渐进扩张背景下的套利

如果S只是一个局部鞅，那么我们将得到followslet{τn}n∈Nbe是S的F-局部化序列，意味着Sτ是a（P，F）鞅，从n开始∈ 自从P*|F∞= P | F∞F在P下浸入G中*, 认为Sτnisa（P*, G） 鞅。此外，由于Sτnis F自适应，我们也有Sτnis a（P*, F） 鞅。最后，序列{τn}n∈Nis将w.r.t.bo th本地化（P*, F） 和（P*, G） ，这意味着S是a（P*, F） 局部鞅。4一类诚实时间的经典套利在本文中，我们将[7]中获得的结果推广到任何完整市场，并推广到下文将定义的更广泛的诚实时间类别。这些结果是针对连续过滤的完整市场中的ho nest times avo-IdGf Stop times建立的。在本节中，我们用Ts表示所有F-停止时间的集合，Th表示所有F-诚实时间的集合，R表示由R:=nτ随机时间给出的随机时间的集合 Γ ∈ A和T∈ T使得τ=T 11Γ+∞11Γco，（4.1）提案n 4.1以下包含物 R 第。（4.2）C.FontanaProof向我们提供了这一证据：第一个包含内容是明确的。为了这个目的 为了方便读者，我们给出了两种不同的证明。让我们以τ为例∈ R.1）On（τ<t）=（t<t）∩ Γ，我们有τ=T∧ t和t∧ t是可测量的。因此，τ是最诚实的时间。2） 我们想在（τ<∞),eZτ=1。实际上，eZt=11（T≥t） P（Γ| Ft）+P（Γc | Ft），因此（τ<∞)eZτ=11Γ（T<∞)eZT=11Γ（T<∞)（11（T）≥T）P（Γ| FT）+P（Γc |FT））=11Γ（T）<∞)= 11(τ <∞).这证明τ是一个诚实的时间。下面的定理代表了我们在一般框架中的主要结果。定理4.2假设（S，F）是一个完整的市场，并假设φ是一个满足m=1+φ的F-可预测过程 s

那么下面的断言就成立了。（a） 如果τ是一个诚实的时间，τ6∈ R、 那么，G-可预测过程φb=φ11[[0，τ]]是“τ之前”市场上的一种典型的可预测策略，即in（Sτ，G）。（b） 如果τ是诚实时间，它不是F-停止时间，如果{τ=∞} ∈ F∞, 然后g可预测的过程φa=-ν11]]τ，ν]]，G-停止时间定义为ν：=inf{t>τ：eZt≤1.- Aoτ}（4.3）是市场中“τ后”的一种经典套利策略，即-Sτ，G）。证明：（a）来自m=eZ+Ao-andeZτ=1，我们推断mτ≥ 1.自τ/∈ R、 一个搭扣（mτ>1）=P（Aoτ-> 0) > 0. 然后，根据引理2.2，过程φb=φ11[[0，τ]]是套利策略in（Sτ，G）。（b） 从m=Z+ao和定理2.3（iv）中，我们可以得出，对于t>τ，mt-mτ=Zt-Zτ≥ -1.另一方面，使用m=eZ+Ao-, 我们可以得出，对于t>τ，mt- mτ=eZt- 1 + Aoτ。假设{τ=∞} ∈ F∞确保∞= 11{τ =∞}尤其是{τ<∞}  {eZ∞= 0}.因此，（4.3）满足{ν<∞} = {τ < ∞}. 那么，mν- mτ=eZν- 1 + Aoτ≤Aoτ- 1.≤ 0，并且，由于τ不是F-stop时间，P（mν- mτ<0）=P(Aoτ<1）>0。因此-Rt∧ντ~nsdSs=mτ∧T- mt∧ν是可接受的自我融资策略的值=-初始值为0，终端值为mτ-mν≥ 满足P（mτ）的0-mν>0）>0。定理的证明到此结束。备注4.3我们注意到，如果τ是一个有限的诚实时间（因此F∞-可测量）且不是一个覆盖时间，则密度假设不满足，浸入也不成立。事实上：（i）如果在某种等价的概率测度下，τ独立于F，那么密度假设成立∞.（ii）浸入性能与P（τ>t | Ft）=P（τ>t | F）相等∞) 对于有限的最短时间，它是11τ>t。那么，应该有P（τ>t | Ft）=11τ>tandτ将是一个停止时间。备注4.4市场的完整性是一个显而易见的条件。

