一般局部随机波动率模型的小时间渐近性

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英文标题：
《Small-time asymptotics for a general local-stochastic volatility model
  with a jump-to-default: curvature and the heat kernel expansion》
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作者：
John Armstrong, Martin Forde, Matthew Lorig, Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We compute a sharp small-time estimate for implied volatility under a general uncorrelated local-stochastic volatility model. For this we use the Bellaiche \\cite{Bel81} heat kernel expansion combined with Laplace\'s method to integrate over the volatility variable on a compact set, and (after a gauge transformation) we use the Davies \\cite{Dav88} upper bound for the heat kernel on a manifold with bounded Ricci curvature to deal with the tail integrals. If the correlation $\\rho < 0$, our approach still works if the drift of the volatility takes a specific functional form and there is no local volatility component, and our results include the SABR model for $\\beta=1, \\rho \\le 0$. \\bl{For uncorrelated stochastic volatility models, our results also include a SABR-type model with $\\beta=1$ and an affine mean-reverting drift, and the exponential Ornstein-Uhlenbeck model.} We later augment the model with a single jump-to-default with intensity $\\lm$, which produces qualitatively different behaviour for the short-maturity smile; in particular, for $\\rho=0$, log-moneyness $x > 0$, the implied volatility increases by $\\lm f(x) t +o(t) $ for some function $f(x)$ which blows up as $x \\searrow 0$. Finally, we compare our result with the general asymptotic expansion in Lorig, Pagliarani \\& Pascucci \\cite{LPP15}, and we verify our results numerically for the SABR model using Monte Carlo simulation and the exact closed-form solution given in Antonov \\& Spector \\cite{AS12} for the case $\\rho=0$.
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中文摘要：
在一般的不相关局部随机波动率模型下，我们计算了隐含波动率的一个精确的小时间估计。为此，我们使用Bellaiche{Bel81}热核展开结合拉普拉斯方法对紧致集上的波动变量进行积分，并且（经过规范变换后）我们使用具有有界Ricci曲率的流形上热核的Davies{Dav88}上界来处理尾积分。如果相关性$\\rho<0$，如果波动率的漂移采用特定的函数形式，并且没有局部波动性成分，我们的方法仍然有效，我们的结果包括$\\beta=1、\\rho\\le 0$的SABR模型。\\bl{对于不相关的随机波动率模型，我们的结果还包括$\\beta=1$和仿射均值回复漂移的SABR型模型，以及指数Ornstein-Uhlenbeck模型。}后来，我们用强度$\\lm$对模型进行了一次跳转，以违约，这会对短期成熟微笑产生质的不同行为；特别是，当$\\rho=0$、对数货币性$x>0$时，某些函数$f（x）$的隐含波动率增加了$\\lm f（x）t+o（t）$，最后变成了$x\\searrow 0$。最后，我们将我们的结果与Lorig、Pagliarani和Pascucci{LPP15}中的一般渐近展开进行了比较，并用蒙特卡罗模拟和Antonov\\&Spector{AS12}中给出的$\\rho=0$情况下的精确闭式解对SABR模型的结果进行了数值验证。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Small-time_asymptotics_for_a_general_local-stochastic_volatility_model_with_a_ju.pdf (422.41 KB)

2022-5-5 06:41:13 上传

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关键词：波动率模型 波动率 Quantitative Qualitative derivatives

