无套利条件和绝对连续的度量变化

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英文标题：
《No-arbitrage conditions and absolutely continuous changes of measure》
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作者：
Claudio Fontana
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study the stability of several no-arbitrage conditions with respect to absolutely continuous, but not necessarily equivalent, changes of measure. We first consider models based on continuous semimartingales and show that no-arbitrage conditions weaker than NA and NFLVR are always stable. Then, in the context of general semimartingale models, we show that an absolutely continuous change of measure does never introduce arbitrages of the first kind as long as the change of measure density process can reach zero only continuously.
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中文摘要：
我们研究了几个无套利条件相对于绝对连续但不一定等价的测度变化的稳定性。我们首先考虑了基于连续半鞅的模型，并证明了弱于NA和NFLVR的无套利条件总是稳定的。然后，在一般半鞅模型的背景下，我们证明了测度的绝对连续变化不会引入第一类套利，只要测度密度的变化过程只能连续地达到零。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> No-arbitrage_conditions_and_absolutely_continuous_changes_of_measure.pdf (233.82 KB)

2022-5-5 07:18:28 上传

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关键词：无套利 Differential Quantitative Applications Probability

无套利条件和绝对持续的测量变化Fontanalaboratoroire Analysis et Probabilityé，埃松大学，23 bd de France，91037，埃夫里（法国）。电子邮件：克劳迪奥。fontana@univ-埃弗里。frThis version:2014年3月4日摘要我们研究了几个无套利条件相对于绝对连续但不一定等价的度量变化的稳定性。我们首先考虑了基于连续半鞅的模型，并证明了弱于NA和NFLVR的无套利条件始终是不可行的。然后，在一般半鞅模型的背景下，我们证明了测度的绝对连续变化永远不会引入第一类套利，只要测度密度的变化过程只能连续达到零。1简介无套利的概念在金融经济学和数学金融中至关重要。寻找一个充分的无套利条件，在经济上有意义，在数学上易于处理，有相当长的历史，我们参考Schachermayer[38]了解主要发展的另一个概述。Delbaen和Schachermayer[7,10]的论文标志着一个重要的步骤，作者在论文中建立了一个等价（局部-/σ-）鞅测度的存在与无免费午餐消失风险（NFLVR）条件的有效性之间的等价性。最近，主要受随机投资组合理论（参见Fernholz和Karatzas[14]的概述）和量化金融基准方法（参见。

Platen and Heath[34]），最近的论文Karatzasand Kardaras[25]、Hulley and Schweizer[19]、Kardaras[26,27]、Fontana and Runggaldier[17]、Ruf[36]记录了比经典NFLVR条件更弱的无套利概念，Song[40]和Takaoka[42]（参见Loewenstein和Willard[30]对这一系列文献的早期贡献，以及Hulley[18]和Fontana[16]对连续半鞅模型中出现的不同无套利条件的统一分析）。特别是，已经证明，为了解决投资组合优化问题以及进行定价和对冲，可能不需要NFLVR的全部实力。在定量金融中，典型的方法是在假设套利收益（根据其中一种可能的定义）无法实现的情况下，从agiven概率测度P下的模型规格开始。人们可能会想，这样一个无套利假设对于度量值从P变为绝对连续但不一定等价的度量值Q是否稳健。本文旨在回答这个问题。在数学金融文献中，已经证明绝对连续但不等效的度量变化可能会导致套利机会（在德尔巴恩和沙切迈耶[7]的经典意义上），参见例如德尔巴恩和沙切迈耶[8]、奥斯特利德和莱茵德[32]，以及最近的鲁夫和伦格尔迪耶[37]以及周和坦科夫[4]。然而，这仍然留下了一个悬而未决的问题，即是否没有比NAL和NFLVR更弱的套利条件可以通过绝对持续的度量变化来改变。

正如我们在第3节中所说的，本文的第一个（但实际上并不令人惊讶）主要结果是，在基于连续半鞅的模型中，情况从来不是这样。在比NFLVR弱的无套利条件中，无第一类风险（NA1）的条件，或者，等价地，无有界风险的无界利润（见Karatzas和Kardaras[25]和Kardaras[26]）的条件起着特别重要的作用。事实上，已经证明，只要NA1成立，定价和套期保值就可以令人满意地执行，而且，为了解决一般半鞅模型中的投资组合优化问题，相同的条件是最小条件。这促使人们研究NA1对于一般半鞅模型中绝对连续但不一定等价的测度变化的稳定性。正如在Karatzas和Kardaras[25]中已经观察到的（见其注释4.13），当存在跳跃时，NA1条件可能不会通过绝对连续的测量变化来保持。在这方面，本文的第二个主要结果表明，改变测量值后NA1的损失与密度过程跳到零的可能性密切相关（见第5节）。本文其余部分的结构如下。第2节介绍了本文第一部分基于连续半鞅的建模框架，并提出了五种不同的套利概念。在连续半鞅条件下，第3节证明了weakno套利条件对于测度的绝对连续变化是不变的，而第4节通过一个反例表明，对于经典的NAL和NFLVR条件，情况并非如此。

