以外生价格交换整数商品

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英文标题：
《Bartering integer commodities with exogenous prices》
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作者：
Stefano Nasini, Jordi Castro, Pau Fonseca i Casas
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The analysis of markets with indivisible goods and fixed exogenous prices has played an important role in economic models, especially in relation to wage rigidity and unemployment. This research report provides a mathematical and computational details associated to the mathematical programming based approaches proposed by Nasini et al. (accepted 2014) to study pure exchange economies where discrete amounts of commodities are exchanged at fixed prices. Barter processes, consisting in sequences of elementary reallocations of couple of commodities among couples of agents, are formalized as local searches converging to equilibrium allocations. A direct application of the analyzed processes in the context of computational economics is provided, along with a Java implementation of the approaches described in this research report.
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中文摘要：
对具有不可分割商品和固定外生价格的市场的分析在经济模型中发挥了重要作用，尤其是在工资刚性和失业方面。本研究报告提供了与Nasini等人（2014年接受）提出的基于数学规划的方法相关的数学和计算细节，以研究以固定价格交换离散数量商品的纯交换经济。易货过程是由一对代理人之间一对商品的基本再分配序列组成的，形式化为局部搜索收敛到均衡分配。本文提供了计算经济学背景下分析过程的直接应用，以及本研究报告中描述的方法的Java实现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory        计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Bartering_integer_commodities_with_exogenous_prices.pdf (742.65 KB)

2022-5-5 10:21:23 上传

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关键词：Applications Mathematical Quantitative Optimization unemployment

以外生价格交换整数商品Tefano Nasini Jordi Castro Pau Fonseca i CasasDept。2015年1月10日，加泰罗尼亚政治经济大学统计与运营研究所摘要对具有不可分割商品和固定外生价格的市场的分析在经济模型中发挥了重要作用，尤其是在工资刚性和失业方面。本研究报告提供了与Nasini等人[21]提出的基于数学编程的方法相关的数学和计算细节，以研究以固定价格交换离散数量商品的纯交换经济学。以物易物的过程是一对代理人之间的一对商品的基本再分配序列，它被形式化为收敛于均衡分配的局部搜索。本文提供了计算经济学背景下分析过程的直接应用，以及本研究报告中所述方法的Java实现。关键词：微观控制理论，组合优化，多目标优化，多智能体系统。1简介讨价还价问题涉及一组自利代理人之间的固定数量分配。讨价还价问题的特征要素是，在许多地点可能同时适用于所有代理人。定义1。让V Rnbe是n个代理讨价还价问题的分配空间。V中的点可以通过以下方式进行比较：*∈ V严格控制V∈ 如果V的每个组成部分*不小于v的相应分量，且至少有一个分量严格大于，即vi≤ 五、*i对于每个i和vi<v*如果有些i.这写的是v 五、*.

然后，帕累托前沿是V的一组点，这些点并不严格受其他点支配。从经济理论[16,13]一开始，讨价还价问题就被普遍用作研究排他性和竞争性商品市场的基本数学框架，长期以来的研究侧重于确定唯一分配、满足代理人利益的行为方法（详情见纳什[20]和鲁宾斯·泰因[25]）。最近，越来越多的人关注分配数量不完全可行的情况。自Shapley和Shubik[28]以来，就已经指出了与这些市场相关的技术困难，他们描述了市场的均衡，其中每个代理最多可以消费一个不可分割的od。此后，许多作者一直在研究不可分割的go ods市场（例如，见Kaneko[17]、Quinzii[24]、Scarf[27]和最新的文献，如Danilov等人[11]、C ap lin和Leahy[8]）。主要重点是解决在不完全可分割的所有地点的情况下存在市场清算价格的问题。讨价还价问题家族的另一个子类与具有固定价格的市场有关（详情请参见Dreze[12]和Auman and Dreze[3]），它们在maroeconomic模型中发挥了重要作用，尤其是在与工资刚性和失业相关的模型中。eze博士[12]将价格刚性描述为对个别价格的不平等约束。Vazirani等人[30]和Ozlen、Azizoglu和Burton[23]最近研究了有效算法，以发现与不完全可分割商品和固定外生价格相关的讨价还价问题的非支配帕累托分配。

