具有交易费用和随机波动性的最优投资

为方便读者阅读，我们在附录A中概述了它的证明。将转换信息（2.4）插入（2.3）中，得出（vλ，ε，Δε）的以下等式：maxεL+√εL+（L- (1 - γ） Δε·），B，Svλ，ε=0，（2.6），其中我们定义了NT区域中的算子byL=β（z）zz+α（z）z、 L=ρf（z）β（z）ζζz，L=f（z）ζζζ+ uζζ、 （2.7）和买卖价格byB=（1+ζ）ζ- (1 - γ） ·，（2.8）S=1.-λ+ ζζ- (1 - γ） ·（2.9）。为了将来的参考，我们还定义了它们的导数b′=ζB=（1+ζ）ζζ+ γζ、 S′=ζS=1.-λ+ ζζζ+ γζ、 2.3自由边界公式和特征值问题我们将寻找以下自由边界形式的变分不等式（2.6）的解。n区域由（2.2）定义，但函数V。使用转换（2.4），这转化为1+ζ<（1- γ） vλ，εvλ，εζ<1.-λ+ζ表示vλ，ε（ζ，z）。与持续波动的情况类似，我们假设存在一个无贸易区，在该区域内εL+√εL+（L- (1 - γ) δε·)vλ，ε=0，有边界lε（z）和uε（z）。我们把这个区域写为{lε（z），uε（z）}<ζ<max{lε（z），uε（z）}，其中lε（z）和uε（z）是自由边界。在典型的参数注册表中，我们将有0<lε（z）<uε（z），因此我们可以将它们分别视为上边界和下边界lε为买入边界，uε为卖出边界。（其他两种可能性是这样的lε<uε<0lε为买入边界，uε为卖出边界，或lε<uε<0lε为卖出边界，uε为买入边界。在恒定波动率模型下，这些情况可以根据模型参数明确分类：见备注1）。在这个区域内，我们从HJB等式（2.6）中得到εL+√εL+（L- (1 - γ) δε)vλ，ε=0，ζ∈ (lε（z），uε（z））。

（2.10）自由边界lε和uε由vλ，ε相对于ζ的一阶和二阶导数的连续性决定，即寻找一个C解。在购买区域，Bvλ，ε=0 Inζ<lε（z），（2.11），因此下边界处的平滑粘贴条件为bvλ，ε|lε（z）=（1+lε（z））vλ，εζ(lε（z））- (1 - γ） vλ，ε(lε（z））=0，（2.12）B′vλ，ε|lε（z）：=（1+lε（z））vλ，εζζ(lε（z））+γvλ，εζ(lε（z））=0。（2.13）在销售区域，交易成本进入，我们有：Svλ，ε=0 Inζ>uε（z）。（2.14）因此，sell边界条件为：Svλ，ε| uε（z）=1.-λ+uε（z）vλ，εζ（uε（z））- (1 - γ） vλ，ε（uε（z））=0，（2.15）S′vλ，ε| uε（z）：=1.- λ+uε（z）vλ，εζζ（uε（z））+γvλ，εζ（uε（z））=0。（2.16）我们注意到，（2.10），（2.11）和（2.14）是齐次方程，具有非齐次边界条件（2.12），（2.13），（2.15）和（2.16），因此零是一个解。然而，常数Δε也需要确定，事实上，它是一个排除平凡解并给出最佳长期增长率的特征值。在下一节中，我们利用这些方程构造了该特征值问题的ε渐近展开式。3快速尺度渐近分析我们寻找值函数vλ，ε=vλ，0的展开式+√εvλ，1+εvλ，2+·以及自由边界lε= l+√ε l+ εl+ ··· , uε=u+√εu+εu+·和最优长期增长率Δε=Δ+√εδ+··，（3.3）与ε一样渐近↓ 0 .对该分析至关重要的是Fredholm替代方案（或定心条件），如Fouque等人[2011]所述。

