离散时间动态极限增长指数

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英文标题：
《Dynamic Limit Growth Indices in Discrete Time》
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作者：
Tomasz R. Bielecki, Igor Cialenco, Marcin Pitera
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We propose a new class of mappings, called Dynamic Limit Growth Indices, that are designed to measure the long-run performance of a financial portfolio in discrete time setup. We study various important properties for this new class of measures, and in particular, we provide necessary and sufficient condition for a Dynamic Limit Growth Index to be a dynamic assessment index. We also establish their connection with classical dynamic acceptability indices, and we show how to construct examples of Dynamic Limit Growth Indices using dynamic risk measures and dynamic certainty equivalents. Finally, we propose a new definition of time consistency, suitable for these indices, and we study time consistency for the most notable representative of this class -- the dynamic analog of risk sensitive criterion.
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中文摘要：
我们提出了一类新的映射，称为动态极限增长指数（Dynamic Limit Growth Index），旨在衡量离散时间环境下金融投资组合的长期绩效。我们研究了这类新测度的各种重要性质，特别是，我们给出了动态极限增长指数成为动态评估指数的充要条件。我们还建立了它们与经典动态可接受性指数的联系，并展示了如何使用动态风险度量和动态确定性等价物构建动态极限增长指数的示例。最后，我们提出了一个适用于这些指标的时间一致性的新定义，并研究了这类指标中最显著的代表——风险敏感准则的动态模拟——的时间一致性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Dynamic_Limit_Growth_Indices_in_Discrete_Time.pdf (302.58 KB)

2022-5-5 06:19:29 上传

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关键词：离散时间 Applications Quantitative Differential Probability

离散时间的动态极限增长指数。Bieleckibielecki@iit.eduIgor Cialencoigor@math.iit.eduMarcin皮特拉马辛。pitera@im.uj.edu.plDepartment伊利诺伊理工大学应用数学研究所，芝加哥，60616伊利诺伊州，美国数学研究所，波兰克拉科夫贾吉隆尼亚大学首次发布日期：2013年12月3日本版本：2014年7月15日摘要我们提出了一类新的映射，称为动态极限增长指数，旨在测量离散时间设置中金融投资组合的长期绩效。我们研究了这类新测度的各种重要性质，特别是为动态极限增长指标成为动态评估指标提供了必要和充分的条件。我们还建立了它们与经典动态可接受性指数的联系，并介绍了如何使用动态风险度量和动态确定性等价物构建动态增长指数的示例。最后，我们提出了一个新的时间一致性定义，适用于这些指标，并研究了这类指标中最显著的代表——风险敏感标准的动态模拟——的时间一致性。关键词：动态极限增长指数、动态评估指数、动态适应性指数、绩效衡量、风险敏感控制、风险敏感标准、凯利准则、熵风险衡量、动态时间一致性。MSC2010:91B30、62P05、97M30、91B06。1简介在本文中，我们研究了一些旨在衡量金融投资组合长期绩效的映射。

金融从业者普遍认识到衡量投资组合长期增长的重要性，并在文献中进行了广泛讨论（例如参见[2,15]和其中的参考文献）。在这里，我们将重点关注量化投资组合增长与相关风险之间权衡的措施，并及时进行适当的标准化。在几种可能的测量方法中，最受关注的是所谓的风险敏感性标准[17,6,7]。在f act中，本文的出发点是调查风险敏感性标准是否属于所谓的动态可接受性指数[11,5]家族，该指数已知为夏普比率、损益比率、，事实证明，风险敏感性标准确实是一个动态的可接受性指数。但是，这项研究也让我们引入了一类新的映射，用来衡量投资组合长期累积增长的效率，我们称之为动态极限增长指数。因为，在本文中，我们根据离散量子来测量时间，所以我们这里只考虑离散时间中的动态极限增长。在之前研究动态可接受性指数[11,5]的一些工作中，采用了所谓的标准化假设。在这里，我们去掉了标准化假设，从而为更丰富的动态性能度量打开了一扇大门，比如我们的动态极限增长指数。在本文中，我们研究了这个新类的各种重要性质。特别是，我们提供了动态极限增长指数到bea动态评估指数（cf。