我们的目标是提供新的基于数学规划的方法来分析易货过程，经济机构在日常生活中通常使用易货过程来解决与不完全可分割商品和固定外生价格的n-消费者-m-商品市场相关的讨价还价问题。这些p过程基于两种商品在两个代理之间的基本再分配（ER），从m（m）中依次选择- 1） n（n）- 1） /4可能的组合。在固定价格下，市场并不明朗，供需之间的不平衡通过某种数量配给来解决[12]。在外分析中，这种定量配给在过程中是隐含的，没有明确考虑。基于这种多智能体方法，可以模拟许多经济系统[32]，我们将在第5节所示的计算应用中看到这一点。第2节说明了分配空间的基本属性。第3节提供了一个通用的数学规划公式，并导出了基本再分配问题（ERP）帕累托前沿的解析表达式。结果表明，在具有外生价格的整数分配空间中，元素再分配（SER）（主体在交互过程中执行的ERP）的顺序遵循局部搜索的算法步骤。第4节介绍了网络结构限制代理交互仅在相邻代理之间进行的情况。在第5节中，这些易货过程的性能与全局优化算法（分支和切割）的性能进行了比较。本研究报告中的大部分结果都是由Nasini等人研究的。

[21].2具有固定价格的整数分配空间经济的主要特征是：n个代理的集合、m种商品的集合、商品空间X（通常用Rm中的非负正交表示）、初始捐赠qij∈ X代表我∈ A、 j∈ C（代表每个代理拥有的商品初始数量的预算），一种偏好关系离子X foreach试剂i∈ A.Arrow和Debreu[2]表明，如果集合{（x，y）∈ X×X:Xiy}相对于X×X是闭合的。偏好关系可以用实值函数ui:X 7来表示-→ R、 这样，对于属于X的每个a和b，ui（a）6 ui（b）当且仅当a b、 当代理试图同时最大化其各自的效用时，以平衡约束为条件，由此产生的问题是max ui（x）s.toPi∈Axij=Pi∈AQIJJ∈ C、 xij在哪里∈ 十、 是代理人i要求的商品数量j（从现在起，上级应通知代理人，下级应表示商品）。Arrow和Debreu[2]指出，在某些经济条件下（凸偏好、完全竞争和需求依赖），价格必须有一个向量sbp=（bp，bp，bp，…，bpm）T，这样总供给将等于经济中每种商品的总需求。正如德雷兹[12]所研究的那样，当价格被视为固定价格时，市场并不明朗，供需之间的不平衡通过某种量化来解决。n-消费者-m-商品市场与固定价格相关的线性约束系统呈现出秩为m+n的块角结构- 1:嗯。pmpp。下午。。。嗯。pmI I。我x=pq+…+pmqmpq+…+pmqm。。。pqn+…+pmqnmq+…+qn, （1） 其中p，P是商品之间的相对价格，qi=（qi，…，qim）T和x=（x，…，xm，…，xn，…，xnm）T。

（1）的约束矩阵也可以写为我 P1 我, 其中P=（P，P，P，…，pm）和 是两个矩阵之间的克罗内克积。注：联系约束（即商品保护）（1 一） x=q+…+qn）由代理之间的网络流量平衡方程暗示。这一事实将在第5节中进行分析，我们在此介绍与流量相关的成本。所有可行的分配都在a（m+n）中- 1） 由价格定义的维度超平面（总是包含至少一个解，由初始禀赋向量q表示），并且仅限于代理是理性的事实：ui（x）≥ ui（q），对我来说∈ 下面的命题1表明，（1）的非负解数的上界的渐近逼近为O（n（mb）bm，其中b是每种商品的平均数量，即b=Pmj=1（Pnh=1vhj）m命题1。设∧为（1）的非负解集，即n个代理商之间以固定价格谈判m个商品整数数量的问题的分配空间。如果分配空间满足温和条件bj=Pnh=1vhj≥ nand bj∈ O（n），j=1，m（其中bj是系统中商品j的总量），然后∧|∈ O（n（mb）bm）。证据（1）的非负解集是有界集并的子集，如∧Smj=1{（xj…xnj）∈ Rn:xj+…+xnj=vj+…+vnj；xj。xnj≥ 0}. 因此，∧是一个有限集，因为它是Z和Rmn的有界子集之间的交集。设∧′为（1）的非负解集，不考虑价格约束，即n个对角块pxh+pxh+…+pmxhm=pvh+pvh+…+pmvhm，因为H=1，n、 我们知道∧′|≥ |Λ|.

