一般局部随机波动率模型的小时间渐近性

，xn）∈ 注册护士。设M=rn，度量（gij）=（aij）-So that M是一个光滑黎曼流形，由单位映射给出一张图。我们可以把L写成 + A、 在哪里 =皮，j√|g|i（p | g | gijj） 拉普拉斯函数是否为ltrami运算符，且Ai=bi-Pj√|g|j（p | g | gij）是一个光滑的一阶微分算子，|g |=det gij |（回想一下（gij）=（gij）-1).L核上的he是定义在M×M×（0）上的连续函数pt（x，y）=p（x，y，t），∞) 它在x上可微，在t上可微，满足后向科尔莫戈罗夫方程(-t+L）p=0，（2）这样对于任何有界连续函数，我们有极限→0ZM^pt（x，y）f（y）dy=f（x），y=（y，…，yn）∈ M、 （3）式中^pt（x，y）：=pt（x，y）p | g（y）|（详情参见Chavel[Chav84]中的135页，或[KS91]中的定义5.7.9中的非几何参考）。^pt（x，y）是x=x条件下x的概率密度，关于Lebesguemeasuredy=dy。dyn（参见[KS91]中的等式（5.7.26））。此外，如果A=0，则pt（x，y）在x和y中是对称的（例如[Chav84]第138页第六章定理1）。备注2.1对于显示热核pt（x，y）a和转移密度^pt（x，y）之间关系的简单示例，考虑满足dXt=σXtdt+σxtdw和x=x的一维扩散∈ R+，其中σ>0是常数，W是标准布朗运动。n-one可以很容易地验证Laplace-Beltrami算子 = σxx+σxX和A=0。此外，与该模型相关的黎曼度量gijon R有一个单元素g（x）=σx，因此前因子P | g（y）|是σy。另一方面，我们知道Xis的跃迁密度由^pt（x，y）=σy给出√2πte-（logyx）/（2σt）。因此，热核是pt（x，y）=√2πte-（logyx）/（2σt），一个在x和y上对称的函数（参见。

[HL08]第5章和第6章提供了更多此类示例）。直观地说，人们期望黎曼流形上的热核是热核欧氏空间的变形。Molchanov[Mol7 5]通过在一个紧凑的流形上为热核提供一个小的时间膨胀来实现这个想法。后来的作者将这个结果推广到了更一般的流形。我们陈述了两个这样的结果。定理2.1（Hsu02中的定理5.1.1）。设M是完全n维黎曼流形。设C（M）是M×M中点（x，y）的子集，使得x位于y的Cut轨迹上，我们用截（y）表示。设d（x，y）为两点（x，y）之间的黎曼距离∈ （M×M）\\C（M）。设pt（x，y）表示核的热核关于M（即A=0）。然后，存在定义在（M×M）\\ C（M）上的光滑函数un（x，y），因此以下渐近展开式pt（x，y）~ （2πt）-n/2e-d（x，y）/（2t）∞Xi=0ui（x，y）ti（4）从技术上讲，这是t变量的正向方程，x变量的反向方程，但如果我们用通常的t7→ T- t变换。注意，我们通常非正式地将（3）写成^p（x，y）=δ（y）- x） ，但是（3）真的说^pt（x，y）dy在弱收敛的意义下倾向于狄拉克测度δx（y），作为t→ 0.0表示为t→ （M×M）\\ C（M）的任何紧子集上的0。让expx:TxM-→ M是基于x的指数M，那么我们有u（x，y）=（J（expx）（y））-1/2，Y=exp-1xy。（5） 这里，J（expx）表示指数映射的雅可比矩阵，我们使用g在TxM上导出的流量度量来定义雅可比矩阵（见下面的备注2.2）。备注2.2如果f:M-→ 如果有向黎曼n-流形（M，g）和（M，g）之间有一个可微映射，那么J（f）（p）被定义为Mt上的体积形式的拉回与p上的体积形式的拉回之比。让我们详细解释这个定义。

