最优投资组合执行的蒙特卡罗方法

通过假设，该矩阵具有满秩，因此我们可以找到平方根C=B1/2，即C=B。现在引入y（t）=（x（t），x′（t）），然后我们得到一个具有常数系数y′（t）的一阶系统=0 InB 0|其中{x}或{x}是矩阵的基本解≥0Aktkk！。我们有=Bk/20 Bk/2！对于k=0，2，4，0b（k）-1） /2B（k+1）/2！对于k=1，3，5。现在使用cosh（A）=Pk≥0A2k/（2k）！sinh（A）=Pk≥0A2k+1/（2k+1）！，我们可以写，C=B1/2，ψ（t）=cosh（Ct）sinh（Ct）C-1sinh（Ct）C cosh（Ct）！，因此（11）的一般解是y（t）=ψ（t）c。写出c=（c，c），然后原始问题（8）的边界条件给出（x（0）=cosh（C0）c+sinh（C0）c-1c=xx（T）=c osh（CT）c+sinh（CT）c-1c=0，紧接着c=X和c=-C sinh（CT）-1科什（CT）x.这里是新罕布什尔州（CT）-1表示sinh（CT）的矩阵逆。因此（8）的解由x（t）给出=科什（Ct）- 新罕布什尔州-1科什（CT）x=sinh（C（T）- t） ）新罕布什尔州-1x，我们使用了sinh（CT）的事实-1具有cosh（CT）的Commutes，假设C具有满秩，而B具有满秩。通过使用泰勒级数forsinh（A）和cosh（A）以及A=CT=V∧V的特征值分解，这两个矩阵很容易互换-1，即cosh（A）sinh（A）-1=V cosh（λ）V-1V正弦（λ）-1V-1和对角矩阵sinh（λ）-1和cosh（λ）通勤。q、 e.d.上述结果是针对区间0得出的≤ T≤ Tt的明显变化≤ s≤ T给出，x（T）=xtgiven，x（s）=Ohm（s）- t、 t- t、 Ξ，∑xt和v（s）=Ohm′（s）- t、 t- t、 Ξ，∑）xt，（12）heq:cci其中asΞ（s）和Ohm（s） 我们通常会想到Ξ=Ξ（t）和∑=∑（t）。这将在以下方面发挥作用。这些策略不适应市场参数的变化，我们将用CC来表示，CC是常数系数的缩写。

对于n=1和n=2的情况，我们有以下两个推论。hcor:1Ai推论1。假设n=1，即一项资产只有交易，且η（t）=η且σ（t）=σ常数，则0的最佳交易轨迹为≤ T≤ T由x（T）=sinh（u（T）给出- t） sinh（ut）x和v（t）=-cosh（u（T）- t） sinh（ut）ux，其中u=λσ/η。hcor:2Ai推论2。当交易两种资产，即n=2，且Ξ（t）=Ξ和∑（t）=∑常数时，0的最佳交易轨迹≤ T≤ T由x（T）=θ给出- θs（t）- θs（t）θ（s（t）- s（t）s（t）- s（t）θs（t）- θs（t）！x、 （13）heq:optvcc2aaindv（t）=θ- θs′（t）- θs′（t）θ（s′（t）- s′（t））s′（t）- s′（t）θs′（t）- θs′（t）！x、 2λΞ在哪里-1Σ =公元前=2λη+ 2ηη+ η- 4ηησσρ(η+ η) - 2σησ(η+ η) - 2ρσσησ(η+ η) - 2ρσσησσρ(η+ η) - 2ση我们设定D=a+4bc- 2ad+dandα=a-d、 β=a+d，u=β-√D、 u=β+√D、 θ=α-√D2c，θ=α+√D2c，s（t）=sinh（u（t）- t） sinh（ut），s（t）=sinh（ut- t） ）sinh（ut），s′（t）=-ucosh（u（T- t） ）sinh（ut），s′（t）=-ucosh（u（T- t） ）新罕布什尔州（ut）。证据证明如下：将特征值分解为B=λΞ-1∑=V∧V-1，那么C=V∧1/2V-1和sinh（C（T- t） ）=vsinh∧1/2（t- t） ）V-1和新罕布什尔州（CT）-1=V sinh（λ1/2T）-1V-1.对于2×2矩阵，可以进行分析，得到给定的结果。q、 最后，我们有以下推论。hcor:CCi推论3。假设Ξ（s）=Ξ和∑（s）=∑在t上是常数≤ s≤ T用x（s）表示t的最佳交易策略≤ s≤ T使用（7）发现，假设s=T时的资产水平为bext。作为命题2的结果，[t，t]上的代价函数（5）是xt的t个元素中的二次多项式。证据

