离散时间动态极限增长指数

命题4中的术语“超鞅/次鞅时间一致性”。下文第3段。如果我们只考虑∈在Ltin（4.1）和（4.2）中，我们基本上得到了[5]中介绍的动态可接受性指数的时间一致性定义，这表明我们的定义略强。此外，对于∈\'Ltand{ft}t∈t作为一种动态风险度量，子部分时间一致性（4.2）的定义等同于[1]中引入的弱时间一致性概念。因此，我们对次可分时间的定义虽然U定义在R上，但我们要求U仅在R上是双Lipschitz，其一致性强于[1]中研究的弱时间一致性（对于随机变量）的定义。另一方面，次鞅时间一致性并不意味着也不意味着强时间一致性。例如，动态平均风险值的负值是次鞅时间一致的，但不是强时间一致的[12]。相反，货币熵效用是强时间一致的，但对于γ>0，它不是次鞅时间一致的，见命题5。3.类似的推理适用于超鞅时间一致性。下面的命题表明，我们对s上鞅/下鞅相容性的定义可以用上鞅/下鞅性质来描述。提案4.3。让{ft}t∈Tbe族→\'Lt.Then1）{ft}t∈K中的超马氏时间一致当且仅当{ft}t∈这是一个超级艺术家K，即英尺（X）≥ E[fs（X）| Ft]表示所有X∈ K和s，t∈ 这样就可以了≥ 0.2）{ft}t∈K中的次鞅时间一致当且仅当{ft}t∈这是一个亚马尔丁莱因K，即。

英尺（X）≤ E[fs（X）| Ft]表示所有X∈ K和s，t∈ 这样就可以了≥ 0.我们以对时间一致性定义的直观解释结束本节。随着时间的推移，有关价值过程的信息在某种意义上会增加 财政司司长≤ s、 因此，如果指数是次可分时间一致的，那么人们可以预期附加信息将对指数的（有条件的）平均值产生积极影响，因为指数的未来值在当前可用信息上的投影不小于指数的当前值。命题4中的属性2）证实了这一点。3.另一方面，超启动时间一致性意味着附加信息的影响平均为负。请参阅示例（5.2）、（A.31）和（A.30）以了解更多信息。5动态风险敏感标准我们在本节研究的风险敏感标准的动态模拟[6]是DLGI最显著的例子之一。定义5.1。动态风险敏感标准是一个{~nγt}t族∈γt:V的Tof映射→\'Lt，由γ索引∈ R、 定义为γt（V）=（lim infT→∞Tγlne[VγT | Ft]如果γ6=0，lim infT→∞如果γ=0，则TE[ln VT | Ft]。（5.1）备注5.2。众所周知（参考文献[13]和其中的参考文献），对于一些马尔可夫过程V，γt（V）的值是恒定的（尤其与t无关）。当然，在这种情况下，下面进行的分析是琐碎的。例如，让V∈ V应为V>0且Vt=Vexp（Pti=1Xi），其中{Xt}t∈经过调整，XT独立于Ft-1和xt~ N（0，1）。在这种情况下，γt（V）≡γ. 然而，过程V的类别相当丰富，其中γt（V）是一个非常数过程；参见例如（5.2）和（A.31）。我们认为，如果γ<0，则动态风险敏感标准为风险规避，如果γ=0，则为风险中性，如果γ>0，则为风险寻求。

请注意，当t=0时，我们得到了（静态）风险敏感标准的标准定义[6]；特别是，当γ=0时，风险敏感标准称为凯利标准。为了继续，我们首先需要回顾一些关于动态货币熵的事实。提议5.3。设{μγt}t∈一个具有γ的动态货币熵效用∈ R.Then1）{uγt}t∈这是一个动态确定性等价物；2） {uγt}t∈在L中具有很强的时间一致性；3） {uγt}t∈t随γ的增加而增加；4） 如果γ≥ 0，然后{uγt}t∈这是在L中一致的超起始时间；5） 如果γ≤ 0，{uγt}t∈关于1）的证明，参见例[16]；[16]中的证明是针对L的情况给出的∞, 但可以适用于L的情况。为了证明2），我们首先需要回顾，DynamicCentropic风险度量在L中是上半连续的（参见[3,10]），然后参考[4]。为了证明3），我们需要回顾动态熵风险度量的稳健表示在LFramew[10]中是成立的，然后参考[16]。房地产4）和5）直接来自房地产3），结合房地产的动态规划重新表述2）；参见[1]和[12，命题6]，其中对L的情况进行了证明∞, 但可以适用于L的情况。我们现在准备展示本节的主要结果。可以论证的是，理论中所述的属性。4个是最有趣的。定理5。4.让我来∈ R和let{~nγt}t∈Tbe是一个动态的风险敏感标准。

