BSDEs的一种原对偶算法

在这种情况下，鞅基算法不可用，Lemor Gobet-Warin算法使用上述六个基函数运行。我们在所有情况下使用∧out=10000和∧in=100个样本。总的来说，该表显示，在这个5维示例中，非常紧密的95%置信区间可以通过原始-对偶算法计算，尽管输入近似算法\\n 40 80 120 160LGW∧reg=10，By=213.7786（0.0028）13.8339（0.0031）13.7597（0.0033）13.8858（0.0041）13.7583（0.0037）13.9482（0.0051）13.7478（0.0043）14.0149（0.0062）LGW∧reg=10，by=213.7783（0.0022）13.8172（0.0024）13.7817（0.0022）13.8443（0.0027）13.7848（0.0024）13.8682（0.0029）13.7855（0.0025）13.8967（0.0033）MB∧reg=10，by=213.7850（0.0022）13.8185（0.0023）13.7898（0.0021）13.7863（0.0025）13.8578（0.0025）MB∧reg=10，by=713.7818（0.0020）13.8140（0.0021）13.7767（0.0020）13.8321（0.0022）13.7789（0.0022）13.8560（0.0025）13.7764（0.0025）13.8902（0.0031）LGW∧reg=10，by=713.7829（0.0017）13.8079（0.0018）13.7867（0.0016）13.8233（0.0018）13.7884（0.0017）13.8320（0.0017）13.0017∧reg=10，（0.0016）13.5664（0.00228）15.5664（0.00228）15.5664（0.00228）15.5441（0.037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.5441（0.0037）15.616（0）15（0（0.0037）15（0）15（0）15（0）15（0.0037）15（0）15（0）15）15（0）15（0）15）15（0（0）15）15（0（0）15）15（0（0）15）15）15（0（0）15）15）15（0（0（0）15）15（0（0）15）15）15（0（0）15）15）15）15（0（0（0（0（0）15）15）15）15）15）0028）15.5684（0.0026）15.5482（0.0032）15.6050（0.0033）15.5441（0.0035）15.6364（0.0039）15.5443（0.0039）15.6694（0.0042）表1：欧洲和百慕大案例中不同时间段的定价上限和下限以及输入近似值。括号中是标准d版本。基于非常少但经过精心选择的基函数。

对于使用两个基函数和100条回归路径输入近似值的鞅基算法，即使在时间离散的n=160步中，上下95%置信区间之间的相对误差约为0.7%。当应用七个基函数和1000条回归路径时，它可以进一步降低到0.5%以下。如果用相同的基函数集对Lemor-Gobet-Warinalgorithm进行输入近似，则Primal-dual算法可能会产生与鞅基算法相同长度的置信区间。然而，在我们的模拟研究中，回归路径的数量必须增加1000倍，以获得与鞅基算法计算的输入近似具有相同质量的输入近似。因此，我们的数值结果证明了鞅基算法的巨大减差效果。在百慕大期权的情况下，当输入近似值由Lemor Gobet-Warinalgorithm用6个基函数和100万条回归路径计算时，Primar-dual算法仍然会产生95%的置信区间，相对宽度小于1%f，最多n=160个时间步。5非凸生成元的情况在本节中，我们放弃了关于生成元f的凸性的假设，只假设这些假设是有效的。在这种情况下，Yc的置信边界的构造可以基于凸生成器和凹生成器对f的局部近似。5.1上界第一步是上界的构造。对于固定i=0，N- 1我们假设在某种近似下（~Yj，~Zj）j=i。。。，N-1 of（Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j=i。。。，N-这是给你的。这种近似可以用任何算法重新计算。