f在p处的差异定义了一个映射f*: TpM-→ TqMwhereq=f（p）。拉回f*: ∧kT*qM-→ ∧kT*PMI定义如下：（f）*u）（v）∧. . . ∧ vk）=u（f）*五、F*vk），（6）其中v。vk∈ TPM和u是一种k形式。现在取局部坐标x表示p和q上的mc，取y表示mc，空间∧nT*pis是一维的，因此由体积形式p | g | dx跨越∧. . . ∧dxn。因此对于某些λ∈ Rwe拥有：f*（p | g | dy）∧ . . . ∧ dyn）=λp | g | dx∧. . . ∧ dxn。（7） 根据定义，J（f）（p）等于λ。参见第2.1和2.2小节，了解当我们在测地法坐标中工作时，J（expx）（Y）s的表达式是如何实现的。我们现在回顾Bellaiche[Bel81]对定理2.1的以下解释：定理2.2（Bel81]中的定理4.1）。设M是C-黎曼流形和C-向量场。然后是算子的热核pt（x，y） + A满意度：pt（x，y）~ （2πt）-n/2u（x，y）e-d（x，y）/t+A（x，y）（t→ 0）（8）表示（x，y）∈ （M×M）\\C（M）。这里定义为（5）和（x，y）：=ZhA，˙γ（s）ids（9），γ是唯一的距离最小化测地线γ：[0，1]-→ M连接x和y。估计（8）在（M×M）\\C（M）的任何紧致子集上是一致的。2.1测地法坐标和曲率的几何意义。。，enbe是TpM的基础，它与由热gij引起的TpM上的标量积正交。对于每个向量v∈ TpM，根据这个基础编写它的组件，我们得到一个映射φ：TpM 7→ Rn，v=viei7→ （v，…，vn）。然后有一个关联的ge odesic法线坐标系y，由y=φ给出o e xp-1x（21英寸[Jost09]）。在这些坐标系中，度量的所有一阶部分导数都在零处消失，即对于所有i、j、k和Γijk=0，gij，k（0）=0，并且度量具有以下泰勒展开式：gij=δij-Xa，b（Riajb+Ribja）yayb+O（|y |）。

[MA73]），其中Rijklis表示黎曼曲率张量，我们遵循标准惯例，使用度量来提高和降低指数。该公式提供了曲率的基本几何解释，即在法坐标系中，曲率是度量与欧几里德度量的偏差。事实上，黎曼最初向我们介绍了这种扩展；关于Levi-Civita关系的定义只是在后来介绍的。所有的测地线都有恒定的速度，这里我们只是选择速度，使测地线在单位时间内到达点y。2计算正常坐标下的J（expx）（Y）和u（x，Y）如果我们现在考虑注释2.2，当M=TxM，M=M，f=expx，p=x和q=Y=expx（Y）时的特殊情况，并取切线空间φ：M=TxM的坐标→ 位于正坐标y:M上方的RNA→ Rnon M，然后用这些坐标f和f写成*只是身份功能。度量g=δij。度量g=与使用M上的法向坐标（即x处的恒等式）相关联的度量。方程（7）变成：exp*p | g | dy∧ ... ∧ 戴恩= λdφ∧ ... ∧ dφn.（10）使用该exp*也是恒等式，我们在这些坐标中看到λ=J（expx）（Y）=p | g |。由此我们也得到u（x，y）=（p | g |）-=1.-Xi，a，b（Riaib+Ribia）yayb+o（|y |）-= 1+Xi，a，b（Riaib+Ribia）yayb+o（|y |）。现在，我们专门讨论二维情况。曲率张量的对称性告诉我们，它只有一个独立的分量。在正常坐标系的原点处，R=R=-R=-R=κ，其中κ是曲面的高斯曲率。R的所有其他成分都消失了。