Then1）{~nγt}t∈由{uγt}t生成的Tis-DLGI∈T2） {~nγt}t∈提斯戴；3） 如果γ>0，那么γt（V）+是一种追求风险的DLGI。4） {~nγt}t∈Tis随γ-ineV的增加而增加；5） 如果γ>0，则{~nγt}t∈这是时间一致的超马尔可夫ineV；6） 如果γ<0，则{~nγt}t∈这是次鞅时间一致的ineV。接下来我们将展示定理5中的属性3）、5）和6）。4实际上是一大类过滤概率空间的必要和充分条件。提议5.5。如果(Ohm, F、 F，P）包含一个子空间同构于（[0,1]，B（[0,1]），{H}t∈T、 λ），其中λ是Borel测度，他的平凡，H=B（[0,1]），H=H=。，然后是定理5中的性质3）、5）和6）。4成为当且仅当条件，即3\'）如果γ≤ 0，那么γt（V）+不是一个追求自由的人；5’）如果γ≤ 0，然后{~nγt}t∈这并不是时间一致的超马尔科夫；6’）如果γ≥ 0，然后{~nγt}t∈这不是次鞅时间一致的ineV。备注5.6。特别是命题5。5适用于标准过滤概率空间。在本节结束时，我们将展示一个与属性4、5和6相关的示例。例5.7。设（[0,1]，B（[0,1]），{Ft}t∈N、 P）是一个过滤的概率空间，其中P是标准的勒贝格测度，f是平凡的，Ft=σ（Kt，…，Kt），其中Kit:=[2（i-1） t+1,2it+1]。设X（ω）=ω表示ω∈ [0,1]，并让{bVT}T∈Nbe定义为BVT（ω）=eT E[X | FT]（ω）。（5.2）我们将推导出动态风险敏感准则γt的显式公式。我们从γ=-1.

固定时间∈ N、 我们得到了-1t（bV）=lim infT→∞-1Tln E[E]-T E[X | FT]| FT]=lim infT→∞(-1） lne[（E）-E[X | FT]）T |FT]1/T.ω的下一个∈ 基特∈ T、 注意到-E[X | FT]）T | FT]1/T（ω）实际上是一个幂平均值，我们得到了→∞E[（E-E[X | FT]）T |FT]1/T（ω）≤ 林监督→∞[ess supω∈工具包（e）-E[X | FT]（ω））]≤ ess upω∈风筝-X（ω）=e-2（i）-1） t+1。（5.3）另一方面，使用Jensen不等式，对于任何T∈ T、 这样我们就得到了支持→∞E[（E-E[X | FT]）T |FT]1/T（ω）=lim supT→∞E[E[E]-te[X|FT]|FT]|FT]1/T（ω）≥ lim s upT→∞E[E]-T E[E[X | FT]| FT]1/T（ω）=lim s upT→∞E[（E-E[X | FT]）T |FT]1/T（ω）=ess supω∈风筝-E[X | FT]=E-（2（i）-1） t+1+t+1）。（5.4）让T→ ∞, 结合（5.3）和（5.4），我们得出ω∈ Kit，~n-1t（bV）（ω）=(-1） 在e-2（i）-1） t+1=2（i）- 1） t+1。i、 e.同构于（[0,1]N，B（[0,1]N），{F′t}t的空间∈N、 λN），其中B是Borelσ代数，λNis是Borel测度和{F′t}t的乘积∈Nis由协调函数产生的过滤（参见[16]）。使用类似的计算，很容易证明，对于γ∈ R和ω∈ 基特，我们有γt（bV）（ω）=2（i）-1） t+1γ<0,2（i）-1） +2it+2γ=0,2it+1γ>0。现在，从上面的公式可以清楚地看出，γt（bV）随γ的增加而增加，因此属性4）是完整的。此外，就过滤{Ft}t而言，我们可以很容易地检查过程t（bV）是否是一个次鞅（分别为超鞅）∈N、 当γ<0时（分别为γ>0）。值得注意的是，γt（bV）的值分为三种状态：风险寻求（γ>0）、风险中性（γ=0）和风险规避（γ<0）。命题2的附录证明。1.

