BSDEs的一种原对偶算法

，n，其中Si是一组值大于或等于i的停止时间。这个最优停止问题是不寻常的，因为停止时的回报取决于斯奈尔包络e Yj。注意，可以通过选择集合{（i，ω）；Si（ω）=-∞}, 在这种情况下，锻炼从来都不是最好的。因此，我们可以将这个最优s-topping问题中的上确界限制到子集“Si” Siof停止时间τ取值inE（ω）={i；Si（ω）>-∞}. 最佳停车时间由τ给出*i=inf{j≥ 我Sj≥ Ej[Yj+1]+f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j}∧ n（4）我们还注意到非线性函数的Yivia最优停止的以下替代表示。提议2.2。对于每一个i=0，n、 Yi=esssupτ∈\'SiY（τ）i此处（Y（τ）j）j≥孤立动态规划方程Y（τ）j=Ej[Y（τ）j+1]+f（j，Y（τ）j，Ej[βj+1Y（τ）j+1]）j、 我≤ j<τ，Y（τ）τ=Sτ此外，停止时间τ*i、 在（4）中定义的是最佳的。这种表述是以下简单但有用的比较定理的直接结果。对于不受影响的离散时间BSDEs相关比较结果，可在Cohen和Elliott（2010）以及Cheridito和Stadj e（2013）的不同假设集中找到。提议2.3。假设有停车时间σ≤ τ使得对于每个σ≤ τYupi≥ max{Si，Ei[Yupi+1]+f（i，Yupi，Ei[βi+1Yupi+1]）i} 伊洛维≤ max{Si，Ei[Ylowi+1]+f（i，Ylowi，Ei[βi+1Ylowi+1]）i} 是的τ≥ Ylowτ。然后，在现有的假设下，伊洛维≤ Yupia适用于每一种情况≤ 我≤ τ.证据我们定义，对于i=1，NYi=（Yupi）- Ylowi）1{σ≤我≤τ }.这足以证明这一点易≥ 每i=1，n、 我们用反导证明这个断言，并注意到它在假设i=n的情况下成立。现在，假设易建联+1≥ 0已显示。

然后，在集合{Ylowi>Si}∩ {σ ≤ i<τ}我们通过Lipschitzf假设得到，易≥ 艾未未[Yi+1]+（f（i，Yupi，Ei[βi+1Yupi+1]）- f（i，Ylowi，Ei[βi+1Ylowi+1]））我≥ Ei“易建联+11-DXd=1α（d）i |βd，i+1|我#- α（0）i|易|我≥ -α（0）i|易|i、 这就产生了易≥ 0.在片场{Ylowi≤ Si}∪ {i≥ τ} ∪ {i<σ}，不等式易≥ 在第3.1节和第3.2节中，我们讨论了当生成元f在（y，z）中是凸的时，如何构造动态规划方程（1）的“紧”上解和下解∈ R1+D。这些构造分别基于选择合适的鞅和控制过程。在第3.3节中，我们给出了f不依赖于z的特殊情况下的误差估计，它量化了这些选择如何影响结果误差范围的质量。3.1上界首先考虑一种路径方法，由于f的凸性，该方法导致动态规划的上解。粗略地说，这个想法是将所有条件期望从等式（1）中移除，并减去鞅增量，只要条件期望被移除。为此，让我们定义一个一维鞅和一个RD值鞅，使得dxd=1n-1Xi=0E[α（d）i | Md，i+1- 医学博士，i |]我∞.所有这些对（M，M）的集合用M1+D表示。给定（M，M）∈ M1+Dwe通过θupi=max{Si，θupi+1定义非适应过程θupi=θupi（M，M）- （Mi+1）- Mi）+f（i，θupi，βi+1θupi+1）- （Mi+1）- Mi）i} θupn=Sn。（5） 一旦选择了鞅，这种递归就可以逐路求解。f上的随机L-ipschitz条件和M上的假设确保θupiis可积。因此，在解决递归之后，我们可以只取一次条件期望，而不是像原始动态程序（1）那样取嵌套的条件期望。