局部随机波动率跳到默认值下的小时间渐近性：曲率和热核展开John Armstrong*Martin Forde+Matthew LorigHongzhong Zhang§2016年9月29日摘要我们计算了一般不相关局部随机波动率模型下隐含波动率的精确小时间估计。为此，我们使用Bellaiche[Bel81]热核展开结合拉普拉斯方法对紧致集上的波动变量进行积分，并且（在规范变换后）我们使用Davies[Dav88]上界对具有边界Ricci曲率的流形上的热核进行处理尾积分。如果相关性ρ<0，如果波动率的漂移采用特定的函数形式，并且没有局部波动成分，我们的方法仍然有效，我们的结果包括β=1，ρ的SABR模型≤ 0.对于不相关的随机波动率模型，我们的结果还包括β=1和有效均值回复漂移的SABR型模型，以及指数型Ornstein-Uhlenbeck模型。随后，我们用一个强度为λ的单跳到默认值来增强模型，这会为短的matu-rity微笑产生质的不同行为；特别是，对于ρ=0，对数货币量x>0，对于某些函数f（x），隐含波动率增加λf（x）t+o（t），其爆炸为x0。最后，我们将我们的结果与Lorig、Pagliarani和Pascucci[LPP15]中的一般渐近展开式进行比较，并使用蒙特卡罗模拟和Antonov和Spector[AS12]给出的物理文献中ρ=0.1的情况下的精确闭式解，对SABR模型的结果进行数值验证，de Witt[dW65]最初给出了热内核的一种非常方便的形式（参见Alsomcounce&Osborn[MO91]）。

我们可以根据拉普拉斯-贝尔特拉米算子加上一阶微分算子（即向量场），在RN上重写与一般微分过程相关的二阶椭圆算子；热核展开式是指向量场沿连接起点和终点的测地线所做功的指数，乘以Minaks hisundaram Pleijel[MP49]热核展开式（通常为Laplace Beltrami算子），它包含lar-ge偏差理论中的前导阶指数项，乘以测地球坐标下的黎曼体积形式元素的平方根（参见alsoChavel[Chav84]、Hsu[Hsu02]、Laurence[Laur10]、Neel[Neel07]、Molchanov[Mol75]）。[Mol75]使用过程终点的Girsanov测量和条件变化，即考虑桥接过程，提供了领先阶德维特展开的严格概率证明。Bellaiche[Bel81]证明了在一定的技术条件下，Molchanov展开也适用于非紧流形，本文使用的是后者。Paulot[Pau10]for mally在一般局部随机波动模型下，通过应用拉普拉斯方法在波动变量范围内积分热核，然后使用Tanaka-Meyer公式和一些著名的标准正态分布函数的辛展开式，导出了看涨期权的一个小时间展开式。[Pau10]还计算了众所周知的SABR模型的显式公式。Henry Lab ord\'ere[HL08]从有效局部波动率的小时间扩展中正式导出了隐含波动率的小时间扩展。

然而，两位作者都不认为在波动性变量的有限范围内进行适当的尾部估计是合理的（这是必要的，因为上述小时间热核扩展仅已知一致收敛）*伦敦国王学院数学系，伦敦斯特兰德，WC2R 2LS（约翰1。Armstrong@kcl.ac.uk)+伦敦国王学院数学系，伦敦斯特兰德，WC2R 2LS（马丁。Forde@kcl.ac.uk)美国华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图(mlorig@uw.edu)§IEOR系，哥伦比亚大学，纽约州纽约市10027(hz2244@columbia.edu)作者们要感谢埃尔顿·许、艾伦·刘易斯、罗伯特·尼尔、郑欧阳和路易斯·保洛特，感谢他们提供了许多有价值的见解，尤其要感谢已故的彼得·劳伦斯，他让MF注意到了贝拉热核估计。作者还感谢三位审稿人和一位副主编，他们的评论和建议改进了这篇手稿。在紧集上）。这是我们在本文中解决的主要技术问题，在适当的条件下，以体积系数α（y）和漂移系数u（y）作为y→ 0和y→ ∞.[FJ11]利用随机微分方程大偏差的Freidlin-Wentzell理论，描述零相关性局部随机波动模型的隐含波动率（在前序）的小时间行为，然后转化为微分几何问题，即计算黎曼流形上从点到垂直线的最短几何距离。

