BSDEs的一种原对偶算法

然后，在定理3.5的证明中，我们利用r和∧Y之间的关系，得到了Ylowj=Ej[Ylowj+1]+rj（Ylowj）-■Yj）j+f（j，~Yj）j、 我≤ j<τ，Ylowτ=Sτ。我们现在回想一下Yj=Ej[Yj+1]+f（j，Yj）j+（Sj- Ej[Yj+1]- f（j，Yj）j） +。因此，我≤ j<τEi[Yj- Ylowj]≤ Ei[Yj+1- Ylowj+1]+2Ei[α（0）j | | Yj- Yj |]j+Ei[α（0）j | Yj- Ylowj |]j+Ei[（Sj- Ej[Yj+1]- f（j，Yj）j） +]作为Sj<~Qj+f（j，~Yj）对于j<τ，我们得到了yi- 伊洛维≤ 工程安装τ -1Yl=i（1- α（0）ll）-1.Yτ- Ilowτ+3τ-1Xj=iα（0）j |Yj- Yj|j+τ-1Xj=iAj（~Qj）- Ej[Yj+1]）+.为了完成证明，现在需要通过定义τYτ来观察- Ilowτ=1Acτ∩{τ<n}（Eτ[Yτ+1]+f（τ，Yτ）τ- Sτ）≤ 1Acτ∩{τ<n}（Eτ[Yτ+1]-~Qτ）+α（0）τ| Yτ-~Yτ|τ.4凸情形的原对偶算法4。1算法在本节中，我们解释了当f在（y，z）中是凸的时，第3节的结果如何应用于构造上偏估计、下偏估计和置信区间。马尔可夫设置和输入近似。我们假设我们处于马尔可夫设定中，即f（i，·）=f（i，Xi，·）和Si=Gi（Xi）仅通过RN值马尔可夫过程Xi依赖于ω，其中映射f和G在x分量中是可测量的，由此产生的f和S满足第2节中假设的条件。此外，βi+1被认为与Fi无关。然后，有确定性函数yi（x），qi（x），zd，i（x），d=1，D、 使得yi=yi（Xi），Ei[yi+1]=qi（Xi），Ei[βD，i+1Yi+1]=zd，i（Xi）and“n”-1Xi=1|yi（Xi）|+|qi（Xi）|+DXd=1（α（d）i+1）| zd，i（Xi）|！#∞. （11） 我们假设这些函数的可测近似▄yi（x），▄qi（x）和d▄zd，i（x）是通过一些数值算法预先计算的，这样可积条件（11）也适用于平铺表达式。

这保证了以下数值算法中的样本始终是从可积随机变量中提取的。在我们的数值实验中，对（1）中的条件期望应用了最小二乘蒙特卡罗估计来构造这些近似，但也有其他选择。上偏估计量。给定近似值yi（x），~qi（x）和zd，i（x），我们对∧个相关拷贝（Xi（λ），βi（λ）进行采样；i=0，n） λ=1，。。。，∧out of（Xi，βi；i=0，…，n），我们称之为“外部”路径。对于置信上限，我们应用定理3.1。因此，我们希望计算一些鞅M，M的θupi（M，M），它们与Y和βY的未知Doob鞅“接近”。我们将近似值y（X）和βy（X）应用于y和βy。沿着第λ条外路径，从（5）到θupn（λ）=Gn（Xn（λ）），对于i=n- 1.0，θupi（λ）=maxnGi（Xi（λ）），θupi+1（λ）- （~yi+1（Xi+1（λ））- E[~yi+1（Xi+1）|Xi=Xi（λ）]）+Fi、 Xi（λ），θupi（λ），βi+1（λ）θupi+1（λ）-（βi+1（λ）~yi+1（Xi+1（λ））- E[βi+1yi+1（Xi+1）| Xi=Xi（λ）]）伊奥。（12） 然后，根据定理3.1，通过在外路径上平均得到的Y的估计量^Yup:=∧out∧outXλ=1θup（λ），具有正偏差。一般来说，我们不能假设（12）中的条件期望可以用封闭形式计算。相反，我们通过对一组“内部”样本进行平均，对这些条件期望应用条件无偏估计。对于每个i和每个外路径X（λ），在给定Xi=Xi（λ）的条件定律下，生成（Xi+1，βi+1）的∧独立副本。这些样本表示为（Xi+1（λ，l），βi+1（λ，l）），l=1，∧英寸。

