渐进扩张背景下的套利

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英文标题：
《Arbitrages in a Progressive Enlargement Setting》
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作者：
Anna Aksamit, Tahir Choulli, Jun Deng, Monique Jeanblanc
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  This paper completes the analysis of Choulli et al. Non-Arbitrage up to Random Horizons and after Honest Times for Semimartingale Models and contains two principal contributions. The first contribution consists in providing and analysing many practical examples of market models that admit classical arbitrages while they preserve the No Unbounded Profit with Bounded Risk (NUPBR hereafter) under random horizon and when an honest time is incorporated for particular cases of models. For these markets, we calculate explicitly the arbitrage opportunities. The second contribution lies in providing simple proofs for the stability of the No Unbounded Profit with Bounded Risk under random horizon and after honest time satisfying additional important condition for particular cases of models.
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中文摘要：
本文完成了Choulli等人对半鞅模型在随机区间和诚实时间后的无套利的分析，包含两个主要贡献。第一个贡献在于提供和分析了许多市场模型的实际例子，这些模型承认经典套利，同时在随机视界下，以及在模型的特定情况下，当引入诚实时间时，它们保持有界风险的无无界利润（下文简称NUPBR）。对于这些市场，我们明确计算套利机会。第二个贡献在于，对于模型的特殊情况，在满足额外重要条件的诚实时间下，为具有有限风险的无无界利润的稳定性提供了简单的证明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-5-5 06:49:21 上传

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关键词：Contribution Applications Differential Quantitative Probability

渐进扩张背景下的套利安娜·阿克萨米特*, Tahir Choulli+、Jun Deng+和Monique Jeanblanc*2018年7月24日摘要本文完成了Choulli等人[5]的分析，并包含两个主要贡献。第一个贡献在于提供和分析许多市场模型的实际例子，这些模型承认经典套利，同时在随机视界下以及在模型的特定情况下纳入诚实时间时，它们保持有界风险的无无界利润（下文简称NUPBR）。对于这些市场，我们明确计算了套利机会。第二个贡献在于，在随机视界下，在诚实时间满足模型特殊情况的附加重要条件后，为有界风险的有界概率的稳定性提供了简单的证明。1导言本文研究的是一个金融市场，其中一些资产根据参考过滤进行了调整。然后，我们假设一个代理有一些额外的信息，并且可能会使用适应更大过滤G的策略。这个额外的信息是由一些随机时间τ的知识建模的，当这个时间发生时。我们严格学习以提高过滤环境，并特别关注诚实的时代。我们的目标是检测τ的知识是否允许一些套利，即，如果使用G-适应策略，代理可以进行套利。在本文中，我们考虑了无套利的两个主要概念，即无经典套利和有界风险的有界套利。据我们所知，在一般情况下，没有关于经典套利的参考文献。

本文的目的是首先介绍这个问题，在一些特定的情况下解决它，并给出一些经典套利的明确例子（与[7]中的证明不同），其次在一些特定的模型中，给出有界风险条件下的非无界利润的简单估计。在诚实时间避免连续过滤中的停止时间的情况下，Fontana等人[7]研究了同样的问题，作者调查了几种套利。我们请读者阅读那篇论文，查阅文献中大量的相关结果。本文的组织结构如下：第2节介绍了这个问题，并回顾了关于套利和逐步扩大过滤的一些定义和结果。在第3节中，我们研究了过滤理论扩展中的两种典型情况，即浸入和正密度催眠情况。第4节涉及诚实时间，我们证明，在完全市场的情况下，在下一个时间之前和之后都存在经典套利，我们给出了构造这些套利的方法。许多例子都说明了这一点，我们在一个封闭的m中展示了这些套利。在第5节中，我们研究了一些非诚实时间的例子。在第6节中，我们在一些具体例子中研究了arandom时间之前和诚实时间之后的NUPBR条件。*法国埃弗里埃松大学实验室分析与概率+数学与统计科学系。，加拿大埃德蒙顿阿尔伯塔大学2一般框架我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, A、 F，P）其中过滤F满足通常假设∞ A、 和一个随机时间τ（即，一个正的A-mea可测量随机变量）。

