以外生价格交换整数商品

（7） 矩阵V∈ Rmn+m×nis也是块对角的：V=u（x）Tu（x）T。。。un（x）T. （8） 通过收集变量bx=[x|s] ,，按=[y|t] ,，bz=[zv|zs]和体重=[wv|ws]和每行操作，系统（4）可能会简化为bAbΘbATbX-1bZ I-（bU）-（bX）-1cW Ibx通过bz体重=brbrbrbr, （9） wherebA∈ R2（n+m）×（nm+n+m）定义为：bA=成人影片-我. （10） 和BZ∈ R（nm+n+m）×（nm+n+m），bX∈ R（nm+n+m）×（nm+n+m），连续波∈ R（nm+n+m）×（nm+n+m），bU∈ R（nm+n+m）×（nm+n+m）也通过连接（4）中相应的对角矩阵以及右项来定义：br=-（bU）-（bX）-1[r | r]，br=bX-1[r | r]，br=[r | r]-br+br，br=[r | r]。因此，变量zv，zs，wvand在解决了不确定的增广形式：“bAbΘbAT”后，可能会消除WSP#bx通过=brbr, （11） MatrixbΘ∈ R（nm+m+n）×（nm+m+n）isbΘ=ΘxΘs=Q- 十、-1Zv+（紫外）- 十） Wv-s-1Zs+（美国）- S） Ws, （12） Θx在哪里∈ R（nm+m）×（nm+m）和Θs∈ Rn×n.乘以-AΘ-最后一组等式并将其与第一组等式相加，我们得到待求解系统的系数矩阵，以进行计算伊斯巴布Θ蝙蝠=AΘxATAΘxVTΘxATVΘxVT- Θs=PΘxPTdPΘxPΘxUPΘnPTdnPΘxnPΘxn图德·普特。dnΘxnPTΘ+nXh=1dhΘxhdΘxUdnΘxn联合国图ΘxPTd图Θx图ΘxU- Θs。。。。。。。。。TunΘxnPTdn吞Θxn吞Θxn联合国- Θsn=BCCCTDDTCTDD,（13） 在哪里嗯=嗯（x）xhm。。。嗯（x）xhmh=1，n、 （14）因此，注意到牛顿方向的前n个分量是否与块角度约束Spi关联∈Cpixhi=Pi∈Cpiqhi，对于h=1，n，当s秒m分量与连接约束pH有关∈Axhi=Ph∈Avhi，对于i=1。

，m，我们定义y=[Yy] 这就是我们要解决的问题伊斯巴布Θ蝙蝠由=CCCTDDTCTDDYYT=ggg=br-巴布-1br，（15），这样我们就可以依次求解以下两个系统D- CTB-1CDT- CTB-1CD- CTB-1CD- CTB-1CYT=游戏打得好-CTCTB-1克,（16） By=G-科科斯群岛YT（17） 系统（17）是可直接解的，如B∈ Rn×nis对角线，因此主要的计算功能是求解（16）。然而，（16）的结构也可能被利用，方法是不使用D- CTB-1C∈ Rn×nis是一个对角矩阵，并在形式上重写（16）Θ+Pnh=1dhΥhdΥu1。dnΥn和图Υ图ΥU- Θs。。。。。。dn屯Υn屯Υn联合国- ΘsnYT=DΥCΥCTΥBΥYT=G- CTB-1克- CTB-1克,（18） 式中Υh=Θxh-ΘxhPTPΘxhPΘxhPT，h=1，n、 （19）通过消除t从（18）中的第一组方程中，我们得到（DΥ）- CTΥB-1ΥCΥ）y=gΥ（20a）BΥt=gΥ（20b），其中gΥ=g- CTB-1克- G- CTΥB-1Υ（g）- CTB-1g）和gΥ=g- CTB-1克-CΥy、 因为BΥ是对角的，t可以直接获得，因此求解（4）-大小为2（n+m）的系统-简化为更小的问题（20a）-大小为2.2的系统-基本再分配问题当使用不可分割的go ods和组合算法进行计算时，无法利用专门内点法的优良特性。本节的目的是考虑一个通用的易货方案，该方案不适用于离散和连续分配空间。在日常生活中，人们之间的物物交换过程往往通过一系列的再分配来实现问题（2）的帕累托前沿。我们考虑一个基于两个商品和两个代理再分配序列的过程，表示为SER。

