模型不确定性下的时间一致性投资：稳健远期

我们通常会考虑κ=11A∈ Ft，并使用它将参数本地化为一个集合。我们还将使用符号Zt，T∈ ZaTto表示集合{Zt，T|Z的一个元素∈ ZaT}和Z∈ Qt，Tto表示集合{ZQ | Q的一个元素∈ Qt，T}。除非另有说明，否则所有Lp空间∈ [0, ∞], 定义了以下内容：(Ohm, 英尺，P |英尺）。我们还让Kt，T:=nRTtπsdSs:π∈ Abdoand Ct，T：=Kt，T- L+∩ L∞. 注意，对Kt，Tin（2）的优化可能会被对Ct，T的优化所取代∈ Qt，T，weintroduce函数uqκ（ξ）=supg∈Ct，TEhκZQt，TU（ξ+g，T）i，ξ∈ L∞（英国《金融时报》）。接下来，让Dt，T：=ζ*∈ （L）∞)*: hζ*, ζi≤ 0表示所有ζ∈ Ct，T对于η∈ L+（Ft），设Dηt，t：=ζ*∈Dt，T:hζ*, ξi=hη，ξi，对于所有ξ∈ L∞（英国《金融时报》）. 根据[79]中的引理A.4，我们有ζ*∈ Dt，T∩ L+当且仅当ζ*= ηZt，T，（40）对于某些η∈ L+（Ft）和Zt，T∈ 扎特。请注意，这一结果的证据使用的是市场满意度在有限的范围内。反过来，定义函数VQκ：Dt，T→ (-∞, ∞] byVQκ（ζ）*) :=（EhκZQt，电视）ζ*/κZQt，T, Ti、 ζ*∈ L+和{ζ*> 0}  {κ > 0},∞, 否则（41）和功能vQκ：L（Ft）→ (-∞, ∞] byvQκ（η）：=（infζ）*∈Dηt，TVQκ（ζ*), η ∈ L+（英尺），∞, η ∈ L（英尺）\\L+（英尺）。（42）最后，我们定义了辅助值函数uκ：L∞（英国《金融时报》）→ (-∞, ∞] byuκ（ξ）=supg∈Ct，TinfQ∈Qt，TEhκZQt，TU（ξ+g，T）+γT，T（Q）i、 和vκ：L（Ft）→ (-∞, ∞] byvκ（η）=infQ∈Qt，TvQκ（η）+E[κγt，t（Q）].5.1.2辅助值函数uκ和vκ的结果我们建立了F-可测值函数uκ和vκ的结果。定理3.2和命题3。然后，通过将问题简化为这种情况，通过采取预期措施来证明（参见第5.1.3节）。首先，我们考虑对偶优化器的存在。5.1的提议。让η∈ L+（英尺）。然后，存在（°ζ）*,“Q）∈ Dηt，t×Qt，Vκ（η）=V\'Qκ（\'ζ*) + Eκγt，t（\'Q）.此外，关于弱拓扑，Fκ（η）是凸的和下半连续的。证据

自η∈ L+（Ft），我们推导出vqκ（η）=infζ*∈Dηt，TVQκ（ζ*), Q∈ Qt，T.（43）因此，let（ζ*n、 Qn）∈ Dηt，t×Qt，t，vqnκ（ζ*n） +Eκγt，t（Qn）→ vκ（η）。（44）由于Qt是弱紧的，因此存在一个（子）序列（ζ）*n、 Qn）（也用n表示）使得Qn将a.s.收敛到某个`Q∈ 根据Banach-Alaouglu定理，我们得到了*-契约因此，使用与[79]中推论A2的证明中相同的参数，我们推断出还有一个子序列（用n表示），使得ζ*n收敛到某个ζ*∈ Dηt，淡色*-拓扑结构。考虑到假设1，[79]中的命题A.3可应用于公用事业领域U（x，t）=ZQt，TU（x，t）。接下来是vqκ（ζ*) = supζ∈L∞EhκZQt，TU（ζ，T）i- hζ*, ζi. （45）注意，对于每个ζ∈ L∞, {ZQt，TU-（ζ，T）：Q∈ 由于假设1，Qt，T}是一致可积的。将Fatou引理应用于正部分，则得出（45）中的第一项作为Q的函数是低连续的∈ Qt，t关于a.s.收敛。