假设交易价格为S（F适应正过程）的风险资产和无风险资产（为简单起见，假设价格为常数，无风险利率为零）的金融市场是无套利的。更准确地说，在没有普遍性的情况下，我们假设S是（P，F）-（局部）鞅。在本文中，地平线等于∞.我们用G表示F逐渐扩大的过滤，即包含F的最小右连续过滤，使τ成为定义为gt=∩>0英尺+∨ σ(τ ∧（t+）。我们认为（H′）假设在两个过滤F和G之间成立，其中F 如果anyF鞅是G-半鞅。对于半鞅X和可预测过程H，我们使用符号H 随机积分r·hsdxsw存在时的X。我们从一个基本的注释开始：假设不存在使用G-可预测策略的套利，并且P是唯一的概率测度，使得S是F-ma可预测的。因此，特别是（S，F）市场是完整的（即（S，S）交易的市场）。那么，粗略地说，对于一些等价的马氏测度Q，S可以是a（Q，G）-鞅，因此也可以是a（Q，F）-鞅，Q将与F上的P重合。这意味着任何（F，Q）-鞅都是a（G，Q）-鞅。另一个微不足道的重新标记是，在τ是F-停止时间的特殊情况下，放大过滤和参考过滤是相同的。因此，在τ.2.1示例之前和之后均不存在套利条件。我们在这里研究两个基本示例，以在第一步中展示在aBrownian过滤中如何发生套利，在第二步中，不连续模型呈现出一些困难。2.1.1布朗caseLet dSt=StσdWt，其中W为布朗运动，σa为常数，为风险资产的价格。这个鞅S到0 a.S。

当t变为单位时，随机时间τ=sup{t:St=S*}在哪里*= 小吃≥0SSI是一个固定的诚实时间，显然会导致eτ之前的套利：在时间0，购买一股S（以S价），借入S，然后在时间τ偿还贷款，并以Sτ价出售资产份额。增益为Sτ- S> 0，初始值为空。τ之后也有套利s：在τ时间点，对s进行空头头寸，即持有价值为V的自筹资金，使dVt=-dSt，Vτ=0。通常不允许空头头寸，因为vt=-St+Sτ不在下面有界。在这里-St+Sτ是正的，因此卖空是一种任意选择的机会。2.1.2泊松情形N为强度为λ的泊松过程，M为其补偿鞅。我们将定价过程定义为dSt=St-ψdMt，S=1，其中ψ是一个常数，满足ψ>-1和ψ6=0，s othatSt=exp(-λψt+ln（1+ψ）Nt）。注意，如果S是某个等价鞅测度Q的（Q，G）-严格局部鞅，当t变为整数且ln（1+ψ）时，我们不能推断它也是一个（Q，F）-局部鞅-ψ<0，当t进入单位时，s变为0 a.s.w。随机时间τ=sup{t:St=S*}和S*= 小吃≥这是一段诚实的时光。如果ψ>0，则Sτ≥ 一个套利机会在时间τ实现，在股票中有很长的位置。如果ψ<0，那么套利就不那么明显了。我们将在第4.2节中详细讨论这一点。在τ之后存在套利，在τ时间出售或有权益，支付金额为1，在τw之后第一次支付≤τSs。当ψ>0时，它减小为Sτ=sups≤τSs，对于ψ<0，一个hasSτ-= 小吃≤τSs。

在时间t=τ时，不知情的买方将有权支付正价格，而知情的卖方知道这项工作永远不会完成。2.2允许的投资组合和套利机会在本节中，我们回顾了套利的基本定义，并给出了零利率市场中无套利的充分条件。详情请参考[7]。让K成为其中一个过滤器F、 G. 注意，为了使积分θ S对G可预测过程θ有意义，我们需要S是G-半鞅。这需要（关于{t>τ}）关于τ的一些假设。暂时∈ R+，元素θ∈ 如果（θ），则称LK（S）为a-a可容许的K策略 （S）∞:=极限→∞(θ  S） 德州学者和Vt（0，θ）：=（θ） S） t≥ -所有t的P-a.s≥ 0.我们用所有a-容许K-策略的AKatheset表示。过程θ∈ 如果θ∈ AK:=Sa∈R+AKa。如果V（0，θ），一个可容许策略产生一个套利机会∞≥ 0 P-a.s.和PV（0，θ）∞>> 为了避免混淆，我们将这些套利称为经典套利。如果没有这样的θ∈ AKwe表示，金融市场M（K）：=(Ohm, K、 P；S） 这就是无套利（NA）条件。在金融市场M（K）中，如果且仅当K中存在一个等价的鞅测度，即一个概率测度Q，则不存在具有消失风险的免费午餐（NFLVR）~ 这个过程是一种（Q，K）-本地马丁酒。如果NFLVR成立，就不存在经典套利。非负K∞-P（ξ>0）>0的可测随机变量ξ如果所有x>0存在一个元素θx，则产生一个有界风险的无界概率∈ 那么V（x，θx）∞:=x+（θx） （S）∞≥ ξP-a.s。