然后，我们通过^E[~yi+1（Xi+1）|Xi=Xi（λ）]=λin∧inXl=1yi+1（Xi+1（λ，l））^E[βi+1yi+1（Xi+1）| Xi=Xi（λ）]=λin∧inXl=1βi+1（λ，l）yi 1（Xi+1（λ，l））定义（12）中的条件期望的蒙特卡罗估计。（13） 然后，在θupi（λ）的递归构造中，我们在所有情况下用普通蒙特卡罗估计（13）替换（12）中的条件期望，并应用符号θup，ABi（λ）。通过在外路径^Yup，AB:=∧out∧outXλ=1θup，AB（λ）上求平均得到的相应的Yi上界估计量。在这里，上标“AB”代表安徒生和布罗迪，他们在2004年提出了这种方法。通过直接应用Jensen不等式，我们观察到，通过最大算子和f的凸性，^Yup，Ab与^Yup相比，有一个额外的正偏差，这与内部模拟无关。尤其是，^Yup，Ab作为Y的激励因子具有正偏差。对于百慕大期权定价问题，文献中介绍了输入鞅的各种其他构造，例如Belomestny等人（2009年）、Desai等人（2012年）和Schoenmakers等人（2013年）。这些结构也可适用于目前的设计。低偏e刺激。为了构造带有负偏差的y的估计量，我们通过τ（λ）=inf{j沿外部路径（即λ=1，…，λout）确定停止时间τ（λ）≥ 0; Gj（Xj（λ））≥ ~qj（Xj（λ））+F（j，Xj（λ），~yj（Xj（λ）），~zj（Xj（λ）））j}∧ nand控制装置（rj（λ），ρj（λ））j=0，。。。，N-1.∈ U（F#）as∧rj（λ）~yj（Xj（λ））+ρj（λ）的（近似）解~zj（Xj（λ））- F#（j，Xj（λ），~rj（λ），~ρj（λ））=F（j，Xj（λ），~yj（Xj（λ）），~zj（Xj（λ）），（14）参见引理3.4。

然后，根据定理3.5，lain Monte Carlo估计器^Ylow，AB=∧out∧outXλ=1θlow，AB（λ），θlow，AB（λ）=Γ0，λτ（λ）（r（λ），ρ（λ））G（)τ（λ），Xτ（λ）（λ））+τ（λ）-1Xj=0Γ0，j（~r（λ），~ρ（λ））F#（j，Xj（λ），~rj（λ），~ρj（λ））j1- ~rj（λ）JYH是一种负面偏见。信任间隔。从带有正偏差的估计量和带有非负偏差的估计量开始，我们可以在额外的平方可积条件下为Yunder构造渐近置信区间，以确保e[|θ低，AB（λ）|+|θ上，AB（λ）|]<∞.为了保证这一点，我们施加了“|G（n，Xn）|+n-1Xi=1|F（i，Xi，0，0）|+|G（i，Xi）|{G（i，Xi）>-∞}#< ∞.这个假设意味着-1Xi=1|yi（Xi）|+|qi（Xi）|+DXd=1（α（d）i+1）| zd，i（Xi）|！#∞ （15） 保持而不是条件（11）。因此，我们还将对预先计算的近似值yi（x），~qi（x）和zd，i（x）施加更强的可积性假设（15）。这一附加假设确保了（~rj（λ），~ρj（λ））j=0，。。。，N-1通过（14）定义，现已满足-1Xj=0E[|F#（j，Xj（λ），~rj（λ），~ρj（λ））|]j<∞,另外，如果（14）仅保持近似值，则需要假设平方可积性。现在，对于平方可积和独立副本（θlow，AB（λ），θup，AB（λ）），λ=1，∧在h和d处，Yc的（渐近）95%置信区间I（95）可以通过向上估计量（从下估计量）加（或减去）1.96个经验标准差来构造，即I（95）=^Ylow，AB- 1.96∧out（out）- 1） ∧outXλ=1（θ低，AB（λ）-^Ylow，AB）,^是的，AB+1.96∧out（out）- 1） ∧outXλ=1（θ向上，AB（λ）-^是的，AB）.这种渐近置信区间是有效的，即使对较低估计量应用了与较高估计量相同的外部路径。

