银行间网络的多元化结构

5） ，平均网络观测值根据网络集合中计算的统计数据定义。由于观测值取决于网络实现，我们将平均值与观测集合中给定实现G的概率P（G）进行加权：hxii=XG∈GP（G）xi（G）=xi（13）由于xi（G）是给定的，我们需要指定P（G）的一个依赖于参数的函数形状来求解系统。通过采用平衡统计力学的基本概念，我们通过最大化以下拉格朗日方程得到了这项任务的解：L=S+λ（1）-XGP（G））+Xiθi′Xi-XGP（G）xi（G）！（14） 其中S=-PGP（G）lnp（G）是吉布斯熵。通过采用f.o.c.方法，我们获得了P（G）+1+λ+Xiθixi（G）=0（15）重新排列，并采用了反对数：P（G）=e-H（G）Z（16），其中H（G）≡Piθixi（G）是图的哈密顿量，由于G的矩阵表示，它可以用矩阵W或A和Z重写≡ e（λ+1）是配分函数。从标准化约束我们很容易得到Z=PGe-H（G）。当从系统（13）中获得完全决定P的参数{θi}的值时，该模型被求解。可以证明，如果我们采用玻尔兹曼-吉布斯分布（16），那么系统（13）提供了参数{θi}的最大似然估计（Garlaschelli和Loff-redo，2008）。当约束观测值为二元对称网络的度值{k，…，kn}时，模型的主要量为：H（G）=XiXj>i[（θi+θj）aij]=XiXj>i∧ijaijZ=YiYj>i1+e-∧ijF=- ln Z=-XiXj>iln1+e-∧ijP（G）的形式是非独立贝努利变量与参数Spij=haiji的乘积=F∧ij=e∧ij+1i，j=1，n（17）将最后一个方程代入约束条件，我们得到系统（13）的以下特化：Xj6=ie∧ij+1=`kii=1。

n（18）该系统可以通过数值求解，得到满足约束条件的θi值。给定平均强度分布的加权网络的相应系统如下所示：Xj6=ie∧ij- 1=？wii=1。n（19）在这种情况下，我们得到了wijare几何分布。不幸的是，这种组合有两个主要缺点：1）系统（19）难以解决；2） 即使得到了一个解，这个集合中的网络拓扑也不一定遵循任何拓扑性质，例如度分布，甚至连接性。简而言之，这种模型的拓扑结构在构造上是不现实的。为了克服第一个问题，在分析加权网络时，通常使用不同的最大熵技术，如信用网络（Mistrulli，2011）。按照这种方法，在对称和加权的情况下，我们希望解决以下问题：maxWg（W）=-nXi=1nXj=1wijln wij（20）受以下约束：nXj=1wij=？wii=1。n（21）其中，w={w，…，\'wn}是一个固定强度序列。众所周知，当允许选择时，这个问题的解决方案可以显式地写出来“wij=wiwjv（22）。我们从问题（20）中看到，这个解决方案代表了与给定约束一致的最多样化的配置。从标准经济的角度来看，这一特性是方便的，因为微观经济因素决定了多样化程度越高，预测经济效果越好（Allen和Gale，2000）。

为了得到这种结构的系综，我们仍然需要假设wij的概率分布。一些常见的选择是泊松分布（Karrer和Newman，2011），或二项分布（Bargigli和Gallegati，2011）。第二个问题在Garlaschelli和Loff redo（2009）中得到了严格的解决，但由此产生的模型通常很难进行数值求解。出于这个原因，我们在这里采用了一种不那么严格的方法，并继续数值求解变量集{x，…，xn}中的以下系统：Xj6=ixixje∧ij+1=\'wii=1。n（23）直接推广到有向情形。当它们不是时，我们可以很容易地从文中提到的显式公式得到一个数值解。这里∧ij代表系统的分辨率值（18）。然后，我们将集合中艺术网络的加权链接视为两个独立变量的乘积：wij~ 伯努利（pij）泊松（λij）（24），其中Pijob来自（18），λij=xixjob来自（23）。很容易看出，以这种方式获得的系综同时满足度和强度分布的约束。参考Abbassi，P.，Co.Pierre，G.和Gabrieli，S.，货币市场冻结的网络视图，2013年，mimeo。阿方索，G.，科夫纳，A.和肖尔，A.强调，而不是冻结：金融危机中的联邦基金市场。《金融杂志》，2011年，661109-1139。艾伦·F·和盖尔·D·金融传染病。政治经济学杂志，2000，108，1-33。Amini，H.，Cont，R.和Minca，A.，对金融网络的弹性进行压力测试。国际理论与应用金融杂志，2012,15。巴吉利，L。

