匹配分布：具有密度形状修正的资产定价

然后BSDM1，（n）（t）n→∞-→bSDM（t）。定价方法不是线性的，也就是说，如果SAA和SBD是具有各自A-D投资组合ρA和ρb的证券，那么Sa+SBD组合现金流产生的投资组合ρ通常满足ρ6=ρA+ρ波段\\Sa+SbDM6=cSaDM+cSbDM。这是因为资产（待定价）方面的估值机制仅取决于现金流的分配，不考虑会计相关性。事实上，考虑平均分布的流量Sa、SBS和SCS，使Sa+SBS具有零方差，而Sb+SCA具有非零方差。然而，Modigliani-Miller类型的价值分离仍然成立，见下面的命题5.7。提议5.5。假设资产实际上是欧洲风格的或有克莱蒙资产S。我们考虑给定φ和q的SWI模型。进一步假设支付F（S（T））在S（T）上绝对连续且严格增加。然后采用分布匹配法直接定价；无套利价格（t）与价值BSDM（t）一致。这有以下相当直接的后果。分销匹配定价在某种意义上与BSM框架一致。备注5.6（与BSM模型一致）。考虑一个BSM模型资产，带有欧式期权支付f和资产S。假设f和S是5.5提案。然后，BSDM（t）与BSM值的初始值相一致。BSDM（t）=Vf（t）的导数复制过程。合适的支付函数f出现在上述所需投资组合ρ的构造中，即f=K-1.5.7.命题。假设在时间t，未来价格S（t）和S（t）与价格S（t）完全相关。这意味着它们是通过一个有效的变换（即。

移动线性变换）和Sand Scan被视为欧式期权，对标的资产S的依赖性严格增加。然后，分布匹配正确地为Sand S定价，考虑了开关时间T的竞争，在这种情况下，定价是线性的：\\（as+bS+cB）DM（T）=abSDM（T）+bbSDM（T）+cB（T），a，b≥ 0.我们需要正权重a和b以及完美相关性的原因是分布匹配技术没有考虑资产的相关性结构。6.应用：在倾斜和厚尾条件下对欧式看涨期权定价进行修正上述估值技术提出了一种在给定分析形式定价模型中对任何类型的分布偏差进行修正的方法。根据命题4.2，基于标的资产价格分布的衍生产品定价是合理的。然而，如果没有关于套利动力学的任何信息，这个问题是不适定的，因为可能存在多个鞅测度和相应的无套利价格。我们假设，除了市场上分析的隐藏资产A之外，还有一个高度相关的“准孪生”资产A*它准确地遵循了分析形式定价模型的动态。然后，分布匹配技术生成一个带payoff f（a）的导数*T） 分布均匀，与AT高度相关。在这里，A在统计上是可对冲的，但可能无法通过使用A的衍生品进行适当对冲*T.因此存在一个假设的“误差项”现金流Aε，使得（6.1）AT=f（A*T） +AεT其中AεT的平均值为0且方差较小。在建模过程中，将Aε值渐近处理为0似乎是合理的，例如，通过调用CAPM、APT或其他因素模型，可能是非线性模型，参见Atlan等人。

(2007).与导言中提到的非结构性技术类似，这种方法的好处在于，我们可以将资产回报的经验现实模型的理想特性与分析可压缩模型的理想特性合并在一起。例如，我们可以在欧洲股票期权定价中附加倾斜和厚尾特征，使用BSM模型作为“地面模型”。为了实现这一点，我们需要在t=0时BSM模型中出现的数据，不包括u和σ，以及t时股票价格的模拟物理（非对数正态）分布。因此，对于欧洲类型的调用，我们需要以下数据：（1）t=0时的资产价格，S（0）。（根据经验得出。）（2） t=0时的利率r。（根据经验观察；如果将其应用于BSM模型，我们会选择类似的方法。）（3） 成熟度。（给出）（4） 执行价K（给定）（5） t=t，S（t）时股票价格的建模概率密度函数。（分析表格可用于数据，也可通过局部回归直接来自数据。）14 JARNO Talponsense隐含的波动性和趋势。隐含波动率σ和隐含趋势u的选择方式应确保S（T）的模拟物理分布中值与参数为S（0）、T、r和σ的BSM模型的对数正态物理分布中值一致。此外，我们要求四分位范围（IQR）（即区间长度）一致。Themedian和IQR明确地确定了σ和u。这样做的动机是双重的。首先，考虑到中位数似乎与我们构建上述导数的方式一致。也就是说，通过以状态的保序和连续方式变换分布，使得概率分布的分位数与其变换后的版本之间存在一对一的对应关系。

