无套利条件和绝对连续的度量变化

证明是命题2.3和引理3.1的一个相当直接的结果，但为了方便读者，我们更愿意给出全部细节。定理3.2。设Q是一个概率测度(Ohm, F） 这样Q<< P.那么以下保持：（i）如果NIP对P保持，那么NIP对Q也保持；（ii）如果NSA对P持有，那么NSA对Q也持有；（iii）如果NA1对P成立，那么NA1对Q也成立。证据如果NI P对P成立，引理3.1和命题2.3的第（i）部分意味着‘ν=ν=0 P B-a.e.和Q B-a.e.，从Q开始<< P.第一个主张再次来自主张2.3（现在适用于Q）的第（i）部分。为了证明第（ii）-（iii）部分，请注意∈ [0，T]：bKQt=Ztλu+θuZu-铜λu+θuZu-dBu≤ 2bKt+2ZtZu-θucuθudBu，（3.2）由于渡边坤田不等式和（2.3）。注意，由于引理3.1，我们有θ∈ Lloc（M；P） Lloc（`M；Q），其中最后一个包含项来自以下假设：<< P.自过程Z-是Q-a.s.严格正、自适应且左连续，因此局部有界，（3.2）右侧的第二项是每个t的Q-a.s.定义∈ [0，T]。特别是，这意味着σQ≥ σQ-a.s.根据命题2.3第（ii）部分，如果NSA对P成立，则σ=∞ P-a.s.和Q-a.s.，因为Q<< P、 因此给出σQ=∞ Q-a.s.那么，提案2.3的第（ii）部分再次暗示NSA对Q有效。同样，由于提案2.3的第（iii）部分，如果NA1对P有效，则NSA对P有效∞ P-a.s.和Q-a.s.，自<< P.通过（3.2），这意味着BKQT<∞ Q-a.s.和命题2的第（i-ii）部分。3，NA1适用于Q。备注3.1。条件bkt<∞ 以NA1为特征的P-a.s.在Delbaen和Shirakawa被称为完整性条件[11]。

在那篇论文的引理4.5中，我们证明了在测量值的等效变化下，细观条件是稳定的。命题2.7和Remark2中也建立了类似于定理3.2第（iii）部分的结果（尽管术语不同）。10.Choulli和Stricker[6]。在结束本节时，我们指出，如果我们将注意力限制在测量的等效变化上，而不仅仅是绝对连续的测量变化，那么NA和NFLVR条件也是稳定的。事实上，假设NA对P成立，让Q成立~ P.通过矛盾论证，假设存在一个策略H∈ A（Q）在定义2.2第（iv）部分的意义上，实现了Q下的无障碍机会。然后，自从P<< Q、 Jaco d和Shiryaev[22]的命题III.6.24表明∈ L（S；P）和关于P的随机积分h·S与关于Q的随机积分一致~ P、 我们还有H∈ A（P）和GT（H）≥ 0 P-a.s.和PGT（H）>0> 0，从而表明NA相对于P的有效性。类似推理可以显示NFLVR相对于等效测量变化的稳定性。还要注意的是，该论证不依赖于S.4 NA和NFLVR条件的连续性：反例如定理3.2所示，在连续半鞅模型的背景下，弱NIP、NSA和NA1条件对于绝对连续的度量变化总是稳定的。我们现在证明，一般来说，经典的强NA和NFLVR条件对于绝对连续的度量变化，甚至对于连续过程，都不是鲁棒的。我们通过一个反例来说明这一现象，这个反例已经在Delbaen和Schachermayer[8]中就严格局部鞅（也就是说，局部鞅不是鞅，参见。

Elworthy等人[13]）。设W=（Wt）0≤T≤一个实值布朗运动，从W=1开始，停止时间τ：=inf{t∈ [0，T]：Wt=0}∧ T我们将S定义为停止过程S:=Wτ，并将过滤F设为S的P-增强自然过滤，自S起，F=FT∈ 考虑到命题2.3的第（v）部分，M（P），NFLvrt对P基本成立。然后，我们确定了概率测量值Q<< P乘以dQ/dP:=ST=Wτ。很明显，P<< Q不成立，因为P（ST=0）>0，所以Q和P不相等。还请注意，S代表Q相对于P的密度过程。命题4.1。在本节的背景下，过程S考虑了过滤F证明中概率测度Q的套利机会。根据Lenglart[29]的定理2，过程N:=S-RS-1dhSi属于Mcloc（Q）。观察hNit=hSit=t∧τ表示所有t∈ [0，T]。注意Q（ST=0）=EP{ST=0}ST= 它认为τ=tq-a.s.，因此hNit=tq-a.s.f或所有T∈ [0，T]。Lévy的特征化定理意味着N是一个从N=1开始的Q-布朗运动。现在让我们用G表示N（或相当于S）的Q-增强自然过滤，它与{ST=0}的子集分段相吻合。过程S满足dSt=S-1tdt+dNt。因此，关于测度Q和过滤G，过程S是一个三维贝塞尔过程（参见Revuz和Yor[35]，第XI.1节），Delbaenad Schachermayer[8]第361页的推论表明，S承认过滤G中Q的套利机会。这意味着存在一个G-可预测的容许策略H∈ L（S；Q）这样的GT（H）≥ 0 Q-a.s.和QGT（H）>0> 0

