最优投资组合执行的蒙特卡罗方法

接下来，我们将证明A=Ak+1为正定义。我们知道Ak+1是矩阵qk的和，l（Ξ（·），∑（·））=VT（k，l, Ξ(·), Σ(·))\"OhmTk+l- 在里面tΞ（tk）+l)Ohmk+l- 在里面t+λ∑（tk）+l)#V（k，l, Ξ(·), Σ(·)).对于l = 1我们有V（k），l, Ξ（·），∑（·））=Inand thusQk，1（Ξ（·），∑（·））=OhmTk+1- 在里面tΞ（tk+1）Ohmk+1- 在里面t+λ∑（tk+1）。通过命题5，我们知道矩阵Ohmk+1的特征值在区间（0,1）内。因此Ohmk+1-Inhas区间特征值(-1, 0). 左、右相乘就是乘积(OhmTk+1-In）Ξ（tk+1）(Ohmk+1-在）正定义中，因为Ξ（tk+1）通过构造是正定义。对于l > 1.我们继续添加Ohmk+l-从右边到左边。因此，eAk+1为正定义。q、 e.d.提案7。RHMC-I算法是稳定的，即Ξ（tk）+Ak+1(（t）-1Ξ（tk）（22）heq:StablerHmcia呈阳性，所有k.hprop:stableRHMCiProof均为阳性。用u表示，un（22）的特征值以递增的顺序。由于两个正定义矩阵的乘积具有正的eige值（见Horn和Johnson[1985]），因此我们的u>0。对于上限，我们发现unΞ（tk）+Ak+1(（t）-1Ξ（tk）≤ unΞ（tk）+Ak+1(（t）-1.un（Ξ（tk））=uΞ（tk）+Ak+1(（t）-1un（Ξ（tk））。根据Weyl不等式[2001]我们得出uΞ（tk）+Ak+1(（t）-1.≤un（Ξ（tk））+(t） u（Ak+1）-1，导致不平等unΞ（tk）+Ak+1(（t）-1Ξ（tk）≤un（Ξ（tk））un（Ξ（tk））+(t） u（Ak+1）≤ 1其中，最后一个不等式来自于K+1的正不确定性，这在命题6中得到了证明。q、 e.d.RHMC-II：滚动视界蒙特卡罗法，带CC，直到结束。根据RHMC-I方法，步骤tkwas中的交易率通过使用RHS方案，计算矩阵Ak+1（Ξ（·），∑（·）），然后使用命题6来确定。当然，使用RHS作为次优控制并不是强制性的。我们也可以使用CC来确定Ak+1（Ξ（·），∑（·）），这将降低计算复杂度。

因此，与RHMC-I的不同之处在于，我们现在假设从tk+1开始，材料冰Ξ（s）和∑（s）固定，以计算次优控制。因此，我们可以用（12）来写（19），为1≤ l < M- k、 asvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+l= xTk+1Qk，l（∑（·），Ξ（·））xk+1，其中Qk，l现在被定义为asQk，l(Σ(·), Ξ(·)) = Ohm′Tk，lΞ（tk）+l) Ohm′Kl+ λOhmTk，l∑（tk）+l) OhmKl（23）heq:Q˙RHMC2和OhmKl= Ohm（tk）+l- tk+1，T- tk+1，Ξ（tk+1），∑（tk+1））。命题6和命题7仍然适用于RHMC-II方法。假设左矩形规则，我们得到一个成本O（N（M）-k） n）与RHMC-I的复杂度相同，但在实践中，由于矩阵Ohm 现在可以作为时间的函数计算，而不是在未来的每个交易日更新，并且不再需要计算函数V，它本质上是一个累积矩阵积。算法2中给出了这两种算法的概述。注意，在单一资产情况下，不协调的变化和λ′σ/’η→ ∞ 我们的RHMC-I格式收敛到最优解，证明了RHS收敛到最优解，并用这种最优控制计算了延拓值。除此之外，我们预计RHMC-I将显著改善任何市场参数选择的滚动期解决方案。这些展望是合理的，因为RHS只考虑当前的市场条件，并在假设这些条件在剩余交易期间保持不变的情况下给出交易利率。另一方面，我们的算法使用蒙特卡罗过程来获取未来交易的信息，并据此选择交易对象。目前还不清楚RHMC-II方法是否能比theRHS提供改进。