第二项在ζ中是连续的*关于弱者*-汇聚由于上确界保持下半连续性，因此映射（ζ*, Q）→ VQκ（ζ）*) 与Dηt，t×Qt，t上的producttopology有关的l.s.c.回想一下，根据定义2.2，映射Q→ E[κγt，t（Q）]是关于a.s.收敛的l.s.c。结合上文定义的子序列的（44），这就产生了一个极小值（°ζ）的存在*,Q）。vκ（η）的凸性紧随着映射（ζ）的联合凸性*, Q）→VQκ（ζ）*) + E[κγt，t（Q）]（参见（45））。为了论证下半连续性，我们的工作如下。让我们来看看∈ L+使ηα→ η弱且let（ζ）*α、 Qα）使得vκ（ηα）≥ VQακ（ζ）*α） +E[κγt，t（Qα）]。使用与上述类似的参数，可以证明存在子序列（ζ）*α、 Qα）在乘积拓扑中收敛。

利用映射（ζ）的联合下半连续性*, Q）→ VQκ（ζ）*) +E[κγt，t（Q）]产生vκ（η）的下半连续性。接下来，我们建立uκ和vκ的共轭关系（参见下面的命题5.4）。为此，我们首先建立两个辅助引理。首先，将[79]中的命题A1和a3应用于（7）中给出的辅助随机效用函数U（x，T）。引理5.2。让Q∈ Qt，Tandκ∈ L∞+（Ft）使得κZQt，TU（x，T）∈ 五十、 x∈ R、 并假设∧U（x，T）：=11κ=0U（x，T）+11κ>0ZQt，TU（x，T），x∈ R、 （参见（7））满足了[79]中的非奇异条件3.3。那么，对于任何ξ∈ L∞（Ft），uQκ（ξ）=infη∈ L（英尺）vQκ（η）+hξ，ηi.证据因为Q~ P、 我们有ZQt，T>0，P-a.s。此外，由于假设，U（x，T），x∈ R、 可积且满足非奇异性条件。因此，在[79]中的命题A1和A31可以应用于辅助随机效用函数U（x，T），x∈ R.在集{κ>0}上使用它，U（x，T）=ZQt，TU（x，T）和V（y，T）=ZQt，TVy/ZQt，T，T, 这些结果的应用产量suqκ（ξ）=infζ*∈Dt，TVQκ（ζ）*) + hζ*, ξi. （46）可使用Dt，T替换套件Dt，Tin（46）∩ L+（参见（41））。根据（40），对于每个ζ*∈ Dt，T∩ L+，存在η∈ L+（Ft）和Zt，T∈ ZaTsuch茅草ζ*, ξi=E[ηZt，Tξ]=E[ηξ]=hη，ξi，对于所有ξ∈ L∞（英国《金融时报》）。因此，ζ*∈ Dηt，t.相反，Dηt，t Dt，T，表示η∈ L+。因此，从（46）可知uqκ（ξ）=infη∈ L+（Ft）infζ*∈Dηt，tVQκ（ζ）*) + hη，ξi= infη∈ L+（英尺）vQκ（η）+hξ，ηi.因为vQκ（η）=∞ η∈ L（Ft）\\L+（Ft），可以由L（Ft）接管。我们很容易得出结论。下一个结果是当前设置与[71]中引理4.6的类似，并通过使用相同的不平衡极大极小定理得到证明。它与引理5.2一起，是下面命题5.4中对偶关系证明的基石。引理5.3。

假设Qt是弱紧的，U（x，t）和γ满足假设1。那么，supg∈Ct，TinfZ∈Qt，TEhκZU（ξ+g，T）+γT，T（Z）i=infZ∈Qt，Tsupg∈Ct，TEhκZU（ξ+g，T）+γT，T（Z）i、 （47）注意，尽管ZQt，TU（x，T）∈ 五十、 目前尚不清楚ZQt，sU（s，x）∈ L（Fs），对于t<s<t。因此，目前尚不清楚相关随机场是否实际上是定义2.1意义上的公用设施场（为了保持公用设施和路径规则性条件，可以轻松调整该场）。然而，[79]中的命题A1仅使用切片U（x，T），因此可以在给定假设下应用。证据对于给定的ξ∈ L∞（Ft）和g∈ Ct，T，存在a>0使得ξ+g≥ -a a.s.因此，U（ξ+g，T）≥ U(-a、 T）。对于序列（Zn）n∈N、 锌∈ Qt，T，使Zn→ Z.a.s.