假设波动率是有界的，这意味着曲率可以改变符号（与SABRmodel不同），而这个可变端点问题的解决方案是使用守恒量获得的，守恒量是通过积分测地线方程和横截性条件得到的，其中s最短测地线在上述度量下垂直于垂直线。用H¨older不等式计算出欧洲看涨期权价格的小时间行为，然后将其转化为隐含波动率的小时间行为。[FJ11]还推导了小到期日限制下的隐含波动率的级数展开式，以对数货币的幂为单位，并展示了如何将这样一个模型调整为小到期日限制下的观测隐含波动率微笑。Gatheral等人[GHLOW12]考虑一维局部波动率模型的小时间渐近性，使用Girsanov定理和带桥过程的条件，推导出在R中一致保持的过渡密度的小时间展开式。他们还推导了隐含波动率的相应展开式。当扩散系数随时间变化时，他们发现，即使是扩展中的前导序项也需要一个小但重要的修改。对于时间均匀的一维扩散过程dSt=Stσ（St）dWt，他们证明了隐含波动率^σ（K，t）在走向K和到期时间t^σ（K，t）=σ（K）+σ（K）的渐近展开式罗格斯logpσ（S）σ（K）^σ（K）t+O（t）as t→ 0，这里是^σ（K）=logKSRKSduuσ（u）-1是众所周知的前导顺序术语（另见B usca等人[BBF02]，[BBF04]）。Deuschel等人。

[DFJV11]，[DFJV11b]以与Azencott、Birit和Ben Arous[BA88]相同的精神，在维纳空间上使用拉普拉斯方法来计算n维次椭圆扩散过程Xεt的正则投影到RMO的密度的小噪声展开。这是通过将Ben Arous展开应用于Xεt的特征函数，并结合四层反演来实现的。与热核膨胀相比，这种方法的优点是扩散系数不必均匀呈椭圆形。然而，他们没有计算展开前的前置因子，这是计算小时限内隐含波动率的修正项所需的，这在本文中是共同计算的。最近，Friz&de Marco[FdM13]考虑了一个由满足强Hormander条件的次椭圆扩散控制的随机波动率模型，在这种情况下，他们计算了股票价格密度的小时间行为的Varadhan型公式，并描述了以终端波动率为条件的终端股票价格规律的小时间行为，从中我们可以计算有效的局部波动率e（σt | St=K），这是Gy¨ongy[Gy¨o86]和Brunick&Shreve[BS13]更重要的模拟定理中的一个基本量。Lorig等人[LPP15]在一类一般的局部随机波动率模型下，推导了看涨期权和相关隐含波动率的完全渐近展开式，并给出了在均匀性条件下该模型的扩散系数的严格误差。

它们的误差界是利用Duhamel原理和Friedman对非齐次热传导方程基本解的偏导数的经典估计得到的[t+a（x）x] 就标准（均质）热方程的基本溶液而言，u=0[t+σx] 对于σ常数，u=0。Pagliarani和Pascucci[PP14]放松了均匀椭圆条件，他们考虑了退化（即非均匀抛物线）偏微分方程的一般类，包括CEV、Heston和SABR模型，以及混合cr编辑公平模型，如JDCEV模型，并且他们再次推导出了小时间的严格误差界。1.1文章概述在定理2.2中，我们回顾了Be-llaiche[Bel81]的小时间热核表达式。这是用来证明主要结果（定理4.6）的主要结果，我们在零相关性的一般局部随机波动率模型下计算了非即时看涨期权的小时间展开式。热核展开中的预因子用指数映射的雅可比矩阵表示，它是测地线起点和终点处两种体积形式拉回的比率。我们展示了如何通过在测地线法向坐标中工作来简化计算，并解释了曲率的几何意义，即与欧几里德度量法向坐标的一阶偏差。在第3节中，我们介绍了局部随机波动率模式l，并计算了拉普拉斯e-Beltrami算子、度量和与模型相关的曲率（度量由扩散系数矩阵的倒数得出）。然后，我们陈述了SDE中系数的技术假设，其中最重要的是α（y）~ 是的→ 0和α（y）~ 拜帕斯→ ∞ 对于某些常数A、B>0和p∈ （0，1），其中α（y）是体积系数的体积。