至少在协调变化和λ′σ/’η下n=1的情况下→ ∞ 我们预计RHMC II方法比RHS更差，因为RHS将趋于最佳，而CC则不会。第5节中的数值结果表明，在这种情况下，RHMC-II算法的性能确实不佳，但只要不假设协调变化，它的性能就与RHMC-I算法类似。有趣的是，在n=2的情况下，对于所有考虑的市场参数，RHMC-I和RHMC-II a算法之间似乎几乎没有差异。算法2：优化资产执行的蒙特卡罗方法。halg:MCRHalgiFix一组M+1交易时间，等长间隔t=t/M。时间tkobserveΞ（tk）和∑（tk）。Ξ（·）和∑（·）的样本N路径通过（准）蒙特卡罗给出∑（tk）和Ξ（tk）。对于RHMC-I方法，使用（18）计算矩阵A（20），对于RHMC-II方法，使用（23）计算矩阵A（20）。使用（21）计算xk+1。贸易xk+1- xkassets。4.3后验离散最优解HSEC：Option假设市场参数的路径已知，通过离散化计算动态问题的最优控制是可能的。对于面临执行问题的交易者来说，这当然是没有用的，但它允许我们检查在使用最优离散控制进行交易时，所有方法的交易成本是如何相对于cos t的。假设目前只有一种资产在交易，即n=1。我们再次使用时间离散化（tk）k=0，。。。，M步进长度t=t/M，并使用左点规则近似积分。给定市场参数的路径，Ξ（tk）和∑（tk），k=0。

，M，最优控制问题对应于求解最小化问题minimizevk，k=0，。。。，M商标-1Xk=0vkΞ（tk）+λxk∑（tk）受制于x=x，注意x（t）=-ZTtv（s）ds，我们发现离散点x（tk）xk=-M-1Xm=kvmt、 因此，最小值m可以写成minimizevk，k=0，。。。，M商标-1Xk=0vkΞ（tk）+λt∑（tk）M-1Xm=kvm！从属于-M-0vm=1Xmt=X，一些初等计算表明，上述问题等价于tominimizevk，k=0，。。。，M商标-1Xk=0vkΞ（tk）+λ商标-1Xk=0米-1Xl=0vkvl闵（k，l)Xm=0∑（tm）受-M-1Xm=0vmt=X，通过引入矩阵∧∑，其中∧∑kl=Pmin（k，l)m=0∑（tm），这里的对角矩阵ΞwΞkk=Ξ（tk）和向量vt，即时间离散化控制v，即vtm=vm，我们可以重写上述问题tΞ+λt∑vt受制于- t1TMvt=X，因为矩阵tΞ+λt∑是正定义，存在唯一的极小值。更一般的情况n>1可以很容易地从这种构造中得到。用vtk表示资产k的时间离散向量，k=1，n最小化问题b e comesminimizevt1，。。。，n（vt1，…，n）TTΞ（11）···Ξ（1n）。。。。。。。。。Ξ（n1）·Ξ（nn）+ λT∑（11）···∑（1n）。。。。。。。。。∑（n1）··∑（nn）vt1，。。。，n对象- twTvt1，。。。，n=X，。。。- twTnvt1，。。。，n=Xn，其中Ξ（ij）是Ξ（ij）kk=Ξij（tk）的对角矩阵，Ξ∑（ij）kl=Pmin（k，l)m=0∑ij（tm），vt1，。。。，n=及物动词。。。vtn还有工作=M（k）-1） 嗯（n）-K-2).5数值结果HSEC:NUMRESULTSI在本节中，我们以数值方式说明RHMC-I和RHMC-II，并将其与CC、RHS和离散最优解进行比较。我们的方法的目的是优于RHS解决方案。