根据命题2，该策略的成本函数Ohm（s） =Ohm（s）- t、 t- t、 Ξ，∑）和Ohm′（s） =Ohm′（s）- t、 t- t、 Ξ，∑），由ZTT给出vT（s）Ξv（s）+λxT（s）∑x（s）ds=xTtZTtOhm′（s） ΞOhm′（s） +λOhm（s） T∑Ohm（s）ds！xt=xTtQ xtand是xt中的二次表达式之和，其系数是独立于xt的积分。因此，当假定常数Ξ和∑为初始资产位置x（t）中的二次多项式时，成本函数。q、 e.d.4动力学问题sec:dynprobic本节讨论更一般的情况，即Ξ（t）和∑（t）都随时间随机移动。在这种情况下，贝尔曼原理可以用于值函数（6），c（t，x，Ξ，∑）=minv（t）vT（t）Ξ（t）v（t）dt+λxT（t）∑（t）x（t）dt+Ec（t+dt，x+dx，Ξ+dΞ，∑+d∑）. （14） heq:OptProbi不幸的是，在一般情况下不可能找到问题的分析解决方案，必须使用数字技术。Inlamgren[2012]研究的一项资产在协调变化下的情况，简化为具有一个空间维度的PDE。使用标准技术可以有效地解决这个问题，并且在上述论文中使用了有限差分方案。增加资产数量和放弃协调变化条件会迅速导致一个多维问题，这对于有限差异技术来说是不切实际的（参见Alsologstaff和Schwartz[2001]）。4.1滚动地平线战略HSEC:Rhaith在Almgren[2012]中提出的所谓滚动ho rizon战略（RHS）提供了一种动态，但次优梯度策略不需要任何数值算法来计算。这个想法是在静态解中插入Ξ（t）和∑（t）的内在值，即（7）的解。从（12）我们可以写出RHS a v（t）下的瞬时交易率Ohm′（0，T- t、 Ξ（t），∑（t））x（t）。

因此，该算法假设当前市场参数在程序的剩余部分保持不变。当它们改变时，交易速度会使用新的值来改变。作者认为，只有在有限期内，并且只有当市场参数以适当的方式变化时（但没有具体说明如何变化），这种策略才是严格最优的。此外，它还声称提供了易于实现的合理近似。我们首先证明以下命题，即在什么条件下，RHS可化为静态解。提议3。考虑初始位置为x的n个资产的执行问题。如果λΞ-1Σ → 当矩阵为0nN×n时，RHS收敛到CC解。hprop:RHS2iProof。当λΞ-1Σ → 0n，常微分方程（8）的系统使s-tox′（t）=0，这导致解x（t）=x1.-tT,i、 例如，即使是当前的市场参数，交易也是线性独立的。因此，theRHS与静态解一致。q、 e.d.相反，以下命题（据我们所知，文献中尚未研究过）表明RHS何时变为最优，至少在n=1的情况下。提议4。假设n=1。那么对于λ′σ/’η→ ∞, 滚动视界逼近收敛到最优解的当且仅当βrδδ-ξ+δδβ-δδξ+βδ= 0. （15） heq：假设这个方程在协调变化下满足。hprop:RHSiProof。