正如Delbaen和Schachermayer[8]第360页所述，也存在一个F-可预测过程K，它与H不可区分，因此K·S≡ H·S，其中两个随机积分都是关于（Q，G）的。但是，由于S是F适应的，Jacod和Shiryaev[22]的命题III.6.25说明了关于（Q，G）的随机积分K·S与关于（Q，F）的随机积分是一致的。因此，我们证明了K在过滤F中实现了关于Q的套利机会。实际上，命题4.1中给出的反例可以推广到一整类模型，其中NA（因此，NFLVR）被绝对连续但不等效的度量变化破坏。以下结果基本上对应于德尔巴恩和沙切迈耶[8]的定理3（也可参见奥斯特里德和莱茵德[32]的命题2.8，以及Ruf和龙格里耶[37]的定理1，以扩展到不完全市场）。提议4.2。设S=（St）0≤T≤t在M（P）中的一个非负实值过程，具有关于P的可预测表示性质，S=1 P-a.S。定义概率测度Q<< P乘以dQ/dP:=ST。如果P（ST=0）>0，则S不满足与Q有关的NA。备注4.1。我们想指出，本节的结果实际上并不需要过滤的完整性。事实上，可预测的表征属性也可以通过正确的连续但不完全的过滤来建立，参见Jacodand Shiryaev[22]的定理III.4.33，虽然在命题4.1的证明中Q下NA的失败可以追溯到Fontana和Runggaldier[17]第59页。5一般半鞅模型中NA1的稳定性在定义2.2中考虑了不同的无套利概念，但NA1条件具有特殊的意义。

事实上，如Karatzas和Kardaras[25]的命题4.19（见alsoChoulli等人[5]）所示，NA1是在一般半鞅模型中允许有意义地解决投资组合优化问题的最小条件。本节旨在调查基于一般（即不一定连续或局部有界）IRd值半鞅S=（St）0的金融模型中，NA1条件相对于绝对连续的度量变化是否稳定≤T≤T.由Takaoka[42]得出的以下结果表明NA1在一般半鞅设置中具有特征。我们记得，如果存在递增序列∑n}n，则IRd值半鞅S称为σ-鞅∈INof可预测集∈在∑n=Ohm ×[0，T]且∑n·Si∈ M（P），代表所有n∈ 在和i=1中，d（见Jacod和Shiryaev[22]，第三节第6e节）。Mσ（P）关于P的所有σ-鞅族。命题5.1。NA1成立的充要条件是存在严格鞅密度（SMD），即严格正实值过程L=（Lt）0≤T≤t归属于Mloc（P），使EP[L]<∞还有∈ Mσ（P）。现在Q是(Ohm , F） 和Q<< P.直到本节结束，我们用Z=（Zt）0表示≤T≤t如Karatzas和Kardaras[25]中注释4.13所述，Q相对于P的密度过程，与目前考虑的连续情况不同，如果存在跳跃，则NA1条件可能不再通过绝对连续的测量变化来保持。停止时间：τ：=inf{t∈ [0，T]：Zt-= 0或Zt=0}，τn:=inf{t∈ [0，T]：Zt<1/n}∧ T，无论如何∈ 在里面（5.1）F"ollmer[15]和Meyer[31]以及最近的Carr等人[3]和Kardaras等人[28]首先利用了一个关键的见解，其中包括在测量条件下观察过程1/Z。引理5.2。