利用f的凸性，我们现在将证明Ei[θupi]始终是Yi的上界，并且Yi可以通过适当的鞅选择来恢复。我们记得，可积随机过程V（简称V的Doob鞅）的Doob分解的鞅部分N由ni给出：=i-1Xj=0（Vj+1- Ej[Vj+1]），i=0，n、 定理3.1。假设f在（y，z）中是凸的。然后，对于每一个i=0，n、 Yi=essinf（M，M）∈M1+DEi[θupi（M，M）]，其中θup（M，M）由路径动态规划方程（5）定义。此外，马丁格尔（M0，*, M*), 其中M0，*还有M*是Y和βY的Doob鞅，即使在路径控制的意义上也是最优的，即θupi（M0，*, M*) = 易，P-a.s.证据。通过f和max算子的凸性以及鞅性质，我们得到，Ei[θupi]≥ max{Si，Ei[Ei+1[θupi+1]]+f（i，Ei[θupi]，Ei[βi+1Ei+1[θupi+1]]i} 因此，Ei[θupi（M，M）]是（1）的上解，并且通过命题2.3Ei[θupi（M，M）]的比较结果≥ 易。我们现在选择M0，*还有M*分别是Y和βY的Doob鞅，注意（M0，*, M*) ∈ M1+D，因为多亏了（2），DXd=1n-1Xi=0E[α（d）i | Md，i+1- 医学博士，i |]i=DXd=1n-1Xi=0E[α（d）i |βd，i+1Yi+1- Ei[βd，i+1Yi+1]|]我≤ 2n-1Xi=0E[|Yi+1 |]，这是有限的。我们声称θ向上，*i:=θupi（M0，*, M*) = 几乎可以肯定。这将通过对i的反向归纳来说明，i=n的情况是微不足道的。假设这个断言对于i+1是正确的。然后，利用Doob鞅θup的定义，*i=max{Si，Yi+1- （易+1）- Ei[Yi+1]）+f（i，θ向上，*i、 βi+1Yi+1- （βi+1Yi+1）- Ei[βi+1Yi+1]））i} =max{Si，Ei[Yi+1]+f（i，θup，*i、 Ei[βi+1Yi+1]）i} 。根据y变量中f的Lipschitz p性质，一个简单的压缩映射显示θup，*i=Yi，完成证明。前面的定理可用于计算Y上的置信上界。

为此，首先选择一个（1+D）维鞅，人们认为它接近（Y，βY）的末日鞅。例如，这可能是（与）Y的近似值的Doob鞅有关，而ich是通过自己选择的算法预先计算出来的。然后求解（5）中的pathwisedynamic程序，最后通过对样本路径进行平均来近似期望值。下文第4.1节讨论了此类实施的细节。在这种方法中出现的一个问题是，路径动态程序在时间上是不明确的，因为θupi出现在方程的两侧。它可以通过Picard迭代求解到给定的精度。在某些情况下，以下关于路径最大化问题的显式表达式是不利的。提议3.2。假设f在（y，z）中是凸的，并且定义y-变量byf#y（ω，i，r，z）=sup{ry中的凸共轭- f（ω，i，y，z）；Y∈ R} 定义为（i，ω，z）f#y:={R∈ Rf#y（ω，i，r，z）<∞}  [-α（0）i（ω），α（0）i（ω）]。那么，对于（M，M）∈ M1+d i=0，N- 1，可以将（5）中定义的θupi重写为θupi=max是的，长官∈D（i，ω，zupi（ω））f#y1- R我θupi+1- （Mi+1）- （密歇根州）- f#y（i、r、zupi）我, （6） 其中zupi=βi+1θupi+1- （Mi+1）- Mi）。证据通过凸性，我们得到了f（i，·）=（f（i，·）#y）#r，其中#rde注意到了f#y（i，·）的r变量中的凸共轭。因此，θupi=max是的，长官∈D（i，ω，zupi（ω））f#yθupi+1- （Mi+1）- Mi）+rθupi我- f#y（i、r、zupi）我通过与E l Karoui et al.（1997）第36页类似的论证，在somer实现了上确界*∈ 注意，ω35f∪ {+∞}-通过f#y（ω，i，r，z）=+∞ 对于r/∈ D（i，ω，z）f#y是r中的下半连续的。第2页和第52页，在Rockafellar（1970年）。

