订单数据的模拟与分析：队列反应模型

例如，我们可以将其视为一级买卖不平衡（定义为asq）的函数-Q-1q+q-1，或者只是作为排列大小的函数。0 10 20 30 4000.20.40.60.811.21.4队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）第一限制，限制顺序插入q（-1）=00<q（-1）<=44<q（-1）<=9q（-1）>90 10 20 30 4000.20.40.60.811.21.4队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）第一限制，限价订单取消q（-1）=00<q（-1）<=44<q（-1）<=9q（-1）>901020304000.050.10.150.20.250.3队列大小（每平均事件大小）强度（每秒数）第一个限价，市场订单插入q（-1）<=44<q（-1）<=9q（-1）>9图6:Sm、l（q）的Qas函数的强度-1） q，法国电信2。4.5模型IIb：实证研究我们在这里侧重于估算Q±1时的强度函数。我们考虑偏离流强度λC±1（q±1，Sm，l（q1） ）和λMbuy/sell（q±1，Sm，l（q1） ）和到达流强度λL±1（q±1，Sm，L（q1)). 再次利用LOB的对称性，我们取λL（x，y）=λL-1（x，y），λC（x，y）=λC-1（x，y）和λMsell（x，y）=λMbuy（x，y）。我们记录等待时间在Qor Q发生的事件之间的t（ω）-事件T（ω）的类型和两个队列大小（q（ω），q-1（ω））在事件发生之前。然后我们用最大似然法估计这些强度函数。结果如图6所示（m=4个AES，l=9个AES）。一些备注如下：o限制订单插入：限制订单插入率是相反队列大小的递减函数。特别是，我们看到，当相反的队列为空（粉色曲线）时，它会显著增大。事实上，在这种情况下，“有效”的价格很可能接近相反的一方。

因此，非空首个限额的限额订单很可能是可支持的限价订单取消：不同Q范围的取消率-1在其形式上相似，但有不同的渐近值。这一利率是另一方流动性水平的递减函数，这并不奇怪。事实上，当这个水平变低时，许多市场参与者会取消他们的限价订单，并发送市场订单，因为市场可能会朝着不利的方向移动市场订单：我们看到，当对方的流动性充足时，就会发出更多的市场订单。事实上，在这种情况下，目标队列中的交易相对便宜，因为其价格水平暂时接近有效价格。在特殊情况下-1=0，Qcan的价格水平似乎相对有吸引力，因为它比相反的最佳价格更接近参考价格，在这种情况下，最佳价格为2。这就解释了为什么当对方队列为空时，市场秩序强度比其规模较小时更大。请注意，对于该模型，置信区间的计算变得更加复杂，给出的结果略为近似，详见附录。图7:IIb模型：q的联合分布-图8：模型三：q的联合分布-1，q，法国电信2。4.6 IIb模型：渐近行为蒙特卡罗模拟用于获得IIb模型中LOB的理论不变分布。Q的理论和经验联合分布-1和Qa如图7所示。这两个图之间的差异来自于（x，y）形式的状态相对较高的概率，其中x和y在经验数据中都很小，在某种程度上被模型中（x，0）或（0，y）形式的状态所取代。

实际上，在实践中，第一个队列中的一个为空的情况不太可能持续很长时间，因为它通常会导致参考价格的变化。在参考价格不变的情况下，模型IIB未考虑这种影响，但将在第3.1节的模型III中进行研究。我们在图8中给出了在模型IIb的框架内（按照第3.1节模型III的方法）加入参考价格的适当变动时获得的联合分布。我们现在发现，模拟密度与经验密度非常接近。初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个初始报价1个模型5 10 15 20 25 301020.5100.51图9：在Q下的采购订单的执行概率-t=0，法国电信。5应用示例：执行概率上述模型可用于计算几个重要的与任务相关的量的短期预测。一个相关的例子是在中间价移动之前执行订单的概率。假设在时间t=0时，qa和Q-你不是空的。然后，atrader（称为A）在Q提交购买限制订单-1个大小的nand在队列中等待，直到执行命令或相反的队列QI完全耗尽。