在准备过程中，我们将使用符号h·i来表示过程Z的不变量分布Φ的期望，即hgi:=Zg（Z）Φ（dz）。Fredholm替代方案告诉我们，仅当满足可解性条件hχi=0时，形式为LV+χ=0的泊松方程才有解v，我们参考[Fouque等人，2011年，第3.2节]了解技术细节。引入微分算子dk=ζk也很方便Kζk，k=1,2，··，（3.4）操作员着陆的条件Lin（2.7）areL=ρf（z）β（z）zD，L=f（z）D+uD。在下文中，由∑定义的平方平均波动率∑将发挥关键作用=F. （3.5）扩展中的主要术语将与恒定波动性交易成本问题有关，我们定义了在非贸易区中起作用的运算符LNT（σ；δ）=σD+uD- (1 - γ） δ·，（3.6），它被写成参数σa和δ的函数。每个渐近展开式（3.1）、（3.2）和（3.3）中的零阶项是已知的，将在第4节中导出。在本文的其余部分中，我们在快速尺度随机波动的情况下，计算上述渐近展开式中的下一项。3.1新界区内的电力扩建在本小节中，我们将集中精力在新界区ζ内修建扩建工程∈ （lε（z），uε（z）），其中（2.6）适用。现在我们插入展开式（3.1）并匹配ε的幂。序项ε-1指向Lvλ，0=0。由于Loperator在z中取导数，我们寻求形式为vλ，0=vλ，0（ζ）的解，与z无关。ε阶-1/2，我们有Lvλ，0+Lvλ，1=0。但因为Lt在z上做导数，Lvλ，0=0，soLvλ，1=0。

同样，我们寻求形式为vλ，1=vλ，1（ζ）的解，该解与z无关- (1 - γ） δ）vλ，0+Lvλ，1+Lvλ，2=0。因为我们有Ltakes在z上的导数，vλ，1独立于z，所以我们有（L）- (1 - γ） δ）vλ，0+Lvλ，2=0。（3.7）这是一个关于vλ，2h（L）的泊松方程- (1 - γ） δ）ivλ，0=0作为可解性条件n.我们观察到- (1 - γ） δ·）i=LNT（‘∑；δ），其中‘∑是（3.5）中定义的平方平均波动率，LNT是（3.6）中定义的恒定波动率非交易运营商。然后我们有lnt（°σ；δ）vλ，0=0，（3.8），它与我们将在下一小节中找到的基本条件一起，将确定vλ，0。为了在近似值中找到下一项vλ的方程，我们进行如下操作。我们将（3.7）的第一项写成（L）- (1 - γ） δ）vλ，0=（（L）- (1 - γ) δ) -LNT（°σ；δ））vλ，0=f（z）- σDvλ，0。（3.7）的解由vλ，2=-L-1Lvλ，0=-L-1.f（z）- σDvλ，0=-（φ（z）+c（ζ））Dvλ，0，（3.9），其中c（ζ）独立于z，φ（z）是泊松方程lφ（z）=f（z）的解- \'\'σ，继续执行订单√ε项，我们得到（L- (1 - γ） δ）vλ，1+Lvλ，2+Lvλ，3- (1 - γ） δvλ，0=0。再一次，这是vλ的泊松方程，其中心条件意味着H（L- (1 - γ） δiv，λ+Lvλ，2- (1 - γ） δvλ，0=0。从（3.9）中，可以得出lnt（°σ；δ）vλ，1- (1 - γ） δvλ，0=-Lvλ，2=hLφiDvλ，0=ρhβfφ′iDDvλ，0。（3.10）我们定义：-ρhβfφ′i.（3.11），然后我们将方程（3.10）写成lnt（？；δ）vλ，1=-VDDvλ，0+（1- γ） δvλ，0。（3.12）3.2边界条件到目前为止，我们主要关注新界地区的边界条件。现在，我们将展开式（3.1）和（3.2）插入基本条件（2.12）-（2.16）。