根据集合D（i，ω，zupi（ω））f#y的有界性，有一个序列rk:=rk（ω）收敛到极限r*= R*（ω） 在D（i，ω，zupi（ω））f#ysuch thatsupr的闭包中∈D（i，ω，zupi（ω））f#yθupi+1- （Mi+1）- Mi）+rθupi我- f#y（i、r、zupi）我= 林克→∞θupi+1- （Mi+1）- Mi）+rkθupi我- f#y（i、rk、zupi）我≤θupi+1- （Mi+1）- 米）+r*θupi我- f#y（i，r）*, （祖皮）我,这里的不平等是由于下半连续性。这意味着f#y（i，r*, 祖皮）∞.因此，r*(ω) ∈ D（i，ω，zupi（ω））f#并且它达到了上确界。因此，θupi=max{Si，θupi+1- （Mi+1）- 米）+r*θupi我- f#y（i，r）*, （祖皮）i} 。对于θupi>Siwe，因此得到θupi=1- R*我θupi+1- （Mi+1）- （密歇根州）- f#y（i，r）*, （祖皮）我.因此，θupii由断言的右侧控制。相反的不平等也可以用同样的方式表现出来。例3.3。在例2.1（i）中，f#y（i，r，z）=zσ-1i（ui+r\'1）和最大化器必须属于该集合{-Rbi，-Rli}，因为f（i，·）=（f（i，·）#y）#r。因此，对于欧式期权的情况，θup的递归在时间上是明确的，读取θupi=supr∈{-Rbi，-Rli}1- R我θupi+1- （Mi+1）- （密歇根州）- [βi+1θupi+1- （Mi+1）- Mi））]σ-1i（ui+r\'1）我.3.2下边界我们现在开始建造地基。为了用Yi给出的值过程导出最大化问题，我们用f#表示f在（y，z）中的凸共轭，即f#（ω，i，r，ρ）=sup{ry+ρZ- f（ω，i，y，z）；（y，z）∈ R1+D}定义为（i，ω）f#：={（r，ρ）∈ R1+D；f#（ω，i，r，ρ）<∞} DYd=0[-α（d）i（ω），α（d）i（ω）]。我们还定义了（f#）：={（rj，ρj）j≥不适应；N-1Xj=iE[|f#（j，rj，ρj）|]j<∞},注意（f#（j，rj，ρj））j≥（r，ρ）的一个适应过程∈ Ui（f#）。下一个引理表明Ui（f#）是非空的。引理3.4。假设f在（y，z）中是凸的，（y）j≥iis是一个R值适应的可积过程，（~Zj）j≥iis是一个RD值的自适应过程，因此DXD=1n-1Xj=iE[α（d）j | | Zd，j |]j<∞.然后有一对（r，~ρ）∈ Ui（f#）使得对于j=i。

. . , N- 1，~rj ~Yj+~ρjZj- f#（j，~rj，~ρj）=f（j，~Yj，~Zj）。证据类似于Cheridito和Stadje（2013）中命题6.1的证明，我们利用Cheridito等人（2012）中定理7.10的可测次梯度的存在性。对于每一个j=i，N-1存在一个Fj可测随机向量（~rj，~ρj），使得f（j，~Yj+y，~Zj+z）- f（j，~Yj，~Zj）≥ ~rjy+~ρJZ每（y，z）∈ R1+D.取上确界（y，z）∈ R1+D，其中一个有<<rj>>Yj+>>ρjZj- f#（j，#rj，#ρj）≥ f（j，~Yj，~Zj）。特别是，（~rj（ω），~ρj（ω））∈ D（j，ω）f#。逆不等式紧随f##=fby凸性而来。所以这仍然是要证明的-1Xj=iE[|f#（j，~rj，~ρj）|]j<∞.通过f的随机Lipschitz性质和D（j，ω）f#的有界性，我们得到-1Xj=iE[|f#（j，~rj，~ρj）|]j=n-1Xj=iE[| | rjYj+ρjZj- f（j，~Yj，~Zj）|]J≤ 2n-1Xj=iE[α（0）jj | | Yj |]+2DXd=1n-1Xj=iE[α（d）j | | Zd，j |]j+n-1Xj=iE[|f（j，0，0）|]j<∞多亏了（2）。下面的结果是El Karoui等人（1997）中命题3.4的离散时间反射模拟。对于离散时间（无反射）BSDE，在Cheridito和Stadje（2013）中，在不同的假设集下，可以找到类似的结果（仅适用于z中的凸生成器）。定理3.5。假设f在（y，z）中是凸的。设θlowi（τ，r，ρ）：=Γi，τ（r，ρ）Sτ-τ -1Xj=iΓi，j（r，ρ）f#（j，rj，ρj）j1- rj其中Γi，j（r，ρ）：=j-1Yk=i1+ρkβk+1k1- rkk、 那么，Yi=esssupτ∈\'siessup（r，ρ）∈Ui（f#）Ei[θlowi（τ，r，ρ）]最大化子存在并由任何（r*j、 ρ*j） j≥对于j=i，N- 1，r*jYj+ρ*JEj[βj+1Yj+1]- f#（j，r）*j、 ρ*j） =f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）（7）和τ*第（4）条中定义的国际会计准则。证据修好我∈ {0，…，n}。

