一般局部随机波动率模型的小时间渐近性

否则，我们可以对y的某个有界函数施加f（y）给出的波动率，并使用Norris Stroock[NS91]尾估计作为具有一致椭圆系数的热方程的基本解，而不是Davies估计，但这种类型的模型不会有现实的厚尾行为。推论4.2使用该α（y）~ 是的→ 0和α（y）~ 拜帕斯→ ∞, 我们有一个正常数C>0，比如：1。对于所有足够小的y>0，χ（x，y）≥ CpApσ（x）ex；2.对于所有足够大的y>0，χ（x，y）≥ CpBpσ（x）exy-(1-p） 。证据这是为χ给出的公式以及我们对u和α的渐近性的假设的直接结果。请注意，我们使用的假设是u接近0和∞ 束缚-下面是γu（u）α（u）du。4.2通过对Davies[Dav88]中定理16的简单修改，Davies热核的上界（该定理涉及热方程）屠-xxu=0（不含因子），我们有以下结果：定理4.3，如果M是维数为N的完全黎曼流形，对于某些常数β≥ 0，Ric（x）≥ -（N）- 1） β，其中Ric表示Ricci曲率，则存在一个常数cδ，取决于δ，即0≤ pt（x，y）≤ cδ| B（x，t）|-|B（y，t）|-E-d（x，y）/（2+δ）t对于0<t<1，其中| B（x，r）|表示球B（x，r）={y的黎曼体积∈ M:d（x，y）<r}（类似的结果参见[Chav84]中的第198页）。现在我们回到我们的流形M。Le t x=（x，y），y=（x，y）表示M上的两点，让d（x，y；x，y）=d（x，y）。假设κ（x，y）≤ 0和[Jost09]第213页定理上的G¨unther体积比较，我们有| B（x，r）|≥ |BE（x，r）|=πr，（19），其中| BE（x，r）|表示标准欧氏度量下的球的体积。

因此，设置r=twe，我们得到定理4.3的如下推论：推论4.4使用备注3.3和定理4.3，我们得到以下上界pt（x，y）≤cΔπte-d（x，y）/（2+δ）t，它（与（16）结合）意味着t^pt（x，y）≤χ（x，y）χ（x，y）eVmaxtp | g（x，y）| cΔπte-d（x，y）/（2+δ）t引理4.5来自我们对（x，y）垂直线的简单渐近分析 d（y）（y）→ 0）其中d（y）：=-Alog y，d（x，y） D∞（y） （y）→ ∞) d在哪里∞（y） ：=（博客y，（p=1），y1-pB（1）-p） ，（p∈ （0，1））对于x=（x，y）和x fixed（其中y=（x，y））。4.3在定理4.6中，我们陈述了论文中的主要结果：在（12）中的一般局部随机波动率模型下，非现金看涨期权的小时间扩展。为了证明这个结果，我们按照[Pau10]中第3节的类似思路进行。我们引入以下符号：φ（y）=d（x，y），ψ（y）=yP（x，y）u（x，y）p | g（x，y）|，其中p（x，y）=eA（x，y），x=（x，y），y=（x，y）。然后，下面的定理刻画了非货币看涨期权的小时间行为。当n=2时，Ricci曲率正好等于高斯曲率，这也等于截面曲率。定理4.6考虑（12）中定义的随机波动率模型，并假设初始股价S=1。然后我们得到了一个关于行使k6=S的看涨期权价格的小时间展开式：E（St- （K）+- （S）- （K）+~ASV（x）√2πe-φ（y）*)/tt（t→ 其中x=logk，ASV（x）=Kσ（x）ψ（y）*)pφ′（y）*)2φ（y）*)还有y*= Y*（x） 是从（x，y）开始的最短测地线与度量gijin（13）下的{x=x}线相交的y值。备注4.2因为曲率κ≤ 0，从[doC92]第209页的论点中，我们知道从（x，y）到{x=x}线有一个使大地坐标ic最小化的唯一距离，并且我们有横截性条件g（dγ）*dt，（0，1）|（x，y）*)= 0，即。