设Q是一个概率测度(Ohm, F） 这样Q<< P.然后，我们认为：（i）过程1/Z是一个严格正的Q-超鞅；（ii）每M=（Mt）0≤T≤T∈ 当且仅当ifP（τ>τn）=1时，对于所有n，过程M/Z属于Mloc（Q）∈ 在里面证据第一种说法来自简单的计算（另见Carr等人[3]，定理2.1）。为了证明第二种说法，假设P（τ>τn）=1，对于所有n∈ 在里面然后，永远∈ M（P），我们有M/Z∈ Mloc（Q），参见卡尔等人[3]提案2.3的第（iii）部分。相反，以M为例≡ 1，如果1/Z∈ Mloc（Q），Carr等人[3]的定理2.1意味着p（τ>τn）=1表示所有n∈ 在里面下一个定理是本节的主要结果，它表明，如果相应的密度过程Z不跳到零，NA1条件相对于测度的绝对连续变化是稳定的。还要注意的是，这个证明是建设性的，因为它展示了S关于测度Q的一个明确的SMD。定理5.3。设Q是一个概率测度(Ohm, F） 这样Q<< P.如果NA1对P成立，且P（τ>τn）=1，则对于所有n∈ 在中，NA1对Q证明成立。根据命题5.1，存在一个实值严格正过程L∈ Mloc（P）这样的EP[L]<∞ 还有∈ Mσ（P）。让{n} n∈在L的P-定位序列中，根据引理5.2的第（二）部分，它认为L不适用∈ Mloc（Q）。自从Q<< P、 这意味着L/Z∈ Mloc（Q）。根据Jacod和Shiryaev[22]的定义III.6.33，存在可预测集∑n}n的递增序列∈因苏奇茅草∈在∑n=Ohm ×[0，T]和1∑n·LSi∈ M（P），对于每i=1，d、 同样在引理5.2的第（ii）部分，我们得到了（1∑n·LSi）/Z∈ Mloc（Q）和产品规则的应用导致1∑n·（LSi/Z）∈ Mloc（Q），对于每个i=1，d、 自从Q<< P和类Mσ（Q）通过局部化是稳定的（参见。

Jacod和Shiryaev[22]，命题III.6.34），这表明LSi/Z∈ Mσ（Q），对于所有i=1，d、 因为我们也有eq[L/Z]≤ EP[L]<∞, 因此，我们证明了L/Z是Q下的SMD。命题5.1则意味着NA1对Q成立。一般来说，条件P（τ>τn）=1，f或全部n∈ 在中，不能被削弱，如以下结果所示（另见下面的示例5.1和命题5.5）。提议5.4。设S=（St）0≤T≤t在M（P）中的一个非负实值过程，具有关于P的可预测表示性质，S=1 P-a.S。定义概率测度Q<< P由dQ/dP:=STandτ：=inf{t∈ [0，T]：圣-= 0或St=0}。那么，如果{τ ≤ T}∩ {Sτ-> 0}> 0时，过程S在Q证明方面不满足NA1。通过矛盾论证，假设S在Q下满足NA1。然后，通过命题5。1，存在一个关于Q的SMD L，因此∈ Mloc（Q），因为非负σ-鞅是局部鞅（参见Jaco d和Shiryaev[22]，命题III.6.35）。根据Lenglart[29]第67页的引理，存在一系列停止时间{n} n∈因n∞ Q-a.s.作为n→ ∞ 这样（LS）N∈ Mloc（P）和（LS）N∈ Mloc（P）。从雅科德[21.2]的角度来看∈ M（P）享有关于P的可预测表示性，这意味着（LS）nis P-a.s.微不足道∈ 在里面自从Q<< P和n∞ Q-a.s.作为n→ ∞, 这意味着，由于引理5的第（二）部分，L=1/S Q-a.S.H。2（另见Perkowski和R uf[33]，示例4.1），条件P{τ ≤ T}∩ {Sτ-> 0}> 0意味着1/S是一个不属于Mloc（Q）的Q-超鞅，因此与关于Q的L是SMD的假设相矛盾。例5.1。我们现在给出一个简单的例子，其中命题5.4的假设得到满足（与Perkowski和Ruf[33]的例子4.2进行比较）。

