以独立投资清算不可分割资产

这是一系列概率分布，支持紧子集cl（O）。然后（un）是紧的，根据普罗霍罗夫定理，我们可以找到一个仍然重命名为（un）的序列，它在cl（O）的支持下收敛到某个概率分布u。第一步：我们首先证明rcl（O）\'U（ξ，ζ）du（ξ，ζ）=\'U∞（x，z）。事实上，我们知道“U”在“D”上是连续的，cl（O）是“D”的一个紧集，所以通过引理5.3和弱收敛性质，我们得到：\'U∞（x，z）=limn→∞\'Un（x，z）=limn→∞Zcl（O）`U（ξ，ζ）dun（ξ，ζ）=Zcl（O）`U（ξ，ζ）du（ξ，ζ）。第二步：我们接下来介绍一对（X*, τ*) 这样（X*τ*, Zτ*) ~ u.首先，我们考虑τ*a（σ（B0）≤s≤t） ）t≥0-停止时间，使Zτ*~ uz，其中uz（A）：=RR×Au（dx，dz）是u的z-边际定律。这种停止时间的存在是因为uzis被紧密支撑，并且∑≥ c>0对cl（O）的影响对于某些c>0，则假定σ>0。此外，我们认为这个停止时间τ*小于uz支持的退出时间。这一结果在[9]第4.3节或门罗[10]中得到了证明。我们现在考虑f:[0，1]→ K一个Borel函数，使得[0，1]上的lesbegue测度的向前推测度为u，且f（x，y）=（f（x，y），f（y））。这个函数的存在对应于条件概率分布的存在。我们表示Fuzuz的累积分布函数。ζ表示独立于B的均匀随机变量，我们隐式假设过滤F足够丰富，足以支持ζ为Fτ*-Fτ的可测性和独立性*-. 特别是ζ与σ（B0）无关≤s≤τ*).候选进程X*然后是：X*t:=f（ζ，fuz（zτ）*))1t≥τ*, T≥ 0.那么我们显然有（X*τ*, Zτ*) ~ u.第三步：仍然需要证明这对（X*, τ*) 在S（x，R（z））中。

我们首先证明X*是M中的鞅⊥.首先，自从X*τ*取紧致子集中的值，弱收敛意味着：E[X*τ*] =Zxu（dx，dz）=limn→∞Zxun（dx，dz）=X我们接下来证明X*与σ（B0）无关≤s≤τ*). 通过X的构造*, 我们有这个*τ*|σ（B0）≤s≤τ*)] = E[X*τ*|Zτ*], 所以我们必须证明E[X*τ*|Zτ*] = 十、 即对于所有有界连续函数φ：e[（X*τ*- 十） φ（Zτ）*)] =Zcl（O）（x）- 十） φ（z）u（dx，dz）=0。通过φ的连续性，以及μ被紧支撑的事实，我们得到了：Zcl（O）（x）- 十） φ（z）u（dx，dz）=limn→+∞Zcl（O）（x）- 十） φ（z）un（dx，dz）=limn→+∞E[（Xnτnn+1- 十） φ（Zτnn+1）]。接下来我们计算：E（Xnτnn+1）- 十） φZτnn+1] = 嗯n+1Xi=1Xnτni- Xnτni-1.φZτnn+1i=n+1Xi=1EEτniXnτni- Xnτni-1.φZτnn+1=n+1Xi=1EXnτni- Xnτni-1.EτniφZτnn+1.通过Z的连续性，我们得到了EτniφZτnn+1= Eτni-φZτnn+1, 因此：EXnτni- Xnτni-1.EτniφZτnn+1= EXnτni- Xnτni-1.Eτni-φZτnn+1= EEτni-φZτnn+1Eτni-Xnτni- Xnτni-1.= 0，其中我们使用了Eτni-Xnτni= Xnτni-1.证据到此结束。第4步：我们最终证明我们有（X*+R（Zz））·∧τ*≥ 0和{U（X）*τ*∧θ+R（Zzτ）*∧θ))-}θ ∈它是一致可积的。事实上，我们将证明X*·∧τ*+ R（Zz）·∧τ*) > C dt×dP-a.e.对于一些C>0，这确保了前面的两个属性都得到了很好的验证。为此，首先请注意，由于cl（O）是int（\'D）的一个紧子集，我们存在C>0，因此p（X*τ*+ R（Zτ）*) > C） =1，相当于：呃十、*τ*+ R（Zτ）*)Ai>CP[A]，对于所有A Fτ*- 可测量的（5.4）我们现在证明P[x+R（Zτ*) > C] =1。