，然后我们用Fatou引理得到Lim infn→∞EhκZnU（ξ+g，T）+U-(-a、 （T）我≥ EhκZU（ξ+g，T）+U-(-a、 （T）i、 （48）自{ZnU-(-a、 T）锌∈ 由于假设1，Qt，T是一致可积的，它遵循limn→∞EκZnU-(-a、 （T）= Eκ祖-(-a、 （T）,因此，（48）意味着函数Z→ E[κZU（ξ+g，T）]关于Qt，T上的a.s-收敛是下半连续的。作为Qt，它是凸的和弱紧的，它是一致可积的。因此，映射Z→ E[κZU（ξ+g，T）]对于L的收敛性也是下半连续的。这反过来又产生弱下半连续性，因为函数是凸的（a ffine）。根据定义2.2，Z→ E[κγt，t（Z）]也是凸的和弱下半连续的onQt，t，由于假设1，它是凸的和弱紧的。另一方面，对于每个人来说∈ Qt，T，g→ E[κZU（ξ+g）]在凸集Ct，T上是凹的。应用不平衡极小极大定理（参见[4]第6章），我们得到了期望的结果。下一个结果建立了uκ和vκ之间的共轭关系。

这是定理3.2中条件版本的证明所依赖的关键结果。该证明使用的论点与[71]中使用的论点相似。然而，虽然[71]中的论点依赖于[54]中的对偶结果，但我们在这里使用了引理5.2。5.4的提议。假设Qt是弱紧的，U（x，t）和γ满足假设1。那么，尽管如此∈ L∞（Ft）和η∈ L+（Ft），它认为uκ（ξ）=infη∈ L（英尺）vκ（η）+hξ，ηivκ（η）=supξ∈L∞（英国《金融时报》）uκ（ξ）- hξ，ηi.证据从引理5.3我们得到uκ（ξ）=supg∈Ct，TinfQ∈Qt，TEhκZQt，TU（ξ+g，T）+γT，T（Q）i=infQ∈Qt，T苏普格∈Ct，TEhκZQt，TU（ξ+g，T）i+Eκγt，t（Q）= infQ∈Qt，TuQκ（ξ）+Eκγt，t（Q）. （49）注意如果U（x，T）∈ L为了某个x∈ R、 然后U（x，T）∈ L对于所有x∈ R.实际上，由于共腔，对于x<x<y和λx+（1- λ） y=x，它认为λE[U（x，T）]+（1- λ） E[U（y，T）]≤ EUx、 T.自从P∈ Qt，Tand U（x，T）∈ 根据假设，我们可以用qκt，t替换设定的Qt，Tin（49）：=Q∈ Qt，T：κZQt，TU（x，T）∈ L. （50）由于假设1，我们可以对每个Q应用引理5.2∈ Qκt，t，获得uκ（ξ）=infQ∈Qκt，tinfη∈ L（英尺）vQκ（η）+hξ，ηi+ E[κγt，t（Q）]= infη∈ L（Ft）infQ∈Qκt，tvQκ（η）+E[κγt，t（Q）]+ hξ，ηi！=infη∈ L（英尺）vκ（η）+hξ，ηi,最后一步还有待讨论。为此，请注意，对于每个ζ*∈ Dηt，t，η∈ L（英尺），我想那是电视ζ*/κZQt，T，Ti+E[ξη]≥ EhκZQt，TU（ξ+g，T）- ζ*（ξ+g）/κZQt，Ti+E[ξη]=EhκZQt，TU（ξ+g，T）i- E[ζ*（ξ+g）]+E[ξη]≥ EhκZQt，TU（ξ+g，T）i。因此，可以用Qt代替QκT，T，而不丧失一般性。这就完成了第一个共轭关系的证明。为了证明vκ是uκit的凸共轭，因此，有必要证明vκ是凸的且弱下半连续的。这是根据命题5.1得出的结论。5.1.3定理3.2和命题3.3的证明我们证明了第3.2节中的主要结果。

