具有交易费用和随机波动性的最优投资

（4.21）然而，尽管对于较小的交易成本λ，渐近近似（4.21）非常精确，但在根θ±分别为实和复的两种情况下，我们都使用了（4.6）或（4.7）的数值解。4.2发现vλ，1和δ在上一节中，我们详细介绍了恒定波动性问题的解决方案，其中（vλ，0，δ，l, u） 通过公式（4.1）使用平均波动率σ得出。在下一个命题中，我们给出vλ、1和δ的表达式。在准备过程中，我们定义了以下常数，这些常数将用于复杂θ±情况下的公式：Θ：=θrθi-θiθr, c:=c+c-, 问：=q+q-:=Θ- Θc、 （4.22）^c：=c+-C-, ˇq:=Q-q+, ˇc：=C-c+, q:=~q+~q-:= -V′σq+（1）-γ） δ′σc.（4.23）命题4.3。如果θ±（δ）为实数，则δ=V1-γL+c+Uθ- lθ- L-C-U-θ- l-θ+ c+c-θ（L++L-) 洛古lc+Uθ- lθ- C-U-θ- l-θ+ 2c+c-θlogul, （4.24）在哪里θ := θ+- θ-, L±：=（θ±- 1)θ±.此外，vλ，1由vλ，0byvλ，1=C+ζθ的加法数决定+- ~c+ζθ+对数ζ+~c-ζθ-对数ζ+ξc+ζθ+c-ζθ-, （4.25）对于任何ξ∈ R、 式中，C+和C±由C±=-c±（（1）- γ)δ- VL±）σθ、 （4.26）C+：=C-(l日志l- Kl(1 + θ-日志l))Klθ+lθ- lθ+1-~c+(l日志l- Kl（1+θ+对数）l))Klθ+- l. （4.27）否则，如果θ±与实部和虚部（θr，θi）复，则δ=V1-γ（^cTq）sin（2θiη）+（cTq）θiη-（cTˇq）cos（2θiη）对数uη=l ogl（^cTc）sin（2θiη）+（cTc）θiη-（cTˇc）cos（2θiη）对数uη=l ogl, （4.28）我们使用（4.22）-（4.23）中的定义。在这种情况下，vλ，1被确定为vλ，0vλ，1=A+（ζ）v+（ζ）+A的加法倍数-（ζ） 五-（ζ） +C+v+（ζ）+ξvλ，0（ζ），（4.29）对于任何ξ∈ R、 式中，v±由（4.8）给出，C+：=-(1 + l)（A+v++A）-五、-)′(l) - (1 - γ） （A+v++A）-五、-)(l)(1 + l)v′+(l) -(1 - γ） 五+(l), （4.30）A±（ζ）：=~q2θilogζ+~q4θisin（2θilogζ）±q±4θicos（2θilogζ）。

（4.31）附录B给出了证明。这些表达式允许我们计算l和ufrom（3.16）和（3.18）。请注意，由于零边界条件（4.10）和（4.12），vλ，0的任意倍数在这些表达离子中没有影响。5慢尺度渐近我们现在考虑另一种s-To随机波动近似，但这次是慢尺度随机波动：dStSt=（u+r）dt+f（Zt）dBtdZt=εα（Zt）dt+√εβ（Zt）dBt，其中布朗运动（B，B）具有相关结构dB、 Bt=ρdt。正如inFouque等人[2011]所述，有经验证据表明市场波动的规模有快也有慢。在这里，我们将在每种情况下分别处理带转移成本的最优投资问题，以简化说明。这两种方法可以被视为理解随机波动性和交易成本共同影响的不同近似方法。然后模拟HJB方程（2.6）ismax（M）- (1 - γ) δε·) +√εM+εM，B，Svλ，ε=0，式中m=β（z）zz+α（z）z、 M=ρf（z）β（z）zD，M=f（z）D+uD，运算符dk在（3.4）中定义。买卖运营商B、S的定义与（2.8）-（2.9）中的定义相同。类似地，我们将使用第2.3节中的自由边界特征值公式，因此（2.10）在非贸易区的模拟是（M）- (1 - γ) δε·) +√εM+εMvλ，ε=0，ζ∈ (lε（z），uε（z）），（5.1）与边界条件（2.12）-（2.16）。我们寻找值函数vλ，ε=vλ，0的展开式+√εvλ，1+εvλ，2+·以及自由边界lε= l+√ε l+ εl+ ··· , uε=u+√εu+εu+·最优超额增长率Δε=Δ+√εδ+··，与ε一样渐近↓ 0.5.1 NT区域内的功率扩展我们继续类似于第3.1节，并分析NT区域内的（5.1）。

