最优投资组合执行的蒙特卡罗方法

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英文标题：
《A Monte Carlo method for optimal portfolio executions》
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作者：
Nico Achtsis and Dirk Nuyens
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Traders are often faced with large block orders in markets with limited liquidity and varying volatility. Executing the entire order at once usually incurs a large trading cost because of this limited liquidity. In order to minimize this cost traders split up large orders over time. Varying volatility however implies that they now take on price risk, as the underlying assets\' prices can move against the traders over the execution period. This execution problem therefore requires a careful balancing between trading slow to reduce liquidity cost and trading fast to reduce the volatility cost. R. Almgren solved this problem for a market with one asset and stochastic liquidity and volatility parameters, using a mean-variance framework. This leads to a nonlinear PDE that needs to be solved numerically. We propose a different approach using (quasi-)Monte Carlo which can handle any number of assets. Furthermore, our method can be run in real-time and allows the trader to change the parameters of the underlying stochastic processes on-the-fly.
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中文摘要：
在流动性有限、波动性不一的市场上，交易者经常面临大宗订单。由于流动性有限，一次执行整个订单通常会产生巨大的交易成本。为了将这一成本降到最低，贸易商会随着时间的推移拆分大量订单。然而，波动性的变化意味着它们现在承担了价格风险，因为标的资产的价格在执行期间可能会对交易员不利。因此，这种执行问题需要在交易速度慢以降低流动性成本和交易速度快以降低波动性成本之间进行谨慎的平衡。R.Almgren使用均值-方差框架解决了一个只有一种资产、流动性和波动性参数随机的市场的这个问题。这导致了一个非线性偏微分方程，需要数值求解。我们提出了一种使用（准）蒙特卡罗的不同方法，它可以处理任意数量的资产。此外，我们的方法可以实时运行，并允许交易者动态更改基础随机过程的参数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Monte_Carlo_method_for_optimal_portfolio_executions.pdf (375.3 KB)

2022-5-5 09:51:58 上传

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关键词：蒙特卡罗方法 投资组合 蒙特卡罗 蒙特卡 Quantitative

最优投资组合执行的蒙特卡罗方法Nico Achtsis和Dirk Nuyens 2018年7月24日摘要我们研究了流动性有限且波动性变化的市场中的均值-方差最优执行问题。当市场参数假定为常数时，存在最优交易率的解析解。然而，一般来说，这个问题会导致一个非线性的Hamilton–Jacobi–Bellman偏微分方程，必须通过数值求解。由于求解这样一个偏微分方程是一个复杂的过程，Almgren[2012]提到了一个可以用作近似值的次最优控制。该策略假设市场参数是恒定的，因此采用平稳问题的解析解，但每次市场参数变化时都会更新策略。它被称为滚动地平线策略（RHS），因为它本质上是一种不断更新的静态控制，具有收缩地平线。正如我们将要展示的那样，很容易扩展到多资产的情况。本文提出了一种滚动时域蒙特卡罗算法（RHMC）。我们的方法采用次优控制，根据模拟选择编码速率。这种方法的潜在优势在于，我们提出的RH-MC方法不仅使用当前的市场信息，如RHS，还使用模拟来推断未来的市场行为。我们的新方法适用于多资产情况，并允许自由选择随机驱动过程的结构。结果表明，我们的方法可以显著优于RHS。Wealso还提供了一些关于RHS的见解，表明它收敛于针对强烈风险厌恶交易者的Opti-imal解决方案，至少在Almgren[2012]的背景下是如此。关键词。拟蒙特卡罗（QMC），最优资产执行，最优控制问题。AMS科目分类。