使用蒙特卡罗模拟，可以在上述三种模型中计算执行概率。Q有两种类型的订单-1： 在t=0之前下的订单，因此与交易员A的订单相比具有更高的优先级，而在t=0之后下的订单，优先级较低。当市场订单到达Q时-1、执行优先级最高的限价指令。因此，交易者A的订单只有在所有订单都位于Q时才开始执行-1在t=0之前已被取消或执行。当取消事件发生在Q-1.我们的模型中没有明确定义被取消的订单。所以，我们需要对取消过程做两个额外的假设。假设3。当Q发生取消事件时-1、Q点订单-1被取消的概率相同（交易员A提交的限价单除外，该限价单从未被取消）。假设4。Q处的对消强度-1应该等于λC（q）-1） q-1.-nq-1代替λC（q-1） ，因为交易员A下的订单从未取消。优先级较低的订单实际上更有可能被取消，见Gareche、Disdier、Kockelkoren和Bouchaud（2013）。然而，为了准确地调查这一特征，我们需要更详细的市场数据来记录已提交和已取消订单的标识。因此，使用假设3和4可能会稍微高估执行概率。模拟结果（n=1）如图9所示，以及与泊松模型相关的预测，该模型假设线性增加的取消率。

我们看到，我们的三个模型给出了相当相似的执行概率，而泊松模型显然高估了它们。3.队列反应模型：具有随机LOB和动态参考价格的时间一致性模型我们现在希望获得一个与整个感兴趣期间相关的模型，并提供有用的应用。3.1模型三：队列反应模型3。1.1构建modelLetδ表示刻度值。我们在此假设，当某些事件修改中间价pmid时，Pref会以一定的概率θ变化。更准确地说，当pmidin增加/减少时，如果q±1=0，则预增加/减少δ的概率θ。因此，价格变动可能由以下三个事件之一触发：o在买入-卖出价差中插入买入限价指令，而QI在此插入时为空，或在买入-卖出价差中插入卖出限价指令，而Q-1在插入时为空。o在最有效的队列之一取消最后一次限价订单。o在最有效的队列中使用最后一个限价订单的市场订单。当pref发生变化时，qi的值立即切换到它的一个邻居的值（如果pref增加，则向右切换；如果pref减少，则向左切换）。因此，当pref减小/增大时，q±1变为零。回想一下，我们将LOB的记录保留到第三个限制。因此，当预增加/减少时，Q±3的值是从其不变度量中得出的。请注意，必须非常小心地处理队列切换过程：不同队列的平均事件大小不同。

因此，当Qi变为qj时，其新值应通过qj处两个平均事件大小之间的比率重新标准化。为了可能包含外部信息，我们还假设在概率θreinit的情况下，当价格发生变化时，LOB状态从其围绕新参考价格的不变分布中重新绘制。参数θreinit可以理解为外部信息引起的价格变化的百分比。在这种情况下，我们认为市场参与者会很快调整他们的订单，围绕新的参考价格流动，就好像从其不变分布中得出了新的订单状态。Cont and de Larrard（2013）在最佳出价和最佳询问队列模型中使用了类似的方法，其中θreinitis设置为1。在这些假设下，市场动态现在由一个（2K+1）维马尔科夫过程来建模：~X（t）：=（X（t），pref（t）），在可数状态空间~Ohm = N2K×δN，其中x（t）=（q-K（t）。。。，Q-1（t），q（t）。。。，qK（t））表示不同限制下的可用体积。在续集中，模型I用于描述预恒定期间的LOB动态（在使用模型IIA或IIb的模拟中获得非常相似的结果）。使用10校准变更前概率θ和LOB重新初始化概率θREINITA。注意，在该模型中，使用第2.2节中介绍的方法，变更前概率不一定与其估计值匹配。

然而，对于大型tick资产，这种差异可以忽略不计。图10:Robert and Rosenbaum（2011）中引入的10分钟波动率和平均回复率，pmid（波动率）和平均回复率η的标准偏差，定义为η=Nc2Na，式中，NCI是在感兴趣的时间间隔上估计的Pref的连续次数（即在同一方向上连续移动的次数），NaI是交替次数（即在相反方向上连续移动的次数）。事实上，大型tick资产的微观结构通过参数η得到了很好的总结，见Robert and Rosenbaum（2011）和Dayri and Rosenbaum（2012），波动率当然是最重要的低频率统计数据之一。在图10中，我们展示了10分钟波动率的表面，以及θ和θreinit的不同值。3.1.2关于最大机械挥发物，我们现在评论一下我们取θreinit=0的特殊情况。在这种情况下，ModelIII成为“纯订单驱动模型”，因为价格波动完全由LOB动态生成。我们的模拟显示，在这种设置下，最大可持续波动率水平（当θ=1时），我们称之为最大机械波动率，远低于经验波动率（5个基点，相比之下，法国电信股票的波动率为14个基点）。这表明，单凭内生LOB动态可能不足以重现市场波动性。仔细观察这些结果可以发现，该模型实际上非常接近价格变化的平均频率，而机械效用的较小值主要是由于在这个纯订单驱动的模型中，价格具有强烈的均值回复行为。这是因为在pref发生变化后，经常会出现反向的买卖不平衡。