（5.1）中的一级条款为（M- (1 - γ） δ·）vλ，0=0。边界条件（2.12）-（2.16）中的算子（B，S，B′，S′）不依赖于ε，因此第3.2节中的展开式在慢速情况下与快速情况下相同。因此，对于零阶问题，我们有（3.13）和（3.14）。这就是vo-latilityσ=f（z）的恒定波动性问题，也就是冻结的阿托日水平。因此我们有Vλ，0（ζ，z）=V（ζ；f（z）），δ=（f（z）），以及(l（z） ，u（z））=（L（f（z）），u（f（z）），其中（V，, 五十、 U）根据第4.1节所述的解决方案。为了简化表示法，我们通常不再写参数f（z），而只写（V，, 五十、 U）。O(√ε） 术语mvλ，1- (1 - γ） δvλ，1+Mvλ，0- (1 - γ） δvλ，0=0，其中与之前一样，δ仍有待发现。因此，我们得到了vλ的方程，1isLNT（f（z）；δ） vλ，1=-Mvλ，0+（1）- γ） δvλ，0。（5.2）如第（3.6）款所述。由于第3.2节中的边界条件展开式对于慢尺度波动率计算是相同的，我们有第4.2节中计算δ的vλ、1.5.2的边界条件（3.15）和（3.17），我们将w设为带边界条件（3.22）的伴随方程（3.21）的解，但用f（z）代替‘∑）。如前所述，引理3.1用NEW符号表示，我们重新调用w（ζ，z）=ζk（z）-2vλ，0（ζ，z），k（z）：=uf（z）类似于（3.23）。将（5.2）的两边乘以w，并从l得到δ（z）=RulwMvλ，0dζ（1-γ） 汝lwvλ，0dζ=V（z）RULwDσVdζ（1）-γ） RULwVdζ，其中V（ζ；f（z））、L（f（z））和U（f（z））是恒定挥发性溶液，我们定义为ρf（z）f′（z）β（z）。我们观察到，我们需要计算V:=σV，它取决于特征值, 所以我们需要导数0,σ:= σ.

计算恒定波动率“价值函数”的“织女星”很难进行分析，因为σ出现在第4.1节中构造的解决方案的许多地方：过渡方程（4.6）或（4.7）中, θ±和π±的二次方程（4.3）和（4.15），因此在Land U中。数值上，计算有限差近似很简单，但我们需要在许多ζ值下这样做，以便在下一节的渐近校正中用于某些积分。因此，有兴趣将其与ζ变量中vλ，0的导数（或希腊语）联系起来，尤其是γv′=ζζV，我们已经发现它可以在快速渐近中进行计算。首先我们给出一个n的表达式0，σ，避免了特征值问题的数值微分。引理5.1。导数0，σ由以下积分比给出：0，σ=σrulwdvζ（1-γ） RULwVdζ。（5.3）证据。在NT区域和边界处，我们有∑ζV′和μζV′- (1 - γ)V=0（5.4）（1+L）V′（L）- (1 - γ） V（L）=0，（5.5）（1+L）V′（L）+γV′（L）=0，（5.6）1.-λ+UV′（U）-(1 - γ） V（U）=0，（5.7）1.-λ+UV′（U）+γV′（U）=0，（5.8），其中′=ddζ。根据ODE（5.4）关于σ的不同，我们发现在NT区域，V=σvsatiesσζV′+μζV′- (1 - γ)V=-σDV+（1）- γ)0，σV.（5.9）我们还通过对σ进行微分（5.5），并使用C光滑粘贴条件（5.6），使V满足通常在l:（1+l）V′（l）的齐次Neumann边界条件-(1 - γ） V（L）=0。同样，关于σ的差异（5.7）和使用（5.8）给出：1.-λ+UV′（U）-(1 - γ） V（U）=0。我们注意到，由于Vi定义得很好，所以通过微分V也是如此：我们只是使用它必须满足的方程来尝试简化计算。然后（5.9）的Fredholm可解性条件确定0,σ.

