BSDEs的一种原对偶算法

对于这种半泛型情况，ΘhupandΘhlow的路径递归公式可以在时间上明确化，类似于在E x示例5.5中讨论的泛型情况。表3显示了期权价格Yas的低偏差和高偏差估计及其经验标准差。我们观察到，在这个例子中，泛型边界并不令人满意。95%置信区间的相对宽度在n=40时为6.5%左右，在n=160时为65%以上。这可以通过以下事实来解释：Ei[βi+1Yi+1]的近似值（用两个基函数表示）还不够好。由于在h | low |和h | up |的定义中出现了spd=1 | zd |，因此| Z的质量对通用边界起着非常重要的作用。在半泛型设置中，形式（y）的表达式-σPd=1zd）±在hupand和Hlow中，考虑到Ei[βi+1Yi+1]的近似误差，用＠Zi表示更有利。因此，对于n=40，半通用实现的收益率有更好的95%置信区间，相对宽度约为1%，对于n=160时间步，仍然小于2.5%。总的来说，这个例子表明，如果应用于OD而不是优秀的近似（~Y，~Z），特别是当生成器的Z变量为高维时，通用边界可能过于粗糙。尽管如此，如果在选择hupand hlow时包含了一些关于发电机的信息，仍然可以根据相同的应用程序（~Y，~Z）获得非常可接受的置信区间。在本附录中，我们考虑由布朗运动W驱动的BSDE，形式为Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs。（21）我们假设这对（f，ξ）是El K arou i等人（1997）第18页意义上的标准参数，即。

平方可积条件和f上的一致Lipschitz条件是有效的。此外，f在（y，z）中是凸的。然后，根据El Karoui等人（1997）中的命题3.4，Yt=esssup（r，ρ）∈Ut（f#）Eγt，t（r，ρ）ξ-ZTtγt，s（r，ρ）f#（s，rs，ρs）dsFWt,where（FWt）t∈[0，T]是驱动布朗运动产生的强化过滤，γT，s=expZstrudu+Zstρ乌德乌,而上确界在赛特上运行（f#）：=（rs，ρs）s≥可预测的；中兴通讯[f#（s，rs，ρs）]ds<∞.这是理论3中原始优化问题的无反射连续时间模拟。5.在布朗环境中。现在，我们推导出一个连续时间版本的路径方法，来解决T heorem 3.1中的du al minimation问题。一方面，这个连续时间版本进一步说明了在离散时间的上界构造中使用（1+D）维鞅的必要性。另一方面，它可以作为设计替代上限算法的起点。我们将使用Malliavin演算中的一些基本工具。关于相应的定义和符号，我们参考Nualart（2006）。为了简化符号，我们假设驱动布朗运动是一维的。给定一个随机过程θ，使得θtisMalliavin对a.e.t.可微∈ [0，T]，我们用Dθ表示θ的马利雅文导数。请注意，磁场（Dsθt）s，t∈[0，T]几乎在[0，T]的所有地方都有定义，因此没有很好地定义Dtθtof Dsθ的轨迹。因此，我们将使用单侧轨迹（D+θ）t，如Nualart（2006）第173页中介绍的p=2。现在给出一个鞅，比如MT∈ D1,2，（即。