如果不存在这样的随机变量，我们认为金融市场M（K）满足无无界有界风险（NUPBR）条件。当且仅当NA和NUPBR均成立时，我们认为NFLVR成立（见[6]共同提案3.4和提案3.6[14]）。严格正K-局部鞅L=（Lt）t≥0，L=1和L∞> 0 P-a.s.被称为（s，K）在时间范围内的局部鞅定义[0，] 如果程序失败是K-局部鞅；在这里 这是一个K停止时间。[14]中定理4.12给出了描述严格正态价格过程的NupBr条件的重要结果，然后在[17]中定理5中进行了推广。我们在这里重做。定理2.1设我们是一个严格正的K-半鞅。然后，当且仅当K.2.3过滤结果的扩大存在局部鞅函数时，NUPBR条件成立。我们现在回顾一些关于过滤逐步扩大的基本结果。读者可以参考Jeulin[11]和Jeulin and Yor[12]了解更多信息。设τ为随机时间，即正随机变量。我们定义了左极限为F-supermartingaleZt:=P的右连续τ>t英尺.注意，如果P（τ>0）=1，Z=1。Z的光学分解导致了一个重要的F-对偶，我们用m表示，给定m:=Z+Ao，（2.1），其中Ao是A:=11[[τ，∞[[（所以Ao是一个非递减过程）。注意，m是非负的：的确，mt=E（Ao）∞+ Z∞|（英国《金融时报》）。第二个重要的F-超鞅，通过Hezt定义：=Pτ ≥ T英尺,将在接下来的部分中演奏一首特殊的r^ole。其中一个有Z=Z+Ao，因此，超级艺术家们将a分解为aseZ=m- 敖-. （2.2）我们从以下明显（但有用）的结果开始MMA 2.2假设金融市场（S，F）是完整的，并假设φ是满足m=1+φ的F-可预测过程 s

如果mτ≥ 1和P（mτ>1）>0，那么，G-可预测过程φ11[[0，τ]]是“τ之前”市场中的一种经典套利策略，即in（Sτ，G）。证据：由于市场的完整性，存在F-可预测过程。因此，11[[0，τ]]~n是初始值为1，最终值为mτ的可预测容许自融资策略-1满足mτ- 1.≥ 上午0点。P（mτ）- 1>0）>0，这是（Sτ，G）中的一种经典套利策略。2.3.1τ之前的分解公式在第一步中，我们将注意力限制在τ之前发生的事情上。因此，我们不需要对τ进行额外的假设，因为对于任何随机时间τ，如Jeulin[11，Prop.（4,16）]：对于任何F-局部鞅X，我们将G-局部鞅bx（在时间τ处停止）bXt:=Xτt建立的，在τ处停止的任何F-鞅都是GSEMI鞅-Zt∧τdhX，mifsz-, （2.3）式中，通常Xτ是被定义为Xτt=Xt的停止过程∧τ.一个有趣的例子是伪停止时间。我们记得，随机时间τ是一个伪停止时间，在τ处停止的任何F-鞅都是G-鞅（见[16]）。这相当于F-鞅m始终等于1.2.3.2诚实时间和τ后的分解公式。我们需要对τ施加条件，使得（F-鞅）价格过程S是G-半鞅，这样就可以定义G可预测过程关于S的随机积分，我们对必要的条件和充足的条件不感兴趣，这些条件很难处理（见[11，III，2，c]）。相反，我们关注的是诚实的时代。如有必要，请参阅附录中的定义。OREM 2.3设τ为随机时间。

