匹配分布：具有密度形状修正的资产定价

这也与实物期权分析中的隐含树和市场化资产相关。在分布匹配中，首先考虑到期T时数字期权的portolio∏值，在T=0时，portolio∏值（T）与S（T）高度相关，并且在T时portfoliovalue的分布与S（T）的分布接近，单位为SYMBOLSCOR（T），S（T））≈ 1，π（T）~ S（T）近似。这些投资组合是有限的，因此其分布与S（T）的分布大致相同，在这个阶段，投资组合绝不是唯一的。作为对上述问题的回应，在重新定义这些投资组合的过程中，我们会以这样一种方式进行限制，即投资组合的收益分布与S（T）的分布完全匹配。这导致了对具有特定状态空间变换的物理和状态价格分布的分析。在现阶段，小型Arrow Debreu证券的理想化投资组合∏不再是临时的；相反，它是一种独特的期权安排，使得定价函数的一些自然属性得到满足。即，投资组合∏可以被视为一种欧洲风格的衍生工具，其收益s（T）和∏（T）是共单调的。在基准证券和资产高度相关的理想情况下，理想的投资组合∏然后满足（2.1）Corr（∏（T），S（T））≈ 1，π（T）~ S（T）。注意∏（T）然后在统计上对SBS进行套期保值，但我们认为，由于高度的相关性，套期保值的概念实际上更强。如果相关性事实上是完美的，那么投资组合将是单步模型的完全对冲。如果我们考虑到纠正BSM模型偏离对数正态性的已知不适定问题，那么思维实验是合理的。

在这种分析中，考虑两种高度相关且分布近似相似的资产的市场似乎是一个自然的起点：一种严格遵循BSM模型，另一种仅具有近似正常的回报率。接下来将讨论技术细节。传统的做法是在分析中考虑主要的风险中性措施，但我们采用了不同的方法，尽管完全相同，主要考虑的是理想的证券组合。我们选择这样做，因为在这种情况下，后一种方法似乎更透明。2.3. 小型Arrow Debreu证券的连续投资组合。让我们回顾一下布里登和利岑伯格（1978）的一些著名观点。另见比克（1982）、布朗和罗斯（1991）和贾罗（1986）的相关作品。考虑支付优先的数字看涨期权的价格≥K.假设反恐精英Kexists在K上是连续的（尽管Breeden-Litzenberger表示推广到更一般的设置）。然后，不管模型如何，这个匹配分布7代表SPD:qS（K）=C（S（t），t，t，K）K（K）=-Cdigi（S（t），t，t，K）K（K）。接下来，我们将考虑S上的正式数字期权，如果标的资产满足K，它将支付1个数字单位≤ S（T）≤ K、 在相反的情况下支付0。我们将应用一个形式符号（2.2）AD（S（t），t，t，dK）=qS（K）dK，它在集成环境中变得合理。以上直观地对应于退化情况K=K=kW，这里的触发器正好是S（T）=Kor K- K=dK可忽略不计。这样一种选择后来被称为小规模的Arrow-Debreu证券。

该选项被触发的可能性也是不可忽略的，因此它的价值“微乎其微”，因此出现了术语和右手术语dK。我们希望形成由小型Arrow Debreu证券组成的投资组合，同时进行所有可能的打击。因此，这些投资组合不仅是有限的，而且包含许多类型的资产。不同类型通话的分布信息可以方便地解码为氡测量值。我们将这些投资组合形式化为带符号的绝对连续度量，用ρ表示。让我们用∏（t）=∏ρ（t）表示投资组合的价值。如果Radon-Nikodym导数ρdK（K）在点K处为正，这意味着投资组合在对应于打击K的Arrow-Debreu证券上有一个多头仓位。类似地，如果DρdK（K）为负，则投资组合在对应于打击K的a-D证券上有一个空头仓位，而且，仓位的相对权重为| DρdK（K）|。将相对权重视为类似于概率密度是有启发性的，只有符号可能会根据短/长位置而变化。在S（T）=K的情况下，这种投资组合在时间T的收益ρ是[π（T）|S（T）=K]=dρdK（K）。这里的财务解释是，投资组合是一组a-D证券，具有不同的罢工，以及所有其他证券，除了罢工K的证券，到期无价值。因此，投资组合的收益是持有的strike-K A-D证券的金额。时间t<t时投资组合的价值是其中所有A-D证券的总价值：∏（t）=ZdρdK（K）AD（S（t），t，t，dK）。财务上的解释是，AD（S（t），t，t，dK）是1个strike-KA-D证券的价格，DρdK（K）是投资组合中此类证券的数量。因此，如果我们希望构造一个带payoff f的欧式衍生工具（它也可能有负值，例如。