为此，我们遵循与[79]中相同的程序，并将问题归结为涉及F-可测值函数uκ和vκ的问题。然后根据上述命题3.3和5.4得出结果。首先，我们建立了对偶优化器的存在性。命题3.3的证明。设κ：=（max（1，v（η；t，t））-1.∈ κ ∈ L∞（英国《金融时报》）。注意，κ取[0,1]和w.l.o.g.中的值，我们可以假设{κ>0}6=. 让（°ζ）*,Q）是vk（η）的极小值，其存在由命题5.1保证。W.l.o.g.，让{ζ*> 0}  {κ > 0}. 观察到vκ（η）<∞由于κ的定义。因此，V’Qκ（’ζ*) < ∞ 反过来，（41）会产生ζ*∈ L.因此，\'ζ*∈ Dt，T∩ 因此，根据（40）式，存在‘’Z∈ 扎特萨克认为*= η\'Zt，T.为了说明（\'Q，\'Zt，T）达到（6）中的本质，我们用矛盾的方式进行论证。为此，假设存在ε>0，Q′∈ Qt，T，Z′T，T∈ a组和B组∈ 当P（B）>0时，使eq′hVηZ′t，t/ZQ′t，t，tFti+γt，t（Q′）+ε<E′QhVη\'Zt，T/Z\'Qt，T，TB.（51）上的Fti+γt，t（\'Q）注意 {κ > 0}. 此外，如果需要，我们可以选择 {κ = 1}. 设随机变量为ζ*∈ Lbe由∧ζ给出*:= η（Z′t，TB+′Zt，TBc）。接下来是ζ*∈ Dt，Tand，因此，ζ*= ηZt，T对于某些Zt，T∈ 扎特。在（51）的两边都取期望值，然后yieldsVQκ（ζ*) + Eκγt，t（~Q）- εP（B）≤ V\'Qκ（\'ζ*) + Eκγt，t（\'Q）,这与（¨ζ）的选择相矛盾*,作为最小值。接下来，为了将条件共轭关系简化为F-可测情形，我们建立了一个辅助引理。引理5.5。固定g∈ Ct，Tandξ∈ L∞（英国《金融时报》），它认为ess infQ∈Qt，TκEhZQt，TU（ξ+g，T）Fti+γt，t（Q）= infQ∈Qt，TEhκZQt，TU（ξ+g，T）+γT，T（Q）i、 （52）证据。不平等≤’ 这是微不足道的。为了证明逆不等式，letJ（Q）：=κEhZQt，TU（ξ+g，T）Fti+κγt，t（Q），Q∈ 注意，P∈ Qt，T。

此外，由于U（x，T）∈ 根据假设，它认为j（P）=κE[U（ξ+g，T）|Ft]+κγT，T（P）∈ L（英尺）。因此，w.l.o.g.（52）左侧的设置Qt，Tin可以替换为Qt，T:={Q∈ Qt，T:J（Q）∈ L（英尺）}。接下来，我们声称J（Q）|Q∈~Qt，T是向下的。的确，让Q，Q∈Qt，和定义A:={J（Q）≤ J（Q）}∈ 让“Q”给定比亚迪QdP=11AZQT+11AcZQT。根据[31]中的EMMA 3.3，Q∈ Qt，Tand，此外，J（\'Q）=κEhAZQt，T+11AcZQt，TU（ξ+g，T）Fti+κγt，t（\'Q）=κ11A式[U（ξ+g，T）|Ft]+γT，T（Q）+ κ11Ac式[U（ξ+g，T）|Ft]+γT，T（Q）= 11AJ（Q）+11AcJ（Q）=min{J（Q），J（Q）}。特别是，这意味着∈~Qt，T。因此，也可以得出以下结论：J（Q）|Q∈~Qt，T在极小化下是封闭的，所以是向下的。因此，由于Neveu[66]，存在一个序列Qn∈~Qt，t认为J（Qn）在减少，并且∈Qt，TJ（Q）=limn→∞J（Qn）。然后利用单调收敛定理得到E“ess infQ∈Qt，TJ（Q）#=Ehlimn→∞↓ J（Qn）i=limn→∞E[J（Qn）]≥ infQ∈Qt，TE[J（Q）]。利用上述情况和Qt，T Qt，T，我们到了ess infQ∈Qt，TJ（Q）= E“ess infQ∈Qt，TJ（Q）#≥ infQ∈Qt，TEJ（Q）≥ infQ∈Qt，TEJ（Q）,我们很容易得出结论。我们现在准备证明定理3.2。我们以矛盾的方式进行辩论，假设条件共谋关系不成立。以期望为基础，应用引理5.5，我们得出结论，uκ和vκ之间的F-可测共轭关系被破坏了。因此，我们可以应用命题5.4得出一个矛盾并得出结论。定理3.2中关系式（8）的证明。首先，我们证明了不平等的存在≤’ 持有。为此，请注意∈ Ct，Tand\'Q∈ Qt，T，它微不足道地保持着∈Qt，T式[U（ξ+’g，T）|Ft]+γT，T（Q）≤ ess supg∈Ct，TE\'Q[U（ξ+g，T）|Ft]+γT，T（\'Q），带ξ∈ L∞（Ft）和η∈ L+（英尺）。