（2.12）和（2.13）中的一阶项给出了bvλ，0|l= 和B′vλ，0|l= 0，（3.13）虽然一阶项fr om（2.12）和（2.13）给出了svλ，0 | u=0和S′vλ，0 |u=0，（3.14）由于vλ，0与z无关，这些方程意味着luare也独立于z（它们是常数）。接受命令√（2.12）中的ε项给出（1+l)vλ，1ζ(l) + lvλ，0ζζ(l)+ lvλ，0ζ(l) -(1 - γ)vλ，1(l) + lvλ，0ζ(l)= 0.使用Bvλ，0|l= 0，我们在l取消，我们得到bvλ，1|l= 0，（3.15），这是vλ的混合型边界条件，1在边界上l.从订单上√ε项在（2.13）中，我们得到lζvλ0(l) + (1 + l) vλ，0ζζ(l) + γvλ，0ζζ(l)+h（1+l) vλ，1ζζ(l) + γvλ，1ζ(l)i=0，因此，作为vλ，1不依赖于z，l也是一个常数（独立于z），由l= -B′vλ，1|l(1 + l) vλ，0ζζ(l) + （1+γ）vλ，0ζζ(l)!. （3.16）类似的计算可在（右侧）销售边界uε上进行≈ u+√εu，其中Svλ，ε=0。（3.15）和（3.16）的类似方程是vλ，1 | u=0。（3.17）u=-S′vλ，1 | u1.-λ+uvλ，0ζζ（u）+（1+γ）vλ，0ζζ（u）. （3.18）注意，（3.17）是vλ的混合型边界条件，1在边界u处，以及（3.18）确定了S边界的常数修正项。3.3δ的确定渐近展开式中的下一项vλ1通过边界条件（3.15）和（3.17）求解ODE（3.12），但我们还需要找到方程中出现的δ。实际上，这个方程的Fredholm可解性条件决定了δ，所以我们寻找齐次a djo int问题的解w。为此，我们首先将（3.12）的两边乘以w，并从l给你：祖lwLNTvλ，1dζ=-VZulDDvλ，0wdζ+（1- γ） δZulvλ，0wdζ。

（3.19）部件集成lwLNTvλ，1dζ=Zulvλ，1L*NTw dζ+′σvλ，1ζζw-′σ（ζw）′vλ，1+μζwvλ，1Ul, （3.20）其中*NT=L*NT（¨σ；δ）是LNT:L的伴随算子*NT（\'σ；δ）（w）=\'σζζζw- uζ（ζw）- (1 -γ） δw。我们将w设为satisfyL*NT（¨σ；δ）（w）=0，（3.21），为了消除（3.20）中的边界条件lw′(l) - K-w(l) = 0，uw′（u）-k+w（u）=0，（3.22），其中我们定义康斯坦茨克：=（1）- γ） π±+（k）-2） 和k:=u′σ。（3.23）引理3.1。n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n-2vλ，0（ζ），（3.24），其中k在（3.23）中定义。证据将（3.24）代入（3.21）得到满足vλ0的方程（3.8）。同样地，在边界条件（3.22）中插入（3.24）将得到满足vλ，0的边界条件（3.13）和（3.14）。结论如下。现在（3.19）的左侧为零，因此我们发现δ由δ=V（1）给出-γ） 汝lwDDvλ，0dζRulwvλ，0dζ。（3.25）注意，δ被定义为vλ的未定乘法常数，0在比率中递减。3.4渐近性总结总结为了总结，我们在（vλ，ε，lε、 uε，Δε）。

