长期静态投资者的最优策略

否则，（4.12）α*=（1）如果α+≥ 1，α+如果α+∈ （0，1），其中α+是（4.13）θ（u）的唯一正解- r） +（θ）- θ） σα+λθE（α（Y）- 1) + 1)θ-1（Y）- 1)= 0.5. Vasicek利率下的Black-Scholes模型假设股票价格遵循Black-Scholes模型，波动率σ为常数，利率服从Vasicek模型。Vasicekmodel是Vasicek[14]引入的标准利率模型。财富过程满足以下s-tochastic微分方程。（5.1）dVt=αuVtdt+ασVtdBt+（1）- α） rtVtdt，其中bt是从0开始的标准布朗运动，在时间0和（5.2）drt=κ（γ- rt）dt+δdWt，其中wt是标准布朗运动，因此hW，Bit=ρt，其中-1.≤ ρ ≤ 这就是相关性。长期静态投资者的最优策略11因此，财富过程由（5.3）Vt=Veαut+ασBt给出-ασt+（1）-α） Rtrsds。引理7。对于任何r=r>0，limt→∞tlog Er=rheθ（ασBt+（1-α） Rtrsds）i（5.4）=κγθ(1 - α)κ+θασρδ+δθ(1 - α)κ+θασρδ-θασκγρδ+θασ(1 - ρ).证据写入Bt=ρWt+p1- ρZt，其中Zt是独立于Bt和Wt的标准布朗运动。因此，我们有=rheθ（ασBt+（1）-α） Rtrsds）i（5.5）=Er=rheθ（ασρWt+ασ√1.-ρZt+（1）-α） Rtrsds）i=Er=rheθασ（1）-ρ） t+θ（ασρWt+（1）-α） Rtrsds）i=Er=rheθ（1）-α） Rtrsds+θασρδrt+θασκρδRtrsdsie-θασρrδ-θασκγρδt+θασ（1-ρ） 最后一行表示Wt=rt-rδ-κγδt+κδRtrsds。设u（t，r）：=Er=rheθ（1）-α） Rtrsds+θασρδrt+θασκρδRtrsdsi。n，u（t，r）满足以下偏微分方程（5.6）(Ut=κ（γ）- r）Ur+δUr+θ(1 - α) +θασκρδru=0，u（0，r）=eθασρδr。让我们试试u（t，r）=eA（t）+B（t）r。然后，我们得到（5.7）A′（t）=κγB（t）+δB（t），B′（t）=-κB（t）+θ（1）- α） +θασκρδ，A（0）=0，B（0）=θασρδ。不难看出→θ(1-α） κ+θασρδas t→ ∞ 因此（t）t=κγtZtBsds+δ2tZtB（s）ds（5.8）→ κγθ(1 - α)κ+θασρδ+δθ(1 - α)κ+θασρδ,12凌炯柱→ ∞.

因此，我们得出以下结论：→∞tlog Er=rheθ（ασBt+（1-α） Rtrsds）i（5.9）=κγθ(1 - α)κ+θασρδ+δθ(1 - α)κ+θασρδ-θασκγρδ+θασ(1 - ρ).定理8。∧（α）=limt→∞tlog E[u（Vt）]（5.10）=κγθ(1 - α)κ+θασρδ+δθ(1 - α)κ+θασρδ-θασκγρδ+θασ(1 - ρ) + θαu -θασ.当Δθ2κ-δθσρκ+σθ-σ≥ 0，最佳α*由（5.11）α给出*=（0）如果γ+Δθ2κ≥(θ - 1） σ+u，如果γ+Δθ2κ<（θ- 1)σ+ u.否则，最优α*由（5.12）α给出*=α+如果1≥ 1，α+如果α+∈ （0,1），如果α+≤ 0，其中（5.13）α+=-γθ + θu +δθσρκ-Δθκ2θh-δθ2κ+δθσρκ-σθ+σi.证明。回想一下，Vt=Veαut+ασBt-ασt+（1）-α） Rtrsds。应用引理7，我们得到∧（α）=limt→∞tlog E[u（Vt）]（5.14）=κγθ(1 - α)κ+θασρδ+δθ(1 - α)κ+θασρδ-θασκγρδ+θασ(1 - ρ) + θαu -θασ.因此，∧（α）是α的二次函数。如果∧（α）中α的系数为非负，即（5.15）θδθ2κ-δθσρκ+σθ-σ≥ 0，则∧（α）在α中是凸的，并且在α=0或α=1时达到最佳α。实际上，我们可以计算出（5.16）∧（0）=γθ+Δθ2κ，长期静态投资者的最优策略和（5.17）∧（1）=（θ）- θ)σ+ θu.因此，当Δθ2κ-δθσρκ+σθ-σ≥ 0,(5.18) α*=（0）如果γ+Δθ2κ≥(θ - 1） σ+u，如果γ+Δθ2κ<（θ- 1)σ+ u.如果∧（α）中α的系数为负，则函数∧（α）在某些α处有唯一的最大值+∈ (0, ∞) 和（5.19）α*=1如果α+≥ 1，α+如果α+∈ （0,1），如果α+≤ 0，其中（5.20）α+=-γθ + θu +δθσρκ-Δθκ2θh-δθ2κ+δθσρκ-σθ+σi。6.总结本文中，我们研究了Heston模型、3/2模型、跳跃扩散模型和Vasicek利率下Bla-ck-Scholes模型的静态投资的最优长期策略。将我们的结果一般化为多变量情况会很有趣，即投资者可以投资一篮子股票S（i）t，1≤ 我≤ d、 财富过程由（6.1）dVtVt=dXi=1αidS（i）tS（i）t+1给出-dXi=1αi！rtdt。人们还可以研究赫斯顿模型、3/2模型和随机利率下的跳跃扩散模型。

在第5节中，假设利率遵循Vasicek模型。Vasicek模型的一个缺点是，该过程可能以正概率为负。我们在第5节中的分析不能直接应用于Cox-Ingersoll-Ross利率，除非假设ρ=0。这可以留待以后的调查。感谢作者还要感谢一位匿名的裁判，他非常仔细地阅读了手稿，并提出了一些有益的建议，这些建议极大地改进了论文。作者得到了NSF g rant DMS-0904701、DARPA拨款和纽约大学硕士学位的支持。14 LINGJIONG Zhu参考文献[1]安，D.和B.高。(1999). 期限结构动力学的参数非线性模型。金融研究回顾。12, 721-762.[2] Abramowitz，M.和I.Stegun。《数学函数手册》，纽约，多佛出版社，1964年。[3] 卡尔，P.和J.孙。(2007). 随机波动下期权定价的一种新方法。衍生品研究综述。10, 87-150.[4] 考克斯，J.C.，英格索尔，J.E.和S.A.罗斯。(1985). 利率期限结构理论。计量经济学。53, 385-407.[5] Dembo，A.和O.Zeitouni。大偏差技术和应用。第二版，纽约，斯普林格，1998年。[6] Drimus，G.（2012）。通过转换方法获得的已实现方差期权：一个非有效随机波动率模型。定量金融。12, 1679-1694.[7] 费勒，W.（1951）。两个奇异的扩散问题。数学年鉴。54, 173-182.[8] 弗莱明，W.H。和S-J.Sheu。(1999). 财富预期效用的最佳长期增长率。应用概率年鉴。9, 871-903.[9] 赫斯顿·S·L.（1993年）。具有随机波动性的期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。金融研究综述6327-343。[10] 刘易斯，A.L。

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