[4] ），我们研究了它们与经典动态可接受性指数的关系，我们展示了如何使用动态风险度量和动态确定性等价物构建动态极限增长指标的样本[9]，我们提出并研究了时间一致性的定义。本文的组织结构如下。在第2节中，我们提供了一组贯穿全文的基本概念。在第三节中，我们介绍了动态极限增长指数（DLGI）的概念，这是本文的主要研究对象。此外，我们还提出了DLGI作为一个动态系统的必要和充分条件。接下来，我们展示了动态极限增长指数和动态可接受指数之间的联系。在本节的结尾，我们提供了几类DLGI函数。第四部分研究了DLGI的时间一致性。我们提出了时间一致性的新定义，并将其与现有文献联系起来。最后，在第三节中，我们详细研究了动态风险敏感准则。我们证明了动态风险敏感准则是一个动态评估指标，并研究了它与风险敏感参数的时间一致性。所有的证据都交给了检察官。2.预备课程(Ohm, F、 F={Ft}t∈T、 P）是一个过滤概率空间，T=N∪{0}和F={Ohm, }.对于G 我们用L表示(Ohm, G、 P），bL(Ohm, G、 P）和(Ohm, G、 P）所有G-可测随机变量的集合，其值为(- ∞ , ∞), [-∞, ∞) 及[-∞, ∞], 分别地此外，我们将使用符号Lp:=Lp(Ohm, F、 P），Lp（G）：=Lp(Ohm, G、 P）和Lpt:=Lp(Ohm, Ft，P）代表P∈ {0, 1, ∞}. 类似的定义将适用于tobLand’L。自始至终，我们将使用∞ - ∞ = -∞ 和0·±∞ = 特别是，我们将此约定用于Ft条件期望，即。

为了X∈\'L，E[X|Ft]：=E[X+|Ft]- E[X-|Ft]，其中X+=（X∨ 0）和X-= (-十、∨ 0），其中E[X | Ft]=limn→∞E[X∧ n | Ft]，代表X≥ 0.在本文中，X表示随机变量的空间，即L，或适应过程的空间，即。（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报. 对于这两种情况，我们将考虑标准的逐点顺序，几乎可以肯定地理解。在下面的内容中，我们还将使用表示为·的乘法运算符，定义为：m·tV:=（V，…，Vt）-1，mVt，mVt+1，…），m·tX:=mX（2.1）表示V∈（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报, 十、∈ 土地m∈ Lt.为了简化符号，如果没有出现融合，我们将从上面的产品中删除·t，我们将分别编写mV和MX，而不是m·tV和m·tX。我们注意到，由于乘法·t的定义，X不是L-模[14]。然而，在下文中，我们将采用L-模理论中的一些概念，这自然会融入我们的研究中。具体来说，让K X是一个L∞t-凸锥，即（m·tX+m·tY）∈ K、 对于X，Y∈ K和非负m，m∈ L∞t、 地图f:K→\'Lis:oL∞t-local if IAf（X）=IAf（IA·tX）；oL∞t-拟凹如果f（λ·tX+（1）- λ） ·泰）≥ f（X）∧ f（Y）；oL∞如果f（β·tX）=f（X）；ot-尺度不变量如果X是单调的≤ Y=> f（X）≤ f（Y），对于任何X，Y∈ K、 A∈ Ft，λ，β∈ L∞坦德0≤ λ ≤ 1, β > 0.在下文中，我们将使用byV分别定义的集合V和集合V：=（Vt）t∈T | Vt≥ 0，Vt∈ Lt，和Vt=Vt∧τV，t∈ T,安第夫：=五、∈ V | Vt>0，ln Vt∈ 中尉，t∈ T,式中τV:=inf{t∈ T | Vt=0}。请注意，对于任何t∈ T、 V是一个L∞t-凸锥（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报. V的要素可以被视为金融证券投资组合的（累积）价值过程。