和Gallegati，M.，给定期望度序列的随机有向图：经济网络的模型。经济行为与组织杂志，2011年，78396-411。Battiston，S.，Delli Gatti，D.，Gallegati，M.，Greenwald，B.C.和Stiglitz，J.E.，危险联络：增加连通性，风险分担和系统风险。经济动力与控制杂志，2012年，361121-1141。Morten L.Bech，M.L.和Atalay，E.，联邦基金市场的拓扑结构。Staff Reports 354，纽约联邦储备银行，2008年。Boss，M.，Elsinger，H.，Summer，M.，和Thurner，S.，银行间市场的网络拓扑。定量金融，2004年，4677-684。Buldyrev，S.V.，Parshani，R.，Paul，G.，Stanley，H.E.和Havlin，S.，相互依存网络中灾难性的级联故障。《自然》杂志，2010，4641025-1028。Bunke，H.和Shearer，K.，基于maximalcommon子图的图距离度量。模式重新编码。莱特。，1998, 19, 255–259.Chinazzi，M.和Fagiolo，G.，系统性风险、传染和金融网络：一项调查。LEM论文系列2013/08，意大利比萨圣安娜高等研究学院经济与管理实验室，2013年。Clauset，A.，Shalizi，C.R.和Newman，M.E.J.，实证数据中的幂律分布。《暹罗评论》，2009年51661-703。Cont，R.，Moussa，A.和Santos，E.B.，银行系统中的网络结构和系统风险。《系统性风险手册》，J.P.Fouque和J.Langsam编辑，2012年（剑桥大学出版社）。Craig，B.R.和von Peter，G.，银行间分层和货币中心银行。工作文件0912，克利夫兰联邦储备银行，2009年。Dehmer，M.，Emmert Streib，F.，和Kilian，J.，一种计算复杂度较低的图形相似性度量。应用数学与计算，2006，182447–459。《系统重要性银行：对欧洲银行体系的分析》。

《国际经济与经济政策》，2006年，第3期，第73-89页。Fagiolo，G.，Squartini，T.和Garlaschelli，D.，经济网络的零模型：世界贸易网的案例。《经济互动与协调杂志》，2013，8，75–107。Fagiolo，G.，复杂定向网络中的集群。菲斯。牧师。E、 2007,76026107。Fricke，D.，Lux，T.，隔夜货币市场的核心-外围结构：来自电子中间交易平台的证据。基尔工作文件1759，基林世界经济研究院，2012年3月。Fricke，D.，Finger，K.，和Lux，T.，关于分类和非分类混合无规模网络：银行间信贷网络的案例。基尔工作论文1830，基尔世界经济研究所，2013年2月。Gai，P.和Kapadia，S.，金融网络中的传染病。英国皇家学会学报A，2010，466，2401–2423。Gao，J.，Buldyrev，S.V.，Havlin，S.，和Stanley，H.E.，网络的健壮性。《物理评论快报》，2011年，107年，195701年。Garlaschelli，D.和Loff redo，M.I.，《最大可能性：从复杂网络中提取无偏信息》。菲斯。牧师。E、 2008年，78015101。Garlaschelli，D.和Loff redo，M.I.，加权网络中的广义玻色-费米统计和结构关联。菲斯。牧师。莱特。，2009, 102,038701.S.戈麦斯、A.迪亚兹·吉拉拉、J.戈麦斯·加登斯、C.J.佩雷斯·维森特、C.J.莫雷诺、Y.和A.阿雷纳斯，关于多重网络的扩散动力学。《物理评论快报》，2013年，第110期，第028701页。Iazzetta，C.和Manna，M.，银行间市场的拓扑结构：意大利自1990年以来的发展。Temi di discussione，711，意大利银行，2009年。Iori，G.，De Masi，G.，Precup，O.V.，Gabbi，G.和Caldarelli，G.，意大利隔夜货币市场的网络分析。《经济动力学与控制杂志》，2008年，32259-278。Karrer，B.和Newman，M.E.J.，网络中的随机块模型和社区结构。菲斯。牧师。

E、 2011年，83016107。Kuo，D.，Skie，D.，Vickery，J.和Youle，T.，从Fedwire支付数据识别定期银行间贷款。纽约联邦储备银行Staff Reports，2013年，第603号。宾夕法尼亚州范·莱利维尔德在《寻找核心：银行间市场的网络结构》。DNB工作文件348，荷兰中央银行，研究部，2012年7月。Lenzu，S.和Tedeschi，G.，不同银行间网络拓扑的系统性风险。Physica A：统计力学及其应用，20123914331–4341。Lip，S.Z.W.，一种用于离散核心/外围二分问题的快速算法。ArXiv电子版，2011年2月。米洛，R。。Shen Orr，S.，Itzkovitz，S.，Kashtan，N.，Chklovskii，D.和Alon，U.，网络主题：复杂网络的简单构建块。《科学》，2002年，298（5594），824-827。Milo，R.，Kashtan，R.，Itzkovitz，S.，Newman，M.E.J.和Alon，U.，关于具有规定度序列的随机图的统一生成。eprint arXiv:cond mat/0312028，2003年12月。Mistrulli，P.，评估银行间市场的金融传染：最大熵与观察到的银行间借贷模式。银行与金融杂志；《金融》，2011年，351114-1127。Montagna，M.和Kok，C.，评估系统性风险的多层银行间模型。技术报告，基尔工作文件，2013年。帕克，J.和纽曼，M.E.J.，网络的统计力学。菲斯。牧师。E、 2004年，70066117。Soram–aki，K.，Bech，M.L.，Arnold，J.，Glass，R.J.，和Beyeler，W.E.，银行间支付流的理论。Physica A：统计力学及其应用，2007，379317–333。Squartini，T.和Garlaschelli，D.，分析最大似然法，用于检测真实网络中的模式。《新物理学杂志》，2011年，13083001。T.Squartini、I.van Lelyveld和D.Garlaschelli，提出了银行间网络拓扑崩溃的早期预警信号。

ArXiv电子打印，2013年。Upper，C.，评估银行间市场传染风险的模拟方法。《金融稳定杂志》，2011年，7111-125。