第二，假设我们有一个PDF格式f=αg+（1）- α） h其中0<α<1，α≈ 1，h是对数正态分布，h也是非常倾斜和厚尾的。因此，f是g的一种轻度修改版本，添加了一些歪斜和肥尾。这个案例对应于这里的一个典型应用。注意，f的中位数和IQR接近g的中位数和IQR。因此，通过将中位数和IQR相等，对σ和u进行内部校准。还要注意的是，使用分布的平均值或方差是不可能的，因为由于FATTAIL，模型物理分布的平均值可能不存在，但另一方面，分布的分位数总是存在的。6.1. 插图：参数化案例。根据叠加在BSM模型上的给定混合对数正态-LogCauchy-LogStudent-L’evy型物理分布，对风险中性分布进行建模。为了说明所研究定价方案的应用，我们计算了具有负偏斜和超额峰度的不同基础物理分布下的价格。我们在一个相对稠密的网格中对SPDs q进行数值近似。我们用φmix表示混合PDF，用φBSM（分别为qBSM）表示BSM模型的对数正态物理PDF（SPDs）。我们通过以下伪代码循环计算相应的SPDs bqMix=q：设x=h，fix y如thatRyφBSM（x）dx=RhφMix（x）dx；对于i=1到N；设q（xi）=qBSM（yi）φMix（xi）φBSM（yi）；设xi+1=xi+h和yi+1=yi+hφMix（xi）φBSM（yi）；下一个为了用超重尾来折磨我们的模型，我们考虑了物理分布，它是以下分布的混合物：对数正态分布、对数柯西分布、对数学生分布（ν=2）、L′evy。主要成分是对数正态分布，BSMmodel参数t=0，t=1，S（0）=1，r=0.04，u=0.1，σ=0.3，其余分布的参数见程序文件。

我们通过对分布进行加权平均来形成混合分布，匹配分布15将相同的权重放在所有非对数正态分布上，其余权重放在对数正态分布上。我们在不同权重下进行了计算，w=0.00、0.01、0.02、0.05、0.10，涉及厚尾分布。因此，相应的对数正态权重分别为1.00、0.97、0.94、0.85和0.70。请注意，对数柯西密度是无界的，这也会影响混合分布。这给数字实现带来了一些负担。我们确定了不同权重对应的每个混合分布的中位数和四分位数区间（QIR）。然后，我们搜索对数正态分布参数u和σ，使得混合分布和对数正态分布的中值和QIR一致。我们对之前确定的t、t和S（0）使用相同的值。我们在这里并不是假设S（0）是相关基础证券的正确价格，它只是“附近”代理证券的价格，可能是一种假设证券。然后将上述固定的BSM模型用作地面模型，提供所需的密度φBSM和qBSM。对于权重w=0和履约价格K=0，我们得到了看涨期权的值S（0）=1，正如人们所期望的那样。改变有关物理分布的假设（在本框架中，物理分布受风险中性分布的影响），会影响标的资产（根据（4.5））的模型价格与代理证券的关系。建模状态价格密度的形成如下图所示。在xaxis上，我们有标的资产S（T）的状态，其中基准证券（对应于w=0的情况）是1。出于数字原因，我们报告了x状态≥ 0.2因为在x=0.16时，Khas是一个奇点。JARNO Talponen图1。

在混合分布中，峰度随着厚尾分布相对权重的增加而增加。分布的模式是≈ 0.97（不包括左尾翼）。图4。变换K（x）（除了恒等式外，w=0的情况）在0处不连续，但情况并非如此。右手边的数值趋于非常缓慢。这两个特征都是由厚尾巴造成的。由于分布的设置，中位数的近似重合。匹配分布如图2所示。由此产生的SPD估计值与物理分布类似。请注意，州ZF的价格是相当大的atleft hand tail。这些可以解释为风险中性密度dq/dx，直至债券价格的正常化。风险中性分布的模式如下：≈ 0.91（不包括左尾翼）。图5。差分K（x）在0处爆炸。右边的小数值反映了φMix（x）/φBSM（K（x））的比率≡ 1是强制的，而φmix是重尾的，而φBSMis不是。18 JARNO Talponen图3。沉重的左手尾会降低标的股票的价格（K=0的情况），而沉重的右手尾则会增加执行价较高的看涨期权的价格。图6。具有重尾的分布匹配倾向于在风险中性/物理密度比适中的货币状态下分散状态。这也说明了分布匹配并不能简化为pricingkernel与重尾经验密度的结合应用。匹配分布19微分K（x）在0处具有奇点。为了算法的数值稳定性，区间[0,0.01]必须单独处理，图中不包括该区间。

这不会导致经济上的重大错误，因为在这个区间内，股票的概率和价格都很小。计算在Matlab 2015b（8.6.0.267246 win64）上进行。数值积分和求解常微分方程的Euler方法的精度通过改变步长sizeh=10进行启发式控制-k、 在笔记本电脑上计算大约需要1分钟。在上图中，我们采用了给定的初始基准证券价格，S（0）=1。然后我们在S上对所有欧洲风格的选项进行定价，包括资产本身的小案例S（0）。然而，如果观察到资产的价格S（0），那么我们可以“校准”S（0），以便该方法产生正确的观察到的价格S（0）。事实上，回想一下，在定价措施的构建过程中，资产被建模为具有递增支付函数的欧洲证券衍生品。因此，例如在BSM模型中，价格S（0）是初始价格S（0）的严格递增连续函数。模型间公式的合理性最终，我们将应用我们的技术对倾斜和峰态BSM定价模型进行修正。事实上，这个问题是不适定的，因为我们没有对资产定价的动态做出任何假设。诚然，这一事实可能会对估值技术的合理性提出质疑。我们认为，公式（1.1）为模型1 SPD提供了合理的估计。为了证明这一点，我们将勾勒出它准确执行的一些情况。下面的假设最终相当严格。然而，这并不意味着被理解为合理估计的定价技术在适用性上也应该受到同样的限制。分配匹配也类似于资本预算中的一些估值方法。

