以独立投资清算不可分割资产

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英文标题：
《Liquidation of an indivisible asset with independent investment》
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作者：
Emilie Fabre, Guillaume Royer and Nizar Touzi
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We provide an extension of the explicit solution of a mixed optimal stopping-optimal stochastic control problem introduced by Henderson and Hobson. The problem examines wether the optimal investment problem on a local martingale financial market is affected by the optimal liquidation of an independent indivisible asset. The indivisible asset process is defined by a homogeneous scalar stochastic differential equation, and the investor\'s preferences are defined by a general expected utility function. The value function is obtained in explicit form, and we prove the existence of an optimal stopping-investment strategy characterized as the limit of an explicit maximizing strategy. Our approach is based on the standard dynamic programming approach.
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中文摘要：
本文对Henderson和Hobson提出的混合最优停止最优随机控制问题的显式解进行了推广。该问题考察了局部鞅金融市场上的最优投资问题是否受到独立不可分割资产最优清算的影响。不可分割资产过程由齐次标量随机微分方程定义，投资者偏好由一般期望效用函数定义。得到了显式形式的价值函数，证明了以显式最大化策略的极限为特征的最优停止投资策略的存在性。我们的方法基于标准的动态规划方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：不可分割 Optimization Differential Quantitative Applications

与独立投资公司ie Fabre清算不可分割资产*Guillaume Royer+Nizar Touzi2018年9月18日摘要我们对Henderson和Hobson提出的混合最优停止-最优随机控制问题的显式解进行了扩展。该问题考察了局部鞅金融市场上的最优投资问题是否受到独立不可分割资产最优清算的影响。有形资产过程由齐次标量随机微分方程定义，投资者的偏好由一般预期效用函数定义。得到了显式形式的价值函数，证明了以显式最大化策略的极限为特征的最优停止投资策略的存在性。我们的方法基于标准的动态规划方法。关键词：最优停车，最优控制，粘性解。AMS 2000科目分类：93E20、60H30。1引言本文考虑了亨德森和霍布森[7]提出的一个混合最优停止/最优控制问题，该问题对应于不完全市场中不可分割资产的最优清算问题，因此不可能对其进行套期保值，同时允许代理人在另一个金融资产中连续交易。这个问题是由实物期权问题引起的，参见Dixit和Pindyck[3]和Henderson[9]。[7]的框架如下：投资者持有不可分割的资产，其价格过程定义为几何布朗运动。此外，非风险资产，标准化*CMAP，巴黎理工学院，埃米莉。fabre@polytechnique.edu.+荷兰桂林巴黎理工学院CMAP。royer@polytechnique.edu.——CMAP，巴黎理工学院，尼扎尔。touzi@polytechnique.edu.

由Soci’e G’en’erale赞助的风险基金会的财务风险主席，以及EDF和Calion赞助的C hair Finance and Sustainable Development支持的研究。对于unity，金融资产可用于无摩擦连续时间交易。Therisky资产价格过程是一个具有不可分资产过程的零协变量局部鞅。投资者的偏好由预期功率效用函数确定。风险厌恶型投资者的目标是选择最佳停止时间出售可分割资产，同时在金融市场上继续交易。在没有不可分割资产的情况下，问题归结为一个纯粹的投资组合问题。由于风险资产价格过程是一个局部鞅，因此从詹森不等式可以看出，风险规避投资者的最优投资策略是不交易风险资产。因此，[7]提出的主要问题是，该最优策略是否受独立不可分割资产的最优清算问题的影响。在电力效用函数的背景下，[7]表明，这个问题的答案取决于模型参数，它们提供了最优的停止投资策略。我们观察到，埃文斯、亨德森和霍布森[4]在相关资产的案例中也研究了la st问题。我们还参考了亨德森和霍布森对美式期权的申请[8]。在本文中，我们关注金融资产是鞅且与不可分割资产不相关的情况，对应于[7]的设置。我们的目标是在两个方向上扩展他们的成果。首先，不可分割的资产价格过程由任意标量齐次随机微分方程定义。

