渐进扩张背景下的套利

在τ之后还有经典的套利。证明：注意{τ≤ t} ={inft≤s≤12Ss≥ S} ={inft≤s≤1SST≥SSt}Sincesst，s≥ t和sstare独立于Ft，P（inft≤s≤1SST≥SSt | Ft）=P（inft≤s≤12Ss-T≥ S1-t） =Φ（1）- t） 式中Φ（u）=P（infs≤u2Ss≥ 苏）。由此可知，超鞅Z是一个确定性递减函数，因此，τ是一个伪停止时间，S是一个直到τ的G-鞅，并且在τ之前不存在轨道S。在τ之后显然存在套利，因为在t时间τ之后，人们知道沙的值S>Sτ。事实上，对于t>τ，一个人有St>Sτ，并且套利在1之前的任何时间都是存在的。5.2在泊松滤波中，该子部分发展了类似的随机时间示例——如前一子部分的布朗滤波——并表明这些随机时间对市场经济结构的影响与前一子部分的影响大不相同。在本节中，我们将研究强度为λ且补偿鞅mt=Nt的泊松过程N- λt.表示tn=inf{t≥ 0:Nt≥ n} ，Hnt=11{Tn≤t} n=1,2。股票价格S被描述为d bydSt=St-ψdMt，其中，ψ>-1，ψ6=0。（5.1）或等效性，St=Sexp(-λψt+ln（1+ψ）Nt）。那么，Mt:=Ht- λ（t）∧T） ：=Ht- At，a和Mt:=Ht- （λ（t）∧（T）- λ（t）∧ T） ）：=Ht- 有两个F-鞅。注意如果ψ∈ (-1,0）之间，股价上升；如果ψ>0，b e tween and T，则stock过程减小。这将是套利存在的起点。5.2.1两个跳跃时间的凸组合下面，我们给出了一个随机时间的例子，它避免了停止时间，且无套利性失效。建议N5.2考虑避免停车时间的随机时间τ=kT+kTF，其中k+k=1，k，k>0。

那么以下性质成立：（a）随机时间τ不是一个诚实的时间。（b） eZτ=Zτ=e-λk（T）-T） <1，{eZ=0<Z-} = .（c） τ之前有一个经典套利，由φt给出：-E-λkk（t）-（T）{Nt-≥1}- 11{Nt-≥2}ψSt-{t≤τ }. （5.2）（d）τ：ifψ之后存在套利∈ (-1,0），在τ买入，在T之前卖出；如果ψ>0，s在τ时卖空，在T之前买回。证明：首先，我们计算超鞅Z:P（τ>T|Ft）=11T>T+11{T≤t} 集合E=（t）上的{t>t}P（kT+kT>t | Ft）≤ （t）∩（T>T），量P（kT+kT>T | Ft）是可测量的。接下来，在E上，P（kT+kT>t | Ft）=P（kT+kT>t，t>t | Ft）P（t>t | Ft）=E-λk（t）-T） e-λ（t）-T） =e-λkk（t）-T） ，我们使用了Tand T的独立性- 因此，我们推断，P（τ>T | Ft）=11{T>T}+11{T≤t} {t>t}e-λkk（t）-T） 。因为Zt=（1-Ht）+Ht（1）-Ht）e-λkk（t）-T） 我们利用e-λ（t）-T） dHt=dHt，dZt=-dHt+e-λkk（t）-T） （（1）- Ht）dHt- HtdHt）- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt=e-λkk（t）-T）(-HdHt- HtdHt）- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt=-E-λkk（t）-T） dHt- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt=dmt- E-λkk（t）-T） dAt- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt，其中dmt=-E-λkk（t）-T） dMt。Hencemτ=1-Zτe-λkk（t）-T） dMt=1+ZτTe-λkk（t）-T） λdt>1。现在我们开始证明这个命题。i） 因为τ避免了停止时间，所以Z=eZ。注意EZτ=Zτ=e-λk（T）-T） <1。因此，τ不是唯一的时间。由于Z>0，我们推断（a）和（b）两个断言都是正确的。ii）现在，我们将批准断言（c）。我们将明确描述套利策略。注意{T≤ t} ={Nt≥ 2}. 我们推断mt=11{T≤t}- At=11{Nt≥2}- At=11{Nt-≥1}Nt+11{Nt-≥2}(1 - （新界）- 在（5.3）因此，Mt=Mt-p（M）t={Nt-≥1}- 11{Nt-≥2}新界={Nt-≥1}- 11{Nt-≥2}Mt.（5.4）由于M和M都是纯圆盘连续的，所以我们得到Mt=1+（φ） M） t=1+（ν） S） t，w这里φt=-E-λkk（t）-（T）I{Nt-≥1}- I{Nt-≥2}, 和φt=φtψSt-. （5.5）iii）τ后的套利：在τ时，拥有G信息的人已知的Ti值。