因此，u（ξ；t，t）是直接的≤ ess infQ∈Qt，苔丝苏珀∈Ct，TEQ[U（ξ+g，T）|Ft]+γT，T（Q）！。（53）接下来，对于任何Q∈ MaT，我们知道S是局部鞅，因此，对于所有π，过程πudSu也是局部鞅∈ 阿布德。回想一下π∈ Abd，存在一个大于0的，使得rtπudSu>- a、 t≤ T它遵循等式[g]≤ 0，为所有g∈ Ct，T.反过来，因为U（x，T）≤ V（y，T）+xy，代表所有x∈ R、 y≥ 0，它遵循这个等式U（ξ+g，T）| Ft≤ EQhVηZt，T/ZQt，T，TFti+E（ξ+g）ηZt，T | Ft≤ EQhVηZt，T/ZQt，T，TFti+ξηa.s.，适用于所有Q∈ Qt，T，Zt，T∈ ZaT，ξ∈ L∞（英尺），g∈ Ct，Tandη∈ L+（英尺）。结合（53），这意味着u（ξ；t，t）≤ ess infQ∈Qt，Tess infZ∈扎特赫夫ηZt，T/ZQt，T，TFti+ξη+γt，t（Q）= v（η；t，t）+ξη，对于所有η∈ L+（英尺）。这就完成了第一个不等式的证明。为了证明逆不等式，我们用矛盾的方法论证并假设存在ξ∈ L∞（Ft），ε>0和A∈ Ftsuch thaess infQ∈Qt，T式[U（ξ+g，T）|Ft]+γT，T（Q）+ ε11A≤ EQhVηZt，T/ZQt，T，TFti+γt，t（Q）+ξη，对于所有g∈ Kt，T，Zt，T∈ 扎特，Q∈ Qt，Tandη∈ L+（英尺）。观察u（ξ；t，t）<∞ a、 在a和w.l.o.g.上，我们可以假设存在M<∞ 使得u（ξ；t，t）≤ a上的M a.s.由于a上的κ=1/κ，因此将上述不等式乘以κ=11A，取双方的期望值，并应用引理5.5，即∈Qt，TEhκZQt，TU（ξ+g，T）+γT，T（Q）i+εP（A）≤ EκZQt，电视ηκZt，TZQt，T，T+E[κγt，t（Q）]+E[κξη]，其中右侧第一个期望值中的表达式在Ac上定义为零。根据（40），我们得到了每个ζ的表达式*∈ Dηt，t∩ 带η的L+∈ L+（Ft），存在Zt，T∈ ZaTsuch表示ζ*= ηZt，T.使用它并取g的上确界∈ 我们推导出uκ（ξ）+εP（A）≤ VQκ（ζ）*) + 对于所有η，E[κγt，t（Q）]+hξ，ηi，（54）∈ L+（Ft）使得η=η11A，Q∈ Qt，Tandζ*∈ Dηt，t∩ L+。

因此，对于任何η∈ L+（英尺）和Q∈ Qt，T，上述不等式适用于所有ζ*∈ Dηt，t.如果ζ*/∈ L+或η6=η11A，那么它认为VQκ（ζ*) = ∞ （参见（41））。因此，uκ（ξ）+εP（A）≤ 对于所有η，vQκ（η）+E[κγt，t（Q）]+hξ，ηi∈ L+（英尺）和Q∈ 等等。因此，反过来，由于uκ（ξ）≤ M<∞ 由于κ的上述选择，我们得到了uκ（ξ）<uκ（ξ）+εP（A）≤ infη∈ L（Ft）（vκ（η）+hξ，ηi）。因此，根据命题5.4，我们得到了一个矛盾，我们很容易得出结论。定理3.2中关系式（9）的证明。断言（8）意味着对于所有η∈ L（Ft）和ξ∈L∞（Ft），v（η；t，t）≥ u（ξ；t，t）- ξη. 因此，不平等性”≥” 直接跟随。