具有交易费用和随机波动性的最优投资

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英文标题：
《Optimal Investment with Transaction Costs and Stochastic Volatility》
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作者：
Maxim Bichuch and Ronnie Sircar
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Two major financial market complexities are transaction costs and uncertain volatility, and we analyze their joint impact on the problem of portfolio optimization. When volatility is constant, the transaction costs optimal investment problem has a long history, especially in the use of asymptotic approximations when the cost is small. Under stochastic volatility, but with no transaction costs, the Merton problem under general utility functions can also be analyzed with asymptotic methods. Here, we look at the long-run growth rate problem when both complexities are present, using separation of time scales approximations. This leads to perturbation analysis of an eigenvalue problem. We find the first term in the asymptotic expansion in the time scale parameter, of the optimal long-term growth rate, and of the optimal strategy, for fixed small transaction costs.
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中文摘要：
金融市场的两大复杂性是交易成本和不确定性波动，我们分析了它们对投资组合优化问题的共同影响。当波动率为常数时，交易成本最优投资问题有着悠久的历史，尤其是在成本较小时使用渐近近似。在无交易费用的随机波动下，一般效用函数下的默顿问题也可以用渐近方法分析。在这里，我们使用时间尺度分离近似法来研究当这两种复杂性都存在时的长期增长率问题。这导致了特征值问题的摄动分析。对于固定的小交易成本，我们在时间尺度参数的渐近展开中找到了最优长期增长率和最优策略的第一项。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：交易费用 交易费 波动性 Optimization Quantitative

具有交易费用和随机波动性的最优投资*Ronnie Sircar+2014年1月，修订于2018年6月19日星期二摘要两个主要的金融市场复杂性是交易成本和不确定性波动，我们分析了它们对投资组合优化问题的共同影响。当波动率为常数时，交易成本最优投资问题有着悠久的历史，尤其是在成本很小的情况下使用渐近近似。在无交易费用的随机波动率下，也可以用渐近方法分析一般不确定性函数下的默顿问题。在这里，我们使用时间尺度分离近似来研究当两种复杂性都存在时的长期增长率p rob lem。这导致了特征值问题的摄动分析。对于固定的小交易成本，我们在时间尺度参数的渐近展开中找到了最佳长期增长率和最佳策略的第一项。AMS学科分类91G80，60H30。JEL的主题分类G11。关键词交易成本，最优投资，渐近分析，效用最大化，随机波动率。1简介投资组合优化问题是在默顿[1969]的连续时间模型中首次分析的，它忽略了对投资决策非常重要的两个关键特征，即交易成本和不确定性波动。这两个问题都使预期效用最大化随机控制问题的分析变得复杂，而且由于加入随机波动性变量的维数增加，以及考虑比例交易成本而产生的奇异控制问题，获得封闭形式的最优策略，甚至是数值近似，是一项挑战。

在这里，我们在一个具有交易成本和随机波动性的模型中，为一个特定的长期投资目标建立了渐近近似。典型的问题是，投资者可以在一个有一项无风险资产（货币市场账户）和一项风险资产（股票）的市场上投资，并且必须为出售股票支付交易成本。成本与销售金额成比例，比例常数λ>0。投资目标是使长期增长率最大化。原著都假设股票具有恒定的波动性。交易成本最初由Magill和Constantinides[1976]引入默顿投资组合问题，后来由Dumas和Luciano[1991]进一步研究。他们对有限时间范围内投资和消费问题的分析，让我们深入了解了最优策略和“无贸易”（NT）区域的存在。在某些假设下，Davis和Norman[1990]提供了第一个严格的假设*美国马萨诸塞州伍斯特市伍斯特理工学院数学科学系，邮编：01609。mbichuch@wpi.edu.Partially由NSF拨款DMS-0739195支持。+美国新泽西州普林斯顿市普林斯顿大学运营研究与金融工程系，邮编08544。sircar@princeton.edu.部分由NSF拨款DMS-1211906支持。分析同一有限时间范围内的公共关系问题。Shreve和Soner[1994]削弱了这些假设，他们使用粘度解来显示值函数的平滑度。当λ>0且波动率为常数时，最优策略是在远离默顿比例的位置进行交易。更具体地说，代理的最佳策略是将其位置保持在NT区域内。如果投资者最初的位置在新界地区之外，她应该立即卖出或购买股票，以转移到新界地区的边界。