给定一个停止时间τ∈\'s和一对（r，ρ）∈ Ui（f#）defineyj（τ，r，ρ）：=Ejhθlowj（τ，r，ρ）i，i≤ J≤ τ.然后，Yτ（τ，r，ρ）=Sτ，对于i≤ j<τ，Yj（τ，r，ρ）=Ej[Yj+1（τ，r，ρ）]+（ρjEj[βj+1Yj+1（τ，r，ρ）]+rjYj（τ，r，ρ）- f#（j，rj，ρj））J≤ Ej[Yj+1（τ，r，ρ）]+f（j，Yj（τ，r，ρ），Ej[βj+1Yj+1（τ，r，ρ）]）j、 其中，最后的估计是由于f##=f的凸性。现在比较命题2.3和命题2.2的结果（τ，r，ρ）≤ Y（τ）i≤ 易。对于逆不等式，我们首先注意到引理3.4产生了一对过程（r*j、 ρ*j） j≥我∈ Ui（f#）使得（7）成立，因为由（2）DXd=1n-1Xj=iE[α（d）j | Ej[βd，j+1Yj+1]|]J≤N-1Xj=iE[|Yj+1|]<∞.然后，通过定义τ*i、 我们为我获得≤ j<τ*iYj=Ej[Yj+1]+f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j=Ej[Yj+1]+R*jYj+ρ*JEj[βj+1Yj+1]- f#（j，r）*, ρ*j）j、 As Yτ*i=Sτ*i、 我们得出结论：Yi=Yi（τ*i、 r*, ρ*)通过这个动态规划方程的唯一性。重新标记3.6。如果我们认为定理3.5中的表示是“原始”最大化问题，那么定理3.1中的表示可以解释为信息松弛意义下的对偶最小化问题。这种双重方法是针对百慕大方案pricingby Rogers（2002年）和Haugh and Kogan（2004年）引入的，Br own等人（2010年）进一步开发了d iscr ete Timestocstic control问题。的确，给定一个鞅（M，M）∈ M1+D，我们定义M，M:{i，…，n}×n-1Yj=iD（j，ω）f#→ L(Ohm, P），（k，（r，ρ））7→K-1Xj=iΓi，j（r，ρ）（Mj+1）- Mj）+ρj（Mj+1）- （Mj）j1- rjj、 然后，对于每一个（τ，（r，ρ））∈\'Si×Ui（f#），Ei[pM，M（τ，r，ρ）]=0。

（8） 接下来，我们放松控制（τ，（r，ρ））的适应性，并通过T heorem3观察到。5和（8），Yi=esssupτ∈\'siessup（r，ρ）∈Ui（f#）Ei[θlowi（τ，r，ρ）- pM，M（τ，r，ρ）]≤ Ei“maxk=i，…，nmax（rj，ρj）∈D（j，ω）f#j=i，。。。，K-1.θlowi（k，r，ρ）- pM，M（k，r，ρ）#=: Ei[!θi（M，M）]。注意，不等式右边的最大值是按路径取的，这意味着我们现在可以选择预期控制。信息松弛法的基本原理是允许预期控制，但会产生惩罚，这里是pM，M。该方法不会通过（8）惩罚非预期控制。我们说一个点球p*是最优的，如果它以一种方式惩罚预期控制，即在非预期控制下实现路径最大值。这意味着yi=Ei“maxk=i，…，nmax（rj，ρj）∈D（j，ω）f#j=i，。。。，K-1.θlowi（k，r，ρ）- P*（k，r，ρ）#.在目前的设置中，可以在θi（M，M）=θupi（M，M）处显示th。为了说明这一点，首先推导出了∧θi（M，M）的递推公式，然后遵循argumentsbehind命题3.2。特别是，定理3.1表明，最优惩罚由PM0给出，*,M*.3.3误差估计我们现在提供一些凸情况下上下限的误差分析：输入近似的精度如何影响上下限的紧密性？为了简单起见，我们将重点放在β≡ 0.虽然本案例具有明显的限制性，但它涵盖了许多实际利益的应用，如信贷风险文献中出现的BSDE，见Cr’epey等人（2013年）；亨利·劳德尔（2012）。对于下边界d，我们假设次优控制是以完全相同的方式从过程Y的输入近似中导出的，我们在第4节中给出的算法中选择这些控制，参见（9）和（14）。