随机变量MTis Malliavin可微分（与平方可积Malliavin导数），我们说一个可能不适应的过程θ是- dθt=f（t，θt，（d+θ）t）dt- 如果E[RT|θT|dt]<∞, （D+θ）特克斯主义者，f（·，θ·，（D+θ）·）∈ L1，2，每t∈ [0，T]θT=ξ+ZTtf（s，θs，（D+θ）s）ds- （MT）- Mt）。现在假设θ是某个鞅的M-解，比如MT∈ D1,2。定义y=E[θt | FWt]，~Zt=E[（D+θ）t | FWt]和cs=E[f（s，θs，（D+θ）s）|FWs]- f（s，E[θs | FWs]，E[（D+θ）s | FWs]）。然后，~Yt+Ztf（s，~Ys，~Zs）+csds=Eξ+ZTE[f（s，θs，（D+θ）s）|FWs]dsFWt=:~Mt.（23）假设ξ∈ D1,2，我们接下来要注意的是Zt=EDtξ+ZTtDtf（s，θs，（D+θ）s）dsFWt. （24）事实上，根据Nualart（2006）中的鞅表示定理和引理1.3.4，有一个经过调整的过程u∈ L1,2例如mt=M+ZtusdWs。然后，通过命题1.3.8和与Nualart（2006）中命题3.1.1相同的论点，（D+θ）t=Dtξ+ZTtDtf（s，θs，（D+θ）s）ds-ZTtDtusdWs。最后一个积分是通过被积函数的自适应性和平方可积性得到的鞅增量。因此，采用条件期望收益率（24）。现在，我们可以将zt与鞅M联系起来，后者在（23）中定义。根据克拉克-奥肯公式（Nualart，2006，提案1.3.14），我们得出-■Y=ZtE博士ξ+ZTE[f（s，θs，（D+θ）s）|FWs]dsFWrdWr=ZtEDrξ+ZTrE[Drf（s，θs，（D+θ）s）|FWs]dsFWrdWr=ZtEDrξ+ZTrDrf（s，θs，（D+θ）s）FWrdWr=ZtZrdWr，其中我们使用Nualart（2006）的命题1.2.8来交换Malliavin导数和条件期望，以及（24）。由于∧YT=E[θT | FWT]=ξ，我们得出结论，多亏了（23），（~Y，~Z）解出了BSDEYT=ξ+ZTt（f（s，~Ys，~Zs）+cs）ds-ZTtZsdWs。通过f的凸性，我们观察到cs≥ 因此，通过比较定理（见El Karoui et al.，1997，定理2.2），我们最终得到了E[θt | FWt]＝∧Yt≥ 嗯。最后，El Karoui等人中的命题5.3。

（1997）表明，在f和ξ的一些技术条件下，BSDE（21）的唯一适配解（Y，Z）满足Zt=（D+Y），我们从现在开始假设。特别地，对于M=R·ZsdWs，Y是（22）的M-解。综上所述，我们得出以下结论：命题A.1。假设El Karoui等人（1997）关于（f，ξ）的命题5.3的假设有效。然后，Yt=essinfθE[θt | FWt]，其中，最大值运行在这些过程θ的集合上，这些过程θ是（22）f或某些鞅M的解，如MT∈ D1,2。将这一结果与定理3.1中的离散时间结果进行比较，我们立即发现了一个重大差异：在连续时间中，只需要错误地选择一维鞅，而在离散时间中，还需要选择D维鞅M。这种现象很容易解释。首先请注意，在大多数技术条件下，（D+θ）t=lim↓0Zt+tDsθt+ds=lim↓0Wt+- Wtθt+-Wt+- Wt θt+,其中钻石表示芯积，见Di Nunno等人（2009）的定理6.8。右侧的第一项对应于表达式βi+1θupi+1in（5），当βi+1（ti+1-ti）等于[ti，ti+1]上的截断布朗增量。右边的第二项没有条件期望，因为Wick产品与条件期望互换，即Wt+- Wt θt+FWt= EWt+- WtFWt E[θt+| FWt]=0，参见Di Nunno等人（2009）中的引理6.20。因为我们不能期望Wick乘积βi+1 θi+1可以用封闭形式计算，这是一个具有零条件期望的通用项，即鞅增量Mi+1- Mi在（5）中减去。由于f的凸性，用零条件期望减去这个通用项，将递归（5）的解向上推。参考访问。阿兰科，M.阿维拉内达。

减少BSDEs数值解中的方差。C.R.数学。阿卡德。Sci。巴黎351135–138，2013年。安徒生先生，布罗迪先生。多维美式期权定价的原始-对偶s模拟算法。管理科学。50, 1222–1234, 2004.V.Bally，G.Pag\'es。一种求解多维离散时间优化问题的量化算法。伯努利91003-10492003。D.贝洛梅斯特尼。百慕大期权的非参数回归定价：低估计的最优收敛速度。金融斯托奇。15, 655–683, 2011.D.Belomestny，C.Bender，J.Schoenmakers。百慕大产品通过非嵌套蒙特卡罗的真实上界。数学《金融》杂志2009年第19期，第53-71页。C.本德，R.邓克。反向SDE的远期方案。随机过程。阿普尔。117, 1793–1812, 2007.C.本德，J.施泰纳。BSDE的最小二乘蒙特卡罗法。收录：Carmona，R.A.等人（编辑），《金融学中的数值方法》，第257-289页，斯普林格出版社，2012年。C.本德，J.施泰纳。后向SDE的后验估计。暹罗/ASA J。不确定性量化11939–1632013年。伯格曼。不同利率下的期权定价。牧师。财务部。螺柱。8, 475–500,1995.B.Bouchard，J.-F.Chassagneux。连续和离散反射BSDE的离散时间近似。随机过程。附录l.1182269–22932008。B.布查德，R。艾莉。带跳跃的解耦正反向SDE的离散时间近似。随机过程。阿普尔。118, 53–75, 2008.B.布查德，N.图兹。后向随机微分方程的离散时间近似和蒙特卡罗模拟。随机过程。附录l.111175–206，2004年。D.B.Brown，J.E.Smith，P.Su n.随机动态规划中的信息松弛和对偶。奥普。2010年第58785-801号决议。J-F.Chassagneux，A.Richou。二次BSDE的数值模拟。预印本1307。5741, 2013.P.Cheridito，M.Kupper，N.Vogelpoth。

