以独立投资清算不可分割资产

然后：（i）对于γ≤ 0，我们有“U”∞=\'U<∞,（ii）对于0<γ≤ ^p，我们有‘∞=\'U<∞ 和“U6=”U，（iii）表示^γp<γ<1∧ p、 我们有你∞=\'U<∞ 对于γ，\'U6=\'U，（iv）≥ P∧ 1，（iv-a）p≤ 1.我们有“U”∞=\'U=+∞,（iv-b）p>1和γ≤ p、 我们有你∞=\'U<+∞,（iv-c）p>1，和γ>p，我们有\'U∞=\'U<+∞.这些结果的证明见附录，并通过对凹包络序列的显式计算得到。推论3.8。假设U=Upas在（3.2）中定义，并假设为（H1）或（H2）。那么（i）V=m当且仅当γ≤ ^γporγ>p>1，（ii）对于γ<p∧ 1，假设3.4小时成立，因此在条件（H2）下存在最优套期保值停止策略。备注3.9。在现有的电力设施示例中，提案3.7特别指出：∞等于U，U，或U，当v等于U时∞< ∞. 然后，从Le mma 5中直接得出最优策略。3，并且没有必要使用第5节的限制性论点。备注3.10。通过我们的显式计算，我们观察到假设3.4在命题3.7的cas es（iv-b）和（iv-c）中失败。我们在这些情况下的显式计算表明∞我对“你近在我身边”有好感。请注意，这排除了最佳策略的存在。实际上，最优停车理论中的最优策略是由价值函数给出的障碍物的第一次击中时间给出的。因此，如果值函数是渐近于o b状态的，那么这样的命中时间可能会取这个值+∞, 我们对允许停车策略的定义排除了这一点。推论3.8的结果与[7]的发现一致，事实上，它补充了文献中的一些缺失案例。粗略地说，推论3.8指出≤ ^当γ>p>1时，代理人不愿意在市场上进行公平投资；最优性策略包括保持财富不变和解决一个o-pt-imal-stopping问题，即m。

相反，当^γp<γ≤ p、 公司可以利用其投资组合的动态管理策略。备注3.11。[7]中使用的方法如下。-他们通过首先确定投资组合价值，等待不可分割资产达到一定水平，然后确定时间并优化投资组合价值过程的跳跃，构建了一个停止规则和容许鞅的准度量族。-对于该系列的每个元素，他们评估相应的性能，并优化参数值。严格的证据来自一个验证论证。我们的方法依赖于随机控制的标准动态规划方法，更好地理解了价值函数V，并证明了上述最优策略的构造。此外，它还表明，该结果具有更广泛的通用性，允许更大类别的效用函数和更丰富的非流动资产价格过程动态。4.价值函数的特征我们在第4.1节中首次证明≤“U”∞. 在4.2节中，我们在概率空间上证明了条件（H1）下的逆不等式。第5.1小节末尾将证明条件（H2）下的相应结果。请注意，我们随后的所有证明都考虑了起始值（x，z）∈ int（\'D）。事实上，回想一下命题证明3的第3步。1.那个\'D={（x，zx），x∈ R:zx∈ dom（S）}，我们很容易得到∞=“加油\'D={（x，zx），x∈ R:zx∈ dom（S）}，以及任何（x，z）的dom（S）}∈ D，相应的可容许策略集S（x，R（z））被简化为常数marting ale，停止时间等于0.4.1上界4.1。“U”∞在int（`D）上是连续的，但它是局部有界的。如果你∞不是基于int（\'D）的locall ybound，然后是\'U∞= +∞ 在int（\'D）上。证据我们首先假设∞局部有界o n int（\'D）。自从你∞是局部有界的，凹的w.r.t。

