财富分配和集体知识。玻尔兹曼方法

（2.7）公式（2.7）表明，平均知识以指数形式收敛到其极限值λBM/λ。3财富和知识的玻尔兹曼模型在本节中，我们将把知识的进化动力学模型与2005年与Cordier引入的财富分布动力学模型结合起来[10]。该模型属于一类代理不可区分的模型。在大多数模型中[13,14]，一个代理在任何时刻t的状态≥ 0完全是以他当前的财富w为特征的≥ 0.当两个代理人在交易中相遇时，他们交易前的财富v，w会变成交易后的财富v*, W*根据ru le[5,6,8]v*= pv+qw，w*= qv+pw。（3.1）相互作用系数是非负随机变量。Qdenotest第二个代理人的财富转移给第一个代理人的比例，差异p-合格中介机构指第一代理人因市场风险而获得的相对财富收益（或损失）。人们通常认为，平面和平面有固定的规律，它们独立于v和w以及时间。这意味着代理人为交易贡献的财富（平均）与各自代理人的财富成正比。设f（v，t）为代理人的密度，在t>0时，代理人的财富v代表代理人的密度∈ R+。如第2节所述，财富分布的时间演化，sayf（v，t），由系统中的主体之间的（3.1）型二元相互作用引起，通过采用类似动力学碰撞的模型[10,34]得到。财富分布的时间演化在这里遵循一个类似于双线性玻尔兹曼的方程，在弱形式下为sddtzr+f（v，t）~n（v）dv=DZR+~n（v）*) + ~n（w）*) -~n（v）-~n（w）f（v，t）f（w，t）dv-dwE。（3.2）在（3.2）中，互动后的财富*而w*由（3.1）给出。

同样在这种情况下，h·IRE给出了数学期望，期望考虑了负随机变量的相互作用系数。[10]对交易进行了建模，认为财富的变化有一个特定的原因：一位代理人打算将他的财富投资于某种资产，即房地产。拥有他的贸易伙伴。通常情况下，此类投资会承担一定的风险，并为买方提供额外的财富，或以不确定的方式导致财富损失。这个想法的一个简单实现[31]在于将储蓄倾向与一些风险投资结合起来，这些风险投资产生的直接收益或损失与投资机构当前的财富成比例*=1.- γ + ηv+γw，w*=1.- γ + ηw+γv，（3.3），其中0<γ<1是识别储蓄属性的参数。在这种情况下，pi=1- γ+ηi，qi=γ（i=1,2）。（3.4）系数η，η是随机参数，与v和w无关，并且分布得总是v*, W*≥ 0，即η，η≥ -γ. 除非这些随机变量居中，即hηi=hηi=0，否则我们很快就会发现，平均财富并没有被保留下来，而是以指数形式增加或减少（见[10]中的计算）。对于中心ηi，hv*+ W*i=（1+hηi）v+（1+hηi）w=v+w，（3.5）意味着平均财富守恒。讨论了ηi的各种具体选择[31]。最容易得出有趣结果的是ηi=±r，其中每个符号的概率为1/2。因子r∈ （0，γ）应该被理解为市场的内在风险：它量化了财富代理人愿意赌的那部分。在这个选择中，我们可以从数值计算中得出γ和r财富独立性稳态的各种状态。

在与低市场风险相对应的区域内，财富分配再次显示出纤细尾巴的社会主义行为。随着风险的增加，人们会陷入资本主义，财富分布呈现出预期的帕累托尾巴。该通道至少需要节省（γ>1/2）；这是意料之中的，因为如果赚了钱后财富花得太快，经纪人就无法积累到足够的钱来成为富人。在资本主义区域内，帕累托指数从+∞ 在与社会主义区的边界上团结起来。最后，我们可以得到一个稳定的财富分布，即位于零的狄拉克三角洲。风险和储蓄的公共关系开放度都非常高，以至于有一小部分人设法垄断了社会的所有财富。在长期的限制下，这几位代理人变得非常富有，而其他所有代理人都非常贫穷。[31]中的分析基本上表明，Cordier、Pareschi和Toscani模型（brie fly CPT模型）中考虑的微观相互作用（3.3）使得动力学方程（3.2）能够描述多主体社会中所有有趣的财富分配行为。在其原始公式中，储蓄和风险都是根据普适常数γ和普适随机参数η、η来描述的。现在假设交易中的这些数量可能取决于代理人的个人知识。例如，一个合理的假设是，个人使用其个人知识来降低与交易相关的风险。此外，知识也可以用来从贸易中获得有利的结果。在这些假设下，我们将二元贸易进行调整，将知识的影响纳入（3.3）。