有关计数器示例，请参见[7]。在接下来的两小节中，我们将探讨几个诚实时代的例子。它们中的每一个都被定义为可选集的结束，因此根据定理2.3（iii），这确实是一个诚实的时间。我们可以在这一节中明确地为布朗套利和布朗套利的机会开发布朗套利。对于诚实时间的其他例子，以及相关的经典套利，我们请读者参考[7]（注意，本文中构造的套利与我们的套利不同）。在这一小节中，我们假设给定一个一维布朗运动W和F是它的增强自然过滤。市场模型由过程为常数的银行账户和价格过程为t=exp（σWt）的股票表示-σt），给定σ>0。值得一提的是，在布朗过滤的上下文中，对于任何具有lo Cally可积分变化的过程V，其F-对偶可选投影等于其F-对偶可预测投影，即Vo，F=Vp，F.4.1.1给定水平的最后通过时间建议N4.5考虑以下随机时间τ：=sup{t:St=a}和ν：=inf{t>τ圣≤a} ，其中0<a<1。然后，以下断言成立。（a） “在τ之前”的模型（Sτ，G）承认G-可预测过程φb=a{S<a}I]]0，τ]]给出的经典套利机会。（b） 模型“在τ之后”（S-Sτ，G）承认由G-可预测过程给出的经典套利机会-a{S<a}I]]τ，ν]]。证明：自τ∈ 我们利用定理4.2。我们计算可预测的过程，例如m=1+ 为此，我们计算Z如下。

使用[10，练习1.2.3.10]，我们得出- Zt:=P（τ）≤ t | Ft）=Psupt<uSu≤ a |英尺= P苏普苏≤阿斯特|英尺= Φ阿斯特式中，esu=exp（σfWu）-σu），fW独立于FtandΦ（x）=P苏普苏≤ 十、= P（U）≤ x） =P（x）≤ U）=（1）-x） +，其中U是具有统一定律的随机变量。因此我们得到Zt=1-(1-Sta）+（特别是Zτ=eZτ=1），dzt=11{St<a}adSt-2adl在哪里lAi是a级S的当地时间（当地时间的定义见He等人[9]第252页）。因此，我们推导出m=1+~n 注意，ν：=inf{t>τ圣≤a} =inf{t>τ| 1- (1 -（Sta）+≤}, 所以ν与（4.3）一致。定理4.2结束了命题的证明。4.1.2到期前水平的最后通过时间我们的第二个随机时间示例，在这一亚区中，考虑了有限的地平线。在本例中，我们引入以下符号H（z，y，s）：=e-zyNzs- Y√s+ 埃辛-zs-Y√s, （4.4）其中N（x）是标准正态分布的累积分布函数。建议N4.6考虑以下随机时间（诚实时间）τ：=sup{t≤ 1:St=b}其中b是正实数，0<b<1。设V和β为vt:=α- γt-α=ln bσ和γ=-σβt:=eγVt（γH（γ，| Vt |，1-（t）- sgn（Vt）H′x（γ，|Vt |，1-t） ），其中H在（4.4）中定义，且设ν与（4.3）中相同。然后，以下断言成立。（a） “在τ之前”的模型（Sτ，G）承认G-可预测过程φb:=σStβtI[[0，τ]]给出的经典套利机会。（b） 模型“在τ之后”（S-Sτ，G）承认由G-可预测过程φa给出的经典套利机会：-σStβtI]]τ，ν]]。证明：这个命题的证明来自定理4.2，只要我们可以将鞅写成关于S的积分随机数。这是这个证明剩余部分的主要重点。根据定理2.3（iii），时间τ是诚实且有限的。