x和凹形w.r.t.z，我们有那个“U”∞（x，·）和“U”∞（·，z）在其域的内部是连续的，对于ll x和z。现在假设相反，存在>0，（x，z）∈ int（`D）和a序列（xn，zn）∈ int（\'D），（xn，zn）-→N→+∞（x，z）使：N≥ 0，| U∞（xn，zn）-“U”∞（x，z）|>。在不丧失普遍性的情况下，我们假设：∞（xn，zn）>U∞（x，z）+。通过“U”的连续性∞（·，z），我们有足够大的∞（xn，zn）-“U”∞（xn，z）>。在不丧失普遍性的情况下，我们假设≥ z代表一个ll n≥ 0.然后，我们定义zn=z-√锌- z、 从“U”的凹陷处观察∞（·，z）该：\'U∞（xn，z）-“U”∞（xn，~zn）z- 锌≥“U”∞（xn，zn）-“U”∞（xn，z）zn- z> zn- z、 然后：\'U∞（xn，z）-“U”∞（xn，~zn）>√锌- z、 xn（自）-→N→+∞（x，z），这与U的局部有界性相矛盾∞.接下来，我们假设“U”∞不在int（\'D）上局部有界，即存在（x，z）∈ int（D）和（xn，zn）→ （x，z）使得U（xn，zn）→ +∞. 设c>0为（x+c，z+c）∈int（\'D）。然后从变量x和z中U的不减少得出∞（x+c，z+c）≥“U”∞（xn，z+c）≥“U”∞（xn，zn）-→ ∞, 作为n→ ∞.自从你∞两个变量的w.r.t.部分凹，这意味着∞= ∞ 在“D”上。我们现在关注定理3.2中的第一个不等式。引理4.2。\'V≤“U”∞在“D”上，为了证明引理4.2，我们在“U”的情况下使用正则化∞局部边界。引理4.1，\'U∞在“D”内部是连续的。但一般来说，每个变量都不存在两次差异。因此，我们推出了一款ny∈ （0,1]：\'Un（x，z）=z\'D\'Un（ξ，ζ）ρ（x）- ξ、 z- ζ） dξdζ（x，z）∈“D，为了所有人”∈ [0, ∞], （4.1）其中R中的所有u:ρ（u）=-2ρ（u/），其中ρ（u）=Ce-1/(1-|u |）| u |<1，并且选择C，使得rrρ（u）du=RB（0,1）ρ（u）du=1。显然，ρ是C∞, 紧支撑，且ρ在零处积分收敛到狄拉克质量。

我们按照惯例设定“Un:=”UNF=0。我们还引入了任何δ≥ 0:\'Un，δ（x，z）：=\'Un（x+2δ，z），（x+2δ，z）∈“D，为了所有人”∈ [0, ∞].引理4.3。“U”∞-→→0\'U∞在“D”和“U”上按点排列∞∈ C∞（\'D），\'U∞≥“Uon”D和“U”∞，δ在每个变量中都是部分凹的，对于所有0<<δ。证据前三个声明遵循了关于非负核ρ的卷积的经典性质，以及“U”的构造∞.让我们来检验一下“U”的凹度∞，δw.r.t.x.对于z，同样的证明成立。对于任意0<<δ，我们定义x，x′和z，使得（x，z）∈D和（x′，z）∈λ的D∈ [0,1]，表示^x:=λx+（1）- λ） x′。然后使用“U”的凹度∞在x:U中∞，δ（^x，z）=ZR\'U∞（λ（x+2δ+ξ）+（1）- λ） （x′+2δ+ξ），z+ζ）ρ（ξ，ζ）dξdζ≥锆λ′U∞（x+2δ+ξ，z+ζ）+（1）- λ） “U”∞（x′+2δ+ζ，z+ζ）ρ（ξ，ζ）dξdζ=λ＠U∞，δ（x，z）+（1）- λ） “U”∞，δ（x′，z）。“U”情况下引理4.2的证明∞不是局部有界的，然后通过引理4.1，我们得到了“U”∞= +∞ 结果是显而易见的。现在假设“U”∞是局部有界的。我们分两步进行。第一步。L et（θn）nbe局部ma r tingale Z的一个局部化序列。我们假设δ>0，我们考虑2<δ。Let（X，τ）∈ S（x，R（z））和τn=τ∧ θn.很明显，我们有（X，τn）isins（X，R（z））。然后根据它的跳跃过程公式：\'U∞，δ（Xt）∧τ、 Zt∧τn）-“U”∞，δ（x，z）=Zt∧τnxx\'U∞，δ（Xu，Zu）d[X，X]cu+Zt∧τnzz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）du+Zt∧τnz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）dBu+Zt∧τnxu∞，δ（许，祖）dXu+X0<u≤T∧τn“U”∞，δ（许，祖）-“U”∞，δ（Xu）-, （祖）- xu∞，δ（Xu）-, （祖）徐.