订单数据的模拟与分析：队列反应模型

然后我们得到λLi（n）=λL-i（n），λCi（n）=λC-i（n），λMi（n）=λM-i（n），和fi（q）=λLi（qi）gi（q）=λCi（qi）+λMi（qi）。在该模型中，发送给Qi的市场订单直接消耗Qi的可用量。因此，我们可以在第一个限额不为空的情况下，在第二个限额有一个市场订单。然而，对于大型tick资产，这一假设是合理的，因为它们的市场订单流量几乎完全集中在第一个限额（Q±1）上，并且在（Q±i），I6=1时，这种流量的估计强度非常小。在这些假设下，LOB成为2K个独立队列的集合，每个队列都是一个出生和死亡过程。2.3.2实证研究：收集独立队列在模型I中，不同队列的强度可以单独估计。K的值设为3，因为我们的数值实验表明，对于所考虑的股票，Q±i，i=4，5时的动态和经验分布与Q±3时的分布非常相似。Kwill的这个值也适用于本文中的其他实验。估算方法如下。我们将“事件”ω定义为队列大小的任何修改。对于队列Qi，我们记录等待时间ti（ω）（以秒为单位）在事件ω和Qi的前一个事件之间，事件的类型ti（ω）和事件之前的队列大小Qi（ω）。然后，队列大小由大于或等于队列中可用容量的最小整数除以相应队列中股票的平均事件大小。我们通过以下方式设置事件ω的“类型”：Ti（ω）∈ 在Qi，oTi（ω）处插入极限指令的E+∈ E-对于Qi的限价订单取消，oTi（ω）∈ 在Qi进行市场订单交易。当参考价格发生变化时，我们重新开始记录过程。

一旦我们收集了(ti（ω）、ti（ω）、qi（ω））根据历史数据，很容易用最大似然法估计λLi（n）、λCi（n）和λMi（n）：0 10 20 30 40 5000.511.522.533.5队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）极限顺序插入强度，I型第一限制第二限制第三限制10 20 30 40 5000.10.20.30.40.50.60.70.80.9队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）限制订单取消强度，I型第一限制第二限制第三限制10 20 30 50-0.0500.050.10.150.20.250.3队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）市场订单到达强度，I型第一极限第二极限第三极限图2：Q±I，I=1,2,3时的强度，法国电信^∧I（n）=卑鄙的(ti（ω）|qi（ω）=n）-1λLi（n）=i（n）#{Ti（ω）∈ E+，qi（ω）=n}{qi（ω）=n}^λCi（n）=i（n）{Ti（ω）∈ E-, qi（ω）=n}{qi（ω）=n}^λMi（n）=i（n）{Ti（ω）∈ Et，qi（ω）=n}{qi（ω）=n}，其中“mean”表示经验平均值，#A表示集合A的基数。在图2中，我们给出了估计的强度。钱德基的数据-i使用附录中详细说明的中心极限近似值，将两个采集的样本进行聚合（简单地合并），并计算置信区间（虚线）。现在，我们来评论一下这些意外的图表。独立性假设下的行为o限制指令插入：Q±1：限制指令插入过程的强度近似为队列大小的常数函数，在0时的值明显较小。请注意，在空队列中插入limitorder将创建一个新的最佳限额，并且发布该订单的市场参与者是唯一处于该价格水平的参与者。

这样的行动往往是有风险的。事实上，当价差与一个刻度不同时，人们对所谓的“有效”或“公平”价格的位置非常不确定，有关这一概念的讨论，请参见Delattre、Robert和Rosenbaum（2013）。这种较小的价值也可以归因于买卖价差和波动性之间结构性关系的暂时实现：如果价差较大，因为做市商的库存风险较高，那么任何人在价差中插入限价单的概率可能较低，参见Madhavan、Richardson和Roomans（1997）、AvellandStoikov（2008）、Wyart、Bouchaud、，Kockelkoren、Potters和Vettorazzo（2008年）以及Dayri和Rosenbaum（2012年）了解有关做市以及利差、波动性和库存风险之间关系的更多细节。Q±2：强度现在近似为队列大小的递减函数。这个有趣的结果可能揭示了在实践中使用的一种非常常见的策略：当相应的队列大小很小时，在第二个限制处发布订单以获取优先级。第2.4.2节给出了有关该策略的更多详细信息。Q±3：强度函数显示出与第二极限类似的特性限制订单取消：Q±1：订单取消率是Q±1在0和25之间的一个递增凹函数，对于较大的值，订单取消率会变为平缓/略微下降。这一结果与经典的流量建模方法形成对比，后者通常考虑线性递增的取消率，参见Cont、Stoikov和Talreja（2010）。在这个先进先出的市场上，优先权价值，即限价单与站在同一队列后面的另一个限价单相比的优势，可能是这种行为的原因之一。

