离散时间动态极限增长指数

利用这一点，以及ft（V）是超鞅的事实，我们立即得到ft（V）≥ E[fs（V）| Ft]≥ E[ms | Ft]。证据到此结束。定理5.4的证明。对于固定的γ∈ R、 设{~nγt}t∈这是一个动态的风险敏感标准。1） 这足以证明γt（V）=lim infT→∞γt（lnvt）t，t∈ 电视∈ V.（A.13）注意，在Ft-可测集{Vt=0}上，I{Vt=0}Vt=0，因此（A.13）的两边相等-∞. 因此，由于ut的局部性，考虑情况P[Vt>0]=1就足够了。对于固定V∈ V和t∈ 我们不是有消息吗→∞μγt（lnvt）t=lim infT→∞lne[exp（γlnvt）| Ft]γT=lim infT→∞hTγlne[VγT | Ft]-Tln Vti=γt（V）。对于γ=0，我们立即得到lim infT→∞ut（lnvt）t=lim infT→∞他[ln VT | Ft]T-ln VtTi=lim infT→∞这是推论的直接结果。8和1），自{-γt}t∈这是一个动态的风险度量。3） 这足以证明，对于γ>0，我们有γt（V）+= lim infT→∞μγt（[lnvt]+）t.（A.14）与前一种情况一样，在不丧失一般性的情况下，我们可以假定P[Vt>0]=1。早期的∈ T和V∈ 五、 我们推断Lim infT→∞μγt（[lnvt]+）t=lim infT→∞lne[exp（γ[lnvt]+）|Ft]γT=lim infT→∞Tγln Ehmax（vt，1）γ| Fti=lim infT→∞Tγln Ehmax（VT，VT）γVγT | Fti=lim infT→∞hTγln E[最大（VT，VT）γ|英尺]-Tln Vti=lim infT→∞Tγlne[max（VT，VT）γ| Ft]。（A.15）使用上述内容，以及VT≤ 最大值（VT，VT）和γt（[lnvt]+）≥ 0，为所有V∈ 五、 我们有以下不平等信息→∞Tγlne[VγT | Ft]i+≤ lim infT→∞接下来，我们将证明逆不等式。在不丧失普遍性的情况下，使用局部性，并且函数[·]+是非负的，我们可以假设lim inf→∞μγt（[lnvt]+）t>0。（A.17）设XT:=E[I{VT>VT}VγT|Ft]。

使用（A.16），（A.15），因为E[I{VT≤Vt}Vγt|Ft]≤ Vγt，我们收到通知了→∞Tγln-XT≤hlim infT→∞Tγlne[VγT | Ft]i+≤ lim infT→∞μγt（[lnvt]+）t=lim infT→∞Tγlne[max（VT，VT）γ| Ft]≤ lim infT→∞Tγln（XT+VγT）。（A.18）由于（A.17），以及γ>0的事实，我们有（XT+Vγt）t→∞-→ ∞, 然后是Xtt→∞-→ ∞. 因此，|ln（XT+Vγt）- ln（XT）|→ 0，T→ ∞.利用（A.18）我们得出结论。4） 这是动态货币熵效用负的类似性质的直接结果。见命题5。3.5）让我们≥ T≥ 0∈ 电视∈埃夫和ms∈“是的。这就足以证明eγs（V）≥ ems=> eγt（V）≥ eE[ms | Ft]。（A.19）很容易注意到，即s（V）=elim infT→∞Tγlne[VγT | Fs]=elim infT→∞自然对数E[VγT | Fs]γT= lim infT→∞埃尔恩E[VγT | Fs]γT= lim infT→∞E[VγT | Fs]γT。利用这一点，我们得出结论，（A.19）相当于以下lim infT→∞E[VγT | Fs]γT≥ ems=> lim infT→∞E[VγT | Ft]γT≥ eE[ms | Ft]。（A.20）假设lim infT→∞E[VγT | Fs]γT≥ ems。由于塔的属性，我们已经通知→∞E[VγT | Ft]γT=lim infT→∞EE[VγT | Fs]| Ft因为，0<γT<1，对于足够大的T，我们得到函数f（x）=xγT，x>0，是凹的。因此，通过詹森不等式，我们继续→∞EE[VγT | Fs]| FtγT≥ lim infT→∞EE[VγT | Fs]γT | Ft.因为，E[VγT | Fs]γ对于每个T都是非负的∈ T、 通过Fatou引理，我们得出结论→∞EE[VγT | Fs]γT | Ft≥ Elim infT→∞E[VγT | Fs]γT | Ft.最后，使用lim infT→∞E[VγT | Fs]γT≥ 通过Jensen不等式f（x）=ex，我们得到lim infT→∞E[VγT | Fs]γT | Ft≥ E[ems | Ft]≥ eE[ms | Ft]，这就完成了证明。6） 让我们∈ 电视∈eV和γ<0。我们想证明这一点∈ T、 s>T和ms∈\'Ls，我们有两个s（V）≤ 太太=> γt（V）≤ E[ms | Ft]。（A.21）进行与5）类似的操作，我们推断（A.21）等价于tolim infT→∞E[VγT | Fs]γT≤ ems=> lim infT→∞E[VγT | Ft]γT≤ eE[ms | Ft]。