让(Ohm, F、 P）是支持标准指数随机变量ξ的给定概率空间：Ohm → IR+，所以p（ξ>t）=e-t、 尽管如此，t∈ IR+，设F为过程（1{ξ）生成的正确连续过滤≤t} ）0≤T≤T.然后定义过程S=（St）0≤T≤Tby St:=1{ξ>t}et，对于t∈ [0，T]。从Jeanblanc等人[23]的命题7.2.3.2和命题7.2.5.1中可以看出，过程S属于M（P），并且在F中具有可预测的表示性质。显然，使用命题5.4的符号，它认为τ=ξ，而且：{τ ≤ T}∩ {Sτ-> 0}= P（ξ）≤ T）=1- E-T> 0。命题5.4表明，S在Q下不能满足NA1。事实上，由于Q（ξ>T）=1，过程S在Q下被视为一个严格递增的过程，因此，它允许增加利润（根据定义2.2的第（i）部分）。比较命题5.4和命题4.2的结果很有趣。事实上，两种观点都表明，如果从一个模型开始∈ M（P）（因此，NFLVR对P而言微不足道）和S享有可预测的代表性，那么，在绝对连续但不等同于Pto Q的度量f变化后，可能会出现套利。更具体地说，命题4.2表明，如果dQ=STdP未能确定度量Q~ P、 然后，当在Q下查看时，过程S允许套利机会（即NA失败）。此外，根据命题5.4，如果过程S可以跳到零，那么S也允许在Q下查看第一类轨道（也与示例5.1比较）。备注5.1。在最近的论文Ruf和Runggaldier[37]中，作者提供了一个系统化的程序，用于构建满足NA1但允许套利机会（即NA无法持有）的市场模型。

他们的方法与我们的结果密切相关：事实上，他们从roma市场模型开始，其中S是一个非负的IRd值鞅，然后传递到一个绝对连续但不等价的概率度量，其密度过程只允许连续达到零。因此，在Ruf和Runggaldier[37]中采用的措施变更具有扰乱NFLVR的NA成分的效果，而根据定理5.3，NA1成分被保留。下一个命题代表了与定理5.3相反的结果，并表明，如果所有n的条件P（τ>τn）=1∈ 如果不成立，那么就可以找到一个半鞅，该半鞅满足关于P的NFLVR，但允许在Q下增加利润（因此，第一类套利）。该证明利用了Axamit等人[1]定理3.16中已经使用的一个思想。提议5.5。设Q是一个概率测度(Ohm, F） 这样Q<< 假设P（τ=τn）>0f或某些n∈ 在里面然后就有了一个过程∈ M（P），它允许在Q证明方面增加收益。设B=（1[[τ，T]]）pbe为递增过程1[[τ，T]]的可预测补偿器（见Jacod和Shiryaev[22]，定理I.3.17），定义S:=-（1[[τ，T]]-B） ，所以∈ M（P）。因为τ=∞ Q-a.s.，它认为s=B Q-a.s.可预测过程H:=1（（0，T]]satifiesg（H）=H·s=B- B≥ 0 Q-a.s.，因为B是P-a.s.增加，Q<< P

此外，利用可预测补偿器的性质（见Jacod[21]，命题1.47）以及Z的P鞅性质，我们得到GT（H）= EZTBT- ZB= EZTZt-dBt= EZTZt-d1[[τ，T]]= EZτ-{τ≤T}> 0，其中最后一个不等式来自于P（τ=τn）>0的事实∈ 在中，这意味着过程Z有一个跳到零的严格正概率。综上所述，在一般IRd值半鞅模型的背景下，引理5.2、定理5.3和命题5.4共同产生了以下三种陈述之间的等价性，其中Q<< 根据（5.1）中引入的符号：（a）对于每一个IRd值半鞅S=（St）0≤T≤t使NA1与P相关，NA1与Q相关；（b） P（τ>τn）=1，对于所有n∈ 在里面（c） 1/Z∈ Mloc（Q）。致谢这项研究得到了玛丽·居里欧洲内部研究金的支持，该研究金属于第七届欧洲共同体框架计划，资助协议为PIEF-GA-2012-332345。该授权感谢约翰·鲁夫对该文件早期版本的有用评论。参考文献[1]Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.和Jeanblanc，M.（2014）。半鞅模型的随机期无套利。预印本，可在http://arxiv.org/abs/1310.1142.[2] 安塞尔，J.P.和斯特里克，C.（1993）。渡边坤田作曲，第二十七卷，第1557卷，数学课堂讲稿，第30-32页，柏林海德堡斯普林格。[3] 卡尔，P.，费舍尔，T.和鲁夫，J.（2014）。关于汇率爆炸时期权的套期保值，Financ。斯托克。18, 115–144.[4] Chau，H.N.和Tankov，P.（2013）。具有最优套利的市场模型。预印本，可用http://arxiv.org/abs/1312.4979.[5] 周立泰，邓，J.和马，J.（2012）。效用最大化的基本定理和投资组合。