以外生价格交换整数商品

此外，平均边际替代率可以代表一个选择运动方向的有趣标准，因为高边际替代率表明偏好和内禀之间存在某种不匹配。如果在迭代t中存在改进方向，则根据所选ERP的解决方案更新相应的资源：对于每对商品（i，j）和每对代理（h，k），代理k向代理h给出i的αF（pi，pj，dk，dh）pjdkunits，而对于某些α，他/她得到j的αF（pi，pj，dk，dh）pidkunits∈ Z.根据定义的标准，考虑商品和代理商的第二个耦合t+1。如果我们使用第一个改进标准，当捐赠在m（m）期间持续保持现状时，过程停止- 1） n（n）- 1） /4探索，即当前社区没有改进方向。2.4线性效用在微观经济理论中，效用函数很少是线性的，然而，从优化的角度来看，线性目标的情况似乎特别合适，并允许显著减少操作，因为ERP不能有更高的帕累托效率（见推论1）。考虑给定的运动方向Skhij。我们知道可行步长α属于（26）定义的区间。因为在一个线性目标的情况下，梯度是恒定的，对于任何运动方向（i，j，k，h），最好的帕累托改进（如果存在）必须在α的可行范围的端点处（当运动方向为（i，j，k，h）时，让α下降（i，j，k，h）和α上升（i，j，k，h）表示α的可行范围的左和右端点）。因此，直线搜索减少以确定α向下（i，j，k，h）、α向上（i，j，k，h）或两者中的任何一个。

对于每个给定的点x，我们有一个最多为m（m）的邻域- 1） n（n）- 1） /2候选人解决方案。尽管SER背后的思想是自利代理之间的一个过程，这是由定义的局部优化器实现的，但该算法也可以应用于任何具有一个线性目标的整数线性规划问题：u（x）=cTx。然而，在这种情况下，分支和切割算法即使对于大型实例也更有效，我们将在下一节中展示。如果采用第一种改进方法，则在探索邻域时需要商品和代理人的顺序，并且均衡分配可能会受到该顺序的高度影响（路径依赖）。算法1 d的伪代码描述了应用于一个线性目标函数的易货算法的首次改进搜索。注意，如果不考虑非负性约束，问题（2）对于线性效用函数是无界的。这与一个事实相一致，即如果你降低债务，这个问题的线性版本将使人们最终陷入债务。因此，当目标函数为线性时，唯一可能的停止标准是非负性约束的函数，即给定点x是一个最终值（过程的平衡），如果我们对任何运动方向都有，对于任何给定的整数α，如果cT（x+αSkhij）>cTx，那么x+αSkhij是一个负分量。从某种意义上说，最优性条件现在只基于可行性。2.5 SER的最终分配和收敛对于连续商品空间和外生价格的情况，两两最优意味着全局最优，只要所有代理最初被赋予某种商品的正数量[14]。不幸的是，本文中描述的情况并不一定会导致帕累托效应。

让Tx（α）=x+Pk6=hPi6=jα（i，j，k，h）Skhij，表示m的同时再分配算法1首先用线性效用函数1改善SER：初始化捐赠E=<E，和实用程序U=<U，un>.2：设t=0；3：设（i，j，k，h）为方向顺序集中的TTH方向；4：如果cT（x+αdown（i，j，k，h）Skhij）>cT（x+αup（i，j，k，h）Skhij）和cT（x+αdown（i，j，k，h）Skhij）>cT（x），那么5：更新现任x=x+αdown（i，j，k，h）Skhijand GOTO 3；6：否则如果cT（x+αup（i，j，k，h）Skhij）>cT（x+αdown（i，j，k，h）Skhij）和cT（x+αup（i，j，k，h）Skhij）>cT（x），那么7：更新当前的x=x+αup（i，j，k，h）Skhij）并转到3；8:else9:t=t+1；10：如果t<m（m- 1） n（n）- 1） 然后11:GOTO 4；12:else13:RETURN14:end if15:end ifmodities in n个试剂，每对商品ij和试剂hk的步长αkhij，从x开始∈ Λ. 虽然SER需要在整个过程中保持可行性，但n个代理之间m个商品的同时重新定位Tx（α）并不考虑从X到Tx（α）的路径上的特定路径和任何可行性条件。因此，请记住，当当前邻域中不存在改进的基本再分配时，本节中描述的所有问题都会停止，我们可以得出结论，可行再分配的不存在并不意味着m种商品在n个代理之间同时再分配的不存在。从这个意义上讲，SER一次提供了两种以上商品和两种代理的任何重新分配序列的下限。考虑李雅普诺夫函数U（t）=Pni=1ui（x（t）），将实值关联到分配空间中的每个点[29]。