91G60、91G801相关文献和综述本文围绕算法转换的一个基本部分，即交易调度展开。当在固定时间间隔内执行大量资产时，通常有利于在该时间间隔内将订单拆分为几个较小的区块，以减少市场影响。找到最佳时间表需要在市场风险和流动性风险之间进行权衡。前者意味着被交易资产的逆价格变动风险，因此交易速度较慢将导致更高的市场风险。另一方面，流动性风险对应于订单执行前的交易前价格与实际执行价格的差异。这种差异被称为滑差，当交易速度加快时，这些价格差距的累积将更大。因此，交易日程安排在交易成本与消除市场风险之间形成了一个两难的局面，而交易成本与交易速度之间的矛盾在于尽量减少延误。我们用标准的均值-方差优化公式化了所谓的最优执行问题。第一个市场影响模型基于Bertsimas和Lo[1998]以及Almgren和Chriss[2001]构建的离散时间模型，以及Almgren[20 03]提出的连续时间变量。这些模型都将影响分为两个部分：一个是瞬时影响，仅影响引发它的个别交易；另一个是永久影响，影响所有未来交易。然而，对市场微观结构的研究表明，市场影响会随着时间的推移而衰减，正如艾斯勒等人[2012]所说的那样。第一个了解这一事实的模型是thos e Ofobizheva和Wang[2013]以及Potters和Bouchaud[2003]。

后者是极限订单模型的一个例子，这意味着作者对订单中的供需动态进行建模，以确定最佳执行算法。阿方西等人[2010年、2012年]进一步发展了该模型，特别是考虑了非线性价格影响。市场影响建模的一个重要方面是一致性。Gathereal[2010]提供了一个很好的概述，说明了这种模型需要哪些特性；e、 例如，不应允许一种算法通过交易来操纵市场，以获得利益。Huberman和Stanzl[2004]率先指出，要求缺乏通常意义上的套利策略是不够的。他们指出，交易策略的反馈可能会导致所谓的价格操纵策略，当适当地重新调整和重复时，这种策略可能会产生一种弱套利形式。Ag ain，Gatheral[2010]探讨了影响函数与这种弱套利形式之间的关系。此外，Alfonsi等人[2012]表明，在不允许Huberman和Stanzl[2004]意义上的价格操纵的模型中，交易触发的价格操纵是可能的。阿方西等人[2010、2012]的论文提供了没有这种现象的模型。本文的目标是补充Lobert Almgren关于单资产最优执行方案的工作，尤其是Almgren[2012]的工作。在本文中，作者假设交易者感知到资产价格加上基于当前交易速度的即时影响。最优执行问题是在假设波动率和流动性完全相反（称为协调变化）的情况下解决的。在本文中，我们将该模型推广到多个资产，而不需要协调变化的假设。

作为次要的一步，Inlamgren[2012年，第1.4节]还提出了一种称为滚动地平线战略（RHS）的简单解决方案。这种策略需要寻求一种稳定的解决方案，并在运输期间进行更新。一般来说，这不会是最优的，但它很容易实现，同时提供了一个合理的解决方案。本文提出了一种基于蒙特卡罗算法（RHMC）的滚动水平算法，该算法中的传输率是基于亚光学控制的模拟计算的。通过这种方式，我们的新RHMC方法不仅使用当前的市场信息，如RHS，还使用模拟来推断未来的市场行为。Almgren[2012]在均值-方差框架内处理最佳执行，这意味着不仅要考虑交易的预期成本，还要考虑交易者的风险收益。其他文件通常在假设风险中性交易者的情况下处理执行（因此只考虑交易产生的预期成本）。有一些论文已经对almgren框架进行了多资产扩展，例如Konishi[2002]和Sch¨oneborn[2011]。然而，这些论文仅涉及持续的流动性和波动性，并认为资产组之间不存在交叉流动性影响。在第2节中，我们概述了最佳执行问题。在假设市场参数为常数的情况下，我们在第3节推导了最优策略。在第4节中，我们将介绍允许动态市场参数的策略。第4.1节包含关于RHS的两个结果，显示了该策略何时成为最佳策略，以及风险中性交易者的行为。主要贡献在第4节。在这里，我们解释了滚动视界蒙特卡罗方法（RHMC）。第5节对该方法进行了数值测试。