也就是说，实物期权分析的市场化资产免责声明（见Trigeorgis1999）类似于此处应用的代理原则。7.1. 与风险中性定价的比较。假设我们将资产建模为单步现金流量=f（a*T） （6.1）中的+AεTas。如果Vart（AT）<∞ 那么我们可以使用f（A）*T） =Et（在| A处）*T） 几乎可以肯定，然后aεT=AT- Et（在| A*T） 与一个*T、 Et（AεT）=0和Vart（AεT）<∞. 然后，在命题5.5的设置中，我们可以给A定价，直到误差项EQt（AT）=EQt（f（A*T） ）+EQt（AεT）如果A是A上的欧式导数*在模型2中。如果假设上述支付是绝对连续且不断增加的，则右侧的第一个风险中性预期可以通过分布匹配正确定价。如果指定了模型2，则可以控制第二个预期或定价误差，从而可以计算20 JARNO Talponene（（dQdP）），EQt（AεT）≤ EQt（|AεT |）=EtdQdP | AεT|≤武特dQdP!Et（|AεT |）。这里我们应用了柯西-施瓦兹不等式，pet（|AεT |）是AεT.7.2的标准差。题外话：市场模型与代表性代理之间的风险价值阈值效用对应关系。在本节中，我们研究一个特殊情况，其中市场模型的SPD由代表性投资者的效用函数决定。Ait Sahalia andLo（2000年）和Rubinstein（1974年）等研究了通过代表性投资者概念聚集市场的条件。

回想一下，在具有市场均衡和代表性代理效用函数的定价中，涉及均衡的一阶最优性条件可以表示为：qST（K）=cu（K）φST（K），其中左侧表示状态ST=K的SPD，u是代表代理人的效用函数，c>0是一个合适的常数，取决于货币的时间价值和t时初始资本的边际效用。假设u和u分别是市场模型a和b的可微分代表代理人效用函数。通常，单属性效用函数被认为取决于货币的绝对水平（或计算值，或消费水平），但也可以用公式（x）=ν（Φ（x））表示，其中ν是一个合适的可微分严格递增辅助函数，Φ是ST的累积分布。这可以作为惯例安排，因为通常情况下，K状态与累积概率之间存在1:1的对应关系。就风险价值而言，本质上相同的可以通过声明mapα7来表达→ VaRα（对相应分位数的置信水平α）与给定的效用函数一起诱导辅助函数ν（α）=u(-VaRα=u（Φ）-1(α)).

用这种形式写效用函数是梅雷利亚的惯例。假设代表性代理部分同意其效用，即效用函数的形成有一种普遍的方式，只有市场模型特定的物理分布不同：（7.1）ua（x）=caν（Φa（x）），qaS（a）T=x=caddxν（Φa（x）），ub（x）=cbν（Φb（x）），qbS（b）T=x=cbddxν（Φb（x））。这意味着这两个效用函数都是根据置信水平和CBUA（VaR（a）α）=caub（VaR（b）α）参数化的公共辅助值的值。这是一个实例，其中分布匹配，将市场模型A和b配对，可用于正确预测其中一个模型中的价格，其中21个模型的分布与另一个模型的分布相匹配。这基本上遵循了链式规则：qaS（a）T=x=caddxν（Φa（x））=caν（Φa（x））φa（x），qbS（b）T=x=cbddxν（Φb（x））=cbν（Φb（x））φb（x）。请注意，如果在市场模型a和b中，到期日T面值1无风险零息票债券在T=0时的价值一致，那么BA（T）=Zcaν（Φa（x））dΦa=Zcbν（Φb（x））dΦb=Bb（T），因此ca=cb。即使情况并非如此，我们也可以考虑风险中性概率指标QA和Qb，而不是定价指标。因此，我们可以从本质上抑制常数ca=cb=1。现在，如果K是递增的，连续的，并且在正实线上保持Pa-Pb测度，我们得到Φa（x）=Φb（K（x））。图斯克S（b）T=K（x）=ddsν（Φb（S））所以qa（s（a）T=x）=φa（x）φb（K（x））qb（s（b）T=K（x））。该条件明确规定（4.4）根据b模型中的欧洲买入价系统对a模型资产进行正确定价，直至贴现。更一般地说，在这种情况下，a资产上任何欧式期权的价格都可以与a资产的实物分销一起从b市场模型中扣除。例7.1。