然而，∧′|可以很容易地计算出来，因为具有酉系数的m个独立丢番图方程的解的个数。任意形式的方程的非负整数解的个数pnh=1xhj=bj，j=1，m、 可以看作是MBOX中BJBall分布的数量：（n+bj）-1)!（n）-1)! 北京！。因为我们有m个这种形式的独立丢番图方程，所以所有方程的可能解的数目是qmj=1（n+bj）-1)!（n）-1)! 北京！。因此，我们知道∧|≤Qmj=1（n+bj）-1） （n+bj）-2)...nbj！≤Qmj=1（n+bj）-1） BJ！≤Qmj=1（n+bj）-1） bjbm，因为bj≥ N≥ 2.自从北京∈ O（n）我们有qmj=1（n+bj）-1） bjbm∈O（n（mb）bm）。因此，|∧|∈ O（n（mb）bm）。（1）的非负解集代表了与具有固定价格的市场相关的分配空间，其中要分配的数量不是完全不可分割的。Shapley和Shubik[28]指出了与这些市场相关的技术困难，他们描述了市场的均衡，每个消费者最多只能消费一种不可分割的商品。在他们之后，许多作者一直在研究不可分割商品的市场（见f或示例，Kaneko[17]、Quinzii[24]、Scarf[27]，以及Danilov等人[11]、Caplin和Leahy[8]等最新文献）。主要重点是解决在不完全可分割分配的情况下存在市场清算价格的问题。讨价还价问题家族的另一个子类与具有固定价格的市场有关（详情请参见Dreze[12]和Auman and Dreze[3]），它们在maroeconomic模型中发挥了重要作用，尤其是在与工资刚性和失业相关的模型中。在固定价格下，市场不明确，供需之间的不平衡通过某种定量配给来解决[12]。

这种定量配给在分析过程中是隐含的，没有明确考虑。现在，我们在一个通用数学规划框架下，设置了在代理商之间以固定价格讨价还价m种商品的整数数量的问题。AIM是基于元素实离子序列在分配空间中构造局部搜索。如前所述，表征可能分配空间的线性系统为（1）。这里，商品守恒（即每种商品的总数量必须保持不变）被推广到包括（1）最后m行中的任意权重。基于这一观察考虑，Nasini等人[21]提出了以下多目标整数非线性优化问题（MINOP）：max[ui（x），i=1，…，n]（2a）s.to嗯。。。PdI数据。dnIx=bb。。。bnb（2b）ui（x）≥ ui（q）i=1，nx∈ Zmn≥ 0，（2c）其中ui:Rmn→ R、 P∈ Q1×m，di∈ Q、 毕∈ Q、 i=1，n、 b∈ Qm。条件ui（x）≥ ui（q），i=1，n、 在一般文献中，这一点被称为“真正的不一致”，这是最糟糕的。该约束矩阵具有一个局部块角结构，其中n个相同的局部块包含gm决策变量。问题（1）是（2）对于di=1，i=1，n、 从多目标优化的角度来看，生成（2）的帕累托前沿的合适技术是ε-约束法，该方法基于将除一个目标外的所有目标转化为约束。通过改变这些约束的下界，理论上可以产生精确的帕累托前沿。这种多目标优化技术由Haimes、Lasd on和Wismert[15]提出。