在图10中，我们可以看到，当θ=1，θreinit=0时，平均回归比η等于0.08，这比经验比0.39小得多。请注意，在这里，我们计算的是优先股的平均回归率，而通常考虑的是交易价格。3.2应用示例：订单安排分析我们现在展示如何在最佳交易环境下使用队列反应模型。在最优执行的一般框架中，交易期限被分割成小块（通常为5-10分钟），执行算法决定了每块中要执行的交易量。这个问题通常被称为“订单调度问题”，在文献中得到了广泛的研究，见Bertsimas、Lo和Hummel（1999）；Almgren和Chriss（2000年）；Bouchard、Dang和Lehalle（2011）提供了关于该主题的代表性示例。在实践中，一旦订单调度问题得到解决，另一个优化问题“订单安排问题”就会自然而然地出现：算法应该如何安排订单以执行目标卷？第二个优化问题可视为第一个优化问题的微观结构版本。然而，解决这个问题要困难得多。事实上，在这些（超）高频尺度下，价格动态不再可以用布朗运动来近似。此外，排队优先级以及资产的其他微观结构特征（如股票大小、LOB状态和交易速度）也起着重要作用。这尤其意味着基于限制或市场指令的执行策略可能会导致非常不同的结果。一些论文研究使用不同类型订单的后果，见Harris和Hasbrouck（1996年），而另一些论文旨在找到下达限额订单的最佳位置，见Laruelle、Lehalle和Pag`es（2013年）。

然而，在实践中，下单策略通常比学术文献中考虑的更复杂。例如，交易者可以通过进一步分割每个板块内的目标交易量来隐藏他们的交易意图。此外，他们可能会主动发出限价指令，然后在满足某些市场条件变化或停止时间标准时切换到市场指令。很少有定量工具可用于复杂策略的分析，人们通常需要依赖所谓的市场重演，其中模拟的数量受到历史数据中可用交易日数量的限制。此外，市场影响，也就是在执行开始和之后的时间之间，由于我们自己的交易而产生的平均价格漂移，往往被忽视。相比之下，我们的框架在模拟数量上是无限的，并且既相关又易于使用，以便研究复杂布局策略的市场影响利润和执行成本。我们用Ntotals表示要执行的总量，用M表示切片数。orderscheduling策略给出每个切片中要执行的目标数量，用ni（ni）表示≥ 0和PMI=1ni=ntotal）。下单策略可以被视为订单管理的一个预先确定的程序，确保在切片内执行目标数量。在这里，作为示例，我们给出了两种简单的策略，用T1和T2表示。在第i个切片中，两种策略都会在周期开始时在最有效的队列中发布一个大小为NIA的限制订单，并发送一个包含所有剩余数量的市场订单，以便在切片结束时完成目标量的执行。

介于两者之间：oT1（开火并忘记）：当PMIDC发生变化时，取消限价订单，并在对方发送一份包含所有剩余量（如有）的市场订单。oT2（与最优惠价格挂钩）：当最优惠价格发生变化或我们的订单是最优惠限制下的唯一保留订单时，取消订单并将所有剩余数量重新发布到最新公布的最优惠队列中。由于下单策略通常是针对给定的订单调度策略而专门设计的，因此两种策略之间的比较应考虑相关的调度策略以及目标基准。当比较两种策略时，其他参数也会产生影响，例如执行ntotal的总量和切片数M。为了简化我们的分析，我们模拟了ntotal=60 AES的购买订单，M=20，每个切片的持续时间固定为10分钟（总交易周期为3h20）。我们关注两个基准：VWAP基于总周期（交易量加权平均交易价格）和到达价格S（执行算法开始时的中间价格）。