将方程（5.9）乘以伴随函数w=ζk（z）-2V，通过部分积分，并使用vega V满足的边界条件得出（5.3）。织女星的表达对于实θ±，附录C中给出了σVis。complexcase中的公式很长，我们在本演示中省略了它。根据空间导数编写Vega与欧洲期权价格的经典Vega-伽马关系有关（例如，参见disc Ussinin[Fouque et al.，2011，第1.3.5节]），这可以用来表明长期伽马（凸）和长期波动（正Vega）的投资组合。在没有交易成本的经典默顿投资组合优化问题的背景下，在[Fouque et al.，2 013，Lemma 3.1]中发现了价值函数对Sharpe比率的导数与二阶导数对财富变量的负导数之间的类似关系。对于有限视界问题，正如她的e一样，它并不是那么直接的bec，因为e不是时间导数，它不允许对方程（5.9）及其边界条件进行简单的显式求解，从而给出V的DV，但尽管如此，仍然可以找到一个有用的表达式（C.1）。5.3 vλ的计算，1我们继续，如第4.2节所述，使用参数变化（B.2）来求解具有边界条件（3.15）和（3.17）的非齐次方程（5.2）。我们重新称之为公式（4.17）和（4.20）给出的主解Vis，其中v±是挥发性σ=f（z）的ODE（在ζ）（4.9）的独立解。当我们有vλ时，1（z，ζ）=A+（z，ζ）v+（ζ）+A-（z，ζ）v-（ζ） 式中，A±求解相同的方程组（B.3）和（B.4），A′+v++A′-五、-= 0，（5.10）A′+v′++A′-v′-= F（z，ζ），（5.11）和′表示相对于ζ的导数。

唯一的变化是，在这种情况下，F（z，ζ）：=-V（z）DσV+（1）- γ） δVf（z）ζ。系统（5.10）-（5.11）的解由a±（z，ζ）=Zvv′-五+- v′+v-F（z，ζ）dζ+C±。这决定了vλ，1。在下面的命题5.2中，我们展示了如何在实θ±的情况下显式计算这些。我们还注意到，第3.2节中的计算也适用于慢比例尺，并且我们得出结论，对边界的修正l（z） 5.4在实θ±情况下（vλ，1，δ）的显式计算对于其余部分，我们将展示在二次型（4.3）（σ=f（z））的根θ±δ为实的情况下，vλ，1和δ的计算。复杂的情况也可以通过分析计算，但我们没有发现这些公式是有启发性的，所以我们选择省略这种计算。提议5。2.回想一下θ := θ+-θ-, vλ，0（ζ）=c+v+（ζ）+c-五、-(ζ). 让˙c±=σc±，˙θ±：=σθ±. 如果θ±为实数，那么δ（z）=V（z）（1）-γ） Dc+Q+R+- C-Q-R-+ （c）-Q++c+Q-) θlogul+c+θ+˙θ+R+logul- C-θ-˙θ-R-洛古l-θ+C-c+θ+˙θ++ θ-˙θ-θlogul,其中Q±：=θ±˙c±+c±˙θ±, R±：=u±θ- l±θ, D:=c+R+- C-R-+ 2c+c-θlogul. 常数˙c±和˙θ±是根据0，σ见附录C。

然后vλ，1被确定为vλ的倍数，0:vλ，1=C+ζθ+-~c+-~d+θ!ζθ+logζ+c-+~d-θ!ζθ-对数ζ（5.12）-~d+ζθ+对数ζ+d-ζθ-对数ζ+ξc+ζθ+c-ζθ-,对于任何ξ∈ R、 式中c±（z）：=f（z）Q±V（z）+（1）- γ） δc±θ,~d±（z）：=2V（z）f（z）˙θ±c±(θ） ，（5.13）C+：=bklθ+lθ+-1.- lθ+，（5.14）和bis在（D.2）中给出。附录D.6“结果分析”给出了证据，以下是买卖界限图l以及具有恒定波动性的长期增长率δ，以及具有随机波动性的买入和卖出边界的一阶近似值l+√εl, u+√εu与长期增长率δ之比+√εδ. 我们有四种不同的情况：慢标度和快标度随机波动率，在每种情况下，都有两组不同的图形，它们说明了其他情况：当方程（4.3）的根θ±为实数时，以及当它们为复数时。用于获取这些gr APH的值为V=-1，u=7%，\'σ=f（z）=f′（z）=0.2，γ=2，对于c aseθ±为实，u=5%，\'σ=f（z）=f′（z）=0.2，γ=2，对于虚根θ±为实。此外，我们还使用了ε=10-3在快速标度实根的情况下，ε=10-4如果是fast-s c ale复合体，ε=10-6在低标度实根的情况下，ε=10-3如果是复数根。在所有情况下，ε差异如此之大的原因是希望(√ε） 接近原始边界的近似值。我们观察到，随机波动的影响是将买入和卖出的界限都向下移动。有趣的是，在快尺度随机波动的情况下，时间会转移到bo-Dairs√εl和√εudo不取决于随机波动系数的当前水平。对这一观察的直观解释如下：我们强调，这只是对本日的近似。