在本文中，我们主要对具有可积增长（累积对数回报）的投资组合感兴趣，这就是我们引入s eteV的原因。对于K等于Lor等于V，我们可以说一个{ft}t族∈Tof映射ft:K→“LTI是局部的、单调的等，如果每个t∈ T映射ftis L∞t-局部，单调，等等。此外，如果K=l，我们回忆起一个{ft}t族∈飞行时间地图→？Lis被称为：o现金添加剂，如果用于任何t∈ T函数ftis Lt cash addition，即对于任何X，ft（X+m）=ft（X）+m∈ 土地m∈ Lt；o对于任何t，如果ft（0）=0，则标准化∈ T、 oLif-fs（X）中的强时间一致性≥ 财政司司长（Y）=> 英尺（X）≥ ft（Y），代表s，t∈ T、 s≥ t、 X，Y∈ L.o动态风险度量，如果{-ft}t∈这是单调的、规范化的、现金加法的和局部的如果存在U:\'R，则动态确定性等效→R，在R上连续增加，这样对于任何X∈ 陆地t∈ T:ft（X）=U-1（E[U（X）| Ft]）；（2.2）o动态货币熵效用（如果存在γ）∈ R、 使f或所有t∈ T、 安德斯∈ 五十、 ft（X）=（γlne[exp（γX）| ft]如果γ6=0E[X | ft]如果γ=0（2.3），在下面的内容中，我们将用参数γ表示动态货币熵效用∈T、 o随机变量{ft}t的动态评价指标∈它是局部的、单调的、拟凹的。另一方面，如果K=V，则族{ft}t∈飞行时间地图ft:V→\'Lis被称为：ot的ft（X+m·tI{k=t}）=ft（X+m·tI{s=t}）的平移不变∈ T、 m∈ 中尉，X∈ V和k，s≥ t、 这样（X+m·tI{k=t}）∈ V和（X+m·tI{s=t}）∈ V；o如果ft（X）=t的ft（X′）与过去无关∈ T和所有X，X′∈ V使得任何s的X=X′s≥ t、 o如果{ft}t，过程的动态评估指数（DAI）∈它是局部的、单调的、拟凹的。让我们看看英国《金融时报》：L→\'Lt，并定义映射bft:bL→\'Ltasbft（X）：=lim in fn→∞英尺十、∨ (-n）, N∈ N.（2.4）显然，对于单调ft，可以用（2.4）中的lim替换lim inf。

下一个命题表明，函数B是ft的大部分属性，尽管一般来说，函数B不是ft的扩展，除非它满足Fatou属性（见备注2.2）。i、 e.R严格递增且连续，U（±∞) = 画→±∞U（n）。注意，（2.3）是动态熵风险度量的负数，与[8]中介绍的“动态货币熵效用函数”类似，我们使用“动态货币熵效用”这个名称。关于风险和绩效衡量的现有文献中有几个版本的法头地产，我们使用了[3]中的版本。我们说{Xn}n∈如果存在Y，则为L-支配序列∈ 对所有人来说都是如此∈ N我们有| Xn |≤ |Y |。对于任意L-支配序列，如{Xn}n，函数f都具有Fatou性质∈在Xna。s--→ 十、 我们有f（X）≥ 林尚→∞英尺（Xn）。提议2.1。让我们看看英国《金融时报》：L→“它应该是局部的、单调的。然后1）b是mon oton e，即如果X≥ Y，然后bft（X）≥X，Y的bft（Y）∈bL；2） bftis Lt local，即IAbft（X）=A的IAbft（IAX）∈ 英尺，X∈bL；3） 如果ftis Lt现金添加剂和ft（0）6=∞, 然后bft（X+m）=bft（X）+m，对于X∈bL，m∈bLt；4） ft（X）=X的bft（X）∈ L∞. 此外，如果fta具有Fatou属性，那么ft（X）=bft（X）代表X∈ L.备注2.2。一般来说，bftm可能不是ft的扩展。对于t=0，考虑示例f（X）=ess sup（X）+ess inf（X）就足够了。该函数是单调的L-局部函数。福尔克斯~ N（0，1）我们有f（X）=∞ - ∞ = -∞ andbf（X）=lim infn→∞(∞ - n） =∞.备注2.3。在下面的内容中，函数ft:bL→对于相应的ft:L，LTT将被理解为BFTF→“Lt，即我们将放弃（2.4）中使用的符号。3动态极限增长指标本文研究的主要对象是动态极限增长指标及其修正，如下所述。定义3.1。

动态极限增长指数（DLGI）是一个{~nt}t族∈Tof映射φt:V→\'\'ltt，以确保φt（V）=lim infT→∞ut（lnvt）t，（3.1）其中ut:bL→\'Lt和{ut}t∈这是地方性的，单调的。我们会说DLGI是在寻找，如果另外{ut}t∈因此，对于t，ut（X）=ut（X+）∈ T和X∈bL.我们经常提到{ut}t∈Tas是定义DLGI的一系列映射。地图在定义3中产生。我有一个自然的财务解释。一段时间内的累积对数收益率（t，t）是衡量过程增长的常用方法。因为这是一个随机变量，所以我们使用效用度量，比如ut，它代表我们的偏好（attime t）。最后，我们将结果除以T，以便及时将其正常化。将liminf作为Tgoes来衡量我们价值过程的长期效率。我们使用LIMINF是因为我们想衡量我们投资组合的实际（最坏情况）效率。它还使这一措施更加稳健（至少对损失是如此）。我们还引入了风险偏好DLGI，因为它是寻求风险的投资者更合适的标准选择。注意，如果映射族{ut}t∈t生成一个DLGI，然后映射族eut（X）：=ut（X+），t∈ T、 产生一个危险的DLGI。Arisk seeking DLGI忽略了损失，因为它将所有损失（负对数收益）替换为0。我们希望使用DLGI来评估价值过程的绩效：DLGI的价值越大，投资组合的绩效越好。这与[4]中提出的动态评估指标理论是一致的。因此，我们感兴趣的是确定DLGIs是DAI的条件。为此，我们提供支持3。2.这为DLGI成为DAI提供了充分和必要的条件。提议3.2。让{~nt}t∈t根据{ut}t定义的DLGI∈T

