一般局部随机波动率模型的小时间渐近性

（C-7）如果我们现在将这两个不等式从0积分到x>0，我们得到bσ（ex- 1） <exσ′（x）- σ′（0）<b′σ（ex- 1) < 0 . （C-8）根据上述不等式求解σ′（x），我们得到-xσ′（0）+bσ（1）- E-x） <σ′（x）<e-xσ′（0）+b′σ（1）- E-x） 。（C-9）让x→ ∞, 我们看到σ′（x）<b′σ<0，这与σ光滑且一致有界的假设相矛盾。类似地，我们可以证明b不能严格为正。因此，唯一的可能性是当σ′（x）+σ′（x）≡ 在这种情况下，唯一的正有界解是σ（x）≡ 对于某些正常数σ。总之，h（x，y）存在的一个必要条件是σ（x）是常数，α（y）y（α′（y）2α（y）-2y-u（y）α（y））≡ c（c-10）对于某些常数c。相反，如果这一点成立，那么，根据一个检验差异的标准（例如，见Donaldson[Don11]第61页），我们可以找到一个B假设（c-4）。因此，如果我们取h:=息税前利润将满足（C-2）和（C-3）。重新排列（C-10），我们得到u（y）=α（y）2y[yα′（y）- α（y）]- cyα（y）。但将α（y）的渐近行为替换为y→ ∞ 根据假设3.1，我们发现u（y）→ ∞ 不幸的≥ 0（yα（y）为主导项）。另一方面，通过将均值定理m应用于α′（y），我们得到α′（y）=a+α′（ζy）y，其中ζy∈ （0，y）是依赖于y的某个点。因此，作为y→ 0，我们有u（y）=A（1+o（1））α′′（ζy）y- cAy（1+o（1））。因为α′（y）→ 0为y→ 0，我们知道-Cay是u（y）作为y的前导项→ 0.为了获得u（y）≥ 对于所有的s mall y>0，我们必须有c≤ 总的来说，c的唯一合适选择是0。因此，我们有yhh=g（x，y）≡ g（y）：=-ρσ2(1 - ρ） yα（y），xhh=-ρα（y）σyyhh=2（1- ρ） ：=C，因此xh=Ch和yh=hg′+g嗯。利用这些关系式和（C-1），我们发现v（x，y）=（σyx+ρσyα（y）十、y+α（y）Y-σyx+u（y）y） hh=σyC（C）- 1） +ρσyα（y）Cg（y）+α（y）（g（y）+g′（y））+u（y）g（y）=:V（y）。

（C-11）使用该α（y）~ 是的→ 0和α（y）~ 拜帕斯→ ∞ 我们发现v（y）~ -σy8（1）- ρ） （如图所示）→ ∞ 而作为一名年轻人→ 0）和V（x，y）<∞ 对于所有的x，y，所以V是根据需要从一个上边开始的。-0.2-0.10.00.10.20.0010.0020.0030.0040.0050.0060.007