考虑到两个代理A和B以知识和财富对（x，v）（分别为（y，w））为特征，A和B之间的新二元交易现在为SV*=1.- ψ（x）γ+Φ（x）ηv+ψ（y）γw，w*=1.- ψ（y）γ+Φ（y）ηw+ψ（x）γv.（3.6）在（3.6）中，代理人的个人储蓄倾向和风险感知包含在函数ψ=ψ（x）和Φ=Φ（x）中。这样一来，二元交易的结果来自（个人）储蓄倾向、知识和财富的综合影响。在其他可能性中，一个合理的选择是将函数ψ（·）和Φ（·）定义为非递增函数。这反映了这样一种观点，即知识可以有效地利用，既可以改善结果的结果，又可以降低风险s。例如，ψ（x）=（1+x）-α和Φ（x）=（1+x）-β、 对于α，β>0可能是一种可能的选择。值得注意的是，即使存在个人知识（通过函数ψ和Φ），交易（3.6）仍然保守，即ishv*（x，y，v，w）+w*（x，y，v，w）i=v+w，（3.7）类似于原始CPT模型（参见等式（3.5））。假设初级贸易（3.6）是代理人系统中财富的微观二元交换，财富和知识的点演化是根据代理人的密度f=f（x，v，t）来描述的，在t>0时，代理人的知识x代表了代理人的密度f（x，v，t）∈ R+和财富v∈ R+。密度f在时间上的演化由以下g动力学方程（弱形式）[34]ddtZR+~n（x，v）f（x，v，t）dx dv=DZR描述+~n（x）*, 五、*) + ~n（y）*, W*)- ~n（x，v）- ~n（y，w）f（x，v，t）f（y，w，t）C（z）dx dy dz dv dwE，（3.8）在（3.8）对中（x*, 五、*) 和（y）*, W*) 由（2.1）和（3.6）从（x，v）和（y，w）对中获得。注意，通过选择独立于v的φ，即φ=φ（x），方程（3.8）简化为知识边际密度F（x，t）的方程（2.3）。

考虑到特殊的相互作用规律，方程的解满足一些重要的守恒性质。让我们用Mw（t）来定义时间t>0时系统中存在的平均财富，即isMW（t）=ZR+vf（x，v，t）dv dx。（3.9）那么，由于类型（3.6）的交互作用（平均）保留了单一交易中的总财富，通过选择φ（x，v）=v，可以得出MW（t）是及时保留的。再加上质量守恒，这是唯一保存下来的数量。由于二元交易（3.6）结构复杂，以非线性方式依赖于知识变量，因此对亲属方程（3.8）的分析研究显得极为困难。因此，在本文的剩余部分中，我们将对系统描述进行一些简化，并进行数值实验。4福克-普朗克描述在动力学理论中，玻尔兹曼方程的特殊渐近性通常会导致简化模型，通常为福克-普朗克类型，因此理论性质的研究通常更容易[10,41]。为了描述渐近过程，让我们详细讨论（2.6）给出的平均知识的演化方程。为简单起见，且不失一般性，让我们假设eλ和λb常数。给定一个小参数，标度λ→ λ，λB→ λB，κ→√κ（4.1）是指平均值MK（t）满足dmk（t）dt=-（λMK（t）- λBM）。如果我们设置τ=t，F（x，τ）=F（x，t），那么MK（τ）=ZR+xF（x，τ）dx=ZR+xF（x，τ）dx=MK（t），密度F（x，τ）解的平均值dmk（τ）dτ=-λMK（τ）+λBM。（4.2）注意，等式（4.2）并不明确取决于标度参数。