让我们看看英国《金融时报》：L→“‘LTI’应该是本地的、单调的。1） 单音紧随其后。2） 至于地点，我们有IABFT（IAX）=IALMN→∞英尺（IAX）∨ (-n）= 艾琳→∞英尺IA（X）∨ (-n） )= 画→∞伊夫特IA（X）∨ (-n） )= 画→∞伊夫特十、∨ (-n）= 艾琳→∞英尺十、∨ (-n）= IAbft（X），其中我们适当地使用约定0·∞ = 0.3）假设ftis是现金添加剂，让X∈bL(Ohm, F、 P）。首先，我们将证明BFTM的现金可加性∈ 我们知道bft（X+m）=limn→∞英尺（X+m）∨ (-n）= 画→∞英尺十、∨ (-N- m） +m= 画→∞英尺十、∨ (-N- m）+ M因此，只要证明bft（X）=limn就足够了→∞英尺十、∨ (-N- m）. （A.1）对于任何k∈ N、 我们有{-k<m<k}hX∨ (-N- k） 我≤ 我{-k<m<k}hX∨ (-N- m） 我≤ 我{-k<m<k}hX∨ (-n+k）i.由于L∞ft的t-局部性，我们知道了{-k<m<k}bft（X）=I{-k<m<k}limn→∞英尺十、∨ (-N- m）.自从我∈ 中尉，我们有那个P[{-k<m<k}]→ 1作为k→ ∞ 这证明了等式（A.1）。现在，让我∈bL(Ohm, F、 P）。使用上述结果，由于^ftand offact的局部性，I{m>-∞}M∈ 我们推断-∞}bft（X+m）=I{m>-∞}（bft（X）+m）。另一方面{m=-∞}bft（X+m）=I{m=-∞}画→∞英尺((-∞) ∨ (-n） ）=I{m=-∞}画→∞（英尺（0）- n） =I{m=-∞}(-∞) = 我=-∞}（bft（X）+m）。结合以上两个等式，^fta的现金可加性立即出现。4） 如果X∈ L∞, 然后就有了n∈ N这样X∨ (-n） =X，这是证明的结论。现在让X∈ 土地让我们假设FTA拥有法头地产。放置Xn:=X∨ (-n） 为了n∈ N.序列{X}N∈Nis L——由X主导，而且是Xna。s--→ 因此，我们有bft（X）=limn→∞英尺（Xn）≤ 林尚→∞英尺（Xn）≤ 英尺（X）≤ 画→∞ft（Xn）=bft（X），其中最后一个不等式是任意n∈ N我们有X≤ Xn，表示英尺（X）≤ 英尺（Xn）。命题3.2的证明。让{~nt}t∈由{ut}t生成的DLGI∈T、 因此{uT}T∈这是地方性的，单调的。(<=) 让{ut}t∈Tsatisfy（3.2），我们将展示{~nt}t∈这是傣族。单调性很简单。

让V，V′∈ 五、 以至于≥ V′。我们将展示出φt（V）≥ 任何t的φt（V′）∈ T.想想T，T∈ T、 以至于≥ t、 自从≥ V\'T，我们有≥ ln V′T，因此uT（ln VT）T≥ut（ln V′t）t，对于任何t≥ t、 因此，lim infT→∞ut（ln VT）t≥ lim infT→∞ut（ln V′t）t.接下来我们证明局域性。让我们来看看∈ T和A∈ 英国时报≥ t、 使用约定0的局部性∞ = 0，我们推导出aаt（1A·tV）=1Alim infT→∞ut（ln 1AVT）t=lim infT→∞Aut（ln 1AVT）t=lim infT→∞Aut（1Aln 1AVT）t=lim infT→∞Aut（1Aln VT+1Aln 1A）t=lim infT→∞Aut（1Aln VT）t=lim infT→∞Aut（ln VT）t=1Aut（V）。最后，我们来证明拟康涅狄格性。让我们∈ T、 V，V′∈ V和λ∈ Lt，0≤ λ ≤ 1.在不丧失一般性的情况下，由于ut的局部性，我们认为0<λ<1。自对数ismonotone和V，V′以来≥ 0，我们有φt（λ·tV+（1）- λ） ·电视‘）=lim英寸→∞ut（ln[λVT+（1- λ） V′T]）T≥ lim infT→∞hminnut（lnλVT）t，ut（ln（1- λ） V′T）Toi=minlim infT→∞ut（ln VT）+lnλt，lim infT→∞ut（ln V′t）+ln（1）- λ） T= ~nt（V）∧ νt（V′），这就完成了证明的这一部分。(=>) 假设{~nt}t∈这是傣族。让我们∈ 电视∈ 五、 对于s6=t，定义V′s=vss，V′t=min（1，Vt）。注意V′∈ 五、 和V≥ V′。通过φt的单调性，我们得到→∞ut（lnvt）t≥ lim infT→∞ut（lnV′TV′t）t，由于ut的Lt局部性，我们继续{Vt≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≥ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（1{Vt≥1} lnV′TV′t）t。下一步，因为在{Vt）上V′t=1≥ 1} 我们有{Vt≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≥ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（1{Vt≥1} 在V′T）T中，由于VT=V′T对于T>T，我们最终得出{VT≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≥ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（ln VT）t.注意1{VT≥1} LNvt≤ 1{Vt≥1} 对于T>T，通过uT的单调性，我们得到{Vt≥1} lim infT→∞ut（lnvt）t≤ 1{Vt≥1} lim infT→∞ut（ln VT）t.结合上述不等式，我们得出等式（3.2）在集合{VT）上成立≥ 1}.集合{Vt<1}的证明是相似的。命题3.6的证明。设{ρt}t∈t是一种动态风险度量。