她只会在其仓位位于新界区域边界时进行交易，并且只会在必要时进行交易，以防止其退出新界区域，而交易发生在该区域的内部；见Davis等人[1993]。由于投资组合再融资而支付的交易成本金额与NT区域的宽度之间存在权衡。较小的NT地区通常会增加支付交易成本以维持最佳投资组合的金额。毫不奇怪，当波动是随机的时，同样的行为仍然存在，但在这种情况下，NT调节的边界将不再像以前那样是直线。因此，本文的方法是找到一个简单的策略，该策略在波动率和交易成本参数方面都是渐近最优的。J anecek和Shreve[200 4]在有限期投资和消费问题中使用了小交易成本渐近展开式（λ1/3的幂）。这种方法使他们能够找到最优政策和最优长期增长率的近似值，并在Bichuch[2012]的有限期最优投资问题中使用。调查文章Guasoni和Muhle Karbe[2013]描述了最近的结果，使用所谓的影子价格获得了最优投资政策、其隐含福利、流动性预期和交易量的小交易成本渐近。上述所有关于交易成本的文献都总结了持续的波动性。最近的一些例外情况是Kallsen和Muhle-K arbe[2013a，b]，其中股票是一般的It^o差异，以及Soner和Touzi[2013]，其中股票是通过完整（局部波动）模型描述的。

我们在表1中总结了一些文献以及他们研究的个别优化问题和模型。纸模型实用目标解决方案Dumas和Luciano[1991]B-S Power LTGR明确地描述了Davis和Norman[1990]B-S Power∞-消费数字HREVE和Soner[1994]B-S功率∞-消费ViscosityDavis等人[1993]B-S指数期权定价ViscosityHalley and Wilmott[1997]B-S指数期权定价λ-扩张Janecek and Shreve[2004]B-S Power∞-消耗λ-扩张比丘奇[2012]B-S功率T<∞ λ-expansionDai等人[2009]B-S Power T<∞ ODEs Free BdyGerhold等人[2014]B-S Power LTGRλ-expansionGoodman和Ostrov[2010]B-S General T<∞ λ-expansionChoi等人[2013]B-S Power∞-免费消费颂歌BdyKallsen和Muh le Karbe[2013a]It^o General T<=∞, 消费λ-expansionKallsen和Muh le Karbe[2013b]It^o指数期权定价λ-expansionSoner和Touzi[2013]R+T上的本地卷概述∞ λ-expansionCa-flisch等人[2012]Stoch vol指数期权定价λ-SV expansion本文介绍了Stoch vol Power LTGR SV expansionable 1:Pr问题、模式和解决方法。使用的首字母缩写是：B-S=布拉克-斯科尔斯，LTGR=长期增长率，SV=随机波动率，自由Bdy=自由边界。我们的方法利用了波动率的快速均值重变（特别是在长期投资期内观察时），从而对脉冲控制问题进行了单次r摄动分析。我们分别处理波动率缓慢均值回复的情况。这补充了Fouque等人[2011]中描述的der ivatives定价问题以及Jonsson和Sirca r[2002]和Fouque等人[2013]中分别描述的最优套期保值和投资问题的多尺度近似。