n=1情况下的优化问题（6）可以写成asc（t，x，ξ，ξ）=minv（s），t≤s≤特泽特η（s）v（s）+λσ（s）x（s）ds。相应的HJB方程为isct-ξδcξ+β2δcξξ-ξδcξ+β2δcξ+ββ√Δδcξ+λ′σeξx+minvhcx+’ηeξvi=0。最低isv=-cxe-ξ2′η，表示c isct的偏微分方程-ξδcξ+β2δcξξ-ξδcξ+β2δcξ+ββ√Δδcξ+λ′σeξx-cxe-ξ4η= 0.价值函数c严格地与x成比例，这意味着我们可以使用δ作为时间尺度，τ=（T）进行无量纲化- t） /δ，c（t，x，ξ，ξ）=ηxδu（τ，ξ，ξ），其中u是无量纲变量的无量纲函数。偏微分方程变成τ+ξuξ+ΔΔξuξ- ¨δ+e-ξu-βuξ- rΔΔβuξξ-βuξ=0，其中¨u=λ¨σ/¨η。我们假设这个PDE有一个独特的解决方案。转换后的价值函数的交易速度为v=xδe-ξu（τ，ξ，ξ）。使用共滚动1，连续时间滚动地平线策略如下所示：- x′ueξ-ξcothueξ-ξ（T）- （t）,带¨u=λ¨σ/¨η。就u而言，这个给定su=-δ′ue2ξ-ξcothueξ-ξ（T）- （t）.将其填入PDE中，得到的公式为0=δδβ-βδ+ βpδδτe3ξ-ξcothueξ-ξδτ1.- 科思ueξ-ξδτu+-δδξτ - δ+ξδτ -βδτ - δ+3δ2δβ-βsΔΔτ！e2ξ1.- 科思ueξ-ξδτu+βsδδ-ξ+δδβ-δδξ+βδ!eξ+ξcothueξ-ξδτu.很明显，为了使这个方程在λ′σ/’η→ ∞, 我们需要βrδδ-ξ+δδβ-Δξ+βδ=0，正好是（15）。在协调变化下，δ=δ，β- 2β= 0,  = -1和ξ+2ξ=0，满足上述方程。q、 e.d.数值试验（其中一些将在第5.3节中显示）表明，λ′σ/’η不需要太大，以使求解的滚动水平变得（接近）最优。在多资产的情况下，情况并非如此。

第5节中的结果似乎表明，对于某些参数选择，RHS仍然可以成为最优的，但找到确切的条件超出了本文的范围。在本节的剩余部分中，我们将在离散化的时间框架中讨论RHS，这将在下一节中证明是有用的。如果我们将时间离散为（tk）k=0，。。。，M、 使用步长t、 从现在起，将使用符号xk=x（tk）和vk=v（tk）。假设我们在TKW的资产水平已知（即观察到的）和∑（tk）。我们需要确定区间[tk，tk+1]的交易速度，该区间将被视为常数，并用vk表示。为了确定vkw的最佳值，我们假设Ξ（tk）和∑（tk）在程序m[tk，T]的剩余部分上保持不变，并使用C解。事实上，通过使用（9），我们可以直接知道xk+1的最佳值，xk+1=Ohm（0，T- tk，∑（tk），Ξ（tk））xk=Ohmkxk这里是速记符号Ohmk=Ohm（0，T- 引入了∑（tk）、Ξ（tk））。交易率可以通过asvk=xk+1推导得出- xkt=(OhmK- In）xkt、 交易者将在下一个时间步重复这个过程。每一步都需要计算成本Ohmkand是矩阵向量积。如果我们假设计算的成本Ohmkto be O（n），例如，通过使用特征分解，那么这就决定了每一步的成本。因此，每一步的成本是O（n）。如果我们假设我们知道Ξ（tk）的所有值+l) 和∑（tk）+l) 然后我们可以将其传播为迭代方案，然后编写l > 1，xk+l= Ohmk+l-1···Ohmkxk=V（k，l, Ξ(·), Σ (·)) Ohmkxk=V（k，l, Ξ（·），∑（·））xk+1，（16）heq:xkli从xk+1到xk的传播在哪里+l, l ≥ 1，由v（k）给出，l, Ξ(·), Σ(·)) =l-1Ym=1Ohmk+l-m、 定义从xk+1到xk的传播矩阵的原因+l而不是从xkto到xk+l与RHMC方案有关，下文将对其进行描述。我们注意到v（k，l + 1, Ξ(·), Σ(·)) = Ohmk+lV（k，l, Ξ(·), Σ(·)).