我们仅假设近似值是经过调整且令人满意的N-1Xj=i | | Yj |+DXd=1α（d）j | | Zd，j |！J< ∞.这种容许输入近似的集合用Ai表示。我们现在选择了一种测量函数：Ohm ×{0，…，n}×R×RD×R×RD→ r具有以下特性：a）hup（·，~y，~z；y，z）适用于每个（~y，~z），（y，z）∈ R×RD.此外，hupsatis fies the stochastic Lipschitz条件| hup（i，~y，~z；y，z）- hup（i，y，z；y′，z′）|≤ α（0）i | y- y′|+DXd=1α（d）i|zd- z′d|对于每一个（~y，~z），（y，z），（y′，z′）∈ R×RD（具有与f相同的随机Lipschitz常数）。b） hup（i，~y，~z；y，z）在（y，z）中是凸的，hup（i，~y，~z；0，0）=0表示每个（~y，~z）∈ R×RD和hup（i，~y，~z；~y）- y、 ~z- z）≥ f（i，y，z）- f（i，~y，~z）对于每个（~y，~z），（y，z）∈ R×R.重新标记5.1。给定hup和近似值（~Yi，~Zi），我们可以定义一个新的生成器fup（i，y，z）：=f（i，~Yi，~Zi）+hup（i，~Yi，~Zi；~Yi）- y、 ~z- z） 。然后fup（i，y，z）在（y，z）中是凸的，并且支配原始生成器f，即fup（i，y，z）≥f（i，y，z）。此外，E[|fup（i，Yi，Ei[βi+1Yi+1]）- f（i，Yi，Ei[βi+1Yi+1]）|]≤ 2E“α（0）i | Yi- Yi |+DXd=1α（d）i | Zi- Ei[βi+1Yi+1]|#，这表明——在真解（Yi，Ei[βi+1Yi+1]）下进行评估——辅助生成器Fupap接近真生成器f，因为ap近似（~Y，~Z）接近真解。一个通用的选择是函数h | up |（i，y，z；y，z）=α（0）i | y |+DXd=1α（d）i | zd |，这显然满足上述性质A）和b）。我们将在下面的数字示例中说明，根据特定问题定制函数HUP，而不是应用一般选择h | up |，可能会有所帮助。给定hup，（~Y，~Z），我们通过Θhupi=max{Si，Θhupi+1定义Θhupi=Θhupi（~Y，~Z）- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+fi（~Yi，~Zi）i+hup（i，~Yi，~Zi；~Yi）- Θhupi，Θ子- βi+1Θhupi+1+βi+1Yi+1- Ei[βi+1Yi+1]）i} ，（18）在Θhupn=Sn处启动。

然后，我们得到以下关于Θhupi（ΘY，ΘZ）的p值极小化问题。定理5.2。对于每一个i=0，n、 Yi=essinf（~Y，~Z）∈艾伊[Θhupi（ΘY，ΘZ）]。此外，最小化对由（Y）给出*j、 Z*j） =（Yj，Ej[βj+1Yj+1]），这甚至满足了路径最优原则。证据我们定义了一对独立的可积过程（~Y，~Z），并定义了Yupj，j≥ i、 asYupj=max{Sj，Ej[Yupj+1]+[f（j，~Yj，~Zj）+hup（j，~Yj，~Zj；~Yj-Yupj，~Zj-Ej[βj+1Yupj+1]）]j} ，Yupn=Sn，这使Yupi感到满意≥ 根据命题2.3中的比较结果。然后，将Yi替换为Yupi的应用程序3.1产生Ei[Θhupi（ΘY，ΘZ）]≥ 尤皮。因此，易≤ essinf（~Y，~Z）∈艾伊[Θhupi（ΘY，ΘZ）]。现在需要证明yj=Θhupj（Y·，E·[β·+1Y·+1]）=：Θhup，*j、 P——几乎可以肯定的是，对于每个j=i，n、 对于j=n来说，这当然是正确的。我们通过归纳法Θhup得到时间倒转，*j=max{Sj，Yj+1- （Yj+1）- Ej[Yj+1]）+f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）j+hup（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]；Yj- Θhup，*j、 Ej[βj+1Yj+1]- βj+1Yj+1+βj+1Yj+1- Ej[βj+1Yj+1]）j} =max{Sj，Ej[Yj+1]+（f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）+hup（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]；Yj- Θhup，*j、 （0）j} 当hup（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]；0，0）=0时，我们观察到Yjalso解了上述方程。因此，通过唯一性（由于hup的Lipschitz假设），我们得到Yj=Θhup，*j、 5.2下界a值过程为Yi的最大化问题可以通过凹形生成器从下方包围FFO来类似地构造。主要区别在于，取代第3节的结果，我们现在依赖于凹面情况的以下结果，该结果在本节末尾得到了证明：定理5.3。假设f在（y，z）中是凹的。（i） 然后，对于每一个i=0。