价格过程在时间T之前降低，然而，等待时间T不会导致套利 = T- τ（在τ时已知），在τ时有套利卖空，在τ时交割+. 该策略是可接受的，因为在Tand T之间，S（1+~n）所包围的量。这就结束了这个命题的证明。5.2.2两个标度跳转时间的最小值我们现在给出一个非诚实随机时间的例子，它不能避免停止时间，并导致经典的任意年龄机会。建议5.3考虑与之前相同的市场，并确定τ=T∧ 在，其中0<a<1。然后，以下性质成立：（a）τ不是一个诚实的时间，不能避免F-停止时间，（b）Zτ=11{T>aT}e-βaT（βaT+1）<1安德兹τ=e-βaT（βaT+1）<1，{eZ=0<Z-} = .（c） 在τt=-E-βt（βt+1）{Nt-≥0}- 11{Nt-≥1}ψSt-{t≤τ}，其中β=λ（1/a- 1). （5.6）（d）τ：ifψ之后存在套利∈ (-1,0），在τ/a之前买入，在τ/a之前卖出；如果ψ>0，在τ/a之前卖空τ并回购。证明：首先，让我们计算上鞅Z，Zt=11{T>T}P（aT>T|Ft）=11T>tP（aT>T，T>T）P（T>T）=11{T>T}eλtE（11T>tE）-λ（ta）-T） +）=11{T>T}eλtZt/ate-λ（ta）-x） λe-λxdx+11{T>T}eλtZ∞t/aλe-λydy=11{T>T}e-βt（βt+1），其中β=λ（1/a- 1). 尤其是Rzτ=11T>aTe-βaT（βaT+1）<1。与上述类似的计算会导致Zt=Zt-= 11{T≥t} e-βt（βt+1）。这证明了断言（a）和（b）。i） 在这里，我们将证明断言（c）。

由于它的公式，我们有dzt=-E-βt（βt+1）dHt- 11吨≤Tβe-βttdt=-E-βt（βt+1）dMt- E-βt（βt+1）dAt- 11吨≤Tβe-βttdt。因此，dmt=-E-βt（βt+1）dMt。Hencemτ=1+11{aT<T}λ2(1 - E-βaT）β- 吃了-βaT+11{T<aT}2λ1 - E-βTβ- λTe-βT- Tβe-βT- E-βT+11{T=0}（5.7）并且，当x>0时- E-十、- xe-x> 0和2λβe-βx- λβxe-βx- xβe-βx-βe-βx+βIx=0>0，则得到mτ>1；因此，古典套利的存在。现在，我们明确描述了套利策略。注意{T≤ t} ={Nt≥ 1}. 我们推断mt=11{T≤t}- At=11{Nt≥1}- At=11{Nt-≥0}Nt+11{Nt-≥1}(1 - （新界）- 在（5.8）因此，Mt=Mt-p（M）t={Nt-≥0}- 11{Nt-≥1}新界=I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}Mt.（5.9）由于M和M都是纯圆盘连续的，所以我们有M=1+~n S、 式中φt=-E-βt（βt+1）{Nt-≥0}- 11{Nt-≥1}ψSt-. （5.10）ii）主张证明（d）遵循命题5.6中相同的主张证明（d）。这就是命题的证明。5.2.3最多两次按比例跳跃时间建议5.4考虑与之前相同的市场。定义τ=T∨ 在，其中0<a<1。然后，以下性质成立：（a）τ不是一个诚实时间，并且不能避免F-停止时间。（b） Zτ=λτe-λτ/a1-E-λτ<1，andeZτ=I{T≥aT}+I{T<aT}Zτ6≡ 1和{eZ=0<Z-} = .（c） 在τt=-1.-λte-λta1- E-λt！I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}ψSt-.