实际上，缩写I（95）=[a∧out，b∧out]，一个hasP（{Y/∈ I（95）}）≤ P（{Y<a∧out}）+P（{Y>b∧out}）≤ P（{E[^Ylow，AB]<a∧out}）+P（{E[^Yup，AB]>b∧out}）→ 0.95，因为∧超过了精确性，我们首先将两个估计量的偏差，然后将中心极限定理分别应用于这两个项。控制变量。下面的数值实验（参见图1）表明，由于内部模拟s而产生的上界估计量的额外偏差可能在内部路径数量较多（比如1000）的情况下相当大。因此，似乎有必要应用方差修正技术，通过蒙特卡罗来估计（12）中的条件期望。我们提出了一些控制变量，对于这些变量，我们只需要E[βd，i+1]，E[βd，i+1βd′，i+1]，d，d′=1，Dare以封闭形式提供。例如，当βd，i+1（达到常数）由独立布朗运动的截断增量给出时。在这种情况下，我们在给定Xi的条件概率下，对随机dom变量（β1，i+1，…，βD，i+1）的跨度执行≈yi+1（Xi+1）的正交投影。这个正交投影由β给出i+1B+i+1E[βi+1yi+1（Xi+1）| Xi=x]，其中B+i+1是矩阵xbi+1=（E[βd，i+1βd′，i+1βd′，i+1]）d，d′=1，。。。，D.这里，我们假设βi+1独立于Fi。

如果y和z是y和z的良好近似值，那么z（Xi）也是e的良好近似值[βi+1yi+1（Xi+1）|Xi]。这些考虑促使我们用^EC[~yi+1（Xi+1）|Xi=Xi（λ）]=E[βi+1]代替条件期望sin（12）的估计量（13）B+i+1zi（Xi（λ））+in∧inXl=1~yi+1（Xi+1（λ，l））- βi+1（λ，l）B+i+1zi（Xi（λ））和^EC[βi+1＠yi+1（Xi+1）| Xi=Xi（λ）]=E[βi+1]＠qi（Xi（λ））+Bi+1B+i+1＠zi（Xi（λ））+in∧inXl=1βi+1（λ，l）（＠yi+1（Xi+1（λ，l））- ~qi（Xi（λ））- βi+1（λ，l）B+i+1zi（Xi（λ）），（16）仍然是条件无偏的。估值器^Yup，ABCis th en的计算与^Yup，AB类似，但应用（16）而不是（13）。同样，根据詹森的不平等性，“向上”估计量有正偏差。对于经典的最优停止问题，Belomestny et al.（2009）建议在βi+1增加独立布朗运动的特殊情况下，使用类似的控制变量进行内部模拟。我们还建议使用控制变量运行下界估计量^Ylow，Ab，以减少样本数。在这方面，我们建议使用∧τ（λ）-1Xj=0Γ0，j（~r（λ），~ρ（λ））~yj+1（Xj+1（λ））- E[~yj+1（Xj+1）|Xj=Xj（λ）]1- ~rj（λ）j+Γ0，j（~r（λ），~ρ（λ））~ρj（λ）j（βj+1（λ）~yj+1（Xj+1（λ））- E[βj+1yj+1（Xj+1）| Xj=Xj（λ）]1- ~rj（λ）j、 （17）如果条件预期以封闭形式存在。如果不是，无论如何，构造上界估计器都需要一组“内部”模拟，并且这个内样本可以通过（16）来估计控制变量（17）中的条件期望。负偏差的结果估计量表示为^Ylow，ABC。

当然，渐近置信区间的构造完全类似于没有控制变量的情况。根据上文示例SWE中的数值约束，将数值约束应用于示例SWE中的数值约束。我们考虑了最大D资产上到期日为T的欧洲安达-百慕大看涨期权的定价问题，该看涨期权由具有漂移μ和波动率σ的独立同分布几何布朗运动建模，其在时间ti=ti/n，i=0，n由Xd，i决定。利率rb和rl随时间保持不变。然后，将生成器f（i，x，y，z）=- 雷-u - RlσDXd=1zd+（Rb- Rl）y-σDXd=1zd！-我们定义了βd，i+1（ti+1- ti）作为截断布朗增量，在[ti，ti+1]期间驱动dth库存。期权的收益由GI（x）给出=（maxd=1，…，Dxd）- （K）+- 2（最大值=1，…，Dxd- K） +，我∈ E-∞, 我/∈ E.对于K，K一组可行使期权的时间点E。因此，E={n}给出了一个选项。对于百慕大期权的情况，我们考虑在时间范围内等距的四个行使日期的情况，即e={n/4，n/2，3n/4，n}。除非另有说明，否则我们使用以下参数值：D=5，T=0.25，Rl=0.01，Rb=0.06，Xd，0=100，u=0.05，σ=0.2，K=95，K=115。我们首先通过Lemor等人（2006）的最小二乘蒙特卡罗算法生成近似值yLGW、~qLGW、~ZLGW。该算法需要一组基函数的选择。然后用∧regsample路径的集合对这些基函数的跨度进行经验回归，这些路径独立于原始对偶算法所需的外部和内部样本。