（A.22）因为对于γ<0且非负x，函数f（x）=xγ是递减的，所以（A.22）等价于hlim infT→∞E[VγT | Fs]γTiγ≥ eγ质谱=>hlim infT→∞E[VγT | Ft]γTiγ≥ eγe[ms | Ft]，因此相当于→∞hE[VγT | Fs]γTiγ≥ eγ质谱=> lim s upT→∞hE[VγT | Ft]γTiγ≥ eγe[ms | Ft]，由此，我们得出结论，（A.19）相当于tolim supT→∞E[VγT | Fs]T≥ eγ质谱=> lim s upT→∞E[VγT | Ft]T≥ eγe[ms | Ft]，（A.23），因此我们将验证这一含义。为了更好地直观地证明（a.23），首先，我们将考虑t=0，即我们将证明，对于任何ms∈“是的，我们有一个→∞E[VγT | Fs]T≥ eγ质谱=> lim s upT→∞E[VγT]T≥ eγe[ms]。（A.24）假设s>0，ms∈\'Ls，以及LIM supT→∞E[VγT | Fs]T≥ 注意，存在一个集合C∈ Fs，使得P[C]>0和ICeγms≥ 冰[eγms]。因此，IClim支持→∞E[VγT | Fs]T≥ 冰[eγms]。根据詹森不等式，我们继续支持→∞E[VγT | Fs]T≥ 冰γE[ms]。（A.25）设>0，设BT:={ω∈ Ohm : E[VγT | Fs]T（ω）≥ eγe[ms]-. 注意C 林监督→∞BT，这意味着PHLIM支持→∞BTi>0。（A.26）从这里，通过Borel-Cantelli引理，我们得到了P∞T=1P[BT]=∞. 自从上一个序列发散以来，存在一个子序列{Tk}（k=1，2，…）这样的话[BTk]≥（Tk）。利用这一点，我们有以下一连串的不平等Lim supT→∞E[VγT]T=lim s upT→∞E[E[VγT | Fs]]T≥ lim s upT→∞E[IBTE[VγT|Fs]]T≥ lim s upT→∞E[IBTe（γE[ms]-）T]T≥ eγe[ms]-lim supT→∞P[BT]T≥ eγe[ms]-lim supTk→∞P[BTk]Tk≥ eγe[ms]-lim supTk→∞h（Tk）iTk=eγe[ms]-.因此，考虑到>0是任意选择的，暗示（A.24）立即出现。t>0的证明遵循了与t=0类似的思路，尽管这有点技术性。为了完整起见，我们也将在这里提供证据。证明是矛盾的：假设（A.21）对某些s不成立∈ T、 s>T。