换句话说，我们可以在每次交互中减少知识的变化，等待足够的时间来获得相同的知识密度平均值定律。因此，我们可以研究大多数交互作用产生知识微小变化的情况（→ 同时，知识密度的演化使得（4.2）保持不变。我们称这个极限为准变知识极限。类似的程序已成功应用于经济学[10]和观点形成[41]中的动力学模型。同样的策略也适用于微观财富交换，如果我们衡量（3.6）γ中量化倾向和风险的参数→ γ，ηi→√ηi，i=1，2。（4.3）现在假设中心随机变量κ至少有n=3阶的有界矩，hκi=δ。同样地，我们假设中心随机变量ηi，i=1，2是独立的、等分布的，有界矩高达三阶，并且hηii=σ，i=1，2。此外，我们假设κ独立于ηi，i=1,2。利用随机量κ、η、η的先前性质，方程（2.1）用于知识变量，方程（3.6）用于财富给定Hx*-  - λ（x）x=D（x，z），hv*- vi=γψ（y）w- ψ（x）v= E（x，y，v，w），（4.4）和h（x*- x） i=D（x，z）+δx，h（v）*- v） i=E（x，y，v，w）+σΦ（x）v，h（x）*- x） （五）*- v） i=D（x，z）E（x，y，v，w）。（4.5）因此，通过扩展平滑函数φ（x*, 五、*) 在高达二阶的泰勒级数中，我们得到了φ（x）*, 五、*) - ~n（x，v）i=D（x，z）φx+E（x，y，v，w）φv+δxφx+σΦ（x）vφv+（4.6）D（x，z）φx+E（x，y，v，w）φv+D（x，z）E（x，y，v，w）φ十、五、+ R（x，y，v，w）。显然，R（x，y，v，w）表示泰勒展开式的R模。现在让我们考虑一下应用缩放（4.1）和d（4.3）的情况。然后d（x，z）→ D（x，z），E（x，y，v，w）→ E（x，y，v，w），δ→ δ, σ → σ.

（4.7）因此，D（x，z）φx+E（x，y，v，w）φv+δxφx+σΦ（x）vφ五、→D（x，z）φx+E（x，y，v，w）φv+δxφx+σΦ（x）vφ五、,whileD（x，z）φx+E（x，y，v，w）φv+D（x，z）E（x，y，v，w）φ十、五、→D（x，z）φx+E（x，y，v，w）φv+D（x，z）E（x，y，v，w）φ十、五、在相同的缩放范围内（x，y，v，w）→ R（x，y，v，w）。我们注意到，通过构造，标度余数R（x，y，v，w）以乘法方式依赖于随机变量的高阶矩√κ和√ηi，i=1，2，所以R（x，y，v，w）/<< 1个给<< 1（参见[9,41]中的讨论，其中明确进行了类似的计算）。相同的公式适用于差异*- 易和*-wi，在（4.4）和更高版本中通过交换x和y、v和w以及vicever sa获得。如果我们现在设置τ=t，并且对于任何给定的，我们定义f（x，v，t）=h（x，v，τ），我们得到h（x，v，τ）满足τZR+（x，v）h（x，v，τ）dxdv=（4.8）ZR+D（x）φx+E（x，v，t）φv+δxφx+σΦ（x）vφ五、h（x，v，τ）dxdv+~R（ν）。在（4.8）中，我们表示dd（x）=ZR+D（x，z）C（z）dz=λB（x）M- λ（x）x，E（x，v，t）=ZR+E（x，y，v，w）h（y，w，τ）dydw，~R（）=ZR+ZR+D（x，z）φx+E（x，y，v，w）φv+D（x）E（x，y，v，w）φ十、五、+R（x，y，v，w）h（x，v，τ）h（y，w，τ）dx dy dv dw。（4.9）余数收敛到零时→ 0时，密度h（v，w，τ）趋向于满足ddτZR+~n（x，v）h（x，v，τ）dxdv=ZR的sh（x，v，τ）+δxφx+σΦ（x）vφv+D（x）φx+E（x，v，t）φWh（x，v，τ）dxdv（4.10）方程（4.10）是福克-普朗克方程的弱形式Hτ=δ（xh）x+σΦ（x）（vh）五+（D（x）h）x+（E（x，v，t）h）v（4.11）福克-普朗克方程（4.11）的形式推导可以重复[9,41]中的类似计算，这些计算涉及一维模型。这种推导需要从初始数据开始，这些数据的矩有一定的顺序（通常为2+，>0）。