自从你∞δ在x和z上是凹的，那么：\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）-“U”∞，δ（x，z）≤Zt∧τnz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）dBu+Zt∧τnxu∞，δ（许，祖）dXu。（4.2）我们有所有的（~x，~z）：\'U，δ（~x，~z）=z\'B（~x，~z），）\'U（~x+2δ）- u、 ~z- v） ρ（u，v）dudv≥Z′B（（~x，~Z），）U（δ）ρ（U，v）dudv=U（δ），其中，la st不等式来自于U不是n递减的和~x+2δ的事实- u+R（~z）- v）≥ δo n′B（（x，z），）。

引理4.3表示：\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）≥ U（δ）。因为，|U（δ）|<∞ , 局部鞅：Zt∧τnz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）dBu+Zt∧τnxu∞，δ（许，祖）dXu，t≥ 0，从下方有界，因此它是一个上鞅。然后从（4.2）得出：E[\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn]≤“U”∞，δ（x，z）。第二步注意∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）由U（δ）从m开始，然后由逐点收敛U得出∞，δ（x，z）-→→0\'U∞（x+2δ，z），以及法图引理，that:E“U”∞（Xτ+2δ，Zτ）= 埃利姆特，n→∞→0\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）i≤ 林因夫特，n→∞→0E“U”∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）≤“U”∞（x+2δ，z），由（x，τ）的任意性决定∈ S（x，R（z）），这意味着V（x，z）≤“U”∞（x+2δ，z），然后是“V（x，z）≤“U”∞（x，z），通过“U”的连续性∞在x变量中。4.2过滤假设（H1）下的值函数的下限如下：⊥是非平凡的，并且包含集合：MW（x）：={x C-mart:Xt=x+ZtφsdWsfor someφ∈ Hlo c}。在本小节中，我们使用问题的PDE特征来获得函数值的下限。为了使用随机控制和粘性解的经典工具，我们引入以下简化问题V:V（x，y）：=sup（x，τ）∈SW（x，y）E[U（xτ+Yyτ）]，其中SW（x，y）：=（X，τ）∈ S（x，y）：x∈ 兆瓦（x）.自MW（x） M⊥（x） ，我们有v（x，y）≤ V（x，y）。引入该问题的原因在于，它具有（奇异）随机控制问题的标准形式，可以用经典的动态规划方法来解决。我们还记得下半连续包络线的定义：V*（x，y）：=lim-inf（x′，y′）→（x，y）V（x，y），（x，y）∈ 通过引理4.2，我们有U（x+y）≤ V（x，y）≤ V（x，y）≤“U”∞（x，R（y））。那么，如果你∞是局部有界的，V也是，它跟在V后面*现在是最后一天。现在我们推导出动态规划方程，它将为我们提供下限。