这个序列的任何一个步骤都需要求解一个MINOP，它涉及问题（2）的4个变量和4个约束。设q是（2b）和（2c）的一个可行解，我们想要产生4个变量的一个可行变化，使得其中2个属于对角块h的第i个和第j个位置，另一个属于对角块k的第i个和第j个位置。可以很容易地证明这4个变量qhi+的任何有效变化的一个可行条件嗨，qki+ki，qhj+hj，qkj+基斯你好基，hj，kj必须是下列方程组的整数解pipj0 00 0 pipjdh0 dk0 dh0 dk你好hj基千焦=. （21）解集是系统（21）矩阵零空间中的整数点，将被命名为A。A是一个双代理双商品约束矩阵，其秩为thr ee（第一列的第一个注释是其他三个的线性组合，使用系数α=pipj，α=dhdk和α=-pidhpjdk）。因此，空空间的维数为1，它的整数解可以在线上找到你好hj基千焦= Wpjdk-皮克-pjdhpidh, （22）对于某些w=αF（pi，pj，dk，dh），其中α∈ Z和F:Q→ Q提供了一个将零空间方向转换为最小范数的非零整数零空间方向的因子。我们注意到，这个系数可以计算为F（pi，pj，dk，dh）=G（pjdk，pidk，pjdh，pidh），其中G（vi=riwi，i=1，…，l）=lcm（wi，i=1，…，l）gcd（lcm（wi，i=1，…，l）·vi，i=1。

，l），（23）ria和wi分别是vi（如果via是整数，wi=1）的分子和den-ominator，lcmand和gcd分别是最小公倍数和最大公因子函数。因此，给定一个可行点q，可以选择4个变量，其中2个属于对角块h的第i个和第j个位置，其他的属于对角块k的第i个和第j个位置，单位为m（m- 1） n（n）- 1） /4路。它们构成了一个ERP，其帕累托前沿在q+null（A）中。SER是一种局部搜索，它反复探索一个社区，并在m（m）中选择一个lo Cally改善方向- 1） n（n）- 1） /4可能的ERP和可行的步长q=αF（pi，pj，dk，dh），α∈ Z.对于（2）形式的问题，SER可以写为：xt+1=xt+αF（pi，pj，dk，dh）...pjdk。。。-皮克。。。-pjdh。。。皮德。。。...h、 我。。。h、 j。。。k、 我。。。k、 j.=xt+αF（pi，pj，dk，dh）khij，（24）t是迭代计数器。在sh-orter表示法中，我们将（24）写成xt+1=xt+αSkhij，其中Skhij=F（pi，pj，dk，dh）khij（25）是整数分量的方向。既然x的非负性必须在迭代过程中保持，那么我们就有了-（pi，pj，dk，dh）的maxnxi/（pjdk），xkj/（pidh）≤ α ≤minnxhj/（pidk），xki/（pjdh）oF（pi，pj，dk，dh），（26）或，等效地，- maxnxi/（pjdk），xkj/（pidh）o≤ W≤ minnxhj/（pidk），xki/（pjdh）o。

（27）（当方向是可行的和下降方向时，步长被强制为非负；在我们的例子中，该方向仅已知是可行的，然后还考虑了负步长。）初等再分配的一个重要性质是英国（x）xki:Rmn→ R是（i）非递增，（ii）非负和（iii）英国（x）xji=0对于j 6=k（即，在xk上只有d个端点），这是对用户实用程序非常合理的要求，那么uk（x+αSkhij）是关于α的单峰函数，如下一个命题所示。提议2。在ukand Skhij的定义下，对于e非常可行的点x∈ Rmn，uk（x+αSkhij）是（26）定义的区间内关于α的单峰函数。证据让我们定义g（α）=uk（x+αSkhij），与α不同。可以看出，对于区间（26）中的所有α，0<τ∈ R、 g′（α）<0意味着g′（α+τ）<0，这是g（α）单峰的一个有效条件。根据链式法则，使用（24）和（25），g（α）的导数可以写成g′（α）=xuk（x+αSkhij）Skhij=F（pi，pj，dk，dh）英国（x+αSkhij）xki(-pjdh）+英国（x+αSkhij）xkjpidh！。（28）如果g′（α）<0，那么从（28）开始，由于F（pi，pj，dk，dh）>0，我们得到了英国（x+αSkhij）xkipjdh>英国（x+αSkhij）xkjpidh。（29）从（24）开始，Skhijis F（π，pj，dk，dh）的组分（k，i）(-pjdh）<0，以及英国（x）xki是非递增的，对于τ>0，我们有uk（x+（α+τ）Skhij）xki≥英国（x+αSkhij）xki。（30）同样地，由于Skhijis F（pi，pj，dk，dh）（pidh）的成分（k，j）大于0，我们有英国（x+αSkhij）xkj≥uk（x+（α+τ）Skhij）xkj。