（17） heq：算法1中给出了离散RHS方法的详细概述。以下命题确保了RHS格式的数值稳定性。提议5。RHS格式（16）在数值上是稳定的，即Ohmk=Ohm（0，T- tk、∑（tk）、Ξ（tk））为正，且由一表示所有tk∈ [0，T]。hprop：稳定性。从命题2我们知道Ohmk=Ohm（0，T- tk，∑（tk），Ξ（tk））=sinh（C（T）- t） ）新罕布什尔州-其中C是B=λΞ（tk）的平方根-1∑（tk）。为了便于注释，C和B对TKI的依赖性被抑制。在证明之后，对B=V∧V进行特征值分解-1，那么c=V∧1/2V-1和sinh（C（T- t） ）=V sinh（λ1/2（t）-t） ）V-1和新罕布什尔州（CT）-1=V sinh（λ1/2T）-1V-1.因此Ohmk=V sinh∧1/2（T- t） ）sinh（λ1/2T）-1V-1，这意味着Ohm因为sinh是（0）上的正且严格递增函数，∞). 因此，（17）中矩阵乘积V的特征值也是正的，且以1为界。由于时间步长k是任意的，所以所有时间步长的稳定性都成立，从而得出结论，RHS算法在[0，T]上是稳定的。q、 e.d.算法1用于优化资产执行的离散RHS。halg:RHSiFix一组M+1交易时间，长度相等t=t/M。时间tkobserveΞ（tk）和∑（tk）。计算xk+1=Ohmkxk。贸易xk+1- xkassets。4.2滚动时域蒙特卡罗方法SEC:MCiWe现在准备介绍我们的新方法：滚动时域蒙特卡罗（RHMC）方法。我们再次将时间离散为（tk）k=0，。。。，M、 使用步长t、 xk=x（tk）和vk=v（tk）。利用贝尔曼原理，在时间步长tkbecomesminvk处求解优化问题（14）vTkΞ（tk）vkt+λxTk∑（tk）xkt+E[c（xk+1，Ξ（tk+1），∑（tk+1））|xk，vk，Ξ（tk），∑（tk）],式中，c是从tk+1开始的总成本，假设使用了控制。

我们首先介绍了标准技术，以向后的方式解决这个问题。由于期望值取决于xk、vk、Ξ（tk）和∑（tk）的当前值，因此必须考虑这些条件参数的所有可能值。当使用蒙特卡罗时，在时间步长st，tM。然后，使用基本变量的幂或指数的多元回归来近似连续值，即优化问题中c的扩展值。然而，我们必须小心，因为变量xkis是内生的：它完全由控制vk决定。正如Booker t和De Jong[20 08]所述，我们注意到，持续价值仅取决于达到的资产水平，而不取决于之前的水平和选择的交易率。因此，我们可以对内生变量x进行离散化，并对ea ch水平进行单独回归，这仅取决于过程ξ。随着资产数量的增加，该方案仍然需要指数级增加的重新分配数量。因此，我们建议使用滚动水平蒙特卡罗方案，我们将展示该方案不需要内生变量的离散化，也不需要回归的us e。虽然之前的方法是向后操作的，但滚动时域蒙特卡罗算法我们提出了一种向前方案，使用次优控制近似连续值。作为一个主要优势，我们现在可以假设条件值xk、vk、Ξ（tk）和∑（tk）已知，我们只剩下对单个实验的评估。RHMC-I：使用RHS滚动地平线蒙特卡罗，直到结束假设我们在时间TKW，设定水平xkandΞ（tk）和∑（tk）已知（即观察到）。我们需要确定区间[tk，tk+1]内的交易速度，该区间将被视为常数，并用Vk表示。