，n，Yi=essinfM∈Messinf（r，ρ）∈用户界面((-f） #）Ei[θupi（r，ρ，M）]，其中θupi（r，ρ，M）=maxk=i，。。。，nΓi，k(-R-ρ） Sk+k-1Xj=iΓi，j(-R-ρ)(-f） #（j，rj，ρj）j1+rjJ- （Mk- Mi）。极小值（即使在路径最优的意义上）由（r）给出*j、 ρ*j） j≥令人满意- R*jYj- ρ*JEj[βj+1Yj+1]+(-f）#（j，r）*j、 ρ*j） =f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）（19）和M0，*是（YjΓi，j）的Doob分解的鞅部分(-R*, -ρ*))J≥i、 （ii）给定停止时间τ∈与鞅（M，M）∈ M1+D，对于i，定义θlowj=θlowj（τ，M，M）≤ j<τviaθlowj=θlowj+1- （Mj+1）- 97f，β+j+low1- （Mj+1）- （美赞臣）j、 θlowτ=Sτ。那么，Yi=esssupτ∈\'siessup（米，米）∈M1+DEi[θlowi（τ，M，M）]三元组（τ*i、 M0，*, M*),τ在哪里*我在（4）和M0中定义，*, M*分别是Y和βY的Doob鞅。这一结果与凸情况并不完全对称，因为在较低载波处的反射（即应用最大算子）是凸的。注意，如果f本身是凹的，那么定理5.3中的上界和下界比定理5.2中的上界和由n ext构造的一般下界更可取。我们用满足与hupbut相同性质的hlowany映射表示，条件b）替换为b’（i，~y，~z；y，z）在（y，z）中是凹的，hlow（i，~y，~z；0，0）=0表示每（~y，~z）∈ R×RD，andhlow（i，~y，~z；~y- y、 ~z- z）≤ f（i，y，z）- f（i，~y，~z）对于每个（~y，~z），（y，z）∈ R×RD.一般的选择是nowh | low |（i，~y，~z；y，z）=-α（0）i|y|-DXd=1α（d）i | zd |。给定hlow，一个p-air自适应过程（~Y，~Z）和一个停止时间τ∈“Swe de fineΘhlowi=Θhlowi（~Y，~Z，τ）通过Θhlowi=Θhlowi+1- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+fi（~Yi，~Zi）i+hlow（i，~Yi，~Zi；~Yi- Θhlowi，ΘZi- βi+1Θhlowi+1+βi+1Yi+1- Ei[βi+1Yi+1]）i、 （20）对于在Θhlowτ=Sτ处开始的i<τ。

利用定理5.3和与定理5.2相同的参数，我们得到：定理5.4。对于每一个i=0，n、 Yi=esssupτ∈\'siessup（~Y，~Z）∈AiEi[Θhlowi（~Y，~Z，τ）]。此外，最小三元组由（Y）给出*j、 Z*j、 τ*) = （Yj，Ej[βj+1Yj+1]，τ*i） 这甚至满足了路径优化原则。（我们记得τ*我在第（4）款中有定义。例5.5。对于一般选择h | up |和h | low |，我们可以应用命题3.2，以明确（18）和（20）中的递归公式。他们读Θh | up | i=maxnSi，supr∈{-α（0）i，α（0）i}1+r我Θh |向上| i+1- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+f（i，~Yi，~Zi）i+DXd=1 |Zd，i- βd，i+1Θh | up | i+1+βd，i+1ΘYi+1- Ei[βd，i+1Yi+1]|我o、 Θh | low | i=inf∈{-α（0）i，α（0）i}1+r我Θh |低| i+1- （~Yi+1）- Ei[~Yi+1]）+f（i，~Yi，~Zi）我-DXd=1α（d）i |Zd，i- βd，i+1Θh |低| i+1+βd，i+1ΘYi+1- Ei[βd，i+1Yi+1]|我.相应的上界和下界的主要优点是，它们可以一般地计算，而不需要关于f的任何额外信息（例如凸生成器一节中要求的凸共轭）。然而，这种通用方法是有代价的。事实上，考虑到Lipschitz过程α（d）i，选择h | up |，h | low |可以显示n，从而导致所有可容许函数hup，hlow，即Ei[h | up | i（| Y，| Z）]≥ Ei[Θhupi（ΘY，ΘZ）]每对（ΘY，ΘZ）∈ Ai，和下限类似。在实践中，当D较大且ap近似值Zjof Ej[βj+1Yj+1]不是很好时，一般界限可能过于粗糙。因此，通常我们建议选择函数hup和hlow，使hup（j，~Yj，~Zj；y，z）和hlow（j，~Yj，~Zj；y，z）在（y，z）-坐标系中接近于零的邻域中，其中期望残差（~Yj）- Yj，~Zj- Ej[βj+1Yj+1]）将被典型地定位。我们用定理5.3的证明来结束这一节。定理5.3的证明。