在这里~ 这意味着两个边之间的比率在极限范围内趋于1。这确保了上半平面上相关的黎曼流形是完整的：到y=0和y=∞ 在公制gijis in fine下，确保y=0和y=∞ 波动过程中难以达到的界限。然后，我们假设流形M具有负曲率（回想一下，在二维中，截面曲率和高斯曲率是相同的，这由Hadamard的theo-rem得出，意味着M的切割轨迹是空的），并讨论了一些已知的参数随机波动模型的简单例子。在定理4.6中，我们给出了本文的主要结果——在上述模型下，非现金认购期权的一个小时间展开式。这有效地强化了[FJ11]中获得的结果，并放松了有界波动的假设，以允许更真实的尾部行为（例如瞬间爆发）。我们的模型设置可以包括ρ=0、平均值回复漂移系数和β参数等于1的扩展SABR型模型，以及指数Ornstein-Uhlenbeck模型（见表1）。证据遵循Paulot[Pau10]的步骤，但非常严格。我们使用拉普拉斯方法将二维热核与勒贝格测度相乘，再乘以局部波动率的平方，以计算小时间展开式fordxE（σ（Xt）YtXt∈dx）式中，Yt为波动率，Xt为对数远期价格。

利用Davies[Dav88]对Ricci曲率自下有界的黎曼流形上的热核上界，结合规范变换处理尾积分。然后，我们使用Tanaka-Meyer公式，以dXe（σ（Xt）YtXt来估计看涨期权的价格∈dx）通过从零到期权到期的时间积分，并使用标准正态分布函数的已知渐近结果。只有当ρ=0时，这种使用规范转换的技巧才有效，除非我们对波动过程的漂移采用特定的函数形式，并且我们假设loca l波动函数σ（x）是常数（有关详细信息，请参见第4.4小节）。特别地，我们证明了β=1，ρ≤ 仍然可以使用此技巧处理0。据我们所知，这是首次在SABR模型下对隐含波动率的小时间修正项进行严格分析（前导阶项使用[BBF04]中的粘性解计算）。在附录B中，我们讨论了如何显式计算a在Bellaicheeexpansion中出现的漂移修正项，当没有局部波动分量时，该项的形式特别简单。在原则上，我们还可以正式推导出货币买入期权的类似展开式，对于这种期权，所有时间行为在质量上是不同的，但这需要了解Bellaiche热核展开式中的下一个术语（Bellaiche未给出），除了Laurence[Laur08]的幻灯片之外，我们没有关于下一个术语的公开参考，因此，我们推迟了未来工作的细节。在命题4.8中，我们使用Black-Scholes call Option公式，但使用依赖于时间的波动率函数，推导了相应的调用期权展开式。

这在第5节中是需要的，在这里我们要求对非货币期权的隐含波动性进行修正。隐含波动率的修正项很重要，因为它考虑了SDE中的漂移项，而[FJ11]中的结果未能捕捉到，因为FreidlinWentzell理论仅在粗略的对数尺度上起作用。修正期限也需要准确地近似于小到期日的看涨期权价格。在第7节中，我们给出了众所周知的SABR模型的所有利益表达的封闭式公式，并通过与蒙特卡罗模拟和在[AS12]中给出的ρ=0，β=1的SABR模型下看涨期权价格的封闭d型表达式进行比较，从数值上验证了我们的隐含波动率表达式。我们发现他们的意见非常一致。最后，在第8节中，我们通过在违约率为λ的情况下添加一个泊松跳跃来丰富模型，当ρ=0时，σ（x）≡ 1.我们表明，违约率的跃升增加了对数货币性x下的隐含波动率λ^σ（x）| x | y*（x） 当x>0时，t+o（t）（1）为t→ 0，其中^σ（x）是零阶隐含波动率，y*（x） 是由模型的效率差异引起的度量下，从点（x，y）到垂直线{x=x}的最短测地线交点的y值，并且（1）中的校正项随着对数s x0而增大。在整篇文章中，我们写a=o（b）当且仅当a/b的极限为0，因为某些利息参数趋向于零或完整（取决于上下文），并且写a=o（b）当且仅当lim sup | a/b |<∞. 如果a=O（b）和b=O（a）同时保持，我们写a b、 2.热核膨胀考虑了RN上的扩散过程以及微型发生器L。在局部坐标中，L的形式为L=X1≤i、 j≤奈伊（x）十一xj+X1≤我≤nbi（x）xix=（x。