为了简单起见，我们将使用下标来表示对应变量的偏导数。提案4.4。假设“U”∞是局部有界的，那么*是f:min的维s余弦上解{-vzz，-vxx，v-整型（\'D）上的\'U}=0。尤其是“V”*部分符合w.r.t x和z证明。我们首先展示了V*是粘度的上解：min{-yσ（y）vy（x，y）- yu（y）vy（x，y）；-vxx（x，y）；五、- 首先，由于立即出售非流动资产是合法的，我们看到V（x，y）≥U（x+y），因此V*（x，y）≥ U（x+y），通过U的连续性。接下来，我们继续使用[2]中FTHEREM 4.1的弱动态编程原理的第一部分：V（x，y）≥ sup（X，τ）∈SW（x，y）E五、*（Xθ，Yyθ）1θ≤τ+U（Xθ+Yyθ）1θ>τ对于所有θ停止时间。为了证明粘性上解的性质，我们考虑了一个内点（x，y）和一个检验函数φ∈ C2,2（R）使得：min（V*- φ） =（V）*- φ） （x，y）=0。让（xn，yn）n≥0是这样一个序列：t（xn，yn，V（xn，yn））→ （x，y，V）*（x，y））作为n→ ∞.对于固定α∈ R、 定义（Xn，Yn）：=（Xn+αW·∧θn，Yyn·∧θn），其中c>0是常数，且：θn:=hn∧ infT≥ 0:|Xnt- xn |+| Ynt- 伊恩|≥ C,其中hn:=p |βn | 1βn6=0+nβn=0，其中βn:=V（xn，yn）- φ（xn，yn）→ 0.由于（x，y）位于域的内部，请注意，我们可以选择非常小的常数c>0s，以确保（Xn，θn）∈ 西南（xn，yn）。根据动态规划原理和It^o公式，得出：V（xn，yn）=βn+φ（xn，yn）≥ E[φ（Xnθn，Ynθn）]=φ（Xn，Yn）+EhZθnyuφy+yσφy+aφxxXnu，Ynu酒后驾车。这导致：βn≥ EhZθnyuφy+yσφy+aφxx（Xnu，Ynu）duiSinceu和σ是局部Lipschit z连续的，具有线性增长，可以显示所有h>0:E的以下标准估计监督≤s≤t+h | Yyns- 伊恩|≤ Ch（1+| yn |）。这导致（Xn，Yn）-→N→∞（x+αW，Yy）P-a.s。

此外，通过定义θn，以下数量Hnzθnyuφy+yσφy+aφxx（Xnu，Ynu）du在n中一致有界。因此，通过中值定理和支配收敛定理，0≥yσ（y）φy（x，y）+yu（y）φy（x，y）+αφxx（x，y）。由α的任意性∈ R、 这意味着-φxx（x，y）≤ 因此，V*是D:min上的粘度超溶液{-yσ（y）vy- yu（y）vy；-vxx；v（x，y）- U（x+y）}=0。最后，命题中所述的上解是粘度解理论中第一步和变量变化的直接结果，参见例[5]。partialconcavity属性源自[11]中的引理6.9和6.23。推论4.5。假设你∞是局部有界的。然后是全部（x，y）∈ D、 我们有：V（x，y）≥“U”∞（x，S（y））。证据我们已经知道V（x，y）≥ V（x，y）≥\'V*（x，S（y））。另一方面，自从*是w.r.t.x和w.r.t.z的一部分，是“U”的主要成分，它跟在“V”后面*是“U”的主要成分∞. 这就完成了证明。5最优策略我们现在在假设3.4下，根据3.2中的条件（H2）得出一个最优策略。这也将允许恢复案例“U”∞= + ∞ 由于结构坚固，每当凹面封套不牢固时。5.1（H2）We fix（x，Z）=（x，Z）下最大化序列的构造∈ int（`D），我们考虑O:=Ox，zt假设3.4中定义的开集。我们定义了以下停止时间序列（τn）n≥0：因为U是相对于z变量的凹形，我们引入了fro zen x变量的停止时间：τ=inf{t≥ 0:\'U（X，Zt）=\'U（X，Zt）}，在时间τ，Zτ取{Z，Z}中的值，其中Z=sup{Z≤ Z:\'U（X，Z）=\'U（X，Z）}和Z=inf{Z≥ Z:\'U（X，Z）=\'U（X，Z）}。请注意，zand zanre定义，因为（X，z）和（X，z）都在cl（O）中。