因此，即使当前位置距离边界O（ε），那么在财富比率ζ到达边界所需的时间内，波动系数也会发生O（1）的变化。因此，即使在如此接近边界的情况下，当前的波动系数水平也不重要。重要的是方差σ的平均值。因此，在快速随机波动的情况下，只有平均水平σ起作用。当然，在慢规模的情况下，情况并非如此，当前水平非常重要。直观地说，我们可以在相当长的时间内使用相同水平的波动系数，但测量误差很小。直觉上，随机波动的影响应该减少（或至少不增加）长期增长率Δε，至少对于较小的相关关系ρ，这种直觉来自詹森不等式。的确，前，y，zUXT+YT- λY+T= 前，y，哲虎XT+YT- λY+TFBii≤ 前，y，朱EhXT+YT- λY+T联邦调查局i、 对于ρ=0，右手边大约是在快速波动的情况下，使用平均波动率σ计算的总财富，以及在慢速波动的情况下使用初始波动率水平z计算的总财富。因此，我们期望Δε≤ 在这些情况下。然而，结果表明，ρ=0时的一阶效应为零。从计算中可以清楚地看出，尤其是（3.11），（3.25），（B.1），（B.5），δ=0，vλ，1=0，因此l和ufrom（3.16）和（3.18），因为所有项都与ρ成正比。Fouque等人[2013]观察到了这种影响。此外，如果ρ<0，如股票市场中通常观察到的那样，其影响应该比在持续波动的情况下更紧密，并且更低。这里的直觉是，如果股价上涨，当前的波动率应该更低，同时保持平均波动率不变。

这将导致投资者提前开始抛售。同样，当股票价格下跌时，当前的波动性将趋于降低，这将导致投资者稍后开始购买。此外，由于波动率将很快恢复到其平均值，这些变化将不是对称的，并且nRegion的宽度将减小。这些变化也可以在以下图表中观察到，尤其是在图1、2、3、4中的图表左上角的边界图中，作为u的函数。我们观察到，在所有情况下，只要我们在默顿的比例πM=1时充分远离边界，近似值与原始边界相差不大。在这种情况下，我们知道，在NT地区，最好只交易一次，并将所有财富投资到ris kystock。在这种情况下，请注意边界l, uare为正，并增加到+∞ 随着默顿号的最佳比例接近一。此外，两者l, 结果是否定的，他们即将-∞ 当theMerton的最佳比例接近1时。最后，c的速度似乎是l, anduis的速度比l因此，总的来说，近似值和原始边界在发散之前相互交叉。尽管如此，对于任何固定的πM<1，如果ε>0足够小，近似值将非常接近原始边界。这也是为什么我们在快尺度和慢尺度随机波动情况下区分ε的另一个原因。在慢尺度和快尺度的情况下，以及在真实和想象的θ±中，gra phs的行为是非常不同的，就像默顿的比例接近于θ一样。等效sa-fe速率从δ到δ的变化+√εδ表现出更大的稳定性。事实上，在快速随机波动的情况下，这几乎是一个平行下移。

然而，在某些情况下，特别是初始规模的随机波动率，复根θ±我们可以看到近似值可能大于原始等效安全率δ。这似乎是事实，因为位移几乎是平行的，但不是完全平行的，并且随着近似项δ改变符号。对于较小的漂移u和较大的¨σ，它为正，而在其他情况下为负。在慢尺度随机波动因子的情况下，这种变化更为明显，尤其是对于低初始波动因子z和高u.0.0700.0710.0720.0730.0740.075Μl0l0+Εl1u0u0+Εu10。0700.0710.0720.0730.0740.075Μ0.0300.0310.0320.0330.0340.03500+ Ε 10.1900.1920.1940.1960.1980.200∑-20-10l0l0+Εl1u0u0+Εu10。1900.1920.1940.1960.1980.200Σ0.0310.0320.0330.03400+ Ε 11.851.901.952.00Γ-20l0l0+Εl1u0u0+Εu11。851.901.952.00Γ0.0310.0320.0330.03400+ Ε 1图1：三张边界图l, uandl+√εl, u+√εu（左列）和长期增长率δ和δ+√εδ（右列）在快速随机波动率中，如果θ±是实数，则为：顶行u，中行右：’σ，底行：γ。7结论我们分析了交易成本和随机波动率存在时的最优投资默顿问题。当问题是最大化长期增长率时，这是可以处理的。这就引出了一个特征值问题的摄动分析，并表明a辛方法可以用来捕捉交易费用和波动不确定性的主要影响。特别是，我们确定，当波动率快速均值回复时，适当的平均值由均方根遍历‘∑给出。