长期静态投资者的最优策略

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英文标题：
《Optimal Strategies for a Long-Term Static Investor》
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作者：
Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The optimal strategies for a long-term static investor are studied. Given a portfolio of a stock and a bond, we derive the optimal allocation of the capitols to maximize the expected long-term growth rate of a utility function of the wealth. When the bond has constant interest rate, three models for the underlying stock price processes are studied: Heston model, 3/2 model and jump diffusion model. We also study the optimal strategies for a portfolio in which the stock price process follows a Black-Scholes model and the bond process has a Vasicek interest rate that is correlated to the stock price.
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中文摘要：
研究了长期静态投资者的最优投资策略。给定一个股票和一个债券的投资组合，我们推导出资本的最优配置，以使财富效用函数的预期长期增长率最大化。在债券利率不变的情况下，研究了三种股票价格过程模型：赫斯顿模型、3/2模型和跳扩散模型。我们还研究了股票价格过程遵循Black-Scholes模型，债券过程具有与股票价格相关的Vasicek利率的投资组合的最优策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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关键词：最优策略 投资者 Quantitative Optimization QUANTITATIV

长期静态投资者的最优策略。研究了长期静态投资者的最优投资策略。给定股票和债券的组合，我们推导出资本的最优配置，以使财富效用函数的预期长期增长率最大化。在债券利率不变的情况下，研究了三种股票价格过程模型：赫斯顿模型、3/2模型和跳差模型。我们还研究了投资组合的最优策略，其中股票价格过程遵循Black-Scholes模型，债券过程具有与股票价格相关的Vasicek利率。1.引言在本文中，我们对投资者的长期最优策略感兴趣。投资者从已知的初始财富V>0开始，财富时间t用Vt表示。投资者决定将财富的哪一部分投资到股票中，剩余的1- αtin a键rt，即（1.1）dVtVt=αtdStSt+（1-αt）rtdt。对于静态投资者，我们假设αt≡ α是介于0和1之间的常数，即α∈ [0, 1].我们考虑一个双曲型绝对风险规避（HARA）效用函数u（c），其相对风险规避系数γ为常数∈ （0,1），即（1.2）u（c）=c1-γ1 - γ, 0 < γ < 1.我们感兴趣的是使长期增长率最大化的最佳策略，即（1.3）max0≤α≤1limt→∞tlog E[u（Vt）]=ma x0≤α≤1∧（α），如果长期增长率∧（α）：=limt→∞tlog E[u（Vt）]对于任何0都存在≤ α ≤ 1.为了便于记法，设θ：=1- γ ∈ （0，1），因此我们对（1.4）max0感兴趣≤α≤1limt→∞tlog E[（Vt）θ]。财富预期效用的最优长期增长率在文献中得到了很好的研究。通常，最佳策略是动态的，日期为2014年5月21日。修订日期：2014年5月21日。2000年数学科目分类。

91B28，91B70，60H30。关键词和短语。长期增长率，最优策略，赫斯顿模型，3/2模型，跳跃扩散，瓦西塞克模型。2 LINGJIONG Zhu研究了一些动态规划方程，参见Fleming和Sheu[8]。在本文中，为了简单起见，我们只关注静态策略。该设置允许我们获得一些更复杂模型的分析可处理性，如Heston模型和3/2模型。最大化长期预期效用的问题与最大化财富在大时间范围内超过给定基准的概率密切相关，即max0≤α≤1limt→∞tlog P（Vt≥ Vext），其中x是给定的标记。例如，在静态框架中，Stutzer[1 3]考虑了一个简单的nc e标准。Pham[1]提出了一种渐近动态的超越管理准则。要找到长期生长率的最佳策略，第一步是计算极限极限→∞t日志E[u（Vt）]。在大多数标准模型下，财富过程具有显著的增长率，并且对数矩母函数的存在加上一些附加条件，可以用来获得财富超过给定基准的概率的大偏差原理，即指数型。这种联系是由G–artner-Ellis定理提供的，见e。g、 Dembo和Zeitouni[5]。关于大偏差在金融中的应用的调查，请参见Pham[12]。在本文中，我们详细研究了静态投资者在两种随机波动率模型的股票投资的最优策略，即Heston模型（第2节）、3/2模型（第3节）。Heston[9]提出的Heston模型是一种广泛使用的随机波动率模型。