然后，以下条件是等价的：（i）随机时间τ是诚实的，即，对于每个t≥ 存在一个Ft可测的随机变量τtsuch，τ=τton{τ<t}。（ii）在{τ<∞}.（iii）存在一个可选集∧，使得τ（ω）=s up{t:（ω，t）∈ {τ<∞}.（iv）Aot=Aot∧τ.证明：条件（i）、（ii）和（iii）之间的等价性在[11]的定理（5,1）中给出。含义（一）=> （iv）来自[4]中类似的论点。为了完成证明，我们展示了（iv）=> （三）。设∧为测度dAo的支撑，即∧={（ω，t）|ε>0 Aot（ω）>Aot-ε(ω)}.se t∧是可选的，因为ao是可选的过程。然后，[[τ]] ∧和Aot=Aot∧τ意味着τ确实是{τ<∞}. 在诚实时间的情况下，任何F-鞅X都是具有（可预测的）分解[11，Prop.（5,10）]Xt=bXt+Zt的G-s e mima r鞅∧τdhX，mifsz--Ztt∧τdhX，miFs1- Zs-, （2.4）其中BX是一种G-本地市场啤酒。我们想强调Z的作用。正如我们将看到的，这个过程对于证明套利机会的存在非常重要。我们也给出了诚实时间的一个简单特征——停止时间。引理2.4随机时间τ是一个诚实时间，当且仅当Zτ=1a时避免F-停止时间。s、 关于（τ<∞).证明：假设τ是一个诚实的时间，避免F-停止时间。根据定理m 2.3，诚实性意味着Zτ=1，避免性意味着对于每个F-停止时间T，E，AO的连续性(AoT）=P（τ=T<∞) = 0.那么，关系式Z=Z+结果就是这样。现在假设在set{τ<∞}. 然后，在{τ<∞} 我们有1=Zτ≤eZτ≤ 1，soeZτ=1，τ是一个时间单位。此外Aoτ=eZτ- Zτ=0，对于每个F停止时间Twe haveP（τ=T<∞) = E（11{τ=T}{Aoτ=0}（T<∞)) = E（Z）∞{u=T}{Aou=0}dAou=0。所以τ避免了F停止时间。

3.一些特殊情况3。1浸入假设，密度假设我们记录了过滤F在Q下浸入G，如果有（F，Q）-局部鞅是（G，Q）局部鞅。引理3.1如果浸入性质在G上的概率Q下满足，例如S是（F，Q）-鞅，则NFLVR、NA和NUPBR的所有三个概念都成立。证明：假设我们是（F，Q）-局部鞅，那么它也是（G，Q）-局部鞅。一种说法是，如果存在正EFT，则随机时间τsa符合正密度假设 B（R+）-可测函数（ω，u）→ αt（ω，u）表示：对于任何一个相对有界函数φ，E（φ（τ）|Ft）=ZR+φ（u）αt（u）f（u）du，P- a、 其中f是τ的密度函数。换句话说，τ的条件分布由gt（θ）：=P（τ>θ| Ft）=Z定义的生存概率来表征∞θαt（u）f（u）du。在这种情况下，假设（H′）是满足的（见[2]或[8]）。引理3.2如果S是（P，F）-鞅，如果τ关于F的条件定律满足正密度假设，则NFLVR适用于G。因此NA和NU PBR也适用于G。证据：事实上，在正密度假设下，可以证明（参见Amendinger的论文[2]和Grorud and Pontier[8]），亲婴儿性*, 定义在F上∨σ（τ）asdP*|英尺∨σ（τ）=αt（τ）dP | Ft∨σ（τ）满足P下的以下断言（i）*, 对于任何t（ii）P，τ与ftp无关*|Ft=P | Ft（iii）P*|σ（τ）=P |σ（τ）注意，浸入是在P下进行的*. 现在很明显，如果S是一个（P，F）-鞅，则放大的过滤F中的NFLVRholds∨σ（τ），因此在G中。实际上，（F，P）-鞅S是-使用独立性-an（Fτ，P）*)-鞅，所以S，被G适应，是a（G，P）*)-鞅与P*是一个等价的鞅测度。