最后，我们在第6.2节执行问题HSEC中得出结论：执行问题包括在有限的交易期间[0，T]，T<∞. 我们使用以下符号：让xi（t）表示在t时仍然需要购买或出售的第i个股票的数量。然后，xi（0）等于在程序启动时需要交易的股票数量，其中xi（0）<0对应于购买程序，xi（0）>0对应于出售程序。在任何情况下，程序在时间T终止，xi（T）=0。我们将用向量x表示初始位置。交易速度或xi的一阶导数将用vi表示。我们可以选择一个xior作为控制变量，因为两者都决定另一个。然而，对于数值稳定性，我们将根据x来制定算法。我们使用符号x′ito表示XI相对于时间t.2.1 modelHec的次导数：ModeliWe conside r a概率空间(Ohm, F、 P）被赋予了过滤F=（F（t））t∈[0，T]表示代理可用的信息结构。我们假设F（0）是琐事l，F（T）=F。我们还假设F满足右连续性和完整性的通常条件（参见Karatzas和Shreve[1991]）。模型的所有组成部分将在过滤概率空间中定义(Ohm, F、 F，P）。风险资产风险资产的价格遵循算术布朗运动Sk（t）=Sk（0）+Ztσk（s）dWk（s）（1）heq:s˙动态，σk（t）a（随机）时间函数和dWk（t）dWl（t） =ρkldt。过程Wk（t）是标准的f（t）适应布朗运动。该模型被称为Bachelier模型，广泛应用于最优执行文献中。参见Alfonsi等人[2012]，Almg ren[2012]，Be rtsimas和Lo[1998]。我们更喜欢这种模式，因为它简单、标准化。

我们将把S（t）写成包含S（t）到Sn（t）的向量。在Bachelier模型下，S（t）的动力学意味着（t）~ NS（0），ZT∑（s）ds！，其中矩阵∑（s）由元素σk（s）σ组成l（s） ρkl. 自然假设矩阵∑（s）为正定义。Ba-chelier模型可能导致负资产价值；然而，由于CET通常很小，负资产价值的概率可以忽略不计。价格影响函数价格影响函数给出了相对于风险资产价格的价格变化，从现在起，我们称之为未受影响的资产价格，具体取决于订单规模和市场条件。这些影响函数在经验文献中得到了很好的研究，如Easley和O\'hara[1987]，Kyle[1985]和理论文献，如Bertsimas和Lo[1998]。我们将假设Almgren[2012]中的价格影响函数扩展到多个资产。在这个框架中，以S表示的预期资产价格为＠S（t）=S（t）+Ξ（t）v（t），（2）heq:perc˙assetiwhereΞ（t）=η（t）η（t）·ηn1（t）η（t）η（t）·ηn2（t）。。。。。。。。。。。。ηn1（t）ηn2（t）·ηnn（t）（3） 是包含（随机）瞬时市场影响系数ηij（t）的矩阵≥ 我们假设对角线是严格正的，ηii（t）>0。在我们的框架中，我们假设交易对市场影响系数没有影响，即ηij（t）独立于v移动。我们希望Ξ（t）为下文解释的原因的正定义，这意味着它是一个对称矩阵。在这种模式下，给定交易率的较高进口对应于les s liq uid资产，因为交易将消耗更多的订单（然后立即补充）。另一方面，较低的冲击会使池塘变成更具流动性的资产。

因此，我们将η流动性参数称为η流动性参数，它更简洁。在本文中，我们将假设n个波动率和n（n+1）/2个流动性过程均由n（n+3）/2个相关的Ornstein–Uhlenbeck过程驱动，其形式为ξk（t）=-ξk（t）δkdt+βk√δkdBk（t），j=1，n（n+3）。这里δk表示市场松弛时间，βk表示波动性（k=1，…，n）和流动性（k=n+1，…，n（n+3）/2）在其平均水平上的分散。布朗运动与dBk（t）dBm（t）=kmdt，并且过程B和W之间没有相关性。挥发度取决于这些过程，如σk（t）=σkeξk（t），k=1，n、 式中，σkis是第k个波动率的平均水平。流动性参数类似地取决于ηk的过程l（t） =ηkleξn+k+(l-1） n（t），k=1，Nl = 1.k、 其中ηkl是流动性过程的平均水平ηkl. Almg ren[2012]提出的驱动随机过程的选择，然而，我们的所有结果对于不同的驱动过程选择仍然有效。协调变量为了减少维数，Almgren[2012]（仅考虑rs n=1）假设η（t）和σ（t）的变化完全相反，即σ（t）η（t）=¨σ¨η，或等效地，ξ（t）=-ξ（t）。就过程动力学而言，协调变化对应于设置δ=δ，β-2β=0, ρ = -1和ξ（0）=ξ（0）。这种关系被认为是交易时间模型的自然结果，在该模型中，不确定性的唯一来源是交易事件的到达率。在这种模型中，每次交易事件都会带来固定数量的价格差异，以及同时以特定成本交易固定数量股份的机会。