诚实时间τ可以看作τ=sup{t≤ 1：γt+Wt=α}=sup{t≤ 1:Vt=0}。设置T（V）=inf{T:Vt=0}，我们使用标准计算得到（见[10]第145-148页）1- Zt=P（τ）≤ t | Ft）=（1- eγVtH（γ，|Vt |，1-t） ）11{t（V）≤T≤1} +11{t>1}，其中H在（4.4）中给出。特别是Zτ=eZτ=1。利用它的引理，我们得到了1的分解- eγVtH（γ，|Vt |，1- t） a是半鞅。Z的鞅部分由dmt=βtdWt=σStβtdSt给出，从而结束了证明。4.2泊松滤波中的套利机会在本小节中，我们假设给定泊松过程s N，强度率λ>0，自然滤波F。股票价格过程由DST=St给出-ψdMt，S=1，Mt:=Nt- λt，（4.5）或等效的St=exp(-λψt+ln（1+ψ）Nt），其中ψ>-1.在下文中，我们引入转动α：=ln（1+ψ），u：=λψln（1+ψ）和Yt:=ut- 所以St=exp(-ln（1+ψ）Yt）。给定的破产概率x（x）由x表示∞), 用Tx=inf{t:x+Yt<0}和x≥ 0.（4.7）下面，我们描述了诚实时间的第一个示例以及相关的套利机会。4.2.1给定水平下的最后通过时间建议N4.7假设ψ>0，并设ψ=ψ（Y）-- A.-1） 11{Y-≥a+1}- ψ（Y）-- a） 11{Y-≥a} +11{Y-<a+1}- 11{Y-<a} ψS-.对于0<b<1，考虑以下随机时间τ：=sup{t:St≥ b} =sup{t:Yt≤ a} ，（4.8）带a:=-αln b.那么下面的断言成立。（a） “在τ之前”（Sτ，G）的模型承认了G-可预测过程φb:=φI[[0，τ]]给出的经典套利机会。（b） 模型“在τ之后”（S-Sτ，G）承认由G-可预测过程φa给出的经典套利机会：-νI]]τ，ν]]，其中ν如（4.3）所示。证明：由于ψ>0，一个有u>λ，所以Y到+∞ 当t到单位时，τ是有限的。

与时间τisZt=P（τ>t | Ft）=ψ（Yt- a） 11{Yt≥a} +11{Yt<a}=1+11{Yt≥a} （ψ（Yt）- （a）-1） ，其中ψ在（4.7）中定义（有关本例的更多详细信息，请参见[1]）。我们设置θ=μλ- 1，并推导出ψ（0）=（1+θ）-1（见[3]）。定义θ=inf{t>0:Yt=a}，然后，对于每个n>1，θn=inf{t>-1:Yt=a}。可以证明，时间是可预测的F-stop时间（[1]）。过程的F-对偶可选投影ao11[[τ，∞]]等式Sao=θ1+θXn[[θn，∞]].实际上，对于任何F-可选过程U，我们有E（Uτ）=E（X{τ=n}Uθn）=E（XE（11{τ=n}Fθn）Uθn）和E（11{τ=n}Fθn）=P（T=∞) = 1.-Ψ(0) = 1 -1+θ.因此，过程AO是可预测的，因此Z=m- Ao是Z的Doob Meyer分解，因此我们可以m=Z-其中pz是Z的F-可预测投影。为了计算pz，我们用更合适的形式写出过程Z。为此，我们首先指出{Y≥a} =11{Y-≥a+1}N+（1）-N）11{Y-≥a} 11{Y<a}=11{Y-<a+1}N+（1）-N） 11{Y-<a} 。然后，我们得到m=ψ（Y）-- A.-1） 11{Y-≥a+1}- ψ（Y）-- a） 11{Y-≥a} +11{Y-<a+1}- 11{Y-<a}N=ψS-φM=~nS.由于两个鞅m和S是不连续的，我们推断m=1+ν 因此，这个命题遵循定理4.2。请注意，这里我们讨论的是可预测投影，而不是双重可预测投影。4.2.2固定时间范围内的上确界时间第二个示例需要以下符号*t:=sups≤tSs，ψ（x，t）：=P（S）*t> x），bΦ（t）：=P（sups<tSs≤ 1） ，eΦ（x，t）：=P（sups<tSs<x）（4.9）命题n 4.8考虑由τ=sup{t定义的随机时间τ≤ 1:St=S*t} ，（4.10）其中*t=sups≤tSs。