最短的测地线垂直于公制gij下的垂直线（关于这一点的更多细节，请参见[FJ1 1]中的第14条）。此外，由于使用相关系数ρ=0，最短的测地线ic在通常的欧几里德意义下也是垂直的。备注4.3有计算y的半显式公式*（x） a和φ（y）*); 这些由前一篇文章[FJ11]中方程（26）和（27）中的两个积分方程给出。更具体地说，我们首先解决y*（x） 在方程（27）中进行数值计算，这只是一个线性搜索，即一维寻根练习，然后我们插入y*（x） 计算最短测地线到垂直线{x=x}的距离。这些计算非常低级且繁琐，因此我们不在本文中重复这些计算。证据应用半鞅（Kar atzas&Shreve[KS91]中定理3.7.1，第（v）部分）的公式的广义变量变化来计算f（S）=（S- K） +利用S是鞅，我们得到了（f（St）- f（S））=EZ∞-∞∧t（S）δK（dS）= E（λt（K）），其中∧t（a）是统计级别a的半鞅局部时间，δK（dS）表示狄拉克测度集中atS=K（另见[KS91]中的等式（3.6.47））。另一方面，对于R+，g，Wehave上的任何有界连续函数Ztg（苏）dhSui= EZtg（苏）苏σ（徐）于都=中兴通讯（g（eXu）e2Xuσ（Xu）E（Yu | Xu））du=ZtZ∞-∞g（ex）e2xσ（x）E（Yu | Xu=x）P（Xu∈ dx）du=Z∞-∞g（ex）e2xσ（x）中兴通讯（于|许=x）^pu（x，y；x）du dx，（20）其中P（许∈ dx | X=X，Y=Y）=^pu（X，Y；X）dx。但根据Karatzas&S91中的定理M3.7.1第（三）部分，我们有Ztg（苏）dhSui= 2 EZ∞g（S）∧t（S）dS= 2 EZ∞-∞g（ex）∧t（ex）exdx.

（21）通过g的任意性，比较（20）和（21）我们可以得出2exe（λt（ex））=e2xσ（x）中兴通讯（于|许=x）^浦（x，y；x）杜，十、∈ R在一般情况下，考虑Xt=logStS，结果很容易适应S6=1。特别是（f（St）- f（S））=E（λt（K））=E（λt（ex））=Kσ（x）中兴通讯（于|许=x）^浦（x，y；x）杜。（22）让1<a<∞ 带着>y*. 在紧致区间[a，a]上应用Bellaiche热核展开，我们知道对于任何固定ε∈ （0,1），存在一个t*= T*（ε） 这样，对于所有的t<t*我们有（Yt | Xt=x）^pt（x，y；x）=Z∞-∞y^pt（x，y；x，y）dy≤ （1+ε）Zaaψ（y）2πte-φ（y）/tdy+I+I∞,= （1+ε）ψ（y）*)p2πtφ′（y）*)E-φ（y）*)/th1+O（t）i+i+i∞, （23）式中I=Ray^pt（x，y；x，y）dy，I∞=R∞^pt（x，y；x，y）dy，y*是在定理的陈述中定义的，我们在y=y的极小值附近使用了拉普拉斯方法*（参见Stein&Sharkarchi[SS03]中的提案n 2.1，pa ge 323），我们可以这样做，因为距离函数d、度量（gij）和u（x，y）都是从x的切割轨迹平滑而来的（切割轨迹是空的，因为κ≤ 所以ψ和φ是光滑的。同样地，我们得到下边界（Yt | Xt=x）^pt（x，y；x）≥ (1 - ε） ψ（y）*)p2πtφ′（y）*)E-φ（y）*)/th1+O（t）i.Fixδ>0。然后通过推论4.2，Coro-llary 4.4和引理4.5，我们知道对于a=a（ε）足够大的wehaveI≤Zay·χ（x，y）χ（x，y）eVmaxtp | g（y）| cΔπte-d（x，y）/（2+δ）tdy≤cΔπteVmaxtZayp | g（y）| Ce-d（y）/C′（2+δ）tdy，对于一些正常数C=C（x，y，x）和C′=C′（x，y，x），其中p | g（y）|≡p | g（x，y）|。但是从对α（y）的假设中我们也知道p | g（y）|~Aσ（x）yas y→ 0