实际上我们有x+R（Zτ）*) = （十）*+ Z） τ*-.然后假设>0，使得P[A]>0，其中A:={x+R（Zτ*) < C- } .用事实证明*是一个鞅，我们得到：呃十、*τ*+ R（Zτ）*Ai=Ehx+R（Zτ）*)Ai<（C）- P[A]，这与5.4相矛盾。最后，我们回顾一下τ的选择*在步骤2中，tτ*小于uz支持的退出时间，这特别意味着我们有z·∧τ*≥ S（C）- x） dt×dP-a。s6附录：电力效用函数我们的目标是明确计算函数“U”∞根据第3.2节的电力设施功能。命题3.7紧接着我们的显式计算。Y的标度函数Sγ由Sγ（Y）=sgn（1）给出一个a ffine变换- γ） y1-如果γ6=1且S（y）=ln（y），则为γ。然后，相应的反函数是：Rγ（z）：=（sgn（1- γ） z）1-γ-sgn（1）- γ） z∈ R+，对于γ6=1，andR（z）：=ez对于所有z∈ R.过程Z是定义为：Zt:=Ze | 1的鞅-γ|σBt-(1-γ） σt，其中Z=sgn（1- γ） Y1-γ、 对于γ6=1，zt:=Z+σBt，其中Z=ln（Y），对于γ=1。为了便于注释，我们将去掉R对γ的依赖性。命题3.7的证明我们分别考虑几种情况。（i） γ<1:R的畴为（0+∞).（i-1）P6=1：我们首先回顾了衍生工具相对于z的价值：z\'U（x，z）=1- γzγ1-γx+z1-γ-Pzz\'U（x，z）=（1）- γ） z2γ- 11-γx+z1-γ-P-1hγx+z1-γ- pz1-γi（i-1a）γ>p：对于任何x，对于足够大的z，zz＠U（x，z）>0。由于此函数的域是（0，∞), 和U（x，z）→ +∞ 当z→ +∞, 我们有U（x，·）=+∞. 所以你∞=\'U=+∞.（i-1b）γ=p:x>0时，zz\'U（x，z）>0，并且与上面相同的参数会导致\'U（x，z）=+∞. 为了x≤ 0, zz\'U（x，z）≤ 然后“U（x，z）=”U（x，z）。然后我们得到了U（x，z）=U（x，z）1x≤0+∞1x>0。为了z∈ (0, ∞), 现在我们重点讨论（-z1-γ, ∞). 自¨U=+∞ 对于足够大的x，我们有U（x，z）=+∞ 域中的f（x，z）。