因此我们有u（x，y）=1+κ| y |+o（| y |）。或者，我们可以引入测地极坐标y=（r cos（θ），r sin（θ）），其中可以得到相同的展开式，但用|y |替换为r，现在r=d（x，y）是黎曼距离。2.3测地极坐标let n=2，让f（r，θ）=expp（rv（θ））∈ M，0<r<i（p）（其中i（p）=d（p，Cp）是注入半径atp）和-π < θ ≤ π、 式中|v（θ）|=1，|v′（θ）|=1。（r，θ）被称为p处的大地极坐标。在这些坐标中，度量g（r，θ）具有系数grr=FR= |v（θ）|=1，grθ=0，gθ=Fθ（参见do Carmo[doC92]第12.2页），其中|·|表示原始度量g下的标准。然后是J（r）=Fθ|（r，θ）是一个雅可比场，J具有渐近be haviour | J |=r-κr+o（r）as r→ 因此度量g（r，θ）可以局部近似为asds≈ dr+r1.-κrdθ表示r<< 1，我们认为电流描述了度量与R中极坐标的常用度量ds=dr+rdθ之间的偏差。注2.3热核可以通过从局部坐标中的近似热核开始的参数法几何构造。Chavel[Chav84]的第148页给出了一个很好的使用测地线极坐标的草图证明。在这些坐标系中，我们可以把u（x，y）项写在热核展开式a su（x，y）中=pg（r，θ）r-.备注2.4如果d（x，y）<d（x，切（x）），则在局部坐标u（x，y）=pVVM（x，y），其中VVM（x，y）=g（x）-德特-φ（x，y）十一yjg（y）-（11） 是所谓的van Vleck-Morette行列式（参见Vassilevich[Vass03]中的McActivity&Osborn[MO9 1]和方程（4.38）），φ（x，y）=d（x，y）。

（11） 当我们可以通过解测地线方程显式地计算d（x，y）时，它很有用。3.局部随机波动率模型我们使用概率空间(Ohm, F、 P）自始至终，过滤支持两个满足通常条件的独立布朗运动。我们现在考虑远期价格过程的一般不相关局部随机有效性模型，该模型由以下随机微分方程（Xt=log St）定义：dXt=-σ（Xt）Ytdt+σ（Xt）YtdWt，dYt=u（Yt）dt+α（Yt）dWt，（12）式中（X，Y）=（X，Y）∈ R×R+和W是两个独立的标准布朗运动。我们需要假设相关系数为零，这样第4.1小节中的规范变换技巧才能起作用。然而，局部波动性分量σ（x）的存在仍可能导致隐含波动性偏斜。我们让M表示上半平面{（x，y）：y>0}的黎曼度量（gij）=（aij）-1，其中aijis表示（12）中模型的扩散系数，因此g的线元素由byds=Xi、jgijdxidxj=σ（x）ydx+α（y）dy、（13）和L aplace Beltr ami运算器给出 =Pj√|g|j（p | g | gij）满意度 =yσ′（x）σ（x）x+α′（y）α（y）-α（y）yy+yσ（x）x+α（y）y、 （14）所以我们有一个=-yσ（x）-yσ′（x）σ（x）x+u（y）-（α′（y）α（y）-α（y）y）y、 备注3.1有关如何计算（9）中定义的A（x，y）的详细信息，请参见附录B。我们可以很容易地直接从局部坐标中Christo of elsymbols的标准公式和曲率张量r的标准公式计算出度量g的曲率张量。然后我们可以计算高斯曲率为κ=Rgg- g、 从这里我们可以看到，对于任何（x，y）∈ M、 我们有κ（x，y）=α（y）(-2α（y）+yα′（y））y。