设置φε，δ=C′（2+δ）（1+ε）a ndcε，δ，t=CAσ（x）CδeVmaxt（1+ε）/π，然后我们得到≤cε，δ，ttZae-d（y）/（Дε，δt）dy≤cε，δ，ttZaye-[Alog y]/（ε，δt）dy=cε，δ，ttZloga-∞E-wA~nε，δtdw=cε，δ，ttν√2π兹洛加-∞ν√2πe-w2νdw（式中，ν=A~nε，δ√t/√2）=cε，δ，ttν√2πΦ（z）≤cε，δ，ttνe-z/2 | z |，其中Φ（z）=Rz-∞√2πe-xdx，z=logaν，我们已经使用了它≥ 0<y<a<1时为1，线质量Φ（z）≤|z|√2πe-最后一行z<0的z/2。因为我∞, 我们只考虑p∈ (0, 1); p=1的情况可以用一个类似于推论4.2和4.4以及引理4.5中I.Ag的一个论点来处理。我们知道，对于a=a（ε）足够大的情况，我们有∞≤Z∞ay·χ（x，y）χ（x，y）eVmaxtp | g（y）| cΔπte-d（x，y）/（2+δ）t）dy≤cΔπteVmaxtZ∞ayC∞y（1-p） p | g（y）| e-D∞（y） /（C′）∞（2+δ）t）dy，对于某些常数C∞= C∞（x，y，x）和C′∞= C′∞（x，y，x）。但是对于p∈ （0,1），d∞（y）~y1-pB（1）-p） 和p | g（y）|~σ（x）乘以1+pas y→ ∞. 因此，我们有∞≤\'cε，δ，ttZ∞是（1）-p） e-y2（1）-p） B（1）-p） /（°ηε，δt）dycε，δ，t=c∞Bσ（x）cδeVmaxt（1+ε）/π和ε，δ=c′∞(2 + δ)(1 + ε). 使变量的变化u=y1-第一针∞所以dy=1-蛹1-pdu，我们看到对于一个足够大的∞≤\'cε，δ，ttZ∞a1-佩伊-uB（1）-p） ~nε，δtup1-p1- pdu=\'cε，δ，t（1- p） tZ∞a1-pu3-p2（1-p） e-uB（1）-p） ~nε，δtdu≤\'cε，δ，t（1- p） tν√2πZ∞a1-pν√2πe-u2νdu（对于a=a（ε）足够大，其中ν=B（1- p） εε，δ√t）（24）=cε，δ，t（1）- p） tν√2πΦc（a1）-pν）≤\'cε，δ，t（1- p） tνe-zz，其中Φc=1- Φ和z=a1-pν=a1-pB（1）-p） εε，δ√t、 因此，对于一个足够大的系统，zy将超过φ（y）*)/我也不知道∞都是比前导项e更高阶的项-φ（y）*)/t/√t在（23）中，因此我们可以在前导顺序忽略它们。另一个相似的论点适用于右尾积分I∞当p=1时。因此我们得出结论E（Yt | Xt=x）^pt（x，y；x）~ψ（y）*)p2πtφ′（y）*)E-φ（y）*)/t、 （t）→ 0) . （25）我们现在必须用（25）来估计（22）中的积分。

使用众所周知的渐近关系zt√2πse-k/2sds=k√2πte-k2t[1+O（t）]（t→ 与（22）相比，我们发现对于所有ε>0的情况，存在一个t*= T*（ε） 这样的话，尽管≤ T*我们有- （K）+- （S）- （K）+≤Kσ（x）Ztψ（y）*)p2πsφ′（y）*)E-φ（y）*)/s（1+ε）ds=Kσ（x）ψ（y）*)pφ′（y）*)Zt√2πse-φ（y）*)/s（1+ε）ds=Kσ（x）ψ（y）*)pφ′（y）*)2φ（y）*)√2πte-φ（y）*)t[1+O（t）]（1+ε）≤ASV（x）√2πe-φ（y）*)/tt（1+2ε）（回想一下ASV（x）=Kσ（x）ψ（y*)√φ′′（y）*)2φ（y）*)). 对于下界，我们也进行了类似的处理。4.4非零相关性如果dhW，Wit=ρdt，对于ρ6=0，我们仍然可以使规范转换技巧发挥作用，如果u（y）以α（y）为单位采用某种函数形式，并且σ（x）是常数，如下命题所示。然而，我们假设ρ≤ 0以确保股票价格过程St=Ext是一个随机过程（参见[Jour04]，[LM07]以查看ρ>0时该过程失败的示例）。命题4.7对于ρ6=0，±1，如果σ（x）是常数，且u（y）=α（y）2y[yα′（y），我们可以找到一个规范变换来去除a项- α（y）]。在此条件下，假设u和α也满足假设3.1中的其他条件，则由规范变换引起的有效ial V（x，y）从上方有界，因此（如果ρ≤ 0）定理4.6仍然适用于证明中的m项，使用ρ6=0d（x，y）的以下距离估计 d（y），（y）→ 0）其中d（y）：=-ρAlog y，d（x，y） D∞（y） ，（y）→ ∞) d在哪里∞（y） ：=（ρy，（p=1），y1-p′ρB（1-p） ，（p∈ （0，1））当σ（x）≡ 1和ρ=p1- ρ.证据