最近，Vazirani等人[30]和Ozlen、Azizoglu和Burton[22,23]研究了有效算法，以发现与不完全可分割商品和固定外生价格市场相关的谈判问题的非支配帕累托分配，他们开发了一种生成所有非支配目标向量的通用方法，通过使用目标较少的问题递归地确定单个目标的上界。2.1固定价格市场的特殊内点法我们在本节中介绍了一种特殊内点法，以处理（2）的持续松弛，只要效用函数uh（x），对于h=1，n、 是凹的。该方法基于Castro[？，？]提出的b锁角线性图的特殊点算法。考虑问题（2）的修正版本，其中链接约束以不等式的形式放松：[dI…dnI]x+x=b，其中0≤ 十、≤ 紫外线和0≤ 十、≤ 我们完整性约束被放松，因此x∈ Rmn≥ 0，多目标效用函数替换为聚合效用：Pnh=1αhuh（x），其中α，α是正权重。（uh）与点相关的等式（uh）与点相关的等式（uh）与点相关的等式（uh）与点相关的不等式- 呃（q）- sh=0，对于h=1，n、 其中0≤ s≤ usare s缺少变量，对于h=1。N我们称之为（2）固定价格连续分配问题（MCAPFP）的修正版本。请注意，当uvgo es为零，usgo es为完整时，MCAPFP的x解与（1）的非负s解的连续松弛过程中pPNH=1αhuh（x）的最大值一致。如果我们∈ Qn+m×mn+mbe与MCAPFP相关的系数矩阵，由此产生的uKKT条件[？]是：Ax=b，呃（x）- 呃（q）- sh=0 h=1。

，n，ATy+zv- wv+nXh=1次嗯（x）=nXh=1αh嗯（x）T es+Z- ws=0XZvev=uev（U）- 十） Wvev=uev，SZSE=ues（U- S） Wses=ues，（3）其中ev∈ Rnm+mand es∈ 是一个一的载体；Y∈ Rm+nand zv，wv∈Rnm+m+∪{0}是Ax=b和x的拉格朗日乘数（或双变量）≥ 0，x≤ 分别为紫外线；类似地，t=[t…tn]t∈ Rn是uh（x）的拉格朗日乘数的向量- 呃（q）+sh=0，对于h=1，n和zs，ws∈ R2n+∪{0}是拉格朗日函数≥ 0，s≤ 分别是u。原始变量必须在区间0<x<uv，0<s<us，0<x<uv内。矩阵X，Zv，Uv，Wv∈ R（nm+m）×（nm+m）是由向量x，zv，uv，wv组成的对角矩阵；矩阵S、T、Zs、Us、Ws∈ Rn×nare由向量s，t，zs，us，ws组成的对角矩阵。矩阵T∈ Rn×nis对角线，分量为t，将牛顿法应用于（3）并在每次迭代时减小势垒参数u，我们得到（3）的x解收敛于MCAPFP的最优分配。牛顿方向(十、sYTzv，zs，wv，ws）是通过在每次迭代中求解以下s y干得到的。成人影片-智商ATVTI-I-IZvXZsS-WvUv- 十、-WsUs- s十、sYTzvzswvws=rrrrrrrrrrrr（4） 其中，右h和d项定义为asr=Ax- br=u（x）- u（q）- s联合国（x）- 联合国（q）- 锡r=ATy+z- W-nXh=1（第- αh）u（x）r=TES+zs- wsr=XZvev- uevr=XZses- uesr=（紫外线）- 十） Wvev- uevr=（美国）- 十） Wses- 是的。（5） 在这样的假设下嗯（x）xki=0表示h6=k（即，uh仅取决于xh），这对用户实用程序来说是相当合理的要求，那么矩阵Q（x）的结果是块对角的：Q（x）=Q（x）Q（x）。。。Qn（x）, （6） 其中，对于每个代理h=1，n和每对商品i，j=1，m、 我们有Qh（x）∈ Rm×m定义为：Qhij（x）=（th- αh）嗯（x）xhjxhi。