函数的单调性和局部性{-ρt}t∈t直接从动态风险度量的定义开始。让我们来解释一下∈ T.首先，我们将证明条件（3.2）满足{-ρt}t∈T.换V∈ 五、 我们已经通知了→∞-ρt（lnvt）t=lim infT→∞-ρt（ln VT）- ln VtT=lim infT→∞-ρt（ln-VT）t.上述等式在集{VT>0}上是直接的，sinceln-VT→ 0，T→ ∞. 在集合{Vt=0}上，我们得到了I{Vt=0}Vt=0，并且通过-ρt，我们得到两边相等(-∞).其次，单调性和局部性{- eρt}t∈这很简单。现在我们将证明（3.2）对{eρt}t也成立∈让我们∈ V.在Ft可测集{Vt=0}上，（3.2）的两边都等于0。由于这一点，以及eρt的局部性，我们可以假设P[Vt>0]=1。然后，很容易注意到LIM infT→∞-ρt（[lnvt]+）t=lim infT→∞-ρt（I{VT>VT}lnvt）t=lim infT→∞-ρt（I{VT>VT}ln VT- 此外，人们可以很容易地推导出下列不等式- 2 | ln Vt |≤ I{VT>VT}ln VT- I{VT>VT}ln VT≤ I{VT>1}ln VT+|ln VT |。从上面，以及动态风险度量的单调性，我们得到→∞-ρt（[ln VT]+- 2 | ln Vt | T≤ lim infT→∞-ρt（[lnvt]+）t≤ lim infT→∞-ρt（[ln VT]++2 | ln VT |）t-ρ是现金添加剂，连续输入→∞-ρt（[ln VT]+±2 | ln VT |）t=lim infT→∞-ρt（[ln VT]+）±2 | ln VT | t=lim infT→∞-ρt（[ln VT]+）t，这是证明的结论。命题3.7的证明。让{ut}t∈t如（2.2）所定义的动态确定性等价物，U是一个连续的递增函数。显然这是可以测量的。单调性很简单。让我们来看看∈ T.让X，Y∈bL，X≥ Y因为ui增加了变换，我们得到了U（X）≥ U（Y）和E[U（X）| Ft]≥ E[U（Y）| Ft]。现在，你-1也是一个递增函数，所以U-1（东[U（X）|英尺]）≥ U-1（东[U（Y）|英尺]）。接下来，我们证明局部性。在任何确定函数中，注意-1.是本地的。