在欧式期权的情况下，我们应用了以下几组基函数：对于by=2基函数的实现，我们选择1和E[Gn（Xn）|Xi=x]来计算yLGWi（x），~qLGWi（x）和xddxde[Gn（Xn）|Xi=x]来计算zLGWd，i（x），d=1，D.对于D Black-Scholes股票m最大值上的看涨期权，在Ohnson（1987）中导出了期权价格及其增量的多元正态分布的闭式表达式。在目前的情况下，该公式可以简化为一个一维标准正态函数和dom变量的期望值，参见Belomestny等人（2009）。作为计算时间和精度之间的一个比较，我们通过量化具有21个网格点的一维标准正态分布来近似这个期望。在by=7基函数的实现中，我们还应用了x，xas基函数f为~yLGWi（x），~qLGWi（x），xd为基函数f为~zLGWd，i（x）。对于百慕大方案，我们使用了六个基函数来表示yLGWi（x），~qLGWi（x），即1，E[Gj（Xj）| Xi=x]，j∈ E、 安德马克斯∈E、 j≥iE[Gj（Xj）|Xi=x]。相应的三角洲xddxde[Gj（Xj）|Xi=x]，j∈ E、 j≥ i、 都被选为zLGWd，i（x）的基函数。在欧式期权的情况下，这种基函数的选择也允许应用Bender和Steiner（2012）的鞅基算法，尽管由于量化方法对基函数的近似，在输入近似中引入了轻微的偏差。与一般的最小二乘蒙特卡罗算法相比，利用鞅基函数可以显式地计算近似后向动态规划中的一些条件期望。

这些封闭形式的计算可以被认为是回归算法中的一个完美控制变量。对于置信上界的计算，我们使用示例3.3中导出的θUp的显式递归。为了计算下界，我们注意到下界的近似控制（~r，~ρ）的定义方程（14）可以通过以下公式方便地求解：-Rb{yi（Xi）≤σ-1PDd=1~zd，i（Xi）}- Rl{yi（Xi）>σ-1PDd=1~zd，i（Xi）}ρd，i=-σ-1（ri+u）。图1说明了控制变量对计算机内部样本的有效性100 200 300 500 600 800 900 100013.713.813.91414.114.214.314.414.514.614.7∧图1：内部模拟和控制变量数量的影响：无内部控制变量的上限、有内部控制变量的上限和下限（从顶部到底部）。n=40时间步的欧式期权上界的计算。输入近似由鞅基算法生成，该算法具有s偶数基函数和∧reg=1000条经验回归样本路径。该图描述了期权价格Y的相应上限估计，其中∧out=10000个样本路径是内部样本数∧in的函数。自上而下，它显示了上估计量^Yup，AB（即没有内部控制变量），^Yup，ABC（即有内部控制变量），以及f。与下界估计量^Ylow，AB相比，我们立即观察到^Yup中的上偏差的主要部分，从Doob鞅的近似构造中的子抽样中分离出来。在不使用内部控制变量的情况下，对于∧in=100个内部样本，upp er和lower估计器之间的相对误差约为6%，对于∧in=1000个内部样本，upp er和lower估计器之间的相对误差约为1.5%。

即使仅在∧in=100 inner样本的情况下，内部控制变量的应用也将该相对误差降低到小于0.25%。表1说明了不同输入近似值的影响。它显示了期权价格的下估计量^Ylow，abc和上估计量^Yup，abc的实现，以及经验标准差，随着时间步数从n=40增加到n=160。左边的一列解释了输入近似的算法。这里，LGWstands用于Lemor Gobet Warin算法，MB用于鞅b asis算法。它还统计了最小二乘蒙特卡罗算法中应用的回归样本数和基函数数。百慕大期权案例的较低和较高价格估算见最后两行。