对一般情况的深入分析必然需要对β提出额外的假设，这超出了本文的范围。定理3.7。假设f在（y，z）中是凸的，用M0表示，*Y的Doob鞅。（i） 每M∈ Mand i=0，N- 1，Ei[θupi（M）]- 易≤ 工程安装C（i，α（0））maxj=i。。。，n | Mj- M0，*j|,式中c（α（0），i）=1+n-1Yl=i（1- α（0）ll）-1.1+nXj=iα（0）jJ.（ii）设i=0，N- 1.假设（Qj）j=i。。。，N-1是（Ej[Yj+1]）j=i，…，的一个自适应可积近似。。。，N-1和（Yj）j=i。。。，N-1是（Yj）j=i，…，的自适应可积近似。。。，N-1.通过r viarjYj定义一个经过调整的流程- f#（j，rj）=f（j，Yj），j=i，N- 1，（9）和τ：=in f{j≥ 我Sj≥~Qj+f（j，~Yj）j}∧ n、 那么，易- Ei[θlowi（τ，r）]≤ 工程安装c（i，α（0），τ）τ ∧（n）-1） Xj=i | | Yj- Yj |α（0）jj+τ-1Xj=iAj（~Qj）- Ej[Yj+1]）++1Acτ∩{τ<n}（Eτ[Yτ+1]-~Qτ）+式中c（i，α（0），τ）=τ∧（n）-1） Yl=i（1）- α（0）ll）-1，Aj={Sj≥ Ej[Yj+1]+f（j，Yj）j} ，j=i，N- 1.重新标记3.8。在不受影响的情况下，即Si=-∞ 对于i<n，我们有τ=n和Aj= 对于j<n，因此下限估计值简化为toYi- Ei[θlowi（τ，r）]≤ 3 Eic（i，α（0），n）n-1Xj=i | | Yj- Yj |α（0）jJ.在反映的情况下，指示器1AJAN和1Acτ∩与最佳停止时间相比，{τ<n}对应于近似停止时间τ的wron g停止决策。在实践中，当连续值ej[Yj+1]的良好近似值^qjo被应用时，很少会出现这样强的停止决策。因此，尽管最坏情况下的估计表明了这一点，但预计相应的条款在行使日期的数量上不会线性增长。对于最优停止情况下这种直觉的严格陈述，我们参考Belomestny（2011）。证据（i） 给定k=0的鞅Mde函数，n和i=0。

K- 1θup，ki（M）=θup，ki+1（M）+fi、 马克西≤κ≤nθ向上，κi（M）我- （Mi+1）- Mi），θup，kk（M）=Sk，对于i>k，约定θup，ki=0。反向归纳结合收缩映射参数表明存在唯一解θup，ki（M），使得马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）|< ∞.我们声称通过（5）定义的θupi（M）与maxi一致≤K≤nθ向上，ki（M）。的确，马克西≤K≤nθ向上，ki（M）=maxSi，maxi+1≤K≤nθ向上，ki+1（M）+fi、 马克西≤K≤nθ向上，ki（M）我- （Mi+1）- （密歇根州）,马克斯≤K≤nθ向上，kn（M）=Sn。由于这个方程有唯一的解，我们得出结论≤K≤nθup，ki（M）=θupi（M）。特别是，由于定理3.1，Ei[θupi（M）]≤ 工程安装马克西≤K≤nθ向上，ki（M0，*)+ 工程安装马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*)|= Yi+Ei马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*)|. （10） 因此，仍然需要估计（10）右边的最后一项。我们表示θi=m axi≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*) - Mi+M0，*我|。然后θi≤ θi+1+Fi、 马克西≤K≤nθ向上，ki（M）- Mi+M0，*我我- Fi、 马克西≤K≤nθ向上，ki（M0，*)我+Fi、 马克西≤K≤nθ向上，ki（M）- Mi+M0，*我i+fi、 马克西≤K≤nθ向上，ki（M）我.因此θi≤ (1 - α（0）i（一）-1.θi+1+α（0）i我|米- M0，*我|,这反过来意味着θi≤N-1Yl=i（1- α（0）ll）-1.θn+nXj=iα（0）jj | Mj- M0，*j|.因此，马克西≤K≤n |θ向上，ki（M）- θ向上，ki（M0，*)| ≤ C（α（0），i）maxj=i。。。，n | Mj- M0，*j |。将该估计值与（10）相结合，得出上界的误差估计值。（ii）我们现在讨论下限的估计。首先请注意，引理3.4给出了一个经过调整的过程r，使得（9）成立。As（9）表示rj（ω）∈ D（j，ω）f#，我们观察到在|rj |≤ α（0）j.定义Ylowj=Ej[θlowj（τ，r）]，对于i≤ J≤ τ .