（31）将（30）和（31）的两边分别乘以Pjd和pidh，并将所得的不等式与（29）联系起来，我们得到了uk（x+（α+τ）Skhij）xkipjdh>uk（x+（α+τ）Skhij）xkjpidh，它证明了g′（α+τ）<0。利用命题2和（21）的整数解空间的特征，我们能够基于u（x+αSkhij）的行为（见下面的推论1）推导出ERP的帕累托前沿的闭合表达式，如本例中的n所示：图1：g（α）和g（α）的图，以及与帕累托前沿相关的αa的区间。分歧点对应于当前迭代中的实用程序g（0）和g（0）。例1。考虑以下带有初始捐赠的ERP[40188142,66]。麦克斯[2]- E-0.051x- E-0.011x，2- E-0.1x- E-0.031x]s.到5x+10x=20805x+10x=13705x+6x=10525x+6x=13362- E-0.05倍- E-0.01x≥ 1.682- E-0.1x- E-0.031x≥ 1.50xij≥ 0∈ Z i=1,2；j=1,2；（32）效用函数g（α）=u（x+αS）和g（α）=u（x+αS）是g（α）=u（x+αS）=u+ α-6.-10= 2.- E-0.051(40+12α)- E-0.011(188-6α）g（α）=u（x+αS）=u+ α-6.-10= 2.- E-0.1(142-10α)- E-0.031（66+5α），如图1所示。两个代理的连续最佳步长分别为argmax g（α）=3.33和argmax g（α）=8.94。由于uk（x+αShkij）的模性，（32）的所有有效解都由整数步长α给出∈ [3.33,8.94]（见图。

1） ，即α∈ 我们有g（4）=1.82412g（5）=1.81803g（6）=1.80882g（7）=1.79752g（8）=1.78465，g（4）=1.93043g（5）=1.94035g（7）=1.95558g（8）=1.96057。由于关于α的两个效用函数都是单峰的，因此对于段外的α，不存在有效解[3.3,8.94]。上述示例说明了一种情况，其中argmax uh（x+αSkhij）和argmax uk（x+Skhij）之间的段包含五个整数点，与可行步长相关。下面的陈述分别给出了凹效用函数和线性效用函数情况下ERP帕累托前沿的构造性特征。推论1。设Γ为区间[adown，aup]中的整数点集，其中down=min{argmaxαuk（x+αSkhij），argmaxαuh（x+αSkhij）}和aup=max{argmaxαuk（x+αSkhij），argmaxαuh（x+αSkhij）}，且[αdown，αup]为（26）中定义的可行步长区间。然后，由于命题2，集合V*ERP的有效解决方案如下：*= {[uh（x+αSkhij），uk（x+αSkhij）]：α∈ Γ}如果Γ不为空且不包含零。二、如果Γ为空，并且在0和adown之间存在一个整数点，但在aupandαupthen V之间没有整数点*包含[uh（x+αSkhij，uk（x+αSkhij）]给出的唯一点，因此α是0和adown之间的最大整数。iii.如果Γ为空，且在aupandαupp之间存在一个整数点，但在0和adown之间没有整数点，则V*包含[uh（x+αSkhij，uk（x+αSkhij）]所赋予的唯一点g，使得α是aupandαup之间的最小整数，或者α=0，或者如果它们不相互支配，则两者都包含。

