Merton和Kou跳跃扩散模型的改进机翼渐近性

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英文标题：
《Refined wing asymptotics for the Merton and Kou jump diffusion models》
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作者：
Stefan Gerhold, Johannes F. Morgenbesser, Axel Zrunek
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Refining previously known estimates, we give large-strike asymptotics for the implied volatility of Merton\'s and Kou\'s jump diffusion models. They are deduced from call price approximations by transfer results of Gao and Lee. For the Merton model, we also analyse the density of the underlying and show that it features an interesting \"almost power law\" tail.
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中文摘要：
改进了之前已知的估计，我们给出了默顿跳扩散模型和寇跳扩散模型隐含波动率的大罢工渐近性。它们是根据Gao和Lee的转移结果从买入价格近似值中推导出来的。对于默顿模型，我们还分析了底层的密度，并表明它具有一个有趣的“几乎幂律”尾部。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Refined_wing_asymptotics_for_the_Merton_and_Kou_jump_diffusion_models.pdf (391.27 KB)

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关键词：Merton 扩散模型 RTO ert Quantitative

MERTON和Kou跳跃扩散模型的改进机翼渐近性Tefan GERHOLD、JOHANNES F.MORGENBESSER和AXEL ZRUNEKAbstract。根据之前已知的估计，我们给出了默顿和库氏跳跃扩散模型隐含波动率的大罢工渐近性。它们是由Gao和Lee的转移结果根据买入价格近似值推导得出的。对于默顿模型，我们还分析了下垫面的密度，并表明它有一个有趣的“几乎幂律”尾巴。1.引言近年来，有关期权价格和隐含波动率的渐近近似的文献增长迅速。关于大罢工症状的重要论文包括[2,3,11,13]。与本说明特别相关的是Gao和Lee[8]的方法，他们将买入价格渐近性转化为隐含效用渐近性、稳健的w.r.t.模型选择和渐近机制。迄今为止，只有相对较少的模型进行了充分详细的分析，以充分利用其传输结果。我们通过对Merton[15]和Kou[12]的著名跳跃扩散模型给出定义的走向渐近，扩展了[8]中一些结果的具体适用性。我们扩展的潜在实际后果涉及快速校准和隐含波动率参数化响应。外推法由于我们处于固定期限制度，我们可以在整个过程中将利率设置为零。此外，初始光斑被标准化为S=1。对数回归由一个带漂移b的L’evyjump diff usionXt=bt+σWt+NtXj=1yjj建模∈ R和扩散波动率σ>0。过程W是标准的布朗运动，N是强度λ>0的泊松过程，跃迁为i.i.d.实随机变量。关于Yj定律，我们重点讨论了双指数（Kou）和高斯（Merton）情况。

（无量纲）隐含波动率V（k）是cbs（k，V（k））=E[（ST- ek）+]，其中Cbs（k，v）=Φ（d）- ekΦ（d）是Black-Scholes买入价，其中d1,2=-k/v±v/2和Φ为标准高斯分布函数。我们感兴趣的是V（k）作为k的增长顺序→ ∞. 虽然我们处理的两个模型都知道一阶渐近性，但它们的实用性有限。高阶项通常会显著提高精度，甚至是对数k的标准值。日期：2018年10月31日。2010年数学科目分类。91G20，41A60。关键词和短语。隐含波动率，跳差，库恩模型，默顿模型，鞍点法。本文部分基于论文[16]，其中对一些证明进行了更详细的讨论。S.Gerhold感谢奥地利科学基金（FWF）在P 24880-N25赠款项下提供的财政支持。2 STEFAN GERHOLD、JOHANNES F.MORGENBESSER和AXEL ZRUNEKWe观察到，Kou模型的大走向行为与Heston模型具有相同的形状（就所涉及的渐近元素而言）[7]。从各自的模型动力学来看，这一事实是力矩生成函数（mgf）在临界时刻的局部行为的直接后果。[7]中从一个简单的原则分析了这种行为，而对Kou模型的现有分析则从其非常简单的显式mgf中得到证实。对于默顿模型，我们包含了密度的近似值（定理7）。原因是，它暗示了一个有趣的“几乎幂律”尾巴，用于底层的边缘，即k阶-√记录k.整篇论文，F（k） G（k）表示函数F和G满足F（k）=O（G（k））的k→ ∞.2.