然后，{~nt}t∈TisDAI当且仅当对于任何t∈ T、 还有任何V∈ 五、 lim infT→∞ut（lnvt）t=lim infT→∞ut（ln VT）t.（3.2）关系式（3.2）表示，时间t时DLGI的值与时间t时过程V的值无关。如上所述，DLGI的目的是测量V的长期增长，直观上不应依赖于当前状态。备注3.3。条件（3.2）的等效公式要求∈ T、 m∈ Ltand{XT}T∈那是什么∈我们已经通知你了吗→∞ut（XT+m）t=lim infT→∞ut（XT）t。特别是，如果存在一系列地图ft:Lt，这将得到满足→ 那么对于所有的X∈bL，|ut（X+m）-ut（X）|≤ 集合{ut（X）6=±∞}, 以及{ut（X）=±上的ut（X）=ut（X）∞}. 例如，如果是现金添加剂，则ft（m）=| m |（另请参见命题3.6）。推论3.4。让{ut}t∈t局部单调，且{~nt}t∈由{ut}t生成的DLGI∈T.然后{~nT}T∈它具有适应性、局部性、尺度不变性和独立于过去的特点。此外，i f{ut}t∈Tsatis fies（3.2），然后{~nt}t∈它是单调的、准凹的和平移变体。备注3.5。因此，根据推论3。4.{ut}t生成的任何DLGI∈Twhich admitsrepresentation（3.2）充分满足了[5]中介绍的动态可接受性指数的所有核心条件（时间一致性和积极性除外），以及[11]中介绍的静态情况。回想一下，动态可接受性指数是绩效的衡量标准，因此，DLGI可以被视为给定价值过程绩效的动态衡量标准。类似的注意事项适用于定义为[~nt（V）]+的DLGIs。值得一提的是，这类地图在[11]的意义上不是标准化的。接下来，我们将展示同样是DAI的DLGIs可以通过动态风险度量或动态确定性等价物轻松生成，如下面两个命题所示。i、 e.~nt（V）=∞, 如果V≥ 如果V<0，则0和φt（V）=0。提议3.6。

对于任何动态风险度量{ρt}t∈T、 家庭{-ρt}t∈这是局部的、单调的（因此生成DLGI）和满足条件（3.2）。此外，如果{eρt}t∈t由eρt（X）=ρt（X+）给出，然后{-eρt}t∈这也是局部、单调和满足条件（3.2）。提案3.7。让{ut}t∈t相当于动态确定性。然后，{ut}t∈这是局部的和单调的（因此产生了一个DLGI）。此外，如果从（2.2）isbi Lipschitz在R上加上U（即U和U-1是利普希茨。），然后{ut}t∈Tsatis fies（3.2）。推论3.8。根据命题3。6和命题3.2，由ut生成的任何DLGI=-ρt，t∈ T、 用{ρT}T∈作为动态风险度量，是一种DAI（用于过程）。4动态风险度量和动态绩效度量理论中的关键属性之一是动态时间一致性属性。对于风险度量，该属性通常与动态规划原则有关（例如，参见审查文件[1]），但如[5]所示，动态可接受性指数的时间一致性是不同的。正如我们在Remark3中提到的。DLGIs家族是尺度不变的，并且与后者密切相关。因此，我们引入了与[5]中引入的概念相关的时间一致性概念。如上所述，X将表示随机变量的空间（Vt）t∈T | Vt∈ 书信电报, 和K 十、我们现在准备提出时间一致性的定义。定义4.1。我们会说一个家庭∈飞行时间地图ft:X→\'Ltis supermartingaletime在K iffs（X）中一致≥ ms==> 英尺（X）≥ E[ms | Ft]，（4.1）适用于所有s，t∈ 这样就可以了≥ 0，X∈ K和ms∈“是的。我们分别说{ft}t∈在K iffs（X）中，次鞅时间一致≤ ms==> 英尺（X）≤ E[ms | Ft]，（4.2）适用于所有s，t∈ 这样就可以了≥ 0，X∈ K和ms∈“是的。备注4.2。