（在这种情况下，必须检查这三种可能性，因为如果只有一种效用s，例如-uh（x）>uh（x+’αSkhij），’α是aupandαup之间的最小整数，那么值0和‘α都是帕累托函数。）iv.如果Γ是空的，并且在aupandαup和0与adownv之间都有整数点，那么V*包含[uh（x+αSkhij，uk（x+αSkhij）]所赋予的点，其中α要么是AU和αup之间的最小整数，要么是0和adown之间的最大整数，或者如果它们不相互支配，则两个点都是。v、 在Γ包含零的情况下，则没有点支配初始禀赋x，因此帕累托f前沿中的唯一点是x。推论2。考虑一个经济体的情况，其中代理具有梯度为c的线性效用函数，Cn再次设Γ为区间[adown，aup]中的整数点集，其中adown=min{argmaxαckSkhij，argmaxαchSkhij}和aup=max{argmaxαckSkhij，argmaxαchSkhij}，且[αdown，αup]为（26）中定义的可行步长区间。很容易看出Γ=Q或Γ=. ThesetΓ=案例中的Q（chipjdk- chjpidk）和（ckjpidh）- ckipjdh）有相反的叹息，而Γ= 如果（chipjdk- chjpidk）和（ckjpidh）- ckipjdh）具有相同的符号。然后，由于命题2，集合V*一个ERP的帕累托有效解决方案最多可以包含一点：。

如果之间至少有一个非空整数- max{xhi/（pjdk），xkj/（pidh）}/F（pi，pj，dk，dh）和min{xhj/（pidk），xki/（pjdh）}/F（pi，pj，dk，dh）和Γ=, 然后V*仅包含与步长α的分配xt+1=xt+αskhijj相对应的唯一点，该步长α等于- max{xhi/（pjdk），xkj/（pidh）}/F（pi，pj，dk，dh）（如果（chipjdk-chjpidk）和（ckjpidh-ckipjdh）为负）或等于min{xhj/（pidk），xki/（pjdh）}/F（pi，pj，dk，dh）（如果（chipjdk-chjpidk）和（ckjpidh-ckipjdh）为正）。二、五、*只包含相反情况下的分歧点。对序列中任何ERP的帕累托函数进行表征，不仅可以提高模拟过程的效率，还可以测量每个m（m）的非支配禀赋的数量- 1） n（n）- 1） /4 ERPs，可用于测量过程的不确定性。事实上，这种易货过程的不确定性可能来自不同的方面：i）如何在每个步骤中选择代理和商品的组合？ii）每个ERP的哪个帕累托有效解决方案用于更新系统的配置？在下一小节中，我们将研究回答前两个问题的不同标准。请注意，由localsearch运动（24）获得的ERP非主导解决方案集可能会导致供需失衡，正如eze博士[12]在持续案例中所述。为了解决这种不平衡，德雷兹引入了定量配给，这也可以扩展到ERP。考虑ER P作为一对向量l的配给方案∈ Zm∈ Zm和L≥ 0≥ l、 因此，t手（t+1）验证了≤ xt+1i- xti≤ 李，因为i=1，n、 其中Lian和Liar分别是l和l的组成部分。

因此，对于两个给定的代理人h和k，以及两个给定的商品i和j，我们有≤ αF（pi，pj，dk，dh）...pjdk。。。-pjdh。。。≤ 李，lj≤ αF（pi，pj，dk，dh）...-皮克。。。皮德。。。≤ Lj，（33）Nasini等人[21]没有研究的一个开放问题是该配给方案平衡条件的计算。一种可能性可能是为l和l构建两个区间，在每个ERP中验证（33）的条件下，只要l和l在检查区间内，将总体失衡最小化。分配空间∧的完整性禁止直接将Dreze[12]提出的均衡标准应用于我们在本研究中考虑的市场。2.3运动方向：谁交换什么？（21）中形式化的基本再分配序列需要对代理对（h，k）和商品对（i，j）进行迭代选择，即m（m）之间的移动方向- 1） n（n）- 1） /4在当前解决方案附近。如果这一选择是基于福利函数（总结所有代理人的效用函数），那么代理人和商品的选择主要可以通过两种不同的方式进行：第一种改进和第二种改进的运动方向。最好的改进方向需要对周围环境进行彻底的探索。注意到当前社区中的每个运动方向构成了一个特定的ERP，福利标准可能是每个基本实际位置的不确定性，如前一小节所述，通过ERP的帕累托边界上的点数来测量。通常的福利标准是目标向量的范数（例如，欧几里德、Lor L∞规范）。