然后，以下断言成立。a） 对于ψ>0，将G-可预测过程定义为ψt:=11{t<1}hψ麦克斯（S）*T-圣-(1+ψ), 1), 1 - T- Ψs*T-圣-, 1.- Ti+11{S*T-<圣-（1+ψ）}bΦ（1）- t） +h{max（S）*1.-,S1-（1+ψ））=S}- 11{max（S）*1.-,S1-)=S} i{t=1}。那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。在这里，ψ和bΦ的定义见（4.9），而ν的定义与（4.3）类似。b） 因为-1<ψ<0，定义G-可预测过程φt:=ψI{S*t=St-}bΦ（1+ψ，1）-t） +ψ（S）*tSt-(1+ψ), 1 -（t）- ψ（S）*tSt-, 1.-t） ψSt-.那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。证据：注意，如果-1<ψ<0过程S*是连续的，Sτ<S*τ=supt∈[0,1]Ston集（τ<1）和Sτ-= s*τ -= 监督∈[0,1]St.如果ψ>0，Sτ-< s*τ -< 监督∈[0,1]在集合上（τ<1）。定义集合（英文）∞n=0使得E={τ=1}和En={τ=Tn}与n≥ 1.顺序（英文）∞n=0构成一个Ohm. 那么，τ=11E+P∞n=1TnEn。注意，τ不是自En起的F停止时间/∈ FTN≥ 1.与诚实时间τisZt=P（τ>t | Ft）=P（sups）相关的超马氏体Z∈（t，1]Ss>sups∈[0，t]Ss | Ft）=P（sups∈[0,1-t] bSs>S*tSt | Ft）=11（t<1）ψ（S）*tSt，1-t） ，对于b，S和ψ（x，t）的独立副本由（4.9）给出。As{τ=Tn} {τ ≤ Tn} {ZTn<1}，我们有Zτ=11{τ=1}Z+∞Xn=1{τ=Tn}ZTn<1，{eZ=0<Z-} = .下面我们将证明断言a）。因此，我们支持ψ>0，并计算出eaot=P（τ=1 | F）11{t≥1} +XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} {t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn-<STn}P（sups∈[Tn，1[Ss]≤ STn | FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} {t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn-<STn-（1+ψ）}bΦ（1）- Tn）11{t≥Tn}，其中bΦ由（4.9）给出。

如前所述，我们的标准是=11{S*=S} {t≥1} +Xs≤t{s<1}{s*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦ（1）- （s）Ns=11{S*=S} {t≥1} +Zt∧1{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦ（1）- s） dMs+λZt∧1{S*s-<党卫军-(1+ψ)}^Φ(1 - s） ds。注意我们有{S*=S} =h{max（S）*1.-,S1-（1+ψ））=S}- 11{max（S）*1.-,S1-)=S} 我M+11{max（S）*1.-,S1-)=S} 。和m=Z+Ao=Z-p（Z）+敖-p(Ao）。然后，我们将过程Z重新写入如下Z=11[[0,1[[ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1), 1 - TM+（1）-M） I[[0,1[[ψ]s*-s-, 1.-T.这意味着-p（Z）=11[[0,1][[Ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1), 1 -T- Ψs*-s-, 1.- T因此，通过结合所有这些重新标记，我们推断m=Z-p（Z）+敖-p(Ao）=~n然后，断言a）紧跟在定理4.2之后。接下来，我们将证明断言b）。假设-1<ψ<0，我们计算eaot=P（τ=1 | F）11{t≥1} +XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} {t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn=STn-}P（sups）∈[Tn，1[Ss<STn-|FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn=STn-}eΦ（STn）-STn，1-Tn）11{t≥Tn}，其中eΦ（x，t）由（4.9）给出。为了找到Ao的补偿器，我们写下EAOT=11{S*=S} {t≥1} +Xs≤t{s<1}{s*s=Ss-}eΦ（1+ψ，1）-（s）Ns=11{S*=S} {t≥1} +Zt∧1{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ，1）-s） dMs+λZt∧1{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ，1）-s） ds。因此，由于过程的连续性*, 我们找到了-p（Ao）t=I{S*t=St-}eΦ（1+ψ，1）-（t）Mt，Zt-压电陶瓷=ψ（S）*tSt-(1 + ψ), 1 - （t）- ψ（S）*tSt-, 1.-（t）新界。这意味着mt=Zt-pZt+Aot-p（Ao）t=ψI{S*t=St-}eΦ（1+ψ，1）-t） +ψs*tSt-(1 + ψ), 1 -T- Ψs*tSt-, 1.-T新界。由于m和S是纯间断F-局部鞅，我们得出结论，m可以写成m=m+ν·S的形式，断言b）的证明紧随定理4.2。这就结束了这一主张的证明。我们将在下面展示我们的最后一个例子。本例的分析基于以下三个函数。ψ（x）=P（S）*> x） =P（supsSs>x），bΦ=P（supsSs≤ 1） ，andΦ（x）=P（supsSs<x）。