所以你∞=\'U=+∞（i-1c）γ<p:oγ≤ 0导致zz\'U（x，z）≤ 所以U是凹的，w.r.t.x和z，然后是U∞=\'U.oγ>0。为了x≤ 0，我们有zz\'U（x，z）≤ 所以U（x，·）＝U（x，·）。对于x>0，存在z（x），使得对于z<z（x）和zz\'U（x，z）≤ 0代表z≥ z（x）。自从z'U（x，z）→ z时为0→ +∞, 存在∧z（x），使得∧U（x，z）=U（x）+zz\'U（x，~z（x））代表z≤ 对于z>~z（x），z（x）和U（x，z）=U（x，z）。我们看到z（x）是唯一的解：\'U（x，z（x））- U（x）=z（x）z\'U（x，z（x））。i、 e.如果我们表示ξ（x）：=x-1z（x）1-γ、 那么ξ（x）是Θ（ξ）=0的唯一解，其中：Θ（ξ）：=（1+ξ）1-P- 11- P-ξ1 -γ(1 + ξ)-p、 我们很容易观察到ξ：=ξ（x）与x无关，然后：\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ≤z1-γ+x1-P- 11-p+zxγ-pξγ1-γ(1 + ξ)-Pxξ>z1-γ.注意xx\'U（x，z）≤ 0开(-z1-γ、 z1-γξ). 关于区间（z1）-γξ, +∞), 我们计算：xu（x，z）=x-p+γ- p1- γxγ-P-1zξγ（1+ξ）-Pxx＠U（x，z）=-二甲苯-P-1.1.-(γ - p） （γ）- P- 1） p（1）- γ） zxγ-1ξγ(1 + ξ)-P.为了调查xx\'U，我们介绍这个函数(ξ) := 1 -（p+1- γ） （p- γ） p（1）- γ)ξγξ1-γ(1 + ξ)-p、 ξ∈ [0，ξ]，并搜索方程的解ξ(ξ) = 0.功能 随着时间的推移(0) = 1. 为了调查（ξ） ，我们介绍函数：√（x） ：=1-（p+1）- γ） （p- γ） p（1）- γ） x（1+x）-p> 0表示所有x>0。这显然是（0，∞), 我们看到了（ξ） 减少到√（x） 在nΘ（x）=0的条件下。我们把ethen归结为非线性方程组：（x） =0和Θ（x）=0，（6.1），立即被视为等同于：（1+ξ）-p=1- γ1+p- γ1 +(1 + ξ)-p1-γ[(γ - p） ξ- (1 - γ） 我们可以在微积分之后看到（6.1）的解是x=pp-γ.

此外，对于固定的p，我们有：G（γ）=0<=> （6.1）有一个唯一的解，其中g（γ）：=（p- γ） p（p+1- γ) - （2p）-γ） p（1）- γ).由于G是一个非递减连续的一对一函数，它允许一个唯一解^γp。此外，我们还知道G在γ上是负的≤ ^γ和γ>γp呈阳性。这一结果告诉我们： 对于γ>^γp，G正意味着^（x） 否定的。意思是（ξ） 是否定的，因此在其第一个变量中不是凹的，并且允许确定一个输入点。 γ≤ ^γp，G负意味着^（x） 肯定的。这意味着（ξ） 是正的，所以第一个变量是凹的。我们现在关注的是γ>^γp的情况。我们正在寻找一对（x，x）这样的t hat x≤z1-γξ<x和x的最大值为：`U（x，z）-\'U（x，z）x- x=xu（x，z）≤ xu（x，z）。（6.2）这是“Uw”的凹面包络的特征。r、 我们观察到这一对自xu（x，z）→ 当x时为0→ +∞ 和xu（x，z）→ +∞ 当x→ -z1-γ.另一个注释是，对于任何λ>0的情况，我们都有U（λx，λ1）-γz）-\'U（λx，λ1-γz）λx-λx=λ-pu（x，z）-\'U（x，z）x-桑德x′U（λxi，λ1-γz）=λ-Px’U（xi，z）代表i∈ {1, 2}. 然后我们看到存在ξ和ξ，对于任何（x，z）∈ int（`D），我们有（x，x）=（z1）-γξ，z1-γξ).最后我们可以计算\'U:\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ的值≤z1-γ+U（x，z）1xξ≥z1-γ+Uz1-γξ，z+十、-z1-γξ!x\'Uz1-γξ，z！！z1-γξ<x≤z1-γξ.通过构造，我们已经知道，对于凹形w.r.t.z，它是凹形的w.r.t.xzz\'U≤ 0分（xξ）1-γ、 （xξ）1-γ. 我们还通过繁琐的计算得出zz\'U≤ 0开（xξ）1-γ、 （xξ）1-γ, 而且Z-“U”x、 （xξ）1-γ≥ x+’Ux、 （xξ）1-γ, 和Z-“U”x、 （xξ）1-γ≥ z+-Ux、 （xξ）1-γ, 哪里Z-（分别为z+）对应于相对于z的左导数（分别是右导数）（i-2）p=1：导数w.r.t。