（15） （注意，κ（x，y）不依赖于x或σ（x）），我们现在进行以下附加假设：可根据要求提供用于计算曲率的Mathematica表。当Wand-Ware相关时，（15）中的κ（x，y）公式也有效。假设3.1ou，α，σ为C∞α，σ严格正，α严格递增，σ∈ Cb和u，α是任何给定Y>0的唯一强解（例如[KS91]中的定理2.9]）。σ是Lipschitz连续的α（y）~ α′（y）~ A=α′（0+），α′（y）→ 0为y→ 0和α（y）~ Byp，α′（y）~ Bpyp-1，α′′（y）/yp-2.→ 血压（p- 1） 就像我一样→ ∞ 对于某些常数A、B>0和p∈ （0，1）。这确保上半平面上关联的黎曼曼尼福尔是完整的-到y=0和y=∞ 根据计量GIJI的定义，并确保y=0和y=∞ 是无法达到的界限。y处的条件=∞ 与[FJ11]中选择的有界波动率函数f（y）相比，确保XT有一个更胖（因此更现实）的右尾（更多细节请参见[AP07]、[Jour04]、[LM07]）对于所有长度为y>0，u（y）≥ 0和u（1/y）≤ 0.此外，u是这样的：→ 0，V（y）和V（1/y）是从上面连接的，其中V（y）：=u（y）g（y）+α（y）g（y）+g′（y）, 与g（y）：=-u（y）α（y）+α′（y）α（y）-Y.需要这些假设才能使规范变换技巧与戴维斯热核估计相结合0 < σ≤ σ ≤ σ < ∞ 对于某些常数σ，\'-σ。o我们假设σ（x）+σ′（x）- 对于所有x，2σ（x）σ′（x）>0，如果σ是常数，这显然是正确的。这个条件是规范变换技巧发挥作用所必需的，本质上只是排除了局部波动函数σ（x）的过度倾斜/凸性。命题3.2在假设3.1下，（12）中的二维随机微分方程组有唯一的强解。证据

遵循标准论点。假设3.3我们假设-2α（y）+yα′（y）≤ 这意味着κ（x，y）≤ 0（x，y）∈ 这（比哈达玛定理，见[doC92]第149页）意味着M的切割轨迹是空的。备注3.2我们在表1中列出了几个同时满足假设3.1和假设3.3的随机波动率（SV）模型。表1:SV模型的示例β=1的模型u（y）α（y）SABR，β=1η（θ）的平均回复SABR- y） 对于η，θ>0νy，对于ν>0η（θ- 对数y）y w，η>0，θ∈ 使用（15），我们看到κ（x，y）对于所有（x，y）都是光滑的∈ 独立于x和κ（x，y）~ - A（y）→ 0），κ（x，y）~ - B（2）- p） y2（p-1)→(-如果p∈ （0,1）（y）→ ∞) ,所以κ是从下面被限制的。备注3.4我们的条件包括β=1（对应于p=1）的SABR模型，但不包括Hestonl模型，因为后者的相关流形不完整，下面的Davies heatkernel估计需要完整性。Heston模型的小时间渐近性在[FJL12]中使用傅里叶方法和等高线积分的鞍点估计得到。3.1模型的尾部行为对于零相关性的SABR模型（即α（y）=αy，u（y）=0），众所周知，对于m>0，e（Smt）<∞ 如果且仅当m≤ 1.如果dhW，Wit=ρdt且ρ<0，则该条件变为E（Smt）<∞ 当且仅当ρ≤ -p（m）- 1） /m（见[LM07]中的定理2.3]）。此外，根据[LM07]中的定理2.5和2.6，如果p=1，这个结果也适用于（12）中的模型，因为α（y）在y=∞, i、 e.b∞[M07]中等式（29）中的项为零。