波动过程是一个Cox-Ross-Ingersoll过程，它是一个有效的模型，具有很强的分析可处理性。3/2模型是另一种流行的随机波动模型。它已被应用于利率建模，例如Ahn和Gao[1]。Carr和Sun[3]使用3/2模型对差异掉期进行定价，而Drimus[6]使用它对已实现差异的期权进行定价。接下来，我们研究了当标的股票过程遵循跳跃扩散模型（第4节）时，假设替代投资债券具有恒定的短期利率，最优长期静态投资策略。最后，我们研究了s股票遵循经典Black-Scholes模型，而债券具有Vasicekinest利率的情况（第5节）。作为一个例子，让我们首先考虑一个玩具模型。假设股票价格遵循几何布朗运动，且dr-iftu>0和constantvolatilityσ>0，债券的短期利率r>0。我们可以写出财富过程Vt，（1.5）dVt=αuVtdt+ασVtdBt+（1）的一个精确微分方程- α） rVtdt，其中bt是一个标准的布朗运动，从0开始，时间为0，因此（1.6）Vt=Vexpαu + (1 - α） r-ασt+ασBt.因此，我们可以计算出t（1.7）E[（Vt）θ]=VθEθ（αu+（1-α） r-因此，我们有兴趣最大化（1.8）∧（α）=θαu + (1 - α） r-ασ+θασ, 0 ≤ α ≤ 1.长期静态投资者的最优策略3.很容易计算出（1.9）∧′（α）=（θu）- θr）- (θ - θ)σα.因此，如果α=u，则∧′（α）=0-r（1-θ)σ. 因此，最优α*由（1.10）α给出*=0如果u≤ r、 u-r（1）-θ） σ如果0<u-r（1）-θ） σ<1,1如果u- R≥ (1 - θ)σ.财务解释在以下情况下进行：≤ r、 投资债券是最好的选择，因为债券的收益率超过股票的平均收益率。当u>r时，仅投资股票并不总是最优的。

原因是虽然股票的平均收益率需要债券的收益率，但股票是波动的，较大的波动会降低投资组合的预期效用。这与均值-方差分析一致，即给定均值，投资者有动机最小化方差。一般来说，对于任何财富过程Vt，假设∧（α）e存在并且是光滑且严格凹的，如果∧′（0）≤ 0，则为最佳α*由α给出*= 否则，∧（α）在某个α处达到唯一的最大值+∈ (0, ∞). 然后是最优α*由（1.11）α给出*=（1）如果α+≥ 1，α+如果α+∈ (0, 1).这是本文中分析所有模型的一般方法。2.Heston模型假设股票价格遵循Heston模型，即股票价格具有随机波动性，遵循Cox-Ingersoll-Ross过程（2.1）（dSt=uStdt）+√νtStdBt，dνt=κ（γ- νt）dt+δ√νtdWt，其中wt和bt是两个标准布朗运动，而hW，Bit=ρt，w在这里-1.≤ ρ ≤ 1是相关性。假设u，κ，γ，δ>0。波动过程是Cox等人提出的Cox-Ingersoll-Ross过程[4]。我们假设Feller条件2κγ>δ保持不变，因此ν始终为正，参见例如Feller[7]。财富过程满足（2.2）（dVt=αuVtdt+α√νtVtdBt+（1）- α） rVtdt，dνt=κ（γ- νt）dt+δ√νtdWt。然后，我们有（2.3）Vt=Vexpαut-αZtνsds+（1）- α） rt+αZt√νsdBs.因此，我们得到（2.4）E[u（Vt）]=θVθEθ（αu+（1）-α） r）tEheθ（αRt）√νsdBs-αRtνsds）i.4灵炯朱勒玛1。对于任何ν>0的情况，limt→∞tlog Eν=νheθ（αRt√νsdBs-αRtνsds）i（2.5）=κγδ-κγδpκ- δθα(1 - ρ) + δθα- 2δκαρθ -θαρ κδγ.证据写入Bt=ρWt+p1- ρZt，其中Zt是独立于Wt的标准布朗运动。设Fνt:=σ（νs，0≤ s≤ t） 成为时间t之前波动过程的自然西格玛场。