z是：z\'U（x，z）=1-γzγ1-γx+z1-γ-1.zz\'U（x，z）=（1）- γ） z2γ- 11-γx+z1-γ-2hγx+z1-γ- z1-γi.（i-2a）γ≤ 0:在那种情况下zz\'U≤ 0然后“U”∞=\'U.（i-2b）γ>0:If x≤ 0，那么zz\'U（x，z）≤ 0和U（x，z）=U（x，z）。如果x>0，则存在一个反射点，类似于γ<p，p6=1的情况。我们发现z（x）是这样的对于z<z（x）和zz\'U（x，z）≤ 0代表z≥ z（x）。自从z'U（x，z）→ 0Z时→ +∞, 存在∧z（x），使得∧U（x，z）=U（x）+zz\'U（x，~z（x））代表z≤ 对于z>~z（x），z（x）和U（x，z）=U（x，z）。我们看到z（x）是唯一的解：\'\'U（x，z（x））- U（x）=z（x）z\'U（x，z（x））。i、 e.如果我们表示ξ（x）：=x-1z（x）1-γ、 那么ξ（x）是：ln（1+ξ）=ξ1的唯一解-γ(1 + ξ)-1.我们很容易观察到ξ：=ξ（x）与x无关，然后：\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ≤z1-γ+ln（x）+zxγ-1ξγ1 - γ(1 + ξ)-1.xξ>z1-γ.“UI”的推导与之前的案例类似。的确，对于x≤z1-γξ, xx\'U（x，z）≤ 0通过定义U.For x≥z1-γξ，我们有：xu（x，z）=十、-1.- zxγ-2ξγ(1 + ξ)-1.,xx＠U（x，z）=-十、-2.1 + (2 - γ） zxγ-1ξγ(1 + ξ)-1..与导出方程组（6.1）的方案完全相同的方案导致^γ的存在∈ （0，1）使得对于γ≤ ^γ，我们有xx\'U≤ 0，对于γ>^γ，存在一个扩散点。还有待解决γ>^γ的情况。我们正在寻找一对（x，x），这样x≤z1-γξ<x，x最大，因此（6.2）为真。

通过相同的参数，存在ξ和ξ，对于任何z>0，我们有（x，x）=z1-γξ，z1-γξ和：\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ≤z1-γ+U（x，z）1xξ≥z1-γ+Uz1-γξ，z+十、-z1-γξ!x\'Uz1-γξ，z！！z1-γξ<x≤z1-γξ.通过直接计算，可以很容易地获得z中的凹度。（ii）γ=1：R的容许域为(-∞, ∞).（ii-1）P6=1：我们有：x\'U（x，z）=ez（x+ez）-Pxx\'U（x，z）=ez（x+ez）-P-1[（x+ez）- 佩兹]。（ii-1a）p<1:If x≥ 0，那么zz\'U（x，z）>0，然后因为z是无界的(Z∈ R、 如果x+ez>0≥ 0），并且‘U（x，·）是严格凸的，’U（x，z）→ +∞ 当z→ +∞, 我们有U（x，z）=+∞.对于x<0，我们有zz\'U（x，z）≤ 0代表z≤ 自然对数1.-二甲苯和zz\'U（x，z）>0表示z>1.-二甲苯, 同样的论点也会导致U（x，z）=+∞.（ii-1b）p>1：如果x≤ 0，那么zz\'U（x，z）≤ 0和U（x，z）=U（x，z）。对于x>0，我们有当z<ln时，zz\'U（x，z）>0xp-1.和zz\'U（x，z）≤ 0代表x≥ 自然对数xp-1.. 自U（x，z）→U（x）>-∞ 当z→ -∞, 和U（x，z）→ -1.-pwhen z→ +∞, 我们知道，当z时，凹面包络线总是等于极限→ +∞, i、 e.\'U（x，z）=p-1.所以：\'U（x，z）=\'U（x，z）1x≤0+p- 1x>0。特别是，我们看到“UI”不是连续的。“Uis”的计算比之前的情况更容易。对于固定的z∈ R.我们研究的是(-简单∞).\'U（·，z）是非递减的，在[0，∞ ) 然后继续(-ez，0），带“U”(-ez，z）=-∞. 所以存在x∈ (-ez，0）这样x\'U（x，z）=\'U（0，z）-\'U（x，z）-x、 U（·，z）是线性的(-x、 0）和其他地方的U（x，z）=U（x，z）。xis很容易由x给出=-ezpand然后：\'U（x，z）=\'U（x，z）1x≤-ezp-1.- 二甲苯≥0+U-ezp，z+x+ezpE-pz1.-P-P十、∈(-ezp，0）。部分凹度w.r.t.z是很小的，我们有“U”∞=’U.（ii-2）p=1：我们有：z\'U（x，z）=1+xe-Z-1.zz\'U（x，z）=xe-Z1+xe-Z-2.对于x>0，我们有zz\'U（x，z）>0，然后如上所述，因为\'U（x，z）→ ∞ 当z→ ∞, 我们有U（x，z）=∞.为了x≥ 0，我们有zz\'U（x，z）≤ 然后“U（x，z）=”U（x，z）。