最后，第5节研究了一般半鞅模型中NA1条件的稳定性。2连续金融市场和无套利条件(Ohm, F、 P）是一个给定的概率空间，具有右连续过滤F=（Ft）0≤T≤T、 T在哪里∈ (0, ∞) 表示固定的时间范围。我们用M（P）表示所有（统一整数）P-鞅族，用Mloc（P）表示所有P-局部鞅族。在不损失一般性的情况下，我们假设Mlocae cádlág的所有元素，并用Mc（P）和Mcloc（P）分别表示属于M（P）和Mloc（P）的所有连续过程的族。我们考虑一个抽象的金融市场，其风险资产为d，其贴现价格（关于给定参考证券）由IRd值连续半鞅=（St）0表示≤T≤T、 带St=（St，…，Sdt）, 具有表示转换。作为一个特殊的半鞅，其唯一的正则分解可以写成S=S+a+M，其中a是一个连续的IRd值有限变化的可预测过程，M是一个M=a=0的IRd值Mcloc（P）过程。根据命题二。2.9关于Jaco d和Shiryaev[22]，我们可以写，对于所有i，j=1，d、 Ai=ZaidB和hSi，Sji=hMi，Mji=ZcijdB，（2.1）对于某些连续实值可预测严格递增过程B，其中a=（a，…，ad）c=（ci1）1≤我≤D（cid）1≤我≤D是可预测的过程，分别取对称非负d×d矩阵的IrD和coneof中的值。我们不一定认为股票价值与IRd的正数相符。尽管如此，t∈ [T]的倒数，用T表示。

Dzhaparidze和Spreij[12]命题2.1的证明（另见Delbaen和Shirakawa[11]，引理4.3）表明过程c+=（c+t）0≤T≤因此，过程a可以表示为asa=cλ+ν，（2.2），其中λ=（λt）0≤T≤定义为λt:=c+tat，适用于所有t∈ [0，T]和ν=（νT）0≤T≤这是一个IRd值可预测的过程，带有νt∈ 克尔（ct）：={x∈ IRd:ctx=0}，对于所有t∈ [0，T]。现在让我们引入可接受策略的概念，假设一个无摩擦的金融市场。设L（S；P）：=Lloc（M；P）∩L（A；P），其中Lloc（M；P）和L（A；P）是所有IRd值可预测过程H的集合tdhM，MitHt<∞ P-a.s.和RT | HtdAt|<∞ 分别是P-a.s。众所周知，在概率测度P下，对于连续半鞅S，L（S；P）是最大的可预测被积函数集∈ L（S；P），我们用H·S表示随机积分过程台湾电台0≤T≤T、 必须将其理解为矢量随机积分（例如，见Jacod和Shiryaev[22]，第III.6节）。我们现在可以计算以下经典定义。定义2.1。让我们∈ IR+。元素H∈ 如果H=0和（H·S）t，则L（S；P）称为a-容许策略≥ -所有t的P-a.s∈ [0，T]。元素H∈ 如果L（S；P）是某个a的a-容许策略，则称其为a-容许策略∈ IR+。暂时∈ IR+，我们用Aa（P）表示所有a-容许策略的集合，用a（P）表示所有容许策略的集合，即a（P）=Sa∈IR+Aa（P）。和往常一样，HIT代表在时间t时我在投资组合中持有的资产单位数。对于（x，H）∈ IR×A（P），我们定义了交易过程G（H）的收益=Gt（H）0≤T≤Tby Gt（H）：=（H·S）t，适用于所有t∈ [0，T]，投资组合价值过程V（x，H）：=x+G（H）。

这对应于考虑自融资允许策略产生的投资组合。我们现在介绍五种不同的套利概念，将在本文中予以考虑。定义2.2。（i） 战略H∈ 如果过程G（H）为P-A.s.非递减且PGT（H）>0> 0.如果不存在此类策略，我们可以认为不增加利润（NIP）条件成立；（ii）战略H∈ 如果PGT（H）>0> 0.如果没有这种策略，我们说无强套利（NSA）条件成立；（iii）如果P（ξ>0）>0，则非负随机变量ξ称为产生第一类套利，且每v∈ (0, ∞) 存在一个元素Hv∈ Av（P）使VT（v，Hv）≥ ξP-a.s.如果不存在这样的随机变量，我们说第一类t类（NA1）无套利条件成立；（iv）战略H∈ 如果GT（H），则A（P）可以产生套利机会≥ 0 P-a.s.和PGT（H）>0> 0.如果不存在这样的策略，我们说无套利（NA）条件成立；（v） 序列{Hn}n∈在里面 如果存在一个正常数ε>0和一个递增序列{δn}n，则A（P）可以产生一个风险为零的免费午餐∈以0为单位≤ δn1GT（Hn）>- 1+δn= 1和PGT（Hn）>ε≥ ε.