主要项来自ODE（3.8）描述的特征值问题，边界和自由边界条件（3.13）-（3.14）：LNT（¨σ；δ）vλ，0=0，l≤ ζ ≤ u、 Bvλ，0|l= 和B′vλ，0|l= 0 ; Svλ，0 | u=0，S′vλ，0 |u=0。下一项是NT区域边界的渐近展开，以及最佳长期增长率l, u、 和δ分别由（3.16），（3.18）和（3.25）以及vλ给出，1求解theODE（3.12），边界条件为（3.15）和（3.17）：LNT（°σ；δ）vλ，1=-VDDvλ，0+（1- γ） δvλ，0，l< ζ<u，Bvλ，1|l= 和Svλ，1 | u=0。我们将在下一节描述这些问题的基本明确解决方案。4.建立解决方案在上一节中，我们建立了（vλ，0，δ）解决具有交易成本的恒定波动率最优增长率问题，这在Dumas和Luciano[1991]中有描述，但使用平均波动率∑，其中∑=hfi。在本节中，我们回顾了如何找到（vλ，0，δ），然后使用它们来构建随机波动率修正（vλ，1，δ）。4.1构建vλ，0和δ我们用（v（ζ；σ）表示，（σ） ，L（σ），U（σ））具有挥发性参数σ和相应特征值的常挥发性问题的解, 和sovλ，0（ζ）=V（ζ；βσ），δ=（¨σ），以及(l, u） =（L（\'σ），u（\'σ））。（4.1）假设4.1。在不丧失普遍性的情况下，假设u>0。u<0的情况可以与当前情况类似地处理。u=0的情况并不有趣，因为在这种情况下，人们不会持有高风险股票。我们还假设在恒常可利用性σ和零交易成本的情况下，投资于风险股票的财富的最佳比例小于1：πM:=μγσ<1。（4.2）我们将使用πMas表示默顿比例。备注1。事实证明，在假设（4.2）下，我们将有0<L<U。另外两种情况，当u<0时，以及当μγσ>1时，可以类似地处理。

如果u<0，则L<U<0，以Lb为买入边界，以Uth为卖出边界。如果πM>1，那么L<U<0，Lis是卖方边界，而Uthe是买方边界。对于ε>0足够小的情况，对于lε（z）和uε（z）。πM=1时的最终情况也不有趣，因为在这种情况下，所有财富都将投资于股票，不需要进行交易，除非可能在初始时间。另外，请注意，在这些假设下，我们保证NT区域是非退化的。在准备过程中，我们确定了以下数量。给n, 我们定义θ±=θ±() 作为σθ的根+u -σθ - (1 - γ)= 0，（4.3）并设π±=π±() 是γσπ的根- uπ + = 0，（4.4）在这两种情况下，我们将抑制对. 此外，letL:=π-1.-π-, U:=1.-λπ+1 -π+，我们已经抑制了对, 此外，我们还定义了l:=1+L1-γ和ku:=1-λ+U1-γ. （4.5）提案4.2。函数V（ζ）由V（ζ）=c+V+（ζ）+c给出-五、-（ζ） ，其中c±：=v（L）-Klv′（五十） 式中，给定（u，σ，λ，γ），有两种情况：实数情况：特征值是代数方程的实根θ+π-+θ-π+- (1 - 2γ)L（θ）+-θ-)-θ+π++θ-π-- (1 - 2γ)U（θ）+-θ-)= 0，（4.6）和θ±() 在（4.3）中，它们是真实而独特的。那么v±（ζ）=ζθ±。复杂情况：否则，是超越方程θi的真正根KlL-魁-KlLθr- 1.kuUθr- 1.+θikuklUL棕褐色的θilogUL= 0，（4.7）式中θr(), θi() θ的实部和虚部+(). 然后v+（ζ）=ζθrcos（θilogζ），v-（ζ） =ζθrsin（θilogζ）。（4.8）证据。我们得到了Vsolves方程LNT（σ；)在NT区V=0：σζV′′+uζV′- (1 - γ)V=0，0<L≤ ζ ≤ U、 （4.9）带边界条件（1+L）V′（L）- (1 - γ） V（L）=0，（4.10）（1+L）V′′（L）+γV′（L）=0（4.11），在下边界陆地分析条件下1.-λ+UV′（U）-(1 - γ） V（U）=0，（4.12）1.-λ+UV′（U）+γV′（U）=0（4.13）在上边界U处。