第二，投资者的偏好以一般预期效用函数为特征。与[7]相比，我们使用标准的动态规划方法对随机控制和最优停止进行研究，以证明一个下界是由一系列函数的极限给出的，这些函数是由每个变量的连续约束定义的。由此产生的函数是效用函数中最小的主函数，该函数在每个变量中都是部分凹的。这种下界的构造导致停车时间和门叶策略的序列最大化。这一观察结果可以证明这个下界确实与值函数相吻合。最后，我们证明了这个最大化序列是弱紧的，并得出了一个最优策略的存在性。[7]的构造在很大程度上取决于Black-Scholesdynamics对非流动资产的定价过程和电力效用函数的特殊规定。此外，在各种情况下，都会采用特定的论据来解决问题。我们使用动态规划方程作为猜测的方法可以在一般情况下洞察价值。此外，这种刻画增加了凹包络的极限，使值函数的计算更加容易和可操作。尤其是，当试图清算不可分割资产时，赌博的利益归结为验证所考虑的FirstConcave函数是否等于价值函数。我们还通过重新计算[7]的结果来说明我们的结果，正如附录中凹包络的极限。本文的组织结构如下。这个问题在第2节中阐述。主要结果见第3节。特别是，在第3.2小节中，我们专门讨论了[7]的原始背景，并表明我们的一般结果涵盖了它们的发现。

值函数的明确推导在第4节中给出。最后，第5节证明了最优停止投资策略的存在性。2问题公式集B是过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 F:={Ft}t≥0，P）。在本文中，我们考虑一个不可分割的资产，其价格过程由随机微分方程定义：dYyt=Yytu（Yyt）dt+σ（Yyt）dBt, Yy=y>0，其中系数u，σ：（0，∞) -→ R是有界的，局部Lipschitz连续的，σ>0。特别是，这确保了前一个SDE强解的存在性和唯一性。投资者的首要目标是确定不可分割资产清算的最佳停止时间τ。我们将用T表示所有有限元素的集合-暂停时间。金融市场还允许风险证券的连续无摩擦交易，其价格过程是与W正交的局部鞅。然后假设利率为零（或者，换句话说，考虑远期价格），自融资策略的回报是setM中的一个过程X⊥（x） ：={x c`adl`ag鞅，其中x=x，[x，B]=0}，（2.1）其中[x，B]表示x和B之间的二次协变量过程。在最后的可容许集中，条件[x，B]=0反映了不可分割资产不能被金融资产部分对冲，而鞅条件意味着，在不可分割资产不存在的情况下，风险规避者对风险证券的最优投资为零。继Hendersen和Hobson[7]之后，我们的目标正是分析不可分割资产的存在对这种最优无交易策略的影响。让你：R+-→ R∪{-∞} 是一个不减损的凹函数，U>-∞ 在（0，∞),成为风险厌恶型投资者的效用函数。

我们感兴趣的问题是：V（x，y）：=sup（x，τ）∈S（x，y）EU（Xτ+Yyτ）, （x，y）∈ D、 （2.2）其中D:={R×（0，∞); x+y≥ 0}，S（x，y）：=（X，τ）∈ M⊥（x） ×T:（x+Yy）。∧τ≥ 0和{U（Xτ）∧θ+Yyτ∧θ)-}θ ∈Tis UI,UI是一致可积的一种简化。我们还引入了相应的非交易问题：m（x，y）：=supτ∈T（x，y）EU（x+Yyτ）, （x，y）∈ D、 （2.3）式中T（x，y）：={τ∈ T：（x，τ）∈ S（x，y）}我们滥用符号，将x标识为等于x的恒常过程。虽然（2.3）是一个经典的有限视界opt-ima-l停止问题，但我们注意到（2.2）是一个混合随机控制-opt-ima-l停止问题。我们将通过标准的动态规划方法来解决这两个问题，见Fleming和Soner[5]和Touzi[11]。我们观察到，与上一篇参考文献类似，为了隔离解决方法的主要论点，我们分别研究了随机控制和最优停止问题。然而，众所周知，混合随机控制-最优停止问题很容易通过相应参数的明显叠加来解决。3主要结果3。1一般效用函数我们首先引入变量的适当变化，将过程yy转化为局部鞅。这是通过yy的标度函数S得到的，定义为：S′（y）yu（y）+yσ（y）S′（y）=0。通过额外要求S′（c）=1和S（c）=0，对于微分Y域中的一些c，这个普通微分方程导出一个唯一定义的连续一对一函数S：（0，∞) -→ 多姆（S）=S（0），S(∞). 我们表示R:=S-它是连续逆的。那么，过程Z:=S（Yy）是一个局部鞅，满足随机微分方程：dZt=~σ（Zt）dBt，~σ（Z）=R（Z）S′（R（Z））σ（R（Z））。从现在起，我们将使用流程Z而不是Yy。