（5.11）（d）τ：ifψ之后存在经典套利∈ （0,1）和T<aT，在τ买入，在τ/a之前卖出；如果ψ>0且T<aT，则在τ卖空，在τ/a之前回购。证明：首先，让我们计算上鞅Z，1- Zt=P（τ）≤ t | Ft）=P（t∨在≤ t | Ft）=11{t≤t} PT≤助教英尺= 11{T≤t} PT≤ta，T≤ TP（T）≤ t） =11{t≤t} 一,- E-λtZt1.- E-λ（ta）-y）λe-λydy=11{T≤t} 一,-λte-λta1- E-λt！。因此zt=1-11{T≤t} 一,-λte-λta1- E-λt！=11{T>T}+I{T≤t} λte-λta1- E-λt，（5.12）和zτ=λ（t∨ aT）e-λT∨aTa1- E-λ（T）∨aT）<1。使用相同类型的参数givezt=11{T≥t} +11{t<t}λte-λta1- E-λt，a ndeZτ=11{t≥aT}+11{T<aT}λ（T∨ aT）e-λT∨aTa1- E-λ（T）∨在）。（5.13）这使我们可以得出结论，两种断言（a0和（b）都成立。这个结论的证明与前一个结论的证明相似。证据的剩余部分将涉及断言（c）。把Kt=1-λte-λta1-E-λt，Zt=1- HtkT，并应用它的公式，我们得出DzT=-d（香港）t=-KtdHt- HtdKt=-KtdMt- KtdAt- HtdKt。（5.14）因此，mt=1-ZtKtdMt。（5.15）现在，我们明确描述套利策略。注意{T≤ t} ={Nt≥ 1}. 我们推导出mt=I{T≤t}- At=I{Nt≥1}- At=I{Nt-≥0}Nt+I{Nt-≥1}(1 - （新界）- 在（5.16）因此，Mt=Mt-p（M）t=I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}新界=I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}Mt.（5.17）由于Mt和Mt都是完全不连续的，所以我们有Mt=1+ν·St，其中Фt=-KtI{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}ψSt-. (5.18)6 NUPBR对于特定模型在本节中，我们讨论了一些有趣的实际模型，我们证明了NUPBR在τ以下是有效的。正如我们在引言和摘要中提到的，这一部分的独创性在于证明的简单性。Choulli等人（2013年）对NUPBR进行了全面全面的分析。

在这一节中，我们将假设z>0.6.1，在τ之前，设bm为G-鞅，在{t上与m（2.3）相关的时间τ停止≤ τ} bmt:=mτt-Ztdhm，Mifsz。6.1.1连续过滤的情况我们从连续鞅的特殊情况开始，证明对于任意随机时间τ，NUPBR在τ之前成立。我们注意到连续性假设意味着Z的martinga-le部分是连续的，并且Z的可选和Doob-Meyer分解是相同的。假设所有F-鞅都是连续的。然后，对于任意随机时间τ，NUPBR在τ之前保持不变。Sτ的G-局部鞅导数由dLt=-LtZtd bmt。证明：我们利用定理2.1，为Sτ提供了一个G-局部鞅定义。将正G-局部鞅L定义为dLt=-LtZtd bmt。然后，如果SL是G-局部马氏体，则为NUPBRholds。回想一下，再次使用（2.3），bSt:=Sτt-Zt∧τdhS，miFsZsis是G-局部鞅。通过分部积分，我们得到（使用连续鞅的括号不依赖于过滤）d（LSτ）t=LtdSτt+StdLt+dhL，SτiGtG-mart=LtZtdhS，miFt+ZtLtdhS，bmiGtG-mart=LtZt（美国国土安全部，麻省理工学院）- 麻省理工大学国土安全部）=0XG-mart=Y是X的符号- Y是G-局部鞅。备注6.2如果τ是一个诚实的时间和可预测的表示性质，则根据定理4.2，NA条件不成立，因此NFLVR条件也不成立。