（i） 给定（r，ρ）∈ 用户界面((-f） #）和j=i，n、 k=j，n、 定义j（k，r，ρ）=EjΓj，k(-R-ρ） Sk+k-1Xl=jΓj，l(-R-ρ)(-f） #（l，rl，ρl）l1+rlL然后，选择采样定理产生每个停止时间τ∈“s和每个鞅∈ MYi（τ，r，ρ）=Ei“Γi，τ(-R-ρ） Sτ+τ-1Xl=iΓj，l(-R-ρ)(-f） #（l，rl，ρl）l1+rlL- （Mτ）- （密歇根州）#≤ Ei[θupi（r，ρ，M）]。与定理3.5的证明的第一部分相同的论点现在由凹度thatYi（τ，r，ρ）表示≥ 易。因此，Ei[θupi（r，ρ，M）]≥ 易。现在我们表示YjΓi，j的Doob鞅(-R*, -ρ*) 到了M0，*对于j=i，n、 选择apair（r*, ρ*) ∈ 用户界面((-f） #）满足（19）。这样的一对通过引理3.4再次存在。定义θ*j:=θupj（r）*, ρ*, M0，*), j=i，n、 我们通过对j=n的归纳来说明，i、 那Yj=θ*j、 首先注意Yn=Sn=θ*n、 为了证实j=i的索赔，N- 1我们首先观察到，*K- M0，*j=k-1Xl=j（Yl+1Γi，l+1(-R*, -ρ*) - El[Yl+1Γi，l+1(-R*, -ρ*)])=K-1Xl=jΓi，lYl+1- El[Yl+1]- (ρ*l）（βl+1Yl+1）- El[βl+1Yl+1]）l1+r*L对于k=j，n、 因此，θ*j=maxk=j，。。。，nΓj，k(-R*, -ρ*)Sk+k-1Xl=jΓj，l(-R*, -ρ*)((-f） #（左，右）*l、 ρ*l） +（ρ）*l）（βl+1Yl+1）- El[βl+1Yl+1]）L- Yl+1+El[Yl+1]1+r*Ll！=麦克斯{Sj，θ*j+1- Yj+1+Ej[Yj+1]+(-R*jθ*J- (ρ*j）βj+1θ*j+1+(-f）#（j，r）*j、 ρ*j） +（ρ）*j）（βj+1Yj+1）- Ej[βj+1Yj+1]））j} 。通过归纳假设和（19）我们得到θ*j=max{Sj，Ej[Yj+1]+（f（j，Yj，Ej[βj+1Yj+1]）+r*j（Yj）- θ*j） )j} 。由于Yjis是这个方程的唯一解，我们得出结论θ*j=Yj。（ii）固定（M，M）∈ M1+Dandτ∈“是的。然后，通过f的凹性，我们在Ej[θlowj（τ，M，M）]，i处观察到类似于定理3.1的结果≤ J≤ τ、 是无反射BSDE的子解，具有生成器f和终端时间τ。后者的解用y（τ）jin命题2.2表示。