对于p<1，条件更复杂，我们请读者参考[LM07]中的定理3.2了解详细信息。3.2示例：SABR模型对于上半平面H上的双曲度量ds=y（dx+dy）（与SABR模型dst=SβtYtdWt，dYt=YtdWt，dWtdWt=ρdt，β=1，ρ=0相关，见第7节），我们得到κ=-1（参见Molchanov[Mol75]或[doC92]第5章）。对于Hwe，由于McKean[McK70]pt（x，y），我们有简单的显式公式=√2 e-t/8（2πt）3/2Z∞d（x，y）re-r/2tpcosh r- cosh d（x，y）dr（参见Matsumoto&Yor[MY05]中的定理3.1，了解n维超bolicspace的相应公式）。4呼叫选项的小时间渐近性4。1.通过规范变换去除A项，我们让pt（x，y）表示与通常的Laplace-Beltrami算子（即A=0）相关的热核。下面的引理根据热核pt（x，y）计算pt（x，y）在na=0的情况下的上限b。这是需要的，所以我们可以对下面的戴维斯热核估计进行解释。引理4.1我们对^pt（x，y）=p |g（y）|pt（x，y）有以下上界：^pt（x，y）≤对于某些常数Vmax<∞, 其中x=（x，y），y=（x，y）和χ（x，y）=pσ（x）expα（y）√耶-Ryu（u）α（u）du（相关讨论另见[HL08]第108-9页）。证据如果我们设置（x，y）=（x，y），那么我们知道^pt（x，y）是向后科尔莫戈罗夫方程的解蒂普=A+^p，（17）受制于^p（x，y）=δ（y）- x） ，其中 A是关于后向变量x=（x，y）。如果我们现在让^pt（x，y）=χ（x，y）χ（x，y）qt（x，y），那么偏微分方程转换为tq=yσ（x）xχ-xq+α（uy）+yyχyq+yσ（x）xq+α（y）yq+V（x，y）q=q+V（x，y）q（18），其中q（x，y）=δ（y- x） ，式中V（x，y）=（A）+)χ（x，y）。

在上面的第二个等式中，我们使用了以下事实：xχ=1+σ′（x）σ（x）≡ f（x），yχ=-u（y）α（y）+α′（y）α（y）-Y= g（y）。事实上，我们可以用上面的方程得到v（x，y）=yσ（x）-f（x）+f（x）+f′（x）+ u（y）g（y）+α（y）g（y）+g′（y）= -Yσ（x）+σ′（x）- 2σ（x）σ′′（x）+ u（y）g（y）+α（y）g（y）+g′（y）.从假设3.1中的最后一点，我们知道tV（x，y）≤V（y）=u（y）g（y）+α（y）g（y）+g′（y）, （x，y）∈ R×R+。此外，通过假设3.1，我们知道v（y）从ab到y是一致有界的→ 0或y→ ∞. 因此，我们知道V（y）对于所有y都是一致有界的∈ (0, ∞) 我们称之为Vmax（与x无关）的常数，以及所有（x，y）的上界V（x，y）。现在，让^P表示（12）中定义的（Xt，Yt）具有最小生成器L的概率度量= （即A=0）。对于R×R+上的任意有界Borel函数f，以及x=（x，y），y=（x′，y′），我们有ZF（y）qt（x，y）dy=E^PxeRtV（Xs，Ys）dsf（Xt，Yt）=Zf（y）E^PxeRtV（Xs，Ys）ds（Xt，Yt）∈dy,在第一个等式中，我们使用了费因曼-卡克公式。根据f的任意性，我们得到qt（x，y）dy=E^PxeRtV（Xs，Ys）ds（Xt，Yt）∈dy≤ eVmaxt^Px（Xt，Yt）∈ dy）=eVmaxt^pt（x，y）dy。由此得出，^pt（x，y）=χ（x，y）χ（x，y）qt（x，y）≤χ（x，y）χ（x，y）eVmaxt^pt（x，y）。备注4.1此处的规范转换技巧仅在相关性ρ=0时有效，除非我们对u（y）施加特定的函数形式，详情见第4.4小节。对于ρ6=0和一般u（y），我们期望定理4.6的类似结果成立，但要证明这一点，需要在6=0时重新编写更一般情况下的整个[Dav88]（[Dav88]仅处理a=0时的自伴随情况）。