如果不存在这样的序列，我们可以认为无免费午餐风险消失（NFLVR）条件成立。NIP条件对应于在Karatzas和Kardaras[25]中引入的无无限增长利润的概念，代表了上述条件中最薄弱的条件。NSA条件对应于Loewenstein和Willard[30]第3节中采用的无套利机会的概念，以及Strasser[41]中研究的NA+条件。第一类套利的概念可以追溯到英格索尔[20]，而在定义2.2中采用的公式是由于卡达拉斯[26]。特别是，NA1条件相当于无无界利润的通知，有界风险的卡拉兹和卡拉兹[25]（见卡拉兹[26]，命题1），这反过来又与卡巴诺夫[24]中考虑的BK条件相对应。最后，NA和NFLVR条件是经典的（参见Delbaen和Schachermayer[7]）。本节结束时，我们回顾了定义2.2中引入的条件的概率特征，参考Fontana[16]对基于连续半鞅的金融模型的无套利性进行了更详细的分析。首先，让平均方差权衡过程BK=（bKt）0≤T≤定义为（参见Schweizer[39]）bKt:=ZtλudhM，Miuλu=Ztauc+uaudBu，所有t∈ [0，T]。（2.3）让我们也定义一下：-bKs，为所有s，t∈ [0，T]带s≤ t、 停止时间σ：=infT∈ [0，T]：bKt+ht=∞, H∈ （0，T- [t], （2.4）按照惯例 = ∞.

下一个命题为定义2.2中引入的无套利条件的有效性提供了必要和充分的条件，收集了Delbaen和Schachermayer[7,9]，Kabanov[24]获得的几个重要结果，StrasserNote指出，如果H在定义2.2-（i）的意义上产生了越来越高的收益，它认为Hn:=nH∈ A（P）和G（Hn）≥ G（H），每n∈ 在里面这意味着，H所产生的不断增长的利润可以被扩展到任意的更大的财富水平，从而解释了“无界”这个形容词。[41]、Karatzas和Kardaras[25]和Kardaras[26]。在当前的公式中，可以在Fontana[16]中找到证据。提议2.3。以下保持：（i）当且仅当ν=0 P时，NIP保持 B-a.e。；（ii）NSA成立的当且仅当ν=0 P B-a.e.和σ=∞ P-a.s。；（iii）当且仅当ν=0 P时，NA1成立 B-a.e.和BKT<∞ P-a.s。；（iv）NFLVR持有当且仅当NA1和NA持有；（v） 当且仅当存在Q时，NFLVR成立~ P这样∈ Mcloc（Q）；式中，ν、σ和bk分别在（2.2）、（2.4）和（2.3）中定义。3.被测元素的绝对连续变化(Ohm, F） 和Q<< P、 但不一定等同于P。众所周知（参见Jacod和Shiryaev[22]，第III.3节），存在唯一（直到P-和Q-不可区分）非负P-鞅Z=（Zt）0≤T≤t满足度zt=dQ | Ft/dP | Ft，适用于所有t∈ [0，T]（但请注意，Z不一定是连续的）。此外，我们还有QZt>0和Zt-> 0代表所有t∈ [0，T]= 1.测度绝对连续变化的G irs anov-Lenglart理论（见Lenglart[29]）允许我们计算S关于Q.引理3.1的正则分解。设Q是一个概率测度(Ohm, F） 这样Q<< P

S关于Q的正则分解由S=S+\'A+\'M给出，其中\'A:=Zc′λ+’νdB，带¨λ：=λ+θ/Z-和‘ν：=ν，’M:=M-ZcθZ-分贝∈ Mcloc（Q），（3.1），其中IRd值可预测过程θ=（θt）0≤T≤T∈ Lloc（M；P）的选择可以使θ=c+dhM，Zi/dB P B-a.e.证明。Lenglart[29]的定理1表明，S是关于Q的连续半鞅，因此，它允许在Q下进行唯一的正则分解。由于S是连续的，可预测的二次变分hM，Zi始终存在，且过程M:=M-RZ-1.-dhM属于Mcloc（Q），参见Lenglart[29]的定理2。通过将Galtchouk-Kunita-Watanabedecomposition应用于关于M的Z（参见Ansel和Stricker[2]），我们得到了一个过程θ的存在性∈ Lloc（M；P）使得dhM，Zit=dhM，Mitθt=ctθtdBt。与（2.1）-（2.2）一起，这给出了S关于测度Q的正则分解（3.1）。最后，定义过程! B-a.e.由于c+是可预测的，并且使用了摩尔-彭罗斯伪逆的性质，因此很容易检查∧θ是否属于Lloc（M；P）并且满足cθ=cθ。与上一节类似，让processbKQ=（bKQt）0≤T≤定义为bkqt=：Zt′λudh\'M，\'Miu\'λu，对于所有t∈ [0，T]，其中λ和M如引理3.1所示。此外，让我们定义（可能是有限值的）停止时间σQbyσQ:=infT∈ [0，T]：bKQt+h-bKQt=∞, H∈ （0，T- [t].下一个定理是本文第一部分的主要结果，它表明弱套利条件（即NIP、NSA和NA1）相对于强无套利条件（即NA和NFLVR），对于绝对连续的度量变化始终是稳定的，而不仅仅是等价的度量变化。