因此，通过命题2.3和命题2.2Ei[θlowi（τ，M，M）]]≤ Y（τ）i≤ 易。为了证明（τ）的路径最优性*i、 M0，*, M*) 在证明理论的过程中。1.类似的归纳论证表明，对于j=i，τ*我- 1θlowj（τ）*i、 M0，*, M*) = Ej[Yj+1]+f（j，θlowj（τ）*i、 M0，*, M*), Ej[βj+1Yj+1]）j、 同样，通过f的Lipschitz连续性，这意味着θlowj（τ*i、 M0，*, M*) = Yj。5.3数值示例选择函数HLOW和hupare后，可根据定理5.2和5.4设计一种计算函数区间的算法，类似于4.1中针对凸情况的原始-对偶算法。我们首先在例2.1（ii）的上下文中说明该算法。对于基础，我们选择与第4.2节相同的五维几何布朗运动，除了T=1，漂移和无风险率等于R=0.02。（欧洲）索赔的赔付金额为byGn（x）=mind=1，。。。，Dxd。对于默认风险函数Q，我们假设有三种情况，即高风险、中等风险和低风险：存在阈值vh<VLAN比率γh>γL，即Q（y）=γh或y<vh和Q（y）=γL或y>vl。在[vh，vl]上，Q线性插值。由此得到的f函数f是Lipschitz连续的，但通常既不凸也不凹。Lipschitz常数α（0）的临界值是VH和vl中f的左导数和右导数的绝对值。在实现中，我们坚持通用的方法-h | low |（i，y；y）=h | up |（i，y；y）=α（0）| y |，使用非线性与本例中的Z部分无关。我们选择h=54，vl=90，γh=0.2，γl=0.02。为了计算y，我们使用带有两个基函数的Lemor Gobet-Warin算法，1和E[Gn（Xn）|Xi=x]和∧reg=100000。此外，∧out=4000，∧in=1000。在没有违约风险的情况下，索赔的价值为78.37。

表2 disp列出了不同时间离散化和回收率δ的价格上限和下限。正如预期的那样，较小的回报率会导致较小的期权价值。在所有情况下，置信区间的相对宽度均远低于0.5%。对于较大的δ值，界限更为严格：δ值越大，定价问题的非线性越小，Lipschitz常数越小（α（0）=0.41,0.27,0.12，δ=0,1/3,2/3）。与第4.2节的示例相比，边界对时间离散化的依赖性要小得多。这是因为，与信贷风险文献中许多BSDE的情况一样，没有可近似计算的Z部分h，见Crèepey et al.（2013）；亨利·劳德尔（2012）。总之，在这个例子中，通用方法非常有效。最后，我们回顾第4.2节的例子。对于输入近似，我们运行鞅基算法，其中包含Y和1000个回归路径的七个基函数。基于以下hlowandhup选择，使用∧in=∧out=1000条路径计算最大五个Black Scholesstocks的Eu ropean看涨期权的置信区间。

对于完全通用的实现，我们采用-h | low |（i，~y，~z；y，z）=h | up |（i，~y，~z；y，z）=Rb | y |+max{- u|，| Rl- u|}σXd=1 | zd |。（0.0068）71.0 0 0.0065）74（0.0065）74（0.0065）74（0.0065）74（0.0065）74.1010（0.0065）74.1010（0.0065）74.1010（0.0065）74.1010（0.0065）74（0.0065）74.22125（0）74.22（0）74（0）74（7）74（0.0065）74（0）74（0）74）7）74.22）74（0）74（0）74（0）74（0）74）74）74（0）74）74）74（7）7）74（0（7）7）74）74（7）74（0.10）7）7）74（0（0.0065）74（0）74）74）74（0）7）7）74（0（0）7）74）74（0）7）7）7）74）74）64（0.0057）76.3886（0.0057）76.3416（0.0059）76.3943（0.0058）76.3290（0.0061）76.3814（0.0059）表2：上表以及不同回收率和时间离散化的较低价格界限。标准偏差在括号内。40 40 80 120 160完全通用的13.3604（0.013 2）14.1774（0.0169）12.7905（0.0332）14.7496（0.047 7）14.7496（0.047）14.7496（0.047）14（0.047）14（0.0332）14（0.0332）14（0.0332）14（0.0332）14）14（0.7496（0.047）14）14（0（0.047）14）14（0.047）14）14（0.047）14）14）14（0.047）14）14（0（0.047）14）14（0.047）14）14（0（0.047）14）14）14（0（0.047）14）14（0.047）14）14）14）14）14（0（0（0.047）14（0.047）14）14傅氏家族半泛型算法。S标准偏差出现在b球拍中。对于半通用的imp元素，我们选择以下（i，y，z；y，z）=Rly+u- RlσXd=1zd- （Rb）- Rl）y-σXd=1zd！-,hup（i，~y，~z；y，z）=Rly+u- RlσXd=1zd+（Rb- Rl）y-σXd=1zd！+。这种选择仅部分利用了发电机的结构。它可以应用于（y，z）加上非减量（Rb）的线性函数的任何发生器- （y，z）的线性组合的Rl）-Lipschitz连续函数。Lipschitz函数的特殊形式不用于hlowand hup的构造，但是，当然，线性组合的系数必须以明显的方式调整到生成器。