在期货合约中，我们用权重SDρdK（K）=f（K）为每一个行权K组合一份投资组合ρ。投资组合的价值然后呈现一种熟悉的形式：π（t）=ZdρdK（K）AD（S（t），t，t，dK）=Zf（K）q（K）dK=Zq（K）f（K）dK=ZAD（S（t），t，t，t，dK）dK（K）dρd（K），一个标准的欧式看涨期权，其执行价格Kis由一个投资组合ρ复制如下：对于每个K>K，这里包括K-Kmany strike-KA-D证券，thusdρdK（K）=（K）- K） 1K>K.对于专家来说，上面讨论的这个想法肯定不是什么新鲜事，但这个工具将有助于透明地执行静态复制。3.定价框架让我们考虑两种资产，一种将被定价的资产，S和一种代理资产S。我们将研究与这些资产对应的两种不同的定价模型。当比较模型的SPD时，我们通常假设模型中的短期利率为incide，r=r，因此SPD和Qin与相同的债券价格相结合。假设φ，φ：R→ [0, ∞) 是S（T）和S（T）的连续密度分布。我们假设支撑是间隔[ai，∞), i=1,2。我们用Pand P表示相应的物理概率测度。因此有一个绝对连续的递增函数K:（a，∞) → （a），∞)使得对于任何间隔I，P（K（I））=P（I）（其中K（I）是I的映像）（a），∞). 对于递增且绝对连续的映射K，上述概率保持条件等价于asP（S（T）≤ K） =P（S（T）≤ K（K））用于每个K>a。K的目的是以合适的方式配对分布。

这当然不是唯一可能的P-P-保测度变换（见Dybvig1988），但它似乎是一种自然的变换，可以得出合理的结论。为了复制Swe的价值分布，我们将在S的状态空间上构建一个适当加权的Arrow-Debreu证券组合ρ。我们的目标是构建一个组合ρ，其时间T值，给定任何S（T）>0的事件S（T）=K（S（T）），满足[π（T）|S（T）=K（S）]=dρdK（K（S））=S（T）。换句话说，投资组合ρ’包含与事件S（T）=K（S（T））相对应的S（T）多个A-D证券，其中相应的A-D证券本质上是带支付功能的退化双数字期权S（T）=K（S（T））。因此，当S（T）=K（S（T））时，A-D证券的投资组合正好支付S（T）。由于变换K是保序和P-P-测度的，因此对于每一个a<b，我们有p1，t（a<S（t）<b）=P2，t（a<ρ（t）<b）。因此，S（T）和∏（T）的值分布函数是一致的。3.1. 中间阶段：用数字期权的有限投资组合来近似现金流。为了使分析更加具体和有说服力，我们开始构建K，中间步骤涉及简单的投资组合。这提供了通过静态复制策略对资产进行统计对冲所需的手段，该策略包含代理证券上（绝对多个）潜在交易的多头和空头头寸。最终，我们将传递到极限，让利润是有争议的资产，作为随机变量建模，是否应该共存于同一概率空间。如果他们这样做了，那么这些措施可以被视为推动措施。