很容易计算出eν=νheθ（αRt√νsdBs-αRtνsds）i（2.6）=Eν=νheθ（αRt√νsρdWs+αRt√νs√1.-ρdZs-αRtνsds）i=Eν=νEeθ（αRt）√νsρdWs+αRt√νs√1.-ρdZs-αRtνsds）Fνt= Eν=νheθαRt√νsρdWs+θα（1）-ρ） Rtνsds-θαRtνsdsi=Eν=νeθαρΔνt+（θα（1-ρ)-θα+καρΔθ）RtνsdsE-θαρδν-θαρκΔγt，其中最后一步是由于-ν=Rtκ（γ）-νs）ds+Rtδ√νsdWs。设u（t，ν）：=Eν=νheθαρΔνt+（θα（1）-ρ)-θα+καρΔθ）Rtνsdsi。费曼-卡克公式意味着u（t，ν）满足以下偏微分方程（2.7）(Ut=κ（γ）- ν)Uν+δνUν+θα(1-ρ)-θα+καρδθνu，u（0，ν）=eθαρΔν。让我们尝试一下u（t，ν）=eA（t）+B（t）ν，很容易看出A（t），B（t）满足下列常微分方程组（2.8）A′（t）=κγB（t），B′（t）=-κB（t）+δB（t）+θα(1-ρ)-θα+καρδθ,A（0）=0，B（0）=θαρδ。我们认为二次方程（2.9）δx有两个不同的解- κx+θα(1 - ρ）- θα+καρδθ= 0，B（t）收敛到（2.9）的较小解。我们可以计算（2.10） := κ- 2δθα(1 - ρ）- θα+καρδθ.如果α=0，那么 = κ> 0. 如果α6=0，那么， = (κ+ δθαρ- 2δκαρθ) + δα(θ - θ)(2.11)= (κ - δθαρ)+ δα(θ - θ） >0，因为θ∈ (0, 1). 因此（2.9）有两种不同的解决方案。当B（t）小于（2.9）的较小解或大于长期静态投资者最优策略的较大解5（2.9）时，B′（t）为正。如果B（t）位于（2.9）的两个解之间，则B′（t）为负。因此，如果B（0）=θαρδ小于（2.9）的解，则B（t）收敛到（2.9）的较小解。当α=0时，B（0）=0，（2.9）的大解等于2κδ>0。因此，我们可以认为α>0。设（2.12）H（x）：=δx- κx+θα(1 - ρ）- θα+καρδθ.很容易检查（2.13）Hθαρδ=(θ- θ） α<0，因为θ∈ （0,1）和α>0。

因此，我们得出结论，B（0）小于（2.9）和（2.14）B（t）的更大解→κδ-δsκ- 2δθα(1 - ρ）- θα+καρδθ,作为t→ ∞ 因此（2.15）A（t）t=tκγZtB（s）ds→κγδ-κγδpκ- δθα(1 - ρ) + δθα- 2Δκαρθ，作为t→ ∞. 回想一下Eν=νheθ（αRt√νsdBs-αRtνsds）i=u（t，ν）e-θαρδν-θαρκΔγt。因此，我们得出结论：→∞tlog Eν=νheθ（αRt√νsdBs-αRtνsds）i（2.16）=κγδ-κγδpκ- δθα(1 - ρ) + δθα- 2δκαρθ -θαρ κδγ.定理2。∧（α）=limt→∞tlog E[u（Vt）]（2.17）=κγδ-κγδpκ- δθα(1 - ρ) + δθα- 2δκαρθ-θαρ κδγ + θαu + θ(1 - α） r.让我们定义（2.18）C:=κγδ+θr，C:=κγδ（δθ- δθ(1 - ρ） ），C:=Δκρθ·κγδ，C:=κγδ，C:=-θρκδγ + θ(u - r） .6凌炯柱C+C√C≤ 0，最佳α*= 当C≥√C、 最优α*= 1.最后，如果-C√C<C<√C、 （2.19）α*=（α+如果α+<1,1，否则，式中（2.20）α+=C“C+CsCC- 科科斯群岛- C#。证据回想一下E[u（Vt）]=θVθEθ（αu+（1-α） r）tEheθ（αRt）√νsdBs-αRtνsds）i.ByLemma 1，我们有∧（α）=limt→∞tlog E[u（Vt）]（2.21）=κγδ-κγδpκ- δθα(1 - ρ) + δθα- 2δκαρθ-θαρ κδγ + θαu + θ(1 - α） r=-pCα- 在C.2，αC+C中，它是清晰的。但这可能不是积极的。很容易计算出（2.22）∧′（α）=C-Cα- C√Cα- 2Cα+C和（2.23）∧′（α）=-C√C（CC）- C） （（Cα）- C） +（抄送）- C） ）3/2。另一方面，由于θ∈ （0,1），我们有CC- C=κγΔκγδ（Δθ- δθ(1 - ρ)) - δκρθκγδ(2.24)=κγδ(δθ - δθ(1 - ρ）- δρθ)=κγδ(θ - θ) > 0.因此，我们得出结论，对于任何α，∧′′（α）<0，即∧（α）在α中是严格凹的。注意∧′（0）=C+C√C.如果C+C√C≤ 0，因为∧（α）是严格凹的，所以必须在α处达到最大值*= 0.现在假设C+C√C> 0。当>√C、 很容易检查∧′（α）~ （C）-√C） 作为α→ ∞, 因为∧（α）是严格凹的，所以∧（α）是包含在α中的≥ 0，长期静态投资者的最大等时策略7达到了tα+=1。