这反过来又意味着，Sτ的所有G-局部鞅都是S-三次局部鞅。6.1.2在泊松函数的情况下，我们假设S是形式为dSt=St的F-鞅-ψtdMt，其中ψ是一个可预测的过程，满足ψ>-1和ψ6=0，其中M是标准泊松过程的补偿鞅。在泊松设置中，对于某些F-可预测过程，从m可预测表示属性，dmt=νtdmt，因此，在t≤ τ、 d bmt=dmt-Zt-dhm，mit=dmt-Zt-λνtdtPropositio n 6.3在泊松环境中，对于任意随机时间τ，NUPBR在τsinceL=E之前保持不变-Z-+ ν bm= E-νZ-+ ν厘米,是Sτ的G-局部鞅导数。证明：我们利用定理2.1，寻找形式为dLt=Lt的G-局部鞅-κtd-bmt（和ψtκt>-1） 所以L是正的，SτL是G-局部鞅。按部件公式积分得出（在t上）≤ τ） d（LS）t=Lt-dSt+St-dLt+d[L，S]tG-mart=Lt-圣-ψtZt-dhM，mit+Lt-圣-κtψtνtdNtG-mart=Lt-圣-ψtZt-νtλdt+Lt-圣-κtψtνtλ（1+Zt）-νt）dt=Lt-圣-ψtνtλZt-+ κt（1+Zt）-νt）dt。因此，对于κt=-Zt-+νt，一个人得到一个变量。注意dlt=Lt-κtd-bmt=-书信电报-Zt-+ νtνtdcmt确实是一个正的G-局部鞅，自-+νtνt<1。备注6.4如果τ是一个诚实的时间和可预测的表示性质，则Sτ的所有G-局部鞅都是严格的G-局部鞅。6.1.3 Lévy处理假设S=ψ (u -ν） 式中，u是Lévy过程的跳跃度量，ν是其补偿器。这里，ψ (u - ν） 是R·Rψ（x，s）（u（dx，ds）- ν（dx，ds））。马氏体m表示为m=ψm (u -ν).

然后，在（2.3）中，μ的G-补偿器为νgw，其中νG（dt，dx）=Zt-（Zt）-+ ψm（t，x））ν（dt，dx），即S允许G-半鞅分解的形式=ψ (u - νG）- ψ  (ν -νG）命题n6.5考虑正G-局部鞅：=E-ψmZ-+ ψmI]]0，τ]] (u -νG）.那么L是Sτ的G-局部鞅，因此Sτ满足NUPBR。证明：我们利用定理2.1，我们的目标是找到一个形式为DLT=Lt的正G-局部鞅L-κtd bmtso认为LSτ是G-局部马丁酒。由部分公式化（SL）G整合而来-集市=-L-ψ  (ν -νG）+d[S，L]=-L-ψ  (ν - νG）+L-ψψmκ 微克-集市=-L-ψ  (ν -νG）+L-ψψmκ νG=-L-ψ1.- （1+ψmκ）Z-（Z）-+ ψm） 因此可能的选择是κ=-Z-+ψm。可以证明，L确实是一个正的G-局部鞅，参见[5]。6.2在τ之后，我们现在假设τ是一个诚实的时间，它满足Zτ<1（出于可积性的原因）。这个条件和引理2.4特别意味着τ不能避免F-停止时间。关于条件Zτ<1的进一步讨论，请参考[1]。还要注意的是，在连续过滤的情况下，Zτ=1，NUPBR在τ之后无法保持（见[7]）。在（2.4）之后，对于任何F-鞅X（特别是对于m和S）bXt:=Xτt-Zt∧τdhX，mifsz+Ztt∧τdhX，miFs1- 这是一种本地的马丁酒。6.2.1连续过滤的情况我们从连续鞅的特殊情况开始，证明对于任何诚实时间τ，Zτ<1，NUPBR在τ之后成立。命题N6.6假设τ是一个诚实时间，它满足Zτ<1，并且所有F-鞅都是连续的。然后，对于任何时间τ，N UPBR在τ之后保持不变。S的G-局部鞅- Sτ由dLt=-Lt1-中兴bmt。证明：我们照常使用定理2.1。这个证明是基于它的微积分。