Kou跳跃扩散模型在Kou模型[12]中，Yjare呈双指数分布，因此具有公共密度f（y）=pλ+e-λ+y[0，∞)（y） +（1）- p） λ-eλ-y(-∞,参数λ+>1，λ-> 0和p∈ (0, 1). 该模型的优点之一是双指数分布的无记忆性，这导致了几种类型期权的分析公式。对数价格Xt的矩生成函数由m（s，T）=E[exp（sXT）]=exp给出Tσs+bs+λλ+pλ+- s+λ-(1 - p） λ-+ s- 1..（1） 根据Benaim和Friz对Lee矩公式的解释（例[2]中的5.3]），我们知道V具有一阶渐近（2）极限→∞V（k）k1/2=ψ1/2（λ）+- 1） 式中，ψ（x）由（3）ψ（x）=2定义- 4（px+x- x） 。为了制定我们对买入价格的定义扩展，定义α=λ+- 1, α1/2= -2（λ+pT）1/2，α=T-σλ+- bλ+-λλ-(1 - p） λ-+ λ++ λ- 对数（λ+pT）1/4√πλ+(λ+- 1).为了更好的可读性，这里的符号（αi和βi）如[8]的推论7.11所示；系数指数模仿它们所属的渐近项。定理1。Kou模型中看涨期权的价格满足（4）C（k，T）=exp-αk- α1/2k-1/2- αK-3/4（1+O（k）-1/4）作为k→ ∞.看涨期权价格扩张（4）符合高和李[8]的一般转让结果。事实上，他们的推论7.11立即暗示了以下隐含的功能扩展。推论2。Kou模型满意度的隐含波动率，如k→ ∞,（5） V（k）=β1/2k1/2+β+β`-1/2log kk1/2+β-1/2k1/2+O（k）-3/4），MERTON和KOU跳跃扩散模型的渐近性3图1。与四阶展开式（5）（虚线）和李氏公式（2）（虚线）相比，Kou模型（实线）的隐含波动率。

参数为T=6，σ=0.4，λ=1，p=0.2，λ-= λ+=3。其中β1/2=-2γqα+α=ψ1/2（λ）+- 1),β= γα1/2, β`-1/2=γ,β-1/2=α+log1- (1 +α)-1/2√4πα!γ +2(2α)3/2-2(2α+ 2)3/2α1/2和γ=√2α+ 2-√2α.与一阶近似（2）相比，数值精度的提高取决于模型参数。示例见图1和图2。有趣的是，展开式（5）的形状与Heston模型的隐含体积展开式相同（见[7]中的定理1.3]）。虽然这在模型规范中并不明显，但从对各自MGF的渐近分析中可以清楚地看出：Callprice和密度渐近性由临界时刻发现的奇异类型决定，在这两种情况下都是“一阶极点的指数”。（有关分析具有这种行为的函数的其他文章，请参见[6,9]。）我们简要评论推论2的定性含义。支配项仅取决于λ+，即控制货币方向跳跃倾向的参数。如果λ+增加，向上跳变小，看涨期权明显变得更便宜，从而降低隐含波动率。（注意函数ψ在减小。）隐含vol的二阶渐近性，即（5）中的β，还依赖于λ、p和T。值得注意的是，微笑翼对扩散波动率σ和向下跳跃参数λ非常不敏感-, 只出现在k中-1/2学期（5）。由于[8]以一种机械的方式处理了从买入价格到隐含vol渐近的转移，因此本节的其余部分将致力于定理1的证明。Themgf（1）在条带中是解析的∈ (λ-, λ+). 通过M（s，T）4的指数衰减，STEFAN GERHOLD，JOHANNES F.MORGENBESSER和AXEL ZRUNEKFigure 2。与四阶展开式（5）（虚线）和李氏公式（2）（虚线）相比，Kou模型（实线）的隐含波动率。