这个问题类似于实物期权分析中的市场化资产免责声明。因此，对于任何可测量的子集，都可以使用Dynkin类型参数。匹配分布9离散化中使用的步数n趋于一致，因此渐近匹配S.Nachman（1988）的分布研究了静态模型中普通欧洲衍生品与普通期权组合的近似。为了方便起见，在这个阶段，我们假设φi的支承是有界的。然后，我们可以用数字通话的固定电话对来近似计算S（T）的分布。设ε>0。然后是一个n∈ N具有以下分区：（1）x<x<…<xnφ的支撑，使rxk+1xkφdx=1/n和xk+1- 对于k=1，…，xk<ε，N- 1.（2）y<y<…<φ支撑的Yn，使得Ryk+1ykφdx=1/n fork=1，N- 1.Clearlyx-N-1Xk=1Xk+xk+1[xk，xk+1]（x）以ε为界，对于所有状态x=S（T）是一致的。基于这一观察，我们将在安全方面建立一个投资组合，以匹配上述指标函数的线性组合。我们通过将infor每个k=1，N- 1个职位的薪酬为（3.1）xk+xk+1[yk，yk+1]，其复制成本为（3.2）xk+xk+1（Cdigi（S（t），t，t，t，yk）- Cdigi（S（t），t，t，yk+1）。数字选项上相应的权重为x+xandxn-分别为1+xNn和yn，和（3.3）-xk+xk+1+xk+1+xk+2=xk+2- xk用于其他打击yk+1。在这里，我们可以通过ρ（A）=n定义相应的A-D证券组合ρ-1Xk=1Xk+xk+1Zyk+1ykA（y）dy。实际上，请注意工具的无套利价值digi（S（t），t，t，yk）- Cdigi（S（t），t，t，yk+1）isRyk+1yk1 dQ。

所述投资组合在t时的价格为（3.4）∏（t）=n-1Xk=1Xk+1+xkZyk+1yk1-dQ。通过使用下面（4.1）的离散化版本培养上述投资组合结构，你也可以用普通调用构建一个近似的投资组合。10贾诺·塔波宁4。构造一个现金流分布等价的投资组合，称事件的密度S（T）=x为φ（x）。代理安全端的对应事件为K（x），其密度为φ（K（x））。在suchan事件的情况下，相应的A-D安全返回1个单位的数字（而不是xunits）。因此，我们将使用事件K（x）对应的A-D证券上的权重x进行补偿。第二，K（x+十）- K（x）+o(x） =xφ（x）φ（K（x））=xdPdK（x）/dPdK（K（x）），因为K是度量保持的。这里右边的分数是度量的theRadon-Nikodym导数。因此，（见（2.2））我们将K视为微分方程（4.1）K（x）=φ（x）φ（K（x）），K（a）=a，x>a的弱解。在实践中，密度是连续的，解是通常意义上的。注意，通过数值求解上述可分离常微分方程，可以很容易地计算K。如果Fand获得了相应的累积分布，那么（4.2）K（x）=F-1（F（x））。有一个有趣的离题，与随后的财务动机无关。方程式（4.2）定义了数学最优运输理论中一个问题的著名解决方案，其动机是物流和数学经济学。