在同一篇论文中，有人认为，当波动性急剧增加而流动性同时被撤回时，这一假设可能会被严重违反。因此，我们不会做出这种假设。2.2交易成本SEC：给定控制v（用C表示）的交易成本是支付给交易资产的金额与其初始市场价值xTS（0）之间的差异。通过对c`adl`ag过程进行部分积分，我们发现c=ZTvT（t）~S（t）dt- xTS（0）=nXk=1ZTσk（t）xk（t）dWk（t）+ZTvT（t）Ξ（t）v（t）dt。我们将通过均值方差准则inv[E（C）+λVar（C）]，（4）HMV准则λ来确定最优控制v≥ 0是风险规避系数。注意，λ=0与风险中性交易者相关。我们需要计算（4）中的方差项。严格来说，它涉及资产价格不确定性Wk（t）以及市场条件不确定性Ξ（t）和∑（t）的贡献。我们可以通过进行所谓的全部影响近似（见Almgren[2012]）来避免近似Ξ（t）和∑（t）的贡献的需要：方差主要来自∑所代表的价格波动，而Ξ（t）和v（t）、Var（C）中的不确定性的贡献较小≈ EZTxT（t）∑（t）x（t）dt。如果投资组合足够小，以至于与波动性相比，由于交易的影响而产生的价格变化很小，这是正确的。在这种情况下，控制v（t）isE（C）+λVar（C）的平均方差成本函数≈ 埃兹特vT（t）Ξ（t）v（t）+λxT（t）∑（t）x（t）dt。（5） heq:CCCOSTIH最优资产执行的目标是确定交易率v，以使上述成本函数最小化。一般来说，从某个时间开始≥ 0当x（t）资产剩余可交易时，我们取价值函数C（t，x，Ξ，∑）=minv（s），t≤s≤特泽特vT（s）Ξ（s）v（s）+λxT（s）∑（s）x（s）ds。

（6） heq：优化问题如果Ξ（s）和∑（s）都是正定义，交易成本将是正的。3静态问题在本节中，我们将只考虑静态问题，即Ξ（t）和∑（t）随时间恒定的情况。我们将首先证明这个问题有一个唯一的极小值。提议1。假设Ξ和∑是两个正定义矩阵。然后优化问题minv（t），0≤T≤TZTL（t，x，v）dtl（t，x，v）=vT（t）Ξv（t）+λxT（t）∑x（t），在W1,2（[0，t]，Rn）证明中有一个唯一的极小值。很明显，L（t，x，v）在v中是凸的，因为vT（t）Ξv（t）是具有Ξ正定义的二次型。此外，由于Ξ和∑是两个正定义的矩阵L（t，x，v）≥ αvT（t）v（t）+λαxT（t）x（t），其中α和α分别是Ξ和∑的最小特征值。q、 e.d.欧拉-拉格朗日方程Lxk-滴滴涕Lx′k=0，k=1，n、 其中总导数等于ddtLx′k=TLx′k+nXl=1x′型l十、lLx′k+nXl=1x′\'lx′lLx′k，k=1，n、 简单的计算表明，欧拉-拉格朗日方程简化为系统Ξx′（t）=λ∑x（t）。（7） heq:EL˙eqnsishprop:CCi提案2。假设Ξ（t）=Ξ和∑（t）=∑为0的常数≤ T≤ T，边界值问题x′（T）=λΞ-1∑x（t），表示0≤ T≤ T、 其中x（0）=x，x（T）=0，（8）heq:sysodeih为解，对于λ>0，x（T）=Ohm（t，t，Ξ，∑）x，其中Ohm（t，t，Ξ，∑）=sinh（C（t）- t） ）新罕布什尔州-1，（9）heq:xCCiandv（t）=Ohm′（t，t，Ξ，∑）x，其中Ohm′（t，t，Ξ，∑）=-co-sh（C（T）- t） ）新罕布什尔州-1C，（10）heq:vcci，其中C是矩阵平方根，因此C=λΞ-1∑以及sinh和cosh是矩阵函数，即sinh（A）=Pk≥0A2k+1/（2k+1）！cosh（A）=Pk≥0A2k/（2k）！，和新罕布什尔州-1是sinh（CT）的矩阵逆。证据集合B=λΞ-1Σ.