见附录C。备注4.4设置α（y）=νy，对于ν>0，我们发现u（y）=0，这与SABR模型（对于β=1）一致，因此规范变换适用于这种情况。4.5 Black-Scholes模型的小时间行为Let CBS（S，K，t，σ）表示Black-Scholes模型下的欧洲看涨期权在时间零点的价格，股票价格S，罢工K=性别，到期时间t，波动率σ（利息率和股息为零）。命题4.8假设t>0，设^σt=pσ+att，并假设t∈ （0，σ| a |）如果a<0。那么CBS（S，K，t，^σt）作为t具有以下渐近行为→ 0CBS（S，K，t，^σt）=（S- K） ++e-x2σt√2πteaxσABS（x，σ）[1+O（t）]（x 6=0），（26），其中K=Sex，ABS（x，σ）=Sexσx。这与[FJL12]中的命题3.4完全相同。备注4.5请注意，我们考虑的不是与时间相关的Black-Scholes模型，而是标准Black-Scholes模型，但其波动性参数取决于隐含波动性的t.5小时间行为。在本节中，我们给出了隐含波动性的相应渐近展开式。定理5.1对于上面定义的模型，让^σt（x）表示时间零点和到期日t的隐含波动率，对于^σt（x），我们有以下渐近行为：^σt（x）=σ（x）+a（x）t+o（t），（27）其中^σ（x）=- x | d（x，y；x，y）*（x） ，a（x）=2^σ（x）xlogASV（x）ABS（x，^σ（x）），（28），其中x=logKS。证据见附录A。备注5.1注意，我们在（27）中没有提到关于x的一致收敛。通常，对于这类问题，在远离零的比较集上，收敛是一致的，但在（0，a）或（a）形式的区间上，收敛不是一致的(-a、 0）对于>0（但在本文中我们不需要这样的结果，因此我们推迟了未来工作的细节）。备注5.2从（27）中我们可以看到^σt（x）=^σ（x）+a（x）^σ（x）t+o（t）。

（29）6与Lorig、Pagliarani和Pascucci[LPP15]中渐近展开的比较考虑对数股价过程的一般局部随机波动率模型Xt=-σ（t，Xt，Yt）dt+σ（t，Xt，Yt）dWt，X=X∈ R、 dYt=f（t，Xt，Yt）dt+β（t，Xt，Yt）dBt，Y=Y∈ R、 dhW，Bit=ρ（t，Xt，Yt）dt，|ρ|<1。（30）通过将泰勒级数中（X，Y）关于任意点（`X，`Y）的极小生成元的系数展开，作者得到了欧式看涨期权价格及其相关隐含效用的显式展开式。在适当的条件下，欧式期权u（t，x，y）：=Et，x，y（ν（XT））的价格满足后向科尔莫戈罗夫方程(t+A（t））u=0，u（t，x，y）=φ（x），（31），其中A（t）是与二维过程（x，y）相关的最小发生器。我们现在简要地解释了[LPP15]方法在一维ca se和基因ral loca l随机波动模型中的工作原理（另请参见[LP P14]和[PP14]）。6.1一维情况我们首先考虑一维热方程t+a（x）十、u=0。如果我们现在正式地把a（x）展开到零附近：a（x）=a（0）+a′（0）x+a′（0）x+。。。设置u=u+u+u+。。。，我们得到以下柯西问题的嵌套系统：t+a（0）十、u=0，u（T，x）=а（x），t+a（0）十、u=-a′（0）xxu，u（T，x）=0，t+a（0）十、u=-a′（0）x徐-a′（0）xxu，u（T，x）=0，依此类推。在一般情况下，这些方程可以用Duhamel原理递归求解，[LPP15]给出了un的显式公式。考虑一个艺术参数ε也很有帮助∈ （0，1）。然后我们设置aε（x）=a（0）+εa′（0）x+εa′（0）x，uε=u+εu+εu+。