随着U（t）沿SER（24）单调增加，分配空间为有限集，则limt→∞U（t）=U*.可以提供u（t）沿SER迭代演化的一些理解。提议3。考虑n个具有线性度函数的代理中具有m个商品的SER，即。uh=chx（t），其中chi≤ 1（在不影响SER的情况下，可以通过公共常数重新调整效用函数）。迭代t后Lyapunov函数的变化- 1到迭代t从上到下的边界为byU（t）- U（t）- 1) ≤qmaxpmindmaxdmin，（34），其中dmax和dmax是di的最小和最大元素∈ Q、 对于i=1。n、 如（2）所述；pminis是最低价格，qmax=max{Phqhj:j=1…m}。证据设（k，h，i，j）为在SER的迭代t处选择的运动方向，x（t）为相应的分配，δt=U（t）-U（t）-1） 是迭代t中L Yapunov函数的变化- 1到迭代t。在一般情况下，我们有δt=uh（x（t）+αSkhij）+uk（x（t）+αSkhij）- 呃（x（t））- uk（x（t）），（35）线性效用函数的情况（即uh=chx（t））变成δt=αF（pi，pj，dk，dh）奇奇Tpjdk-皮克+奇奇T-pjdhpidh!, （36）根据第（26）款。根据推论2，我们得到δt=- 最大值（xhi（t）pjdk，xkj（t）pidh）奇奇Tpjdk-皮克+奇奇T-pjdhpidh!, （37a）if（chipjdk-chjpidk）和（ckjpidh-ckipjdh）为负。δt=min（xhj（t）pidk，xki（t）pjdh）奇奇Tpjdk-皮克+奇奇T-pjdhpidh!, （37b）if（chipjdk-chjpidk）和（ckjpidh-ckipjdh）为阳性。在不失概括性的情况下，letpj≤ 1（价格可以通过选择一种商品作为计价单位来重新调整）。然后，在有经济意义的情况下，dh=1，对于h=1。n、 我们有δt≤=qmax之后的qmaxpmindmaxdmin（38）≥ xhi（t），对于所有h=1。n和i=1。n、 在有经济意义的dh=1的情况下，对于所有h=1。

n、 对这一结果的直接经济学解释是，价格的高度波动会导致双边交易所之间的总效用发生巨大变化。第4小节将研究价格变化对SER计算性能的影响。2.3网络上的物物交换n个代理之间以固定价格谈判m个商品整数的问题的一个重要扩展是定义一个网络结构，使得代理之间的交易只允许在该网络中链接的一些代理对进行。在这种情况下，商品dx+dx+·dnxn=de+de+·dnenis的守恒被网络上的平衡方程所取代，因此商品的最终分配i必须验证Ayi=D（xi- ei），当e yi是系统中商品i的流量时，A是关联矩阵，D是n×n对角矩阵，包含商品i守恒的权重，即D=diag（D…dn）（有关网络流量问题的更多详细信息，请参见[1]）。最终分配也可能具有给定的最大容量，即代理h可能持有的商品i数量的上限：xhi≤ “xhi。这个问题的变量现在是xhi，它再次代表了代理h持有的商品量，shi是上界的松弛变量，yh，kii是商品i从代理h到代理k的流动。目标函数ui（x，y），i=1。n、 这可能取决于最终分配x和交互y，因为网络拓扑可以表示地理邻近性和可达性的结构。最终分配的上界为：max[~ui（x，y），i=1，…，n]（39a）s。

到P我。。。。。。我想。。。A.xsy=Bbn\'x。。。\'\'xnb（39b）用户界面（x，y）≥ ui（e，0）i=1，nx∈ Zmn≥ 0，y∈ Zmn（n）-1)≥ 0，（39c）式中ui:Rmn→ R、 P∈ Q1×m，D∈ Qmn×mn，bi∈ Q、 i=1，n、 A∈ Qn×n（n）-1） ，和b∈ Qnm。矩阵D是矩阵D的m个副本的对角矩阵的适当排列，具有公共性守恒的权重，~ui（e，0）是初始禀赋e中评估的代理人i的效用函数，具有零流。问题（2）有mn变量和m+n约束，而问题（39）有mn（n+1）变量和n（1+2m）约束。当应用SER时，网络结构的定义和对最终分配的上边界的应用减少了每次迭代中可行运动方向的数量和可行步长区间的界限，对于任何现有分配x，步长α必须为0≤ x+αSkhij≤例如，Bell[6]和Wilhite[31]曾对网络结构对易货过程性能的影响进行过研究，研究对象是最终生成的价格和持续的商品空间。在这种情况下，该过程考虑了代理商每次形成双边贸易时如何更新价格。合理地说，价格应该根据仅有的两个交互作用主体的当前状态或总体人口的状态或系统的历史（如以前的价格）进行更新。Bell指出，集中式网络结构，如星形结构，表现出向均衡分配的快速收敛。必须指出的是，双边贸易的任何顺序本质上都会产生一个网络结构，这个网络结构是由一对代理人在这个过程中相互作用而产生的。

这种结构可以根据其拓扑特性进行统计分析，下一节将讨论一系列不同大小的问题。4计算经济学中的应用本节的目的是在计算经济学领域提供迄今为止提出的基于数学编程的模型和方法的包容性应用。可下载用于复制本节所示结果的所有数据集fromhttps://www.dropbox.com/sh/qekoyisyz1bzeej/AACHor8HbYU_KbYopTPxTjzca?dl=0，以及实现上述SERs的Java代码。读者还可以修改代码，独立使用相同的数据运行修改后的代码，并检查其关于社会易货的假设。4.1同时再分配和SER之间的数值比较首先考虑平衡系统所需的ERs数量，并研究其与问题规模的关系。事实上，通过与全局解算器（如分支和切割）进行数值比较，可以评估分散的b-arter经济与集中的全球规划器的效率。我们已经看到，SER也可以应用于任何形式（2）的整数线性规划问题，其中单个效用聚合为一个单一福利函数。如果将这种综合福利定义为u（x）=cTx形式的范围的线性函数，则SERs与标准分支和切割算法的比较很容易进行。考虑到ERP是SER的基本操作，而单纯形迭代是branch and cut算法的基本操作，这两种方法之间的比较在表1中以数字形式显示了11个问题的三次复制，具有相同数量的代理和商品，总计33个实例。