如果C=√C、 ∧′（α）=C√Cα- 2Cα+C- Cα+C√Cα- 2Cα+C（2.25）=CCp（Cα- C） +（抄送）- C）- Cα+C√Cα- 2Cα+C=p（Cα- C） +（抄送）- C）- （Cα- C）√Cα- 2Cα+C>0，因为CC- C> 0。因此，α*= 1当C=√C.现在假设-C√C<C<√C.然后∧′（0）=C+C√C> 0和∧（α）→ -∞ 作为α→ ∞. 因此，在（0，∞),由α给出。所以（2.26）∧′（α+）=pC“C√C-（Cα+- C） p（Cα+- C） +CC- C#=0。Cα+- Chas和Cwhich是同一个符号，它是正的。因此，我们可以求解α+并得到（2.27）α+=C“C+Csc- 科科斯群岛- C#。最优α*由（2.28）α给出*=（α+如果α+<1，则为1）。3.3/2模型假设股票价格遵循3/2模型，即（3.1）（dSt=uStdt）+√νtStdBt，dνt=κνt（γ- νt）+Δν3/2tdWt，其中bt和wt是两个标准布朗运动，为简单起见，假设它们是独立的。因此，财富过程满足（3.2）（dVt=αuVtdt+α√νtVtdBt+（1）- α） rVtdt，dνt=κ（γ- νt）dt+Δν3/2tdWt，那么，我们有（3.3）Vt=Vexpαut-αZtνsds+（1）- α） rt+αZt√νsdBs.因此，我们得到e[u（Vt）]=θVθeθ（αu+（1）-α） r）tEheθ（αRt）√νsdBs-αRtνsds）i（3.4）=θVθeθ（αu+（1）-α） r）德赫-α(θ-θ） Rtνsdsi。8 LINGJIONG Zhu波动过程不是一个有效的过程，但它在分析上仍然是可处理的。已知Tνsds的拉普拉斯变换，参见Lewis[10]。（3.5）Eνhe-λRtνsdsi=Γ（b）- a） Γ（b）2κγΔν（eκγt- 1)是a、 b，-2κγΔν（eκγt- 1),其中（3.6）a:=-+κδ+Q+κδ+2λδ，b:=1+2q+κδ+2λδ和Γ（·）是标准伽马函数，M（a，b，z）：=P∞n=0（a）n（b）nznn！是有效的超计量函数，也称为库默函数（参见Abramowitz和Stegun[2]），其中（c）：=1和（c）n:=c（c+1）·（c+n）-1） 福恩≥ 1.在我们的例子中，（3.7）λ：=α（θ）- θ） >0，因为θ∈ (0, 1). 我们对拉普拉斯变换作为t的渐近行为感兴趣→ ∞.