坎托罗维奇（Kantorovich，1942）首先对这些问题进行了严格的思考。对于每个x>a现金流x1[x，x+x] （被视为S的或有权益）可以通过转换K:R“匹配”→ R、 精确到(x） ，通过价值为（4.3）x Cdigi（S（T），T，T，K（x））的投资组合（对S的间接索赔）- x Cdigi（S（T），T，T，K（x+x） ）。因此，在这两种情况下，可能的回报是相同的（0和x），并且积极结果的概率是一致的。在我们的投资组合中，我们将在时间t购买每次行权K（x）的（最小）A-D证券的数量x：然后ρ可以用DρdK（K（x））=x来表征。回顾差异链规则（4.3）和布里登-利岑伯格表示法，我们得到A-D期权的投资组合ρ的时间t值。提议4.1。在上述设置中，ρ的无套利时间t价格为（4.4）∏ρ（t）=R∞斧头-Cdigi（S（t），t，t，K）KK=K（x）dkdx=R∞axq（K（x））φ（x）φ（K（x））dx。在这里，portolio可以被解释为一种欧洲风格的Swith衍生产品，具有以下特性：上述安排最小化了实线上所谓的Wasserstein的WPDistance，参见例如Svetlozar和Ruschendorf（1998）。匹配分布11（1）在时间t，到期日t和S（t）的衍生工具具有相同的值分布。（2） 导数的支付函数是一个绝对连续的严格递增函数。后一种情况通常意味着衍生品支付和S（T）高度相关。如果理解了所有相关信息，我们将bybSDM（t）表示为值（4.4）。总结（见后续提案5.5）：提案4.2。假设上述设置。

如果Sis是一个欧洲风格的衍生产品，具有绝对连续严格递增的支付，S（T）=f（S（T）），那么Sis（T）=bSDM（T）的无套利价格。因此，如果可以将其视为近似的此类衍生工具，那么对上述衍生工具和“错误期限资产”的定价将降低到对其进行估值，可能采用其他方法，例如上述APT。为了简单起见，我们在两种定价模型中采用了相同的贴现因子。如果我们将两个模型与先验已知或假设的不同贴现因子进行比较，则必须对Arrow-Debreu资产进行额外的缩放，以使资产-1模型中的无风险债券价格正确定价。这导致考虑风险中性密度（RND）qi代替SPD qi。然后（4.4）对S:（4.5）bqDM（x）=dbQdx（S（T）=x）=φ（x）φ（K（x））q（K（x））上未观测到的RND进行自然估计。通过重新排列，我们可以用一种更熟悉的方式来解释上面的内容：dbQdP（x）=dQdP（K（x）），它表示定价模型的定价核重合，直至状态转换，并且通过（4.1）重新排列，我们得到（4.6）bqDM（x）q（K（x））=φ（x）φ（K（x））=K（x）。分布匹配资产估值：基本属性这里有几个可能的度量保留转换可供选择。然而，不断保持状态理论的变换K，从启发性的角度来看，似乎是最合理的。这种转换是“自然”的说法也得到了以下特征的证实，这些特征是这种特定类型转换的特有特征。命题5.1（近似投资组合的限制）。假设上面的φ和φ区域。然后（3.4）中的近似有限投资组合的值收敛到（4.4）的值。

此外，如果用各子区间的小溶质值项代替平均值（见（3.1）），则在φi的支撑为无界区间的情况下，也可以得出类似的结论。以下事实是投资组合非分配匹配构造的直接结果。12 JARNO Talponen提案5.2（唯一性直至分销）。假设分布S（T）和S（T）重合，φ=φ，并且代理安全性在其模型中是一个SPD。如上所述，假设我们使用S（T）分布的Smodel信息，通过分布匹配对SBS进行定价。然后BSDM（t）=S（t）。命题5.3（单调性w.r.t.随机优势）。假设SAA和SBS是证券，Sa（T） 在分布匹配中，Sb（T）和我们分别对它们使用相同的proxysecurity模型。然后是BSDMA（t）≤bSDMb（t）。同样，我们可以证明如果Sa（T） Sb（T），然后是bsdma（T）<bsdmab（T）。我们注意到，在这里，状态空间变换K是越来越重要的。然而，如果没有进一步的假设，定价规则不会保持二阶随机优势。提案5.4（连续性）。假设Sasset对应的SPD qc有界且q（y）φ（y）→ 0为y→ ∞. 假设资产S1，（n）（T）→ S（T）inP平均值为n→ ∞. 假设我们将分布匹配技术应用于qandφ，φ1，（n），φ，分别形成相应的组合ρ，ρn，其中bsdm（t）<∞.