这是一个自由边界问题，每个边界上有两个待定边界和两个条件。我们注意到V≡ 0是（4.9）和边界条件（4.10）-（4.13）的解，但长期增长率也必须找到。事实上，它将被确定为一个消除平凡解的特征值。首先，将L处的（4.10）和（4.11）替换为（4.9），我们有-σ(1 -γ） γL（1+L）V+u（1）- γ） L1+LV- (1 - γ)V=0。（4.14）然后对于非平凡V，方程（4.14）变成了二次方程γσπ-- uπ-+ = 0，其中π-:=L1+L.（4.15）通过在U处将（4.12）和（4.13）代入（4.9），我们得到了相同的方程γσπ+- uπ++ = 0，其中π+：=U1-λ+U.（4.16），也就是说，π±是同一个quadratic（4.4）的两个根。接下来，让v+（ζ）和v-（ζ） 是二阶常微分方程（4.9）的两个独立解，所以通解是v=c+v++c-五、-, （4.17）对于某些常数c±。将此形式插入边界条件（4.10）和（4.12），并使用（4.5）中的定义，得到线性系统Mc+c-= 0，其中M=v+（L）-Klv′+（L）v-（L）-Klv′-（五十） v+（u）-kuv′+（u）v-（u）-库夫\'-（u）. （4.18）然后，对于非平凡解，我们要求M的行列式为零，这导致v+（L）-Klv′+（L）五、-（U）-库夫\'-（U）-五、-（L）- Klv′-（L）v+（U）- kuv′+（U）= 0.（4.19）注意，（4.19）是最佳长期增长率常数的代数方程, 表达式中的每个术语取决于通过（4.9）、（4.15）和（4.16）。由于Vwill只能被确定为一个乘法常数，我们可以cho osec+：=v-（L）- Klv′-（五十） ，c-:= -v+（L）-Klv′+（L）. （4.20）（4.9）的解可以写成s次幂：v±（ζ）=ζθ±，θ在（4.3）中定义。

如果在特征值处, 根θ±是唯一的，那么超越方程（4.19）可以写成（4.6）。如果根在特征值处是复数的, （4.9）的实值解是（4.8）中给出的，其中θr，i是θ+的实部和虚部。然后，经过一些代数运算，（4.19）转化为（4.7）。这两个根不可能是实的且相等的，θ+=θ-, 因为这与我们在标记1中得出的结论相矛盾，即NT区域是非去生成的。在零交易成本情况下，λ=0，无贸易区崩溃，L=U，这意味着从（4.15）和（4.16）得出π+=π-= πM，默顿比= δmax:=u2γσ。对于λ>0和较小的e-nough，我们期望接近（并小于）δmax，因此π±in（4.4）是实的。此外，我们不能期望我们是在真实情况下还是在复杂情况下，由θ的二次方程（4.3）的判别式决定，即θ圆盘() = （k）- 1)- 4k, k:=σ，k:=-(1 -γ)σ.这揭示了以下情况s，如[Guasoni and Muhle-K arbe，2013，L emma 3.1]所述：情况I：如果γ<1，则K<0，θ盘（δmax）>0，对于足够小的λ，我们将采用实θ±的情况。情况二：如果γ>1，则k>0，θ盘（δmax）=γk- 2k+1，所以我们将在复杂的情况下使用ifk∈ (γ -pγ（γ- 1） ，γ+pγ（γ- 1） ），在实际情况下，如果k在该区间之外。备注2。此外，Gerhold等人[2014]表明，间隙函数η由=u-η2γσ的渐近近似为λ↓ 0:η = γσ4γuγσ1.-uγσ!λ+O（λ）。