总结：\'U（x，z）=\'U（x，z）1x≤0+ ∞1x>0。因此，我们看到：\'\'U=+∞.（iii）γ>1：R的容许域为(-∞, 0). 对于任何p，偏导数w.r.t.z由下式给出：z\'U（x，z）=γ- 1(-z） γ1-γx+(-z） 一,-γ-Pzz\'U（x，z）=（γ）- 1)(-z） 2γ- 11-γx+(-z） 一,-γ-P-1hγx+(-z） 一,-γ- p(-z） 一,-γi.（iii-1）p≤ 1：对于任何x，zz\'U（x，z）>0个足够大的z和\'U（x，z）→ +∞ 当z→ 所以U（x，z）=+∞.（iii-2）1<p<γ：对于x≥ 0，我们有z'U（x，z）→ z时为0→ -∞ 和U（x，z）→P-1Z时→ 0，所以U（x，z）=p-1.对于x<0，对于z≤ -γp-γx1.-γ, zz\'U（x，z）≤ 0和z>-γp-γx1.-γ, zz\'U（x，z）>0。自U（x，z）→P-1Z时→ 0，存在这样的情况-Zz\'U（x，z）=p-1.-\'U（x，z）。与γ<1的情况类似，zveri(-z） 一,-γ= -xξ，其中ξ=γ-1γ-p、 然后我们有：\'U（x，z）=\'U（x，z）1{-xξ>(-z） 一,-γ} +p-1{x≥0}+z(-x） γ-p（p- 1)-p（γ）- p） γ-p（γ）- 1)γ-1{0<-xξ≤(-z） 一,-γ} “Uw”的凹度。r、 那么t.x就简单了。（iii-3）p≥ γ：对于x≤ 0, zz\'U（x，z）≤ 0和U（x，z）=U（x，z）。对于x>0，存在一个流入点。从现在起z'U（x，z）→ z时为0→ -∞, 我们有U（x，z）=p-1.所以：\'U（x，z）=\'U（x，z）1x≤0+p- 1x>0。我们现在在“U”中搜索任何z∈ (-∞, 0），U（·，z）是凹面的(-(-z） 一,-γ、 0）和康斯坦顿[0，∞), 在x=0时不连续。我们在找x∈ (-(-z） 一,-γ、 0）使得：`U（0，z）-\'U（x，z）=-十、xu（x，z）。解由x=1给出-聚丙烯(-z） 一,-γ，我们有：\'U（x，z）=\'U（x，z）1x<1-聚丙烯(-z） 一,-γ+px>0+(-z） 一,-p1-γ+x+p-1p(-z） 一,-γ聚丙烯(-z）-p1-γ1.-聚丙烯(-z） 一,-γ≤x<0。“Uw”的凹度。r、 t.z很容易验证。参考文献[1]P.Billingsley（1999）：概率测度的收敛，概率与统计中的Wiley Serie s。[2] B.Bouchard a和N.Touzi（2011）：粘性解的弱动态规划原理。S IAM Journal on Control and Optimization，49,3948-962。[3] A.K.Dixit和R.S.Pindyck（1994）：不确定性下的投资。普林斯顿大学出版社。[4] J.埃文斯，V。

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