为了证明这个逆不等式，我们用矛盾的方法论证并假设存在η∈ L+（Ft），ε>0和A∈ Ftsuch thaess infQ∈Qt，T式[U（ξ+g，T）|Ft]+γT，T（Q）- ξη+ε11A≤ EQhVηZt，T/ZQt，T，TFti+γt，t（Q），对于所有g∈ Kt，T，ξ∈ L∞(Ft),Zt,T∈ ZaTand Q∈ Qt，T.由于η可以被η11A代替，而不违反上述不等式，我们假设w.l.o.g.η=0，在Ac上。接下来，将上述不等式乘以κ=11A，取期望值并使用引理5.5 yieldsinfQ∈Qt，TEhκZQt，TU（ξ+g，T）+γT，T（Q）我-E[ξη]+εP（A）≤ EκZQt，电视ηκZt，TZQt，T，T+ E[κγt，t（Q）]。根据（40），对于每ζ*∈ Dηt，t∩ L+，存在Zt，T∈ ZaTsuch表示ζ*= ηZt，T。因此，它遵循uκ（ξ）- hξ，ηi+εP（A）≤ VQκ（ζ）*) + E[γt，t（Q）]，对于所有ξ∈ L∞（英国《金融时报》，Q∈ Qt，Tandζ*∈ Dηt，t∩ L+。由于VQκ（ζ*) = ∞, 对于任何其他ζ*∈ 上述不等式适用于所有ξ∈ L∞（英国《金融时报》，Q∈ Qt，Tandζ*∈ 因此，uκ（ξ）- hξ，ηi+εP（A）≤ vQκ（η）+E[γt，t（Q）]，对于所有ξ∈ L∞（Ft）和Q∈ Qt，Tand，因此，反过来，supξ∈L∞uκ（ξ）- hξ，ηi< supξ∈L∞uκ（ξ）- hξ，ηi+ εP（A）≤ vκ（η），我们在这里使用supξ∈L∞uκ（ξ）- hξ，ηi< ∞, 由于κ的选择。

根据命题5。因此，我们得出了一个矛盾的结论。5.2命题3.6、3.7和3.8的证明为了证明第3.3节中的结果，我们首先建立了两个引理。引理5。6.设V是一个对偶随机场和γt，t容许的罚函数族，如假设2成立，或（10）成立和V-（ζ；t，t）∈ 所有ζ的L（Ft；Q）∈ L（英尺）和Q∈~Q0，T，T≤ T然后，双值场v（·；t，t）和γt，皮重在[0，t]上自动生成。证据修正0≤ s<t<t<∞. 问∈ 我们使用约定γ0，T（Q）=γ0，T（Q | Ft）。莱茨∈ Zatand Q∈ Qs，t.使用命题3.3，我们用Z表示*Q*ZaTand Qt，T中的最佳元素分别为ηZs，t/ZQs，t；t、 t实现了。然后，它认为e“ZQs，tvηZs，tZQs，t；t，t！Fs#+γs，t（Q）=E“ZQs，tE”ZQ*t、 TVηZs，tZQs，tZ*t、 TZQ*t、 t，t！Ft#+γt，tZQ*t、 t!Fs#+γs，t（Q）=E“ZQs，tZQ*t、 TVηZs，tZ*t、 tZQ，tZQ*t、 t，t！Fs#+γs，TZQs，tZQ*t、 t≥ v（η；s，T），（55）在使用ZtZ时*t、 t∈ 扎坦德∈ Qs，T，带d\'QdP|FT=ZQtZQ*t、 t.虽然这直接源于Qt在假设a）下粘贴时是稳定的，但它源于假设b）下的以下论点：-（ζ；s，T）∈ L（FT；\'Q），ζ∈ L（FT）意味着（使用v（η；s，t）是有限的）等式γt，t（Q）*) |财政司司长< ∞ 因此，“Q”∈ 下一步，让Z∈ ZaTand Q∈ Q0，T是确定v（η；s，T）最大值的最佳对象。注意，由于（10），Q∈ Q0，T，产生Q∈ Qt和Q |英尺∈ 因此，v（η；s，t）=E“ZQs，TVηZs，TZQs，t，t！Fs#+γs，TZQs，T= E“ZQs，tE”ZQt，TVηZs，tZQs，tZt，TZQt，T，T！Ft#+γt，tZQt，T!Fs#+γs，t（Q）≥ E“ZQs，tvηZs，tZQs，t；t，t！Fs#+γs，t（Q）≥ v（η；s，T），（56），其中最后一个不等式是由（55）引起的。