实际上，优先级值是队列大小的递增函数，具有高优先级值的订单被取消的可能性较小。Q±2：订单取消率更快地达到其渐近值，比Q±1的值低。与第一次限价相比，第二次限价的市场参与者在排队人数增加时更倾向于不取消订单。这可能是因为这些订单比在Q±1时发布的订单对短期市场趋势的影响更小（因为它们被位于Q±1时的数量所覆盖，并且它们的价格水平离参考价格更远）。Q±3：在第三个极限时，优先级值较小，因为Q±3获得最佳报价所需的时间较长。当队列大小大于3个AES时，订单取消率几乎呈线性增加。我们还发现，当队列大小等于1时，取消率相当高，这表明市场参与者发现自己单独在队列中时会更快地取消订单市场订单：Q±1：在Q±1时，该比率随可用量呈指数下降。这种现象很容易被市场参与者在流动性不足时“急于获得流动性”，在流动性充足时“等待更好的价格”所解释。Q±2：在实践中，只有当Q±1=0时（即Q±2为最佳排队时），市场订单才能达到Q±2。强度的形状与Q±1情况下得到的形状非常相似。这些值当然要小得多。Q±3：在一些罕见的情况下，仍然可以找到一些达到Q±3的市场订单（价差较大时出现的市场订单）。强度函数保持指数递减。2.3.3模型I下的渐近行为LOB的不变分布可在模型I中明确计算。

我们用π表示极限Qi的平稳分布，并定义到达/离开比向量ρibyρi（n）=λLi（n）（λCi（n+1）+λMi（n+1））。然后很容易得到如下不变分布的结果，例如Grossand Harris（1998）：πi（n）=πi（0）nYj=1ρi（j）- 1） πi（0）=1 +∞Xn=1nYj=1ρi（j- 1)-1.因此LOB的长期行为完全由ρ决定。这意味着两种资产可能具有非常不同的流动动力学，但如果它们的到达/离开比率相同，则仍然具有相同的不变分布。现在，我们将模型的渐近结果与在Q±1、Q±2和Q±3下观察到的经验分布进行比较。为了计算这些经验定律，我们使用30秒的采样频率（每30秒，我们查看LOB并记录其状态）。结果如图3所示，以及泊松模型的不变分布（恒定限制/市场订单到达率、线性取消率、从同一数据集估计的参数）。我们可以看到，不变分布非常接近LOB的经验分布。这表明，为了解释LOB的形状，这种平均场类型的方法（LOB利润来自市场参与者的平均行为之间的互动）可能非常相关。2.4模型二：相关案例我们现在介绍模型一的一些扩展。我们在这里假设，买入/卖出市场订单在最佳报价限制下消耗量，定义为第一个非空的询问/出价队列。因此，我们考虑了强度为λmbu的买入市场订单过程和强度为λMsell的卖出市场订单过程。假设限价订单、取消和市场订单到达过程独立于LOB状态。

所以我们可以用以下形式写出fi（q）和gi（q）：fi（q）=λLi（q）gi（q）=λCi（q）+λMbuy（q）1bestask（q）=i，如果i>0gi（q）=λCi（q）+λMsell（q）1bestask（q）=i，如果i<0。还测试了其他采样频率，发现估计的分布非常相似。这些采样数据还将用于估算模型IIA和IIb中LOB限值的联合分布。0 10 20 30 40 5000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2第一限制队列大小（AES）分布0 10 20 30 40 5000.020.040.060.080.10 120.140.160.180.2第二限制队列大小（AES）分布0 10 20 30 40 5000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2第三限制队列大小（AES）分布经验估计模型IPoisson模型经验估计估计模型Ipisson模型图3：模型I，q±1，q±2，q±3的不变分布。对于模型I，我们考虑一些买卖对称性，即q=[q]-3，q-2，q-1，q，q，q]，q=[q，q，q，q-1，q-2，q-3] i=1,2,3，λLi（q）=λL-i（q），λMi（q）=λM-i（q）和λMbuy（q）=λMsell（q）。2.4.1模型IIa：两组相互依赖的队列机构交易员和经纪人倾向于将他们的大部分限价指令置于最佳限价，而任何做市商、套利者和其他高频交易员也会在超过这些最佳限价的队列中排队。例如，这表明Q±2处的动力学不仅取决于Q±2，还取决于Q±1是否为空。因此，我们建议对队列Q±2使用以下强度函数：在该模型中，λL±2和λC±2是Q±2和1q±1>0的函数。气的强度，I6=±2仅保留气的功能。对于大型滴答资产，q±i，i≥ 3是最好的极限，可以忽略不计。因此，也可以合理地假设市场订单只发送给Q±1和Q±2。这使我们能够将独立性保持在Q±3和（Q±1，Q±2）之间。