参数为T=1，σ=0.1，λ=5，λ+=15，λ-= 15，p=0.5。对于|=s |→ ∞, Fourier表示（6）C（k，T）=ek2πiZη+i∞η-我∞E-ksM（s，T）s（s）- 1） 认购价格的有效期；见李[14]。积分等值线的实部为1<η<λ+。我们通过（6）的鞍点分析证明了定理1。（寇的论文[12]中关于买入价格的系列表示似乎不太适合于渐近分析。）被积函数爆炸为s→ λ+. 确定主导项1/（λ）+- s） 在（1）中，我们将（近似）鞍点^s=^s（k）定义为东南方-ksexpTλ+pλ+- s= 0，由^s=λ给出+- ξ1/2k-1/2，其中ξ=λ+pT。引理3。累积量生成函数m（s，T）=x满足度m（^s，T）=Tσλ++bλ+T+ξ1/2k1/2+Tλ的对数m（s，T）-(1 - p） λ-+ λ+- λT+O（k）-1/2），m（^s，T）=k+O（1），m（^s，T）=2ξ-1/2k3/2+O（1），m（^s+it，T）=O（k）表示|T |<k-α、 α>0，其中所有导数都与s.证明有关。估算之后是（1）中的简单计算。现在我们移动积分轮廓，使其在距离O（k）内通过鞍点^s。轮廓的一小部分-α） 对于鞍点，MERTON和KOU跳跃扩散模型的CapturesSymmotics证明了完全积分的渐近性。任意指数α∈ （，）是合适的。因此，集成变量变为s=s+it，|t |<k-α.

根据mand-min引理3的估计，我们得到了局部展开式m（^s+it，T）=expm（^s，T）+itk-m（^s，T）T（1+O（t+tk））。有理函数1/（s（s）- 1） ）是局部常数，一阶：（^s+it）（^s+it）- 1)=λ+(λ+- 1） （1+O（k）-1/2)).因此，靠近鞍点的积分变成（7）ek2πiZ^s+ik-α^s-ik-αe-ksM（s，T）s（s）- 1） ds=ek（1）-^s）M（^s，T）2πλ+（λ+- 1） Zk-α-K-αexp-m（^s，T）T（1+O（k）-3α+2）dt。设置u:=m（^s，T）1/2，我们从引理3u得到=√2k3/4ξ1/4（1+O（k-3/2）和u=ξ1/4√2k3/4（1+O（k）-3/2)).通过替换ω=ut并利用高斯积分具有指数衰减尾的事实，我们发现zk-α-K-αexp-m（^s，T）Tdt=uZuk-α-英国-αexp-ωdω=√πk-3/4ξ1/4（1+O（k-3/2)).（8） 在（7）中使用它，用引理3中的估计值替换M（^s，T），得到（4）的右边。请注意，要获得相对误差k-1/4，而不仅仅是k-1/4+ε，必须在局部展开式中再加一项，记住众所周知的事实，即鞍点法通常产生完全渐近展开式。有关类似分析中对该问题的详细讨论，请参见[7]。（下面的默顿模型也同样适用。）为了证明定理1，它还需要证明| t |>k上的积分-α可以被删除，因此（7）渐近相等（6）。这个尾部估计是在下面的引理中完成的。根据对称性，它有助于处理t>k-α.引理4。让<α<。然后我们有ek2πiZ^s+i∞^s+ikαe-ksM（s，T）s（s）- 1） ds 埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/2.证据设s=^s+it=λ+- ξ1/2k-1/2+it，其中t≥ K-α. 然后| M（s，T）| 经验<ξξ1/2k-1/2- 信息技术= 经验ξ1/2k1/21+tξ-1k 经验ξ1/2k1/21+k1-2αξ-1..使用事实1/（1+x）≤ 1.-x/2代表x≤ 1和k1-对于足够大的k，2α小于1，我们得到（9）| M（s，T）| 经验ξ1/2k1/2- ξ-1/2k3/2-2α/2.6斯特凡·格霍尔德，约翰·F。

MORGENBESSER和AXEL ZRUNEKFrom | s（s）- 1)|  1+tand（9），我们得到了k2πE-ksM（s，T）s（s）- 1)埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/21+t和thusek2πiZ^s+i∞^s+ik-αe-ksM（s，T）T（s）- 1） ds 埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/2Z∞K-αdt1+t 埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/2.定理1的证明是完整的。最后，我们提到XT（σ=0）分布的尾部渐近性可在[1]示例7.5中找到。它们也可以从Embrechts等人[5]的早期工作中推断出来。Merton跳跃扩散模型在他的一篇经典论文中，Merton[15]提出了一个带有高斯跳跃的L’evy跳跃扩散模型，作为对数收益的模型。如果跳跃大小分布的均值和方差为uresp。δ、 那么mgf就是整个函数m（s，T）=expTσs+bs+λ（eδs/2+us- 1).Benaim和Friz[3]给出了买入价格的一阶对数渐近性，（10）L:=-对数C（k，T）~√δkplog k，k→ ∞,隐含波动率的一阶渐近性：（11）V（k）~ 2.-3/4√δk/（对数k）1/4。我们定义的结果最好使用隐式定义的鞍点^s=^s（k），满足m（^s，T）=k（在Kou模型中，我们为求和生成函数写m=log m）定理5。为了k→ ∞, 默顿模型中的买入价格满足（k，T）=δek（1-^s）M（^s，T）2对数kp2πM（^s，T）1+O√日志k（12） =δek（1）-^s）+Tσ^s/2+b^s+λeΔ^s/2+μ^s-1.2对数kq2πTσ+λ（Δ^s+u）（（Δ^s+u）+δ）eΔ^s/2+us(13)·1+O√日志k.推论6。默顿模型的隐含波动率满足k→ ∞,V（k）=G-k、 L-logl+logk√π+ 好的-1/2（对数k）-5/4)(14)= 2-3/4√δk（对数k）-1/4+c√k（对数k）-3/4+O√k对数k（对数k）5/4！，（15） 其中L=-log C（k，T）是买入价G的绝对对数-（k，u）=√2(√u+k-√u） ，c=2-9/4δ-1/2(u + δ) - 2.-13/4δ3/2.MERTON和KOU跳跃扩散模型的渐近性7图3。

