这一事实。特别是，非易失性标准与特定的PDE相关联，正式情况下，将对其进行更详细的讨论。

最后，我们认为，对于每一个稳健的远期标准，在参考市场中都存在一个特定的（标准）远期标准，从而产生相同的优化行为。大多数证明都被推迟到第5.2节市场模型和稳健远期标准2。1市场模型和符号市场由d+1证券组成，其价格为（St，St，…，Sdt）t∈[0,∞)在过滤概率空间上是（d+1）维c`adl`ag半鞅吗(Ohm, F、 F，P），其中过滤F=（Ft）t∈[0,∞)满足通常的条件。我们让我们≡ 1，并假设S是有界的。F-可预测过程π=（πt）t∈[0,∞)如果π在[0，T]上对每个T>0是S-可积的，则称为可容许投资组合。相关的财富过程Xπ由Xπt=ZtπudSu，t给出≥ 0.投资者可用的一组可接受的投资组合流程用A表示。下文进一步说明了我们考虑的不同情况。对于每个T>0，met表示等价的局部鞅测度集。也就是说，FTsuch上的一组度量Q~ P | f且S的每个分量都是Q-局部鞅。类似地，mat表示绝对连续的局部鞅测度集。密度过程的对应集合分别用ZeT和ZaT表示，ZeT=Z=dQdP | FT:Q∈ 遇见扎特也是如此。在[79]之后，我们假设对于每个T>0，集合都是非空的。这种假设被称为有限期内无套利（FLVR）；更多讨论请参见[79]第2节。

注意whileMeT={Q | FT:Q∈ MeT}，对于所有0≤ T≤ T、 可能不存在一组与P等价的概率测度，使得MeT={Q | FT:Q∈ Me}，对于所有T>0。如[79]所述，有限视界上的NFLVR条件意味着∈ MeT，密度过程ZQt=EdQdP |英尺|英尺, T∈ [0，T]可以推广到严格正鞅（Zt）T∈[0,∞)这样Z=1，ZS是局部鞅。所有这些过程的集合将表示为zze。特别是，有限视野上的NFLVR成立当且仅当Ze为非空时成立。此外，如果将严格正性条件替换为非负性条件，则得到的族用Za表示。任何问题<< P、 我们使用符号ZQt，T:=ZQt/ZQt，按照约定，ZQt，T≡ 1关于{ZQt=0}。2.2鲁棒前向性能准则我们引入了鲁棒前向准则的新概念。这些性能标准结合了两个要素：效用随机场U（ω，x，t），t≥ 以及一组罚函数γt，t（Q），对于0≤ T≤ T和T≥ 0.U（ω，·，t）对投资者在时间t的效用进行建模，并可能依赖于过去（ωs）s≤t、 投资者面临着金融资产动态“真实模型”的模糊性，并对不同概率测度的相对合理性形成了看法。这反映在γt，t（Q）（ω）中，它给出了度量Q在FT上的权重。在做出投资决策时，U和γ是结合在一起的。在转向关键一致性条件之前，我们分别定义了这两个条件，该条件定义了一个稳健的正向标准对（U，γ）。定义2.1。为了一个固定的∈ {0, ∞}, 随机场是一个映射U：Ohm × (-A.∞) × [0, ∞) →R、 这是可测量的，关于可选的σ-代数的乘积Ohm × [0, ∞) andB(-A.∞). 效用随机场是指满足以下条件的随机场：i）对于所有∈ [0, ∞), 映射x→ U（ω，x，t）是P-a.s。