本节中的结果表明，我们在这一目标上取得了成功。为了选择用于计算预期延续值的模拟次数，我们研究了不同参数选择的交易成本，以及使用d的样本数量。图1A中给出了一个典型示例，使用RHMC-I方法计算n=1，图1b中给出了n=2。显然，使用准蒙特卡罗（红色曲线）比使用普通蒙特卡罗（蓝色曲线）更有利。对于我们的方法，我们使用Joe和Kuo[2008]中的参数来定义Sobol\'序列。我们将选择N=500作为我们的数值实验，但我们还想指出，使用准蒙特卡罗法计算的tak ingN=200对于实际应用是有效的。5.1协调变量下的一项资产在一项资产的情况下，假设协调变量成立，我们使用固定参数ST=10进行实验，t=1/100，β=δ=1，以及不同的‘σ’、η和λ值。问题的维数，在任意的时间步长k∈ {0，1，…，1000}是k，因为只有一个随机过程驱动市场参数。表1概述了使用200次模拟运行（即我们使用不同执行算法的ξ的200个样本路径）进行不同参数值交易的成本。由于这也是一个资产：1A˙convi0 200 400 600 800 10002.652.72.752.82.852.9N（a）一个资产：2A˙convi0 200 400 600 800 10008.198.28.218.228.23N（b）两个资产图1：流动性和波动性参数的特定路径的交易成本，根据n，用于确定平均连续值的（准）蒙特卡罗路径数。

每条蓝曲线对应于所用蒙特卡罗数的不同种子，每条红曲线对应于用于获得准蒙特卡罗样本的不同数字移位。h fig:1A2A˙在MGREN[2012]考虑的环境下，我们实施了上述文件中概述的有限差异方案。我们称之为最优连续解。应该注意的是，离散最优解和连续最优解不需要重合。命题3的影响在表中清晰可见：当λ′σ/’η小于10时，RHS和CC的交易成本相似-3.在这些情况下，RHMC-I和RHMC-II都显著优于RHS方法，将连续最优解的额外成本降低到RHS方法的四分之一左右。在所有参数选择中，成本的降低是恒定的，其中λ′σ/’η小于10-3.我们的两种方法即使没有相同之处，也能降低成本。另一方面，对于大于10的λ′σ/’η-建议n4的影响在结果中变得明显，与连续最优解决方案相比，RHS的额外成本显著下降。我们的RHMC-I方法一直优于RHS方法，尤其是对于λ′σ/’η在理论上为10的情况-2.对于这些情况，RHMC-II方法开始落后于RHMC-I方法，成本降低幅度较小。对于λ′σ/’η为10阶的情况-1 RHMC-I方法的优势大大降低，因为RHS方法的额外成本几乎为零。在这些情况下，RHMC-II方法甚至无法超越RHS方法。这并不令人惊讶，因为theRHMC-I方法使用RHS作为次优控制，因此如果RHS收敛到最优控制，RHMC-I方法也会通过构造收敛到最优控制。

B由于RHMC-II将TCC用作次优控制，因此未显示这种收敛性。值得一提的是，当市场参数不恒定时，如果贸易商使用CC解决方案，成本会增加。5.2一组使用固定参数T=10和β=β=δ=δ=1进行数值试验，以获得不同的σ、η、λ和δ值, 时间离散化t=1/100。问题的维数，在任意时间步长k∈ {0，1，…，1000}是2k，因为有两个随机过程驱动着这些参数。表2概述了使用200次模拟运行（即200条Ξ和∑的样本路径）进行不同参数值交易的成本，我们使用了不同的执行算法。这些百分比表明，与离散最优解相比，成本增加。建议3的影响在表中再次清晰可见：对于10阶的λ′σ/’η值-3或更小的theRHS和CC算法几乎一致。我们的RHMC-I和RHMC-II方法显著优于RHS方法，将离散最优解的额外成本减少到不到一半。两种方法的性能几乎相同。有趣的是，即使对于大于10阶的λ′σ/’η-3与协调变异情况相反，RHMC-I和RHMC-II方法的性能显著优于RHS方法。RHMC-I法的降幅仍在一半左右，而RHMC-II法目前显示的降幅不到额外成本的一半。5.3两个资产HSEC:2是一个使用固定参数T=10、\'σ=1/500、\'σ=3/1000、\'η=1/400、\'η=\'η=1/1000和βk=δk=1（k=1）进行的数值试验，5.驱动市场参数的布朗运动的相关矩阵固定为 =10 8 1 -6.-68 10 1 -6.-61 1 10 -1.-1.-6.-6.-1 10 7-6.-6.-1 7 10.实验以不同的x、η、ρ和λ值进行。