最近，Ca Flisch等人[2012]研究了具有指数效用、快速均值回复随机波动率和小交易成本的欧式期权的差异定价，这些价格随波动时间标度的变化而变化。当前的交易成本问题可以描述为一个自由边界问题。Fouque等人[2001]提出了由美式期权定价引起的无边界问题的快速均值回归渐近解，最近，Ting等人[2013]对美式期权（作为一个r e al期权模型的一部分）和McQuade[2013]对结构信用风险模型的类似分析也产生了兴趣。在这里，我们还有一个有限视界自由边界问题，但它是一个特征值问题。在本文的第二节中，我们介绍了我们的模型和目标函数，并给出了关联的Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）方程。在步骤3中，我们进行渐近分析。在第4节中，我们首先考虑了快速尺度随机波动率，在该节中，我们在值函数的幂展开中找到了第一个修正项，因此，在最优边界的幂展开中也找到了相应的项。我们在第5节中对慢尺度随机波动进行了类似的分析。在第6节中，我们展示了基于我们结果的数值计算，并对结果给出了另一种直观的解释。

我们在第7节总结了本文中获得的结果，并在附录中留下了一些技术计算。2一类具有交易成本的随机波动率模型San investor可以在两种资产之间分配资本——一个利率r恒定的无风险货币市场账户，以及根据以下随机波动率模型演化的风险股票：dStSt=（u+r）dt+f（Zt）dBt，dZt=εα（Zt）dt+√εβ（Zt）dBt，其中带裸布朗运动定义在过滤概率空间上(Ohm, F、 {F（t）}t≥0，P），具有恒定的相关系数ρ∈ (-1,1）：dB、 Bt=ρdt。我们假设f（z）是一个光滑的、有界的、严格的函数，随机波动因子ZT是一个快速均值回复过程，这意味着参数ε>0很小，z是一个遍历过程，具有唯一不变分布Φ，与ε无关。我们参考[Fouque等人，2011年，第3章]了解更多技术细节和光盘使用。此外，r、u为正常数，α、β为s光滑函数：稍后将给出计算示例。2.1投资问题投资者必须选择一项政策，该政策由两个经过调整的过程L和M组成，这两个过程是非减损的，且右连续，具有左极限，以及L0-= M0-= 0.控制LTT代表截至时间t购买的股票的累积美元价值，而MTT代表出售股票的累积美元价值。然后，财富xin归属于货币市场账户，财富Y投资于股票followdXt=rXtdt-dLt+（1）- λ） dMt，dYt=（u+r）Ytdt+f（Zt）YtdBt+dLt- dMt。常数λ∈ （0，1）代表出售股票的比例交易成本。接下来，我们定义偿付能力区域，{（x，y）；x+y>0，x+（1- λ） y>0}，（2.1）这是所有头寸的集合，因此如果投资者被迫立即清算，她不会破产。

这导致了一种定义，即一项政策（Ls、Ms）s≥初始位置Zt=z和（Xt）允许-, Yt-) = （x，y）从时间t开始-, 如果（Xs，Ys）处于偿付能力区域S的关闭状态，则≥ t、 （由于投资者可能会选择立即重新平衡其头寸，因此我们表示初始时间t-). 设A（t，x，y，z）为所有这些策略的集合。显然，如果（x，y）∈ 这样我们就可以随时清算头寸，然后将由此产生的现金头寸存入无风险的货币市场账户。很容易适应Shreve和Soner[1994]中（对于恒定波动率情况）的证明，证明A（t，x，y，z）6= i仅当（t，x，y，z）∈ [0, ∞) x S×R.我们使用定义在R+：U（w）：=w1上的CRRA或电力效用函数U（w）工作-γ1 -γ、 γ>0，γ6=1，其中γ是恒定的相对风险规避参数。我们感兴趣的是最大化：sup（L，M）∈A（0，x，y）lim infT→∞Tlog U-1.前、后、后UXT+YT- λY+T, （x，y，z）∈S、 其中Ex，y，zt[·]：=E[·Xt-= x、 Yt-= y、 Zt=z]。这是优化长期增长的一个问题。要查看经济解释，请注意-1.前、后、后UXT+YT- λY+T确定性是否等于终端财富XT+YT- λY+T。因此，如果我们不能将这个不确定性等价物与（x+Y）匹配- λy+e（r+Δε）T——投资者的初始资本以一定的比率r+Δε复合，然后tLog U-1.前、后、后UXT+YT- λY+T= r+Δε。关于这一目标函数选择的调查和文献，我们参考Guasoni和Muhle Karbe[20 13]。