实心曲线是默顿模型的隐含体积，参数T=0.1、σ=0.4、λ=0.1、u=0.3和δ=0.4。虚线是一阶近似值（11），而虚线是我们定义的近似值（14）。定理7。默顿对数回归系数的密度→ ∞,fXT（k）=e-k^sM（^s，T）p2πm（^s，T）（1+O（k）-1/2（16）=e-k^s+Tσ/2^s+b^s+λeδ/2^s+μ^s-1.q2πTσ+λ（Δ^s+u）（（Δ^s+u）+δ）eΔ^s/2+us（1+O（k）-1/2（17）=exp-√δkplog k+O（k）！。（18） 公式（13）仅为（12），M替换为其显式形式，并与（17）和（16）保持相同。对于数值精度，最好使用（14）和（17），而不是更明确的变量（15）和（18）。我们首先从半显式公式（14）和（17）中推导（15）和（18），使用^s的渐近近似。鞍点满足（19）^s=√2对数kδ-δ+O对数k√日志k.该估计值源自鞍点方程m（^s，T）=k，采用了经典的“自举”技术（参见[10]的第22章）。从鞍点方程中，我们知道（20）eΔ^s/2+μ^s=k/T- ^s- bλ（Δ^s+u）~λδT√K√记录k。使用（17）中的这些属性可以得到（18）。对于底层的密度，我们得到（21）fST（k）=fXT（logk）/k=k-(√2/δ)√log log k·eO（log k）。8 STEFAN GERHOLD、JOHANNES F.MORGENBESSER和AXEL Zrunekt由于√logk，但它仍然渐近地比任何幂律轻。

模型参数的影响在这里似乎有点令人惊讶：跳变大小和泊松强度都没有出现在（21）中的主要因素中，而只有跳变大小方差。要获得明确的定义波动率扩展（15），请注意，通过（13）、（19）和（20），我们可以定义（10）到（22）L=√δkplog k-u+Δδk+O日志日志√日志k.从那时起-（k，u）=√库-1/2-√库-3/2+O（ku）-5/2），在（14）中使用（22）得到（15）。我们继续证明定理5和推论6中的第一个等式。定理7的证明与定理5非常相似，使用了密度的Fourier表示，因此省略了（参见[16]）。（或者，密度渐近性可以通过拉普拉斯方法从[4]中的序列表示（4.12）中推导出来。）推论6中的公式（14）是[8]中推论7.1的特例；误差项来自（10）。然后，我们的定理5可用于数值逼近Lin（14），或象征性地获得显式展开式（15）；见上图。请注意，我们定义的调用近似在（15）中产生了二阶项（以及更高阶项），这无法从（10）中推导出来。这有待证明（12）。再次，我们使用表示法（6），其中η>1，并将积分轮廓移动到鞍点^s。对于中心范围，我们让s=^s+它，其中| t |<k-α和α∈ (,).引理8。累积量生成函数m（s，T）=对数m（s，T）满足，k→ ∞,m（^s，T）=kδ√2原木k1+Olog klog k,m（^s，T）=k，m（^s，T）=δkp2对数k1+O√日志k,m（^s+it，T）=2k logk1+O日志k,其中| t |<k-α.证据至于Kou模型，这些展开式后面是显式mgf的直接计算。对于第二个方程，请注意，我们使用的是精确的鞍点，而不是像在Kou模型中那样的近似值。