，为了得到上述方程组，我们收集ε中的类似顺序项，然后最终设置ε=1。在本节中，Et，x，y（·）是E（·| Xt=x，Yt=y）的简写形式，是所有（t，x，y）的简写形式∈ [0，T]×R×R.6.2一般情况下，现在考虑与（30）中形式的一般局部随机波动率模型相关的发生器A（T）：A（T）=A（T，x，y）(十、- x） +f（t，x，y）y+b（t，x，y）y+c（t，x，y）十、y、 其中，函数a、b、c定义为asa（t，x，y）：=σ（t，x，y），b（t，x，y）：=β（t，x，y），c（t，x，y）：=ρ（t，x，y）σ（t，x，y）β（t，x，y）。将每个函数{a，b，c，f}展开为关于固定点（\'x，\'y）的泰勒序列∈ R：χ（t，x，y）：=∞Xn=0χn（t，x，y），χ={a，b，c，f}，χn（t，x，y）：=nXk=0χn-k、 k（t）·（x）- \'x）n-k（y）- y）k，χn-k、 k（t）：=（n）- k） !！KN-kxkyχ（t，\'x，\'y），生成器A（t）现在可以正式写成asA（t）=∞Xn=0An（t），An（t）=An（t，x，y）(十、- x） +fn（t，x，y）y+bn（t，x，y）y+cn（t，x，y）十、y、 现在我们将未知函数u展开为一个级数u=P∞n=0un。将这个展开式以及A（t）的展开式插入Kolmogorov向后方程，我们得到了一个柯西问题的嵌套序列(t+A（t））u=0，u（t，x，y）=φ（x），（32）(t+A（t））un=-nXk=1Ak（t）un-k、 un（T，x，y）=0，n≥ 1.（33）序列（un）可以被分解，第n个m的一般表达式在[LPP15]的定理2.6中给出。对于欧洲看涨期权/看跌期权，这种扩展有助于显式隐含波动率扩展（见[L PP15]第3节），价格和隐含波动率扩展中的条款数量增长如n！。因此，出于实际目的，只能计算n=4阶以下的项。上述方法的优点是，第二阶近似（对于价格和隐含波动率）可以应用于系数在空间变量中的任何差异。

然而，为了证明定价方法的准确性，必须执行更严格的条件（讨论的条件可能较低）。6.3渐近误差估计在[LPP15]中，作者通过用N阶近似值“uN（t，x，y）=PNi=0ui（t，x，y）”替换精确的欧式期权价格u（t，x，y）来推导引入的误差的以下界。推论6.1考虑带支付函数的欧式期权。FixT>0且（\'x，\'y）=（x，y）。假设系数a（t，·，·，·），b（t，·，·），c（t，·，·，·）和f（t，·，·，·，·）及其N+1阶偏导数都有一个正常数M的界∞, 关于t一致∈ [0，T]和thatM（ξ+η）≤ a（t，x，y）ξ+c（t，x，y）ξη+b（t，x，y）η≤ M（ξ+η），T∈ [0，T]，x，y，ξ，η∈ R.然后对于任何0<t<t≤ T，ε>0存在一个常数C，使得| u（T，x，y）- \'uN（t，x，y）|≤ C（T）- t） N+1ZRΓM+ε（t，x，y；t，x′，y′）ν（x′）dx′dy′，0≤ t<t，（x，y）∈ R、 （34）式中，ΓM+ε（t，x；t，y）是二维热算符的基本解hm+ε=（M+ε）(x+y） +t、 （35）常数C只取决于M，N，t和ε。证据参见[LPP15]的推论4.6。对于对数货币性x>0的欧式看涨期权，我们可以把误差界写成| u（t，x，y）- \'uN（t，x，y）|≤ CtN+1E（eσWt- （前）+~ CtN+1e-x2σtσex√2πxt（t）→ 0），其中σ=M+ε，wt是从零开始的标准一维布朗运动。