寻找dLt=Ltκtd bmt形式的G-localmartingale定义，并使用par ts公式进行积分，我们得到，对于κ=-(1 - Z）-1.过程L（S）-Sτ）是G-局部鞅。备注6.7如果可预测表示属性在r e spec t至S中成立，则作为定理4.2的推论，NA条件不成立，因此NFLVR条件也不成立。这反过来意味着S的所有G-局部鞅-Sτ是严格的G-局部鞅。6.2.2泊松函数的情况我们假设S是形式为dSt=St的F-鞅-ψtdMt，w withψ是一个可预测的过程，满足ψ>-1.分解公式（2.4）在τasbSt=（11]τ之后读取，∞[·S）t+Ztt∨τ1 - Zs-dhS，mis=（11）τ，∞[·S）t+λZtt∨τ1 - Zs-νsψsSs-ds。假设F是泊松滤波，τ是满足Zτ<1的诚实时间。然后，NUPBR在τsinceL=E之后保持不变1.- Z-- ν bm= Eν1 - Z-- ν]τ,∞[厘米,是S的G-局部鞅- Sτ。证明：我们使用了定理2.1，我们是G-局部鞅的loo king，形式为dLt=Lt-κtd-bmt（和ψtκt>-1） 所以L是正的G-局部鞅和（S）- Sτ）L是aG局部鞅。部分积分公式导致tod（L（S- Sτ）t=Lt-d（S）- Sτ）t+（St-- Sτt-)dLt+d[L，S]- Sτ]tG-集市=-λLt-圣-νtψt1- Zt-{t>τ}dt+Lt-圣-κtψtνt{t>τ}dNtG-集市=-λLt-圣-νtψt1- Zt-{t>τ}dt+λLt-圣-κtψtνt{t>τ}（1）-1.- Zt-νt）dt=λLt-圣-ψtνt{t>τ}-1.- Zt-+ κt（1）-1.- Zt-νt）dt。因此，对于κt=1-Zt--νt，得到一个G-局部鞅函数。注意dlt=Lt-κtd-bmt=Lt-1.- Zt-- νtνt{t>τ}dcmt确实是一个正的G-局部鞅，从1开始-Zt--νtνtNt>-1.

备注6.9如果可预测表示性质对S成立，则S的所有G-局部鞅定义-Sτ是严格的G-局部鞅。6.2.3 Lévy过程假设S=ψ(u-ν） 式中，u是一个Lévy过程及其F补偿器的跳跃度量。然后，通过（2.4），u的G-补偿器是νgw，这里是νG（dt，dx）=1+11{t≤τ}Zt-ψm（t，x）-11{t>τ}1- Zt-ψm（t，x）ν（dt，dx），即S允许形式为=ψ的G-半鞅分解 (u - νG）- ψ  (ν -νG）命题n6.10假设τ是在Lévy框架中满足Zτ<1的诚实时间。然后，正G-局部鞅：=Eψm1- Z-- ψmI]]τ，∞[[ (u -νG）,是S的G-局部鞅- Sτ，因此S- Sτ满足NUPBR。证明：我们再次使用定理2.1。我们的目标是找到一个正的G-局部鞅L theformdLt=Lt-κt{t>τ}d bmtso表示L（S-Sτ）是G-局部鞅。根据公式化的部分整合（L（S- Sτ）G-集市=-L-d（S）- Sτ）+d[S，L]=-L-ψψm1- Z-]τ,∞[ ν+L-κψψm]τ，∞[ 微克-集市=-L-ψψm1- Z-]τ,∞[ ν+L-κψψm]τ，∞[ νG=-L-ψψm]τ，∞[-1.- Z-+ κ(1 -ψm1- Z-) 因此可能的选择是κ=1-Z--ψm。结论在本文中，我们讨论了无套利条件是否稳定的问题。我们关注了具有消失风险概念的非免费午餐的两个组成部分，即无套利机会和有界风险的无无界利润。问题分为随机时间前后的稳定性，包含额外信息。关于无套利机会条件的问题在布朗过滤和泊松过滤的情况下得到了回答，对于诚实时间的特殊情况，更详细地描述了非诚实时间的特殊例子。