因此，对于任何t∈ T和A∈ Ft，我们有ut（X）=IAU-1（E[U（X）| Ft]）=IAU-1（IAE[U（X）| Ft]）=IAU-1（E[1AU（X）| Ft]）=IAU-1（E[U（1AX）| Ft]）=IAut（1AX），这证明了ut的局部性。最后，我们将证明命题3的第二部分。7.让你成为LU的双唇函数∈ R和LU-1.∈ R是相应的Lipschitz常数。考虑者∈ T和V∈ V.在Ft可测集{Vt=0}上，I{Vt=0}Vt=0，因此（3.2）的两边等于-∞.从现在起，我们（合理地）假设P[Vt>0]>0，这是由于ut的局部性，允许我们假设P[Vt>0]=1。首先，我们证明了对于固定T∈ T、 我们得到{U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=-∞} = {U-1（E[U（lnvt）| Ft]）=-∞}. （A.2）当U严格增加时，我们知道（A.2）相当于{E[U（ln VT）| Ft]=U(-∞)} = {E[U（lnvt）|Ft]=U(-∞)}. （A.3）接下来我们考虑两种情况：A）U(-∞) > -∞ b）U(-∞) = -∞.情况a）很明显，集合{E[1{VT=0}|Ft]=1}是（a.3）中两个集合的子集。因此，有必要证明ph{E[U（ln VT）|Ft]=U(-∞)} ∩ {E[1{VT>0}|Ft]>0}i=0（A.4）和ph{E[U（lnvt）|Ft]=U(-∞)} ∩ {E[1{VT>0}|Ft]>0}i=0。让我们来证明。LetB:={E[U（ln VT）|Ft]=U(-∞)} ∩ {E[1{VT>0}|Ft]>0}。注意B∈ Ft.相反，让我们假设P[B]>0。然后p[{VT>0}∩ B] =E[1BE[1{VT>0}|Ft]>0。因为{VT>0}∩ B=Sn∈N{VT>N}∩ B、 我们知道有n∈ N、 这样的p[{VT>N}∩ B] >0。利用它我们得到[1BE[U（ln-VT）|Ft]=E[1BE[1{VT>n}U（ln-VT）+1{VT≤n} U（ln VT）| Ft]]≥ E[1BE[1{VT>n}U（lnn）+1{VT≤n} U(-∞)|Ft]]=E[1B∩{VT>n}U（lnn）+1B∩{VT≤n} U(-∞)]> E[1BU(-∞)]. （A.6）不平等（A.6）与B的定义一起导致与P（B）>0的假设相矛盾，这验证了（A.4）的正确性。（A.5）的证明是类似的，sinceP（Vt>0）=1。案例b）足以证明{E[U（ln VT）|Ft]=-∞} = {E[U（lnvt）|Ft]=-∞}.

（A.7）现在，因为U是Lipschitz，Vt>0，那么，在集合{Vt>0}上，我们得到U（ln-Vt）- 卢| ln Vt |≤ U（LNVT）≤ U（ln VT）+LU | ln VT |。（A.8）此外，上述不等式在集合{VT=0}上显然成立，因为在这个集合上我们有U（ln VT）=U（lnvt）=U(-∞) = -∞. 因此，E[U（ln VT）|Ft]- 卢| ln Vt |≤ E[U（LNvt）|英尺]≤ E[U（ln VT）| Ft]+LU | ln VT |。（A.9）类似地，我们得到[U（lnvt）| Ft]- 卢| ln Vt |≤ E[U（ln VT）|英尺]≤ E[U（lnvt）| Ft]+LU | lnvt |。（A.10）结合（A.9）和（A.10），我们获得了平等（A.7）。所以，（A.2）已经被证明了。接下来，注意到VT<∞, 应用类似于（A.2）证明的推理，我们可以证明{U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=+∞} = {U-1（E[U（lnvt）| Ft]）=+∞}. （A.11）现在，莱克-T:={U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=-∞}, K+T:={U-1（E[U（ln VT）| Ft]）=∞}, T∈ T.结合（A.2）和（A.11），我们在Ft-可测量集K上获得uT（ln-VT）=uT（ln-VT）-T∪K+T.在片场（K-T∪ K+T）cwe get|uT（ln VT）|<∞ 和|ut（LnVT）|<∞. 此外，由于U是严格增加的，我们也得到了| E[U（ln VT）| Ft]|<∞ 和| E[U（lnvt）| Ft]|∞ . 因此，用f表示U是双李普希茨，然后，在集合（K）上-T∪ K+T）c，我们得到| U-1（东[U（lnvt）|英尺]）- U-1（E[U（ln VT）| Ft]）|≤ 鲁-1 | E[U（lnvt）| Ft]- E[U（ln VT）|英尺]|≤ 鲁-1LU | ln Vt |。（A.12）我们现在终于准备好证明主要陈述。莱克-:= {ω ∈ Ohm :XT∈TK-T（ω）<∞}, K+：={ω∈ Ohm :XT∈T（K+T）c（ω）=∞}.使用（A.12），在场景K中-∩ K+我们得到了信息→∞|ut（LnVT）- ut（ln VT）|t≤ lim infT→∞露露-1 | ln Vt | T=0。这证明了这个集合的等式（3.2）。利用（A.2）我们得到（K）上的等式（3.2）-)C同样地，使用（A.11）我们得到（K+c）上的（3.2）。这就完成了证明。命题的证明。3.我们将只证明上鞅部分（下鞅的证明类似）。(=>) 设ms=fs（V）。因为fs（V）≥ fs（V），使用（4.1），我们得到ft（V）≥ E[fs（V）| Ft]。(<=) 设msbe使fs（V）≥ 太太