作为t→ ∞, -2κγΔν（eκγt-1)→ 0和M（a，b，-2κγΔν（eκγt-1)) → 1.那么，很容易看出这一点→∞tlog Ehe-α(θ-θ） Rtνsdsi=-aκγ（3.8）=κγ+κδ- κγs+κδ+α(θ - θ)δ.因此，我们得出结论∧（α）=limt→∞tlog E[u（Vt）]（3.9）=θαu+θ（1）- α） r+κγ+κδ- κγs+κδ+α(θ - θ)δ.很容易检查∧′（α）<0，也很容易计算（3.10）∧′（α）=θ（u）- r）- κγ(θ - θ） Δαq+κδ+α(θ-θ)δ.什么时候- R≤ 0，因为∧（α）是严格凹的，所以∧（α）对于α是递减的≥ 0和最佳α*是在α上实现的*= 0.现在，假设- r>0。当θ（u）时- r）-κγδ√θ - θ≥ 0, Λ′(α) ≥ 0表示任意α和最优α*是在α上实现的*= 1.当θ（u）时- r）-κγδ√θ - θ<0，在α+处存在∧（α）的唯一全局最大值∈ (0, ∞) 所以∧′（α+）=0。观察到如果∧′（α）=0 in（3.10），则α与u具有相同的符号-r>0。经过一些代数运算，我们得到（3.11）α+=θ（u）- r）δpκγ（θ）- θ) - θ(u - r） δ√θ - θr+κδ。因此，α*= α+如果α+<1和α*= 1否则。长期静态投资者的最优策略9我们在下面的定理3中总结了我们的结果。∧（α）=limt→∞tlog E[u（Vt）]（3.12）=θαu+θ（1）- α） r+κγ+κδ- κγs+κδ+α(θ - θ)δ.最优α*由α给出*= 0如果u-R≤ 0和α*= 1如果θ（u-r）-κγδ√θ - θ≥ 如果u>r和θ（u- r）-κγδ√θ - θ<0，最佳α*由（3.13）α给出*=（α+如果α+<1,1，否则，式中（3.14）α+=θ（u- r）δpκγ（θ）- θ) - θ(u - r） δ√θ - θr+κδ。备注4。为了简单起见，我们只考虑ρ=0的情况。的确，我是通用的-1.≤ ρ ≤ 1，spotprice对数的联合傅里叶-拉普拉斯变换，即对数（St/S）和总积分方差，即Rtνsds，也以封闭形式已知，参见Carr和Sun[3]，我们的方法仍然可以用于获得最优策略α*. 但计算会更加复杂。4.跳跃扩散模型让我们假设股票价格遵循跳跃扩散模型。

更准确地说，（4.1）dSt=uSt-dt+σSt-dBt+St-dJt，其中Jt=PNti=1（Yi-1） ，其中i.i.d.随机变量分布在（0，∞)具有光滑且边界模糊的概率密度函数，且与强度λ>0的标准泊松过程无关。我们进一步假设E[Y]<∞.财富过程满足（4.2）dVt=αuVt-dt+ασVt-dBt+αVt-dJt+（1）- α） rVt-dt。然后，我们有（4.3）Vt=Veαut+（1）-α） rt+ασBt-ασt+PNti=1log（α（Yi-1)+1).因此，（4.4）∧（α）=θ[αu+（1）- α） r]+（θ）- θ） ασ+λ（E[（α（Y- 1) + 1)θ] - 1).备注5。（i） 如果≡ y是一个正常数，那么（4.5）∧（α）=θ[αu+（1- α） （θ+r]- θ） ασ+λ（（α（y- 1) + 1)θ- 1).（ii）如果Yi是指数分布且参数ρ>0，则- 1） +1）θ]=Z∞（αy+1）- α） θe-ρyρdy（4.6）=eρ（α-1)(α/ρ)θΓθ + 1, ρα- 1.,10 LINGJIONGΓ（s，x）：=R∞xts-1e-tdt是上不完全伽马函数。很容易计算出（4.7）∧′（α）=θ（u）- r） +（θ）- θ） σα+λθE（α（Y）- 1) + 1)θ-1（Y）- 1),和（4.8）∧′′（α）=（θ）- θ)σ+ λθ(θ - 1） E（α（Y）- 1) + 1)θ-2（Y）- 1)< 0，因为θ∈ （0,1）和α∈ [0, 1].在∧（α）的表达式中，|E[（α（Y- 1) + 1)θ]| ≤ E[（α| Y- 1| + 1)θ](4.9)≤ E[（α（Y+1）+1）θ]≤ E[（α（Y+1）+1）]=α（E[Y]+1）+1，因为θ∈ （0,1）和α（Y+1）+1≥ 1 a.s.∧（α）中α项的系数为（θ）- θ） σ为负。因此，∧（α）→ -∞ 作为α→ ∞. 回想一下∧（α）是严格凹的。因此，如果∧′（0）=θ（u- r） +λθ（E[Y]- 1) ≤ 0，那么，最佳α*是在α上实现的*= 0.如果∧′（0）=θ（u）- r） +λθ（E[Y]- 1） >0，则存在唯一的α+∈ (0, ∞) 所以∧′（α+）=0。在这种情况下，最佳α*由（4.10）α给出*=（1）如果α+≥ 1，α+如果α+∈ (0, 1).我们在下面的定理中总结了我们的结论。定理6。(4.11) Λ(α) = θ[αu + (1 - α） r]+（θ）- θ） ασ+λ（E[（α（Y- 1) + 1)θ] - 1).当θ（u）时- r） +λθ（E[Y]- 1) ≤ 0, α*= 0