（4.11）建议N4.9考虑由τ=sup{t:St=S给出的随机时间τ*t} 。（4.12）那么，以下断言成立。a） 对于ψ>0，将G-可预测过程定义为Фt:={S*T-<圣-（1+ψ）}bΦ+ψ麦克斯（S）*T-圣-(1+ψ), 1- ψ（S）*T-圣-)圣-ψ.那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。在这里，ψ和bΦ的定义见（4.11），而ν的定义方式与（4.3）类似。b） 因为-1<ψ<0，将G-可预测过程定义为ψ：=ψ（S*s-(1+ψ)) - ψ（S）*s-) + 11{S*=s-}ψ（ψ）1-.那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。这里再次定义了ν，如（4.3）所示。证明：让我们注意到τ是有限的，与之前一样，如果-1<ψ<0，Sτ<S*τ=支撑S*是连续的，如果ψ>0，Sτ=S*τ=suptSt。与诚实时间τisZt=P（τ>t | Ft）=P（sups∈（t），∞]Ss>sups∈[0，t]Ss | Ft）=P（sups∈[0,∞]bSs>S*tSt | Ft）=ψ（S）*（4.1）给出了S和ψ的独立系数。因此，我们推断Zτ<1。在下面，我们将证明断言a）。我们假设ψ>0，用（Tn）表示泊松过程N的跳跃序列，我们导出ot=XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn-<STn}P（sups≥TnSs≤ STn | FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn-<STn-（1+ψ）}bΦ11{t≥Tn}，其中bΦ=P（supsSs≤ 1） 由（4.11）给出。我们继续寻找AoAot=Xs的补偿≤t{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦNs=Zt{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦdMs+λZt{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦds。现在，正如我们对前面的命题所做的，我们计算m的跳跃。

为此，我们写如下=Ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1)- ψ（S）*-s-)M+ψ（S）*-s-).这意味着-pZ=Ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1)- ψ（S）*-s-)因此，我们得出m={S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦ+ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1)- ψ（S）*-s-)M.由于鞅M和M都是纯不连续的，我们推断M=M+~n 然后，这个命题紧跟定理4.2。在下面，我们将证明断言b）。为此，我们假设ψ<0，并计算eaot=XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn=STn-}P（sups）≥TnSs<STn-|FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn=STn-}eΦ（STn）-STn）11{t≥Tn}，其中eΦ（x）=P（supsSs<x）。因此，Aot=Xs≤t{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ）Ns=Zt{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ）dMs+λZt{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ）ds。因为在ψ<0的情况下，过程S*是连续的，我们得到-pZ=ψ（S）*s-(1 + ψ)) - ψ（S）*s-)N、 敖-p（Ao）=11{S*=s-}eΦ（1+ψ）M.因此，我们得出结论：m=Z-pZ+Ao-p（Ao）=ψ（S）*s-(1 + ψ)) - ψ（S）*s-) + 11{S*=s-}eΦ（1+ψ）ψN.这意味着鞅m的形式为m=1+~n·S，断言b）紧随定理4.2，命题的证明完成。5非诚实随机时间的套利机会本节是本文的第二个主要部分。在这里，我们开发了一些市场模型的实际例子和随机时间的例子，这些时间不是诚实的时间，我们研究了经典套利的存在性。本节包含两个小节，讨论两种不同的情况。5.1在布朗过滤：Emery的例子中，我们在这里给出了一个例子，其中τ是一个伪停止时间。让我们通过dSt=σStdWt来定义，其中W是布朗运动，σ是常数。设τ=sup{t≤ 1:S- 2St=0}，即1之前的最后一次，此时价格等于其在时间1的终值的一半。上述模型中的提议N5.1 NA在τ之前成立。