我们将试图找到vk的最佳值，用v表示*k、 这使得成本c（tk，xk，Ξ（tk），∑（tk））=minv（s）tk最小化≤s<TE“ZTtkvT（s）Ξ（s）v（s）+λxT（s）∑（s）x（s）dsxk，Ξ（tk），∑（tk）#≈ 水貂+l0≤l<M-柯X0≤l<M-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+lTxk，Ξ（tk），∑（tk）= minvknvTkΞ（tk）vk+λxTk∑（tk）xkt+minvk+l1.≤l<M-柯X1≤l<M-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+lTxk+1，Ξ（tk），∑（tk）o、 在这一点上，我们不需要指出，期望值中的部分取决于通过xk+1的vk。Theidea现在通过生成Ξ（tk）的实例来使用蒙特卡罗来实现这个期望+l) 和∑（tk）+l), for1≤ l < M- k、 然后对这些采样值使用RHS方案。然后，我们可以将co stat写入未来的步骤k+l 使用（16）asvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+l= xTk+l\"OhmTk+l- 在里面tΞ（tk）+l)Ohmk+l- 在里面t+λ∑（tk）+l)#xk公司+l= xTk+1Qk，l（Ξ（·），∑（·））xk+1，其中qk，l（Ξ（·），∑（·））：=VT（k，l, Ξ(·), Σ(·))\"OhmTk+l- 在里面tΞ（tk）+l)Ohmk+l- 在里面t+λ∑（tk）+l)#V（k，l, Ξ(·), Σ(·)).（18） heq:Q˙RHMC1因此，未来的总交易成本由X1给出≤l<M-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+l= xTk+1Ak+1（Ξ（·），∑（·））xk+1其中K+1（Ξ（·），∑（·））：=X1≤l<M-kQk，l(Ξ(·), Σ(·)).最后，给出了预期的未来交易成本X1≤l<T-KvTk+lΞ（tk）+l)vk+l+ λxTk+l∑（tk）+l)xk+lxk+1，Ξ（tk），∑（tk）= xTk+1Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））xk+1，（19）heq:futurecostiwhere我们定义了Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））：=E[Ak+1（Ξω（·），∑ω（·））（tk），∑（tk）]，（20）heq:OverlineAit是矩阵Ak+1（ω（·），∑ω（·）的元素期望值。计算Ξ（tk）的特定实例的矩阵Ak+1（Ξ（·），∑（·））+l) 和∑（tk）+l), 一个人≤ l <M-k、 （M）成本-k） 5n）来自矩阵积，利用（17）。如果我们假设计算的成本Ohmkmatrix也是O（n），例如，通过使用特征分解，则Ak+1（Ξ（·），∑（·））的每一瞬间的成本是O（（M）- k） n）。

为了逼近这个期望值，我们使用了一种蒙特卡罗（或准蒙特卡罗）方法，用N s样本来逼近期望值Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））的成本为O（N（M- k） n）。（我们忽略了生成矩阵Ξ（i）（tk）的成本。）+l) 和∑（i）（tk）+l), 因为≤ l < M- k、 一,≤ 我≤ 因为我们假设这是N的二次型，也就是O（N（M）阶- k） n.）事实证明，找到最小值将花费O（n），见命题6。因此，交易者的costin步骤k是O（N（M）- k） n）。我们现在可以继续VK的极小化，去掉了VK的极小化定理m+l, 1.≤ l < M- k、 通过“平均”使用RHS模式，并使用RHS方法在xk+1（因此vk）方面的预期持续时间。实际上，可以直接在xk+1上最小化，而不需要计算vk。对于RHMC-I方案，我们现在来看MINVKNvTkΞ（tk）vk+λxTk∑（tk）xkt+xTk+1Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））xk+1to=xTkΞ（tk）t+λ∑（tk）Txk+minxk+1nTxTk+1Ξ（tk）xk+1- xTk+1Ξ（tk）xk- xTkΞ（tk）xk+1+ xTk+1Ak+1（Ξ（tk），∑（tk））xk+1到上面是xk+1中的一个二次多项式。提议6。在离散化的每个时间步中，给定采样矩阵Ak+1，存在唯一的最优位置xk+1，作为Ξ（tk）+Ak+1(（t）xk+1=Ξ（tk）xk。（21）heq:optControlihprop:optimalviProof。我们通过设置x=xk+1、Ξ=Ξ（tk）、A=Ak+1（Ξ（tk）、∑（tk）来减少最小化表达式中的符号过载。我们需要最小化函数f（x）=xTΞt+AT十、- （xTΞxk+xTkΞx）t、 将x的梯度设置为零，我们得到f（x）=2Ξt+AT十、-2Ξtxk=0，因此x是Ξ+A(（t）x=Ξxk，前提是存在唯一的最小值。这可以通过H（f）=2给出的Hes sianmatrix的正不确定性来检验Ξ t+AT.记住，Ξ是假设的正定义。