时间用步长离散t=1/100。问题的维数，在任意时间步长k∈ {0,1，…，1000}是5k，s inc ether五个随机过程驱动市场参数。表3显示了所有方法的成本以及我们的方法相对于RHS的改进。它还具有矩阵λΞ中最大的绝对值-1∑，表示该矩阵与零矩阵的接近程度。结果的第一眼显示了有趣的观察结果，即在所有考虑的情况下，RHMC-I和RHMC-II算法之间似乎几乎没有差异。当λΞ-1∑相当接近于零，即使用RHMC-i和RHMC-II方法的最优控制进行交易的额外成本约为RHSλΞ的三分之一-1∑小于10阶-6.对于λΞ-1∑10阶-4 RHMC-I和RHMC-II方法的性能仍然相似，在所有考虑的情况下，仍然显著优于RHS。在必须交易相反初始头寸的情况下尤其如此：在这种情况下，两种方法的共同头寸都比RHS减少了五分之一到六分之一。如前所述，似乎有证据表明提案N4可以扩展到多个资产，但也有证据表明，让λΞ-1Σ → 0n。还请注意，在某些情况下使用CC时，成本会大幅增加，与最佳解决方案相比，成本可能高达cos t的三倍。两个资产的结果同样非常令人满意（甚至比一个资产的情况更令人满意）。6结论与展望EC:EndiI在本文中，我们研究了inAlmgren[2012]模型多维扩展的静态解。

我们还介绍了ro-ling horiz on strategy（RHS）的一个新结果，RHS是在同一篇论文中构建的一个在动态市场中进行交易的近似方案。我们的目标是开发一种比RHS性能更好的方法，但比最优解更容易计算。这与滚动期蒙特卡罗方法（RHMC）有关，该方法通过平衡当前时间间隔内的交易成本与预计的未来交易成本来确定每个时间步的最佳交易率。在我们的案例中，使用（准）蒙特卡罗和次优交易策略（RHS（用于RHMC-I）和常数系数解决方案（用于HMC II）确定未来交易成本。由于Latter只考虑当前市场信息，而我们的方法使用当前信息以及对未来成本的预测，因此被认为比RHS的性能更好。该方案的优点是易于理解，无需求解高维偏微分方程（例如使用有限差分求解器时）或回归方程（使用单最小二乘蒙特卡罗时）。事实证明，使用我们的方法，我们可以将交易的额外成本降低到RHS的六分之一。此外，与RHS相比，当有多个资产需要交易时，我们的方法似乎更加一致，包括交易成本。例如，阿方斯等人[GatherIce等人[2012]也会很有意思[GatherIce等人[GatherIce等人[2012]也会很有意思。另一个有趣的扩展是在策略中加入定向下注，参见Almgren和Lorenz[2006]以及Eng-le和Ferstenberg[20 07]。

如果违反了小影响近似值，即交易成本的差异是否也取决于流动性和选择的交易费率，那么检查会发生什么，也会产生有趣的结果。附录：表参考Halfonsi2010Optimali A.Alfonsi、A.Schied和A.Fruth。O具有一般形状函数的限制订单簿中的最优执行策略。量化金融，10（2）：143-157，2010年。哈尔方西2009年命令A.阿方西、A.希德和A.斯林科。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：511–533，2012年。Halmgren2003I R.Almgren。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。《应用数学金融》，10（1）：1-18，2003年。Halmgren2012最佳i R.Almgren。具有随机流动性和波动性的最优交易。暹罗金融数学杂志，3（1）：163–181，2012年。Halmgren 2001最佳i R.Almgre n和n.Chriss。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。hAL2006i R.Almgren和J.Lorenz。具有每日周期的贝叶斯自适应交易。《交易杂志》，1（4）：38-462006。Hbertsimas 1998年，I D.Bertsimas和A.Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1（1）：1-501998。HBHATIA2001年，班纳里·巴蒂亚。线性代数到量子上同调：阿尔弗雷德·霍恩不等式的故事。《美国数学月刊》，108（4）：289-3182001。hboogert2008gasi A.B oogert和C.De Jong。使用蒙特卡罗方法评估天然气储量。《衍生期刊》，15（3）：81-982008。希斯利1987年普莱斯·D·伊斯利和M·奥哈拉。证券市场中的价格、交易规模和信息。《金融经济学杂志》，19（1）：69-901987。Heisler2012 Prici Z.Eisler、J.-P.Bouchaud和J.Kockelkoren。订单簿事件的价格影响：市场订单、限价订单和取消订单。