然后我们定义：Xt:=X{t<τ}+η（X，Zτ）1{t≥τ} 式中，Ehη（X，Zτ）|Fτ-i=Xand:Pη（X，Zτ）=a（X，Zτ）|（X，Zτ）= p（X，Zτ），pη（X，Zτ）=b（X，Zτ）|（X，Zτ）= 1.- p（X，Zτ），其中：d（v）：={X∈ R:（x，v）∈\'D}，a（u，v）：=inf{α∈ d（v），α≥ u:\'u（α，v）=\'u（α，v）}，b（u，v）：=sup{α∈ d（v），α≤ u:\'u（α，v）=\'u（α，v）}，而p（u，v）定义为：u=p（u，v）a（u，v）+（1- p（u，v））b（u，v）。同样，我们定义了一个停止时间序列（τni）0≤我≤n+1byτn=0和：τni:=infT≥ τni-1： \'U（2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zt）=U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zt）, 1.≤ 我≤ n+1，其中鞅Xnis的构造如下。Let:ani（u，v）：=infα ∈ d（v），α≥ u:\'U2（n）-i+1）（α，v）=U2（n-i+1）-1（α，v）,bni（u，v）：=supα ∈ d（v），α≤ u:\'U2（n）-i+1）（α，v）=U2（n-i+1）-1（α，v）.根据假设3.4，（an（u，v），v）和（bn（u，v），v）在cl（O）和U2n中-i+1（·，v）在[ani（u，v），bni（u，v）]上是线性的。然后我们定义pni（u，v）∈ [0,1]by:u=pni（u，v）ani（u，v）+（1）- pni（u，v））bni（u，v），所以：\'U2（n-i+1（u，v）=pni（u，v）`U2（n-i+1）-1（ani（u，v），v）+（1）- pni（u，v））’U2（n-i+1）-1（bni（u，v），v）。通过这些符号，我们定义了过程Xn:Xnt=Xn[0，τn）（t）+n-1Xi=1ηni（Xnτni-1，Zτni）1[τni，τni+1）（t）+ηnn（Xnτnn-1，Zτnn）1[τnn，∞)（t） ，其中每个r.v.ηni（Xnτni-1，Zτni）与Fτnian无关，且具有分布：Phηni（Xnτni-1，Zτni）=ani（Xnτni-1，Zτni）| Fτni-i=pni（Xnτni）-1，Zτni），Phηni（Xnτni-1，Zτni）=bni（Xnτni-1，Zτni）| Fτni-i=1- pni（Xnτni）-1，Zτni）。这种r.v.{ηni，i的存在性≤ n} nis由假设（H2）保证。备注5.1。不存在pni、ANI和BNIA的可测量性问题，它们只涉及每个步骤的有限个值。引理5.2。在假设3.4下，（Xn，τnn+1）∈ S（x，y）表示所有n≥ 1.证据。[Xn，Z]=0表示X是纯跳跃过程，Z是连续的。我们还看到（Xn，Z）取由假设3给出的紧致cl（O）中的值。4，soτnn+1∈ 过程Xn+R（Z）是非负的。

现在我们证明鞅性质。尽管我∈ {1，…，n}：ot∈ （τni，τni+1）=> E[Xnt |英尺-] = Xnt-,o 如果t=τni，则：E[Xnt | Ft-] = E[ηni（Xnτni-1，Zτni）| Ft-]= ani（Xnτni）-1，Zτni）E[1ηni=ani | Ft-] + bni（Xnτni）-1，Zτni）E[1- 1ηni=ani | Ft-]= Xnτni-1=Xnt-.序列（Xn，τnn+1）的关键特性如下。引理5.3。为了所有人≥ 0，我们有：E[\'U（Xnτnn+1，Zτnn+1）]=\'U2n+1（x，Z）。（5.1）证据。我们把证据分为三个步骤。