我们定义了相应的域D:={（x，z）∈ R×dom（S）：x+R（z）≥ 我们介绍了函数：\'m（x，z）：=m（x，R（z）），\'V（x，z）：=V（x，R（z））和\'U（x，z）：=U（x+R（z）），（x，z）∈注意，“U”通常不是凹的w.r.t.z，但仍然是凹的w.r.t.x。然后我们引入“U:=（”U）concz，其中concz表示凹包络w.r.t.z。我们首先给出了非贸易问题的特征，即m的值：命题3.1。假设U在int（\'D）上局部有界，那么m（x，y）=U（x，S（y））表示所有（x，y）∈“D.证明。我们把证据分为三个步骤。第一步：我们首先展示≤“U.Let（x，z）∈\'D，τ∈ T（x，R（z）），局部鞅z的θna局部化序列，定义τn=τ∧ θn.根据詹森不等式，我们有：\'U（x，Zτn）≤ E\'U（x，Zτn）≤\'U（x，E[Zτn]）=\'U（x，Z）。然后，从法图引理得出：lim infn→∞E\'U（x，Zτn）+≥ Ehlim infn→∞\'U（x，Zτn）+i=E\'U（x，Zτ）+.由{U（x+Yτ）族的一致可积性∧θ)-, θ ∈ T}，我们得到：limn→∞E\'U（x，Zτn）-= E\'U（x，Zτ）-.然后，E\'U（x，Zτ）≤U（x，z），因此m≤U，由τ的任意性∈ T（x，R（z））。第二步：对于第二个不等式，我们使用问题的偏微分方程特征。让我*（x，z）：=lim infz\'→z、 （x，z′）∈\'D\'m（x，z′）是函数x7的下半连续包络-→\'m（x，z）。从第一步开始，我们有“U”≤ \'m≤U。然后，假设U是局部有界的，它就跟在m后面*现在是最后一天。通过随机控制的经典工具，我们得到*（x，·）是粘度为：min{u的超溶液-\'U（x，·），-uzz}≥ 0，在int（\'D）上。然后从[11]t\'m中的引理6.9和6.23得出*（x，z）≥\'U（x，z）for all（x，z）∈ int（\'D）。结合步骤1，我们证明了≤“U”≤ \'m*≤ 整型（\'D）上的\'m\'。（3.1）步骤3：该属性在“D.确实是x的∈ R、 表示zx:=inf{z∈ dom（S）：x+R（z）≥ 0}.

然后我们就有了\'D={（x，zx），x∈ R:zx∈ 多姆（S）}。我们现在将（x，zx）放入\'D.任何元素τ∈ T（x，R（zx））必须验证Zzx·∧τ≥ S(-x） ，初始条件为Zzx=S(-x） 。现在，由于Zzxis是一个局部的马丁酒，且∧σ>0，我们推断τ=0 a.s.，因此‘（x，zx）＝’U（x，zx）。最后，因为U（x，·）是[zx，S]上定义的连续非递减函数的凹包络(∞)), 它的结论是：U（x，zx）＝U（x，zx）在域的左端点zxo处。接下来我们回到我们感兴趣的问题V。请注意，UI通常不是凹面inx，请参见第3.2小节中的电力设施示例。我们还注意到，在这种情况下进行的计算表明，通常情况下，ui甚至不是连续的，如情况1<γ所示≤ 命题3.7中的p，其中我们在x变量中有完全有界但不连续（x=0时不连续）。由于风险资产的价格过程是一个局部鞅，由于风险资产的交易策略最大化，价值函数预计将保存在x中。然后我们自然而然地引入了一个函数“U”：=“U”ConcX是关于x的进一步凹陷-变量，这可能会再次松动相对于z的凹度-变量这自然会导致以下顺序联合国n:\'U=\'U，\'U2n+1=\'U2n海螺，U2n+2=\'U2n+1康克斯，n≥ 0.序列联合国nis显然是非递减的，然后逐点收敛到极限\'U∞在R中取值∪{+∞}. 然后很容易检查“U”∞是“uw”的最小优势，其中x部分凹，z部分凹。本文的第一个主要结果如下：定理3.2。