这种优化问题的选择确保了最简单的HJB方程，在这种情况下，HJB方程是线性和时间无关的。2.2 HJB等式首先考虑有限时间范围内效用最大化的价值函数T:bV（T，x，y，z）=sup（L，M）∈A（t，x，y，z）Ex，y，ztUXT+YT- λY+T.从它的^o公式可以得出dbv（t，Xt，Yt，Zt）=bVt+rXtbVx+（u+r）YtbVy+f（Zt）YtbVyy+√ερf（Zt）β（Zt）YtbVyzdt+εα（Zt）bVz+β（Zt）bVzzdt+f（Zt）YtbVydBt+√εβ（Zt）VzdBt+英属维尔京群岛-bVxdLt+(1 -λ） bVx-英属维尔京群岛dMt。由于bv必须是supemar tingale，因此dt、dl和dMtterms不得为正。就这样-bVx≤ 0和（1）- λ） bVx-英属维尔京群岛≤ 0.或者，1≤bVxbVy≤1.-λ. （2.2）我们将把与BV相关的非贸易（dNT）区域定义为两种不平等都很严格的区域。此外，对于最优策略，bV是一个鞅，因此上述dt项必须在NT区域内为零。因此，它将满足HJB方程maxn(t+Dε）bV(Y- x） bV，（（1）- λ) 十、- y） bVo=0，bV（T，x，y，z）=U（x+y- λy+（2.3），其中dε=rxx+（u+r）yy+f（z）yyy+√ερf（z）β（z）yyz+εα（z）z+β（z）zz.BV是（2.3）粘度溶液的事实是标准的，类似的证明可以在Shreve和Soner[1994]中找到，因此这里将省略。我们将进一步假设（2.3）的粘性解bv实际上是一个经典解，也就是说，我们将假设它是完全光滑的。可以证明BV在三个区域内是光滑的：THENT和(Y-x） bV=0和（（1）-λ) 十、- y） bV=0。

在NT边界上也是光滑的假设是平滑的消费，这是非常常见的；例如，见古德曼和奥斯特罗夫[2010]。接下来，我们寻找公式v（t，x，y，z）=x1的HJB等式（2.3）的解-γvλ，ε（ζ，z）e（1）-γ） （r+Δε）（T）-t） ，ζ=yx，（2.4），其中Δε是一个常数，函数vλ，ε可求出。但是，我们不会对V施加最终时间条件。现在，我们只假设它是光滑的，并且| vλ，ε|的边界远离ze ro。我们将定义NT区域（与V相关）是(t+Dε）V=0。此外，我们将假设对于NT区域中的任何点（t，x，y，z），y/x之比是有界的。我们注意到，V并不等同于值函数bv，因为我们没有施加最终时间条件V（T，x，y，z）=U（x+y）-λy+。事实上，如果V由（2.4）给出，没有理由相信最终时间条件可以满足。然而，如果我们找到一个常数C，使得| bV |≤ C | V |，则Δε是最优增长率，长期最优增长问题的NT区域可以定义为(t+Dε）V=0。换句话说，lim infT→∞Tlog U-1.bV（0，x，y，z）= lim infT→∞Tlog U-1（V（0，x，y，z））=lim infT→∞Tlog V（0，x，y，z）1-γ=r+Δε。现在我们将证明存在一个常数C，使得| bV |≤ C | V |。实际上，请注意效用函数U是1次齐次函数-γ、 也就是U（w）=w1-γU（1），它跟在U后面XT+YT- λY+T= X1-γTU1+YTXT- λYTXT+!.根据我们的假设，YT/XT是有界的，在NT区域内。因此，存在一个常数C，例如| bV（T，x，y，z）|=|Ux+y- λy+| ≤ C | V（T，x，y，z）|=x1-γCvλ，εyx，z. （2.5）因为V和bV都解HJB方程（2.3），所以它遵循一个比较定理| bV |≤ 到处都是C | V |。