既然（A.21）与（A.23）等价，就存在V∈~V女士∈“LSA∈ Ft，P[A]>0，使forlim支持→∞E[VγT | Fs]T≥ eγM和lim supT→∞E[VγT | Ft]T<EγE[ms | Ft]。（A.27）几乎可以肯定的是，A.注意存在>0和A∈ 英国《金融时报》，A A、 P[A]>0，这样的话→∞E[VγT | Ft]T≤ 1AeγE[ms | Ft]-2. （A.28）让我们考虑以下设置：∈ A:E[VγT | Fs]T（ω）≥ eγe[ms | Ft]（ω）-,Dα：={ω∈ A:∞XT=1E[1BT|Ft]<α，α∈ N∪ {+∞}.注意，Dn∈ FTN∈ N、 Dn DMN≤ m、 和D∞= ∪N∈NDn∈ 接下来我们考虑两种情况：a）P[D∞] > 0和b）P[D∞] = 0.病例a）自P[D]以来∞] = P[limn→∞Dn]=limn→∞P[Dn]>0，存在n>0使得P[Dn]>0。因此∞XT=1P[BT∩ 从这里，通过Borel Cantelli引理，我们得到了Phlim supT→∞[BT∩ Dn]i=0，这意味着dnlim supT→∞E[VγT | Fs]T≤ 1DneγE[ms | Ft]-.这与（A.27）中的一些积极措施相矛盾。例b）设P[D∞] = 0.首先请注意，lim supT→∞E[VγT | Ft]T=lim s upT→∞E[E[VγT | Fs]| Ft]T≥ lim s upT→∞E[IBTE[VγT | Fs]| Ft]T≥ lim s upT→∞E[IBTe（γE[ms|Ft]-）T | Ft]T≥ eγe[ms | Ft]-lim supT→∞E[1BT | Ft]T.（A.29）自D∞ A、 和P[D∞] = 0，几乎每个ω都有∈ 存在一个序列{T，ωk}k∈恩苏奇茅草BT，ωk|Ft(ω) ≥（T，ωk）。利用这个和（A.29），我们得出结论，对于（几乎）每个ω∈ 阿利姆·苏普特→∞E[1BT | Ft]T（ω）≥ lim supT，ωk→∞E[1BT，ωk|Ft]T，ωk（ω）≥ lim supT，ωk→∞h（T，ωk）iT，ωk=1。因此，在Alim supT上几乎所有地方→∞E[VγT | Ft]T≥ eγe[ms | Ft]-.将最后一个不等式与（A.28）结合，我们得到了Eγ[ms | Ft]-2≥ 1后勤主管→∞E[VγT | Ft]T≥ 1AeγE[ms | Ft]-，这会导致矛盾，因为P[A]>0。命题的证明。5.Let（[0,1]，B（[0,1]），{Ft}t∈N、 λ）是一个过滤概率空间，F={[0,1]，} 对于γ=-1考虑一个简单的例子bvt（ω）=（e）就足够了-Tω∈ [0，e]-T] ，eTω∈ [e]-T、 1]。对于任何γ<0的情况，都可以很容易地修改该示例。

对于γ=0，考虑bv′T（ω）=（e）就足够了-Tω∈ [0，T]，eTω∈ [T，1].5\'）Letγ=1，Let{bVT}T∈Nbe由BVT（ω）=（Tω）定义∈ [0，T]，eTω∈ [T，1]。（A.30）对于ω6=0，我们有-1（bVT）（ω）=lim infT→∞-1TlnbVT（ω）=lim infT→∞[(-ln TT）·I[0，T]（ω）+1·I[T，1]（ω）]=1。另一方面-1（bVT）=lim infT→∞-1Tln E（bVT）=直线英尺→∞-1Tln（1+T）- 1Te-（T）≤ 林在英国《金融时报》→∞- ln 1T=0。因此，当m=1时，我们得到-1（英属维尔京群岛）≥ m6=> φ-1（英属维尔京群岛）≥ E[m | F]，这与超马氏体的一致性相矛盾。这个反例可以很容易地对任何γ<0的情况进行调整。同样，对于γ=0，我们考虑bv′T（ω）：=（e-Tω∈ [0，T]，eTω∈ [T，1].6\'）与前一种情况一样，我们只考虑γ=1和γ=0。对于γ=1，我们取{bVT}T∈由bvt（ω）=（T eTω）定义∈ [0，T]，1ω∈ [T，1]。（A.31）那么，我们有φ（bVT）（ω）=lim infT→∞TlnbVT（ω）=lim infT→∞[（1+ln-TT）·I[0，T]（ω）+0·I[T，1]（ω）]=0，ω6=0。另一方面，ψ（bVT）=lim，单位为英尺→∞Tln E（bVT）=以英尺为单位的直线度→∞Tln（eT+T）- 1T）≥ lim infT→∞TT=1。因此，当m=0时，我们得到了φ（bV）≤ m6=> ~n（英属维尔京群岛）≤ E[m | F]，这与次鞅一致性相矛盾。同样，对于γ=0，我们考虑bv′T（ω）=（eTω∈ [0，T]，1ω∈ [T，1]。感谢Tomasz R.Bielecki和Igor Cialenco感谢NSF拨款DMS0908099和DMS-1211256的支持。Marcin Pitera感谢波兰科学IPP基金会项目“物理模型中的几何和拓扑”中运营的项目提供的支持，该项目由欧盟欧洲区域发展基金会（EU European Regional Development Fund，2007-2013年创新经济运营项目）共同资助。参考文献[1]B.Acciaio和I.Penner，《动态风险度量》，载于G.Di Nunno和B."Oksendal（编辑）《金融高级数学方法》（2011年），第1-34页。[2] A.Arapastathis，V.S.Borkar，E.Fernández Gaucherand，M.K.Ghosh和S.I.Marcus，具有平均成本标准的离散时间受控马尔可夫过程：A S Survey，暹罗控制与优化杂志31（1993），第。

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