假设过滤后的概率空间(Ohm, F、 F，P）在以下意义上非常丰富：（H1）要么存在独立于B的布朗运动W，（H2）要么存在序列（ξn）n≥0个独立、均匀分布的随机变量，可添加这些变量以丰富初始过滤。那么，V（x，y）=U∞（x，S（y））代表所有人（x，y）∈ D.特别是，V=m i ffu∞=“U.此外，考虑到“U”的限制∞在int（\'D）上，如果\'U∞是局部有界的，那么它是连续的。如果你∞不是局部有界的，那么“U”∞= +∞ 在int（\'D）上。V（x，y）的proo≤“U”∞（x，S（y））见第4.1节。在第4.2节的条件（H1）下，通过使用动态规划方程进行表征，在第5.1节的条件（H2）下，通过建立和解释近似最优策略序列，证明了反向不等式。定理3.2指出，值函数由“U”给出∞. U的显式计算∞正如我们将在提案3.7和附录中说明的那样，在许多情况下都是可能的。一般来说，人们可以利用“U”的定义，采用数值近似技术∞asa一维凹包络的极限。定理3.2的最后一部分回答了Hendersenand Hobson[9]提出的经济相关问题。也就是说，在任何起点（x，y），投资者对赌博感兴趣的当且仅当∞（x，S（y））=U（x，S（y））。备注3.3。条件（H1）和（H2）是必要的，以允许非平凡正交鞅。因此，如果概率空间不够丰富，那么M⊥（x） 被简化为常数过程x，so，不可能有g扰动，问题V和m是相同的。如果允许按照控制理论中的标准放松技术采用随机策略，则最后的结论不会改变。

这表明条件（H1）和（H2）与引入随机策略的性质不同。接下来我们将重点讨论问题V的解的存在性和特征。我们需要引入以下假设：假设3.4。所有人（x，z）∈ int（\'D），有一个开有界子集O:=Ox，zof\'D，带（x，z）∈ O和cl（O） int（\'D），使得\'U=\'U∞在…上O.自¨U≤联合国≤“U”∞为了所有人≥ 0，这个假设意味着：\'Un=\'U onO代表所有人n≥ 0.备注3.5。假设3.4影响∞是局部有界的。这是下面的Emma 4.1的结论。本文的第二个主要贡献是以下存在性结果。定理3.6。假设3.4成立，并假设过滤后的概率空间满足定理3的条件（H2）。2.那么对于所有人（x，y）∈ D:V（x，y）=E[U（x*τ*+ Yyτ*)] 对于某些人（X）*, τ*) ∈ S（x，y）。这一结果在第5节中得到了证实。最优策略（X*, τ*) 将被描述为显式序列的极限。而且如果你∞（x，z）=Un（x，z）对于某些n，则（x*, τ*)是从起点（x，z）显式导出的。我们将在下面的备注3.10中指出，假设3.4是必要的，因为我们可能会发现一种情况，在这种情况下，它是不令人满意的，最优策略的存在是失败的。3.2动力效用案例[7]中，不可分割资产Yy被定义为几何布朗运动：dYyt=Yyt（udt+σdBt），Yy=y>0，代理人偏好以带有参数P的动力效用函数为特征∈ (0, ∞ ) :向上（x）=x1-P- 11-p、 p6=1，U（x）=ln（x）。（3.2）在[7]之后，我们引入常数γ和^γpde，定义为：γ=2μσ和^γp∈ （0，p∧ 1） ，（p- ^γp）p（p+1- ^γp）- （2p）- ^γp）p（1）- ^γp）=0，其中^γp的存在性和唯一性由直接计算得出。提案3.7。设U=Upas定义在（3.2）中。