第一步：我们首先表明，尽管我∈ {1，…，n+1}，我们有：-i+1）-1.Xnτni，Zτnii=Eh\'U2（n-i+1）Xnτni-1，Zτnii、 （5.2）事实上：呃U2（n-i+1）-1.Xnτni，Zτnii=E[\'U2（n）-i+1）-1.ani（Xnτni）-1，Zτni），ZτniEhηni=ani | Xnτni-1，Zτnii+\'U2（n-i+1）-1.bni（Xnτni）-1，Zτni），ZτniEhηni=bni | Xnτni-1，Zτnii]=E[\'U2（n-i+1）-1.ani（Xnτni）-1，Zτni），Zτnipni（Xnτni）-1，Zτni）+U2（n-i+1）-1.bni（Xnτni）-1，Zτni），Zτni(1 - pni（Xnτni）-1，Zτni）。然后通过定义随机变量ani（Xnτni-1，Zτni）和bni（Xnτni-1，Zτni）和¨U2（n）的线性-i+1）（·，Zτni）onhbni（Xnτni）-1，Zτni），ani（Xnτni-1，Zτni）i，我们有：Eh′U2（n-i+1）-1（Xnτni，Zτni）i=Eh\'U2（n-i+1）ani（Xnτni）-1，Zτni），Zτnipni（Xnτni）-1，Zτni）+U2（n-i+1）bni（Xnτni）-1，Zτni），Zτni(1 - pni（Xnτni）-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）i.第2步：我们接下来证明：Eh′U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zτni-1） i.（5.3）我们在此强调，流程将其价值包含在一个有限的集合中。

那么，σ>0且连续的事实确保了projz上的| |σ|>c>0cl（O）然后如果在所有i之后，τni<∞ E[Xnτni | Xnτni-1] =Xτni-1.那么我们就知道了“U2（n-i+1）+1Xnτni-1，z在Hni上是线性的：Hni:=z>0:U2（n）-i+1）+1（Xnτni-1，z）>U2（n-i+1）（Xnτni-1，z）.我们现在可以通过定义τnithat:Eh′U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zτni-1） i.第3步：我们现在证明（5.1）：使用（5.2）和（5.3）我们有：\'U2n+1（x，z）=nXi=1Eh\'U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）-\'U2（n）-i+1）-1（Xnτni，Zτni）i+nXi=0Eh′U2（n-i+1）-1（Xnτni）-1，Zτni）-\'U2（n）-i+1）-2（Xnτni，Zτni+1）i+Eh\'U（Xnτnn，Zτnn+1）i=Eh\'U（Xnτnn，Zτnn+1）≥ 所以我们有Xnτnn+1=Xnτnn，然后：\'U2n+1（x，z）=Eh\'U（Xnτnn+1，zτnn+1）i。定理3.2在（H2）下的引理4.2的证明≤“U”∞. 然后，由于序列联合国向你靠近∞, 它紧随引理5.3 t hat（Xn，τnn+1）而来，是策略的最大化序列。备注5.4。请注意假设3.4和局部有界条件\'U∞没有必要获得最大化的顺序。实际上，我们有一个定义在区间I上的函数的凹包络 R是由supy给出的≤Y≤yy，y∈我λ（y，y）f（y）+（1）- λ（y，y））f（y）, λ（y，y）=y- yy- y、 按照约定λ（y，·）=1和λ（·，y）=0。因此，我们本可以考虑-最佳的效率序列Ani和bnirather，而不是最佳的效率序列Ani和bnirather，后者可能不存在于基因ralcase中，并且证明成立。然而，目前的结构对于下一节的存在结果至关重要。5.2定理3.6 Let（Xnτnn+1，Zτnn+1）n的最优策略证明的存在性≥0是引理5.3中定义的序列。这对随机变量取紧致子集cl（O）中的值。然后我们定义了（Xnτnn+1，Zτnn+1）的μn层。