Rd.arXiv准备打印1211.0747012的条件分析。P.Cheridito，M.Stadje。学士学位具有非Lipschitz驱动的Es和BSDE：比较、收敛性和鲁棒性。伯努利19047–10852013年。S·N·科恩，R·J·埃利奥特。有限状态倒向随机微分方程的一般理论。随机过程。阿普尔。120, 442–466, 2010.S.Cr\'epey，R.Gerboud，Z。格巴克，N.恩戈尔。交易对手风险和融资：theTVA的四个分支。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》杂志2016，1350006，2013年。D.克里斯安，K.马诺拉基斯。用立方法求解倒向随机微分方程：非线性定价的应用。暹罗J.金融数学。3, 534–571, 2012.V·V·德赛，V·F·法里亚斯，C·C·莫阿莱米。最优停止问题的路径优化。管理科学。58, 2292–2308, 2012.D.杜菲，M.施罗德，C.斯基亚达斯。可违约证券的递归估值和解决不确定性的时机。安。阿普尔。Probab。6, 1075–1090, 1996.N.El Karoui，S。彭，M.C.昆内斯。金融中的倒向随机微分方程。数学《金融》杂志1997年7月1日至71日。A.法希姆，N.图兹，X.沃林。完全非线性抛物面的概率数值方法。安。阿普尔。Probab。21, 1322–1364, 2011.E.戈贝，C.拉巴特。反向随机微分方程离散化的误差展开式。随机过程。阿普尔。117, 803–829, 2007.E.戈贝特，A.马克鲁夫。具有不规则终端函数的BSDE的L-时间正则性。随机过程。阿普尔。120, 1105–1132, 2010.J.Guyon，P.Henry Labred\'ere。不确定波动率模型：蒙特卡罗方法。J.计算机。资金2011年2月22日在线发布。霍先生，L.科根。美式期权定价：双重方法。奥普。第52258-2702004号决议。亨利·劳德·e.削减CVA的复杂性。《风险》杂志，67-732012年7月。约翰逊。选择多个资产的最大值或最小值。J

金融量。肛门。22, 277–283, 1987.J-P.劳伦特，P.阿姆泽莱克，J.邦诺。抵押债权合同估值概述。牧师。衍生工具研究，在线第一，2014年。J.-P.勒莫，E.戈贝特，X.沃林。求解广义倒向随机微分方程的经验回归方法的收敛速度。Bernou lli 12889–9162006。J.马，J。张。具有反射的BSDE解决方案的说明和规则。随机过程。阿普尔。115, 539 – 569, 2005.D.努亚拉特。Malliavin微积分和相关主题，第二版，斯普林格，2006年。G.迪努诺，B.Oksendal，F.普罗斯克。L’evy过程的Malliavin演算及其在金融中的应用，Spr inger，2009。A.帕拉维奇尼，D.佩里尼，D.布里戈。基金、抵押品和对冲：揭示基金估值调整的机制和微妙之处。arXiv预印本1210.38112012。R.T.罗卡费拉。凸分析，普林斯顿大学出版社，1970年。L.C.G.罗杰斯。美式期权的蒙特卡罗估值。数学《金融》12271–2862002。J.Schoenmakers，J.Zhang，J.Huang。最优对偶鞅及其分析和在百慕大积新算法中的应用。暹罗J.金融数学。4, 86–116, 2013.J.张。BSDE的一种数值格式。安。阿普尔。Probab。14, 459–488, 2004.张国荣，M.冈茨伯格，赵伟。多维后向随机微分方程的稀疏网格法。J.计算机数学。31, 221–248, 2013.