当q±1>0时，市场订单强度λMbuy/sells被假定为q±1的函数；当q±1=0时，它仅是q±2的函数。2.4.2模型IIa：实证研究在这项实证研究中，我们的目标是了解市场参与者在两种不同情况下如何在Q±2时做出交易决策：Q±1=0和Q±1>0。由于我们现在研究的是二维问题，数据记录过程略有不同。特别是对于（Q，Q），它是这样的：我们记录等待时间ti（ω）发生在qor Q、事件类型T（ω）和事件之前的两个队列大小（Q（ω）、Q（ω））之间。再次使用最大似然法估计强度函数λLi，λCi，λMifori=1,2。对于i=1和i=3，由于Q±i时的动态取决于Q±i时的队列大小，因此λL、λc和λmar的估计值与模型i中获得的值非常接近，此处未显示。图4给出了Q±2时的估计强度函数。一些注释按顺序排列：o限制顺序插入：两条曲线都是队列大小的递减函数。在第一种情况下（q±1=0），极限阶插入强度很快达到其渐近值。观察到的q±2=0的相对较高值可能是因为，对于大刻度资产，做市商很少允许利差大于3刻度。

在0 10 20 30 4000.20.40.60.811.21.41.61.82队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）秒限制中，限制顺序插入q1==0 q1>0 10 20 30 4000.20.40.60.811.21.41.61.82队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）秒限制，限制订单取消q1==0q1>00 10 20 30 4000.010.020.030.040.050.06队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）秒限制，市场订单插入q1==0q1>0图4:1q>0和q的Qas函数强度，在第二种情况下（q±1>0），强度继续下降到一个更低的值。这可能与第2.3.2节中介绍的套利策略有关：当规模较小时，在非最佳限制下发布被动订单，等待该限制最终成为最佳限制，然后从优先级值中获得收益。例如，当考虑的限额成为最佳限额时，如果其规模足够大，足以覆盖短期市场趋势的风险，则可以决定留在队列中，如果队列规模太小，则可以取消订单限价订单取消：q±1=0时取消率较高。这可能与交易活动集中在最佳限度有关。

当q±1>0时，当q±2=1时，与q±3时的情况一样，切除率相当高（见第2.3.2节）市场订单：当Q±1时仍有限价订单时，没有市场订单可以到达Q±2（交叉限价消费多个限价的大型市场订单被视为在很短时间内顺序到达这些限价的多个市场订单）。当Q±2为最佳限值时，市场订单到达率与atQ±1没有太大差异，但当队列大小大于5个AES时，市场订单到达率呈现出意想不到的增长趋势。2.4.3模型IIa：渐近行为模型IIa属于一类特殊的马尔可夫过程，称为准生灭过程（QBD）。它们的渐近行为可以用矩阵几何方法来研究。QBD过程的定义和关于矩阵几何方法的解释见附录。在图5中，我们展示了FranceTelecom股票（q，q）的理论联合分布，并将其与根据经验数据估计的联合分布进行了比较。在这里，我们还看到，理论结果提供了一个非常令人满意的近似值。图5:IIa模型：q，q，2的联合分布。4.4模型IIb：建模买卖依赖我们现在研究买卖队列之间的相互作用。让Q，Q-,“Q，Q+是四个标记，表示队列大小的以下值范围。设mand l为两个整数。我们定义了函数Sm，l（x）：Sm，l（x）=Qif x=0Sm，l（x）=Q-如果0<x≤ 如果m<x，则l（x）=Q≤ lSm，l（x）=Q+如果x>l。此函数与队列大小x关联四个可能的范围：空：x=0，小：x∈ （0，m），通常为：x∈ （m，l]和大：x∈ （l）+∞). 我们将m设为33%的下分位数，l设为q±1的33%上分位数（以正值为条件）。

在这个模型中，市场参与者不仅根据目标队列的大小，而且根据对方队列的大小来调整他们的行为。因此，速率λL±1和λC±1被建模为q±1和Sm的函数，L（q1).与模型IIa一样，我们假设市场订单在最佳限制下消耗量，只发送到Q±1和Q±2。当q±1>0时，市场订单强度λMbuy/sells被假定为q±1和Sm，l（q）的函数1). 在该模型中，在Q±2时的制度转换保持不变：λL±2、λC±2被假定为1q±1>0和Q±2的函数，当Q±1=0时，市场订单强度λMbuy/sells被建模为Q±2的函数。在这些假设下，将2K维问题归结为四维连续时间马尔可夫跳过程（Q）的研究-2，Q-1，Q，Q）。该模型的一个重要特征是队列Q±2对Q±1处的动力学没有影响。因此，我们只需要研究三维过程（Q-1，Q，Q）甚至是二维过程（Q-1，Q）如果人们只对Q±1的动力学感兴趣。还需注意的是，在Q±1时，强度函数规格的其他选择是可能的。