此外，需要将平滑的平面布置在合适的空间内（例如∈ Cb，具有三个导数的有界支撑连续函数空间[41]。有意思的是，在平衡点δ/λ=C（分别为σ/γ=C）是正确的，它们在极限方程中保持了强度λ方面的kn owledge效应，以及通过方差σ（分别为γ方面的保存效应和ui方面的风险，i=1,2）的随机性效应。正如在[41]中解释的，对于意见形成的情况，不同的平衡作用于纯微分方程和纯漂移方程的极限。回到（4.11）中D和E的原始表达式，我们最终得出h=h（x，v，τ）解福克-普朗克方程Hτ=δ（xh）x+σΦ（x）（vh）五+x[（xλ（x）- λBM）h]+γv[（ψ（x）v- MW（t））h]，（4.12），其中我们表示dmw（t）=*ZR+wψ（y）h（y，w，t）dy-dw+。（4.13）在更简单的情况下，储蓄倾向保持一个普适常数，因此ψ（y）=1，福克-普朗克方程（4.12）中的漂移项简化，并且通过诉诸平均财富守恒，我们得到密度h=h（x，v，τ）解方程Hτ=δ（xh）x+σΦ（x）（vh）五+x[（xλ（x）- λBM）h]+γv[（v）- MW）h]，（4.14），其中nOW MW表示（4.13）中数量的（恒定）值。尽管表面上很简单（相对于动力学模型（3.8）），但对福克-普朗克方程（4.14）稳态的分析描述很困难。因此，我们将对节理密度的Boltzmann和Fokker–Planck方程的解进行数值计算。5数值实验本节包含玻尔兹曼型方程（3.8）和福克-普朗克方程（4.12）和（4.14）的数值描述。

对于玻尔兹曼方程的数值近似，我们采用蒙特卡罗方法，如[34]第4章所述。如果未另行说明，则已对N=10个颗粒进行了动力学模拟。数值实验将有助于阐明知识在代理人之间财富密度最终分布中的作用。很明显，由于平均财富守恒，密度f（x，v，t）将收敛到平稳分布[34]。和通常的动力学理论一样，这个稳态解将以指数的速度达到。在下面的内容中，我们将用X（t）表示表示随机过程，它表示时间t>0时的总体知识。其密度由方程（2.3）的解给出。HenceF（x，t）dx=P（x（t）∈ （x，x+dx））。t=1000时的wealthknowled Gesolution t=1000时的wealthknowled Ge动力学密度t=1001 2 30.511.522.530.20.40.60.811.21.41.61.82图5.1：测试1：N=1000个粒子的粒子溶液（左）和动力学密度（右）。我们将用F表示X（t）的d分布函数，即isF（X，t）=P（X（t）<X）=ZxF（y，t）dy。同样地，我们将用W（t）表示代表t>0时人口财富的随机过程。给出方程（3.8）的解，其密度由边缘密度g（v，t）dv=P（W（t）给出∈ （v，v+dv））=dvZRdxf（x，v，t）。最后，G表示分布函数G（v，t）=P（W（t）<v）=ZvG（W，t）dw。我们将评估不同类型微观财富相互作用参数λ、λ带的不同值的边际分布F和G。

通过这种方式，我们将首先认识到背景和选择在知识分配中的作用（入学差异等），其次认识到知识（通过个人储蓄和风险感知）在财富分配中的重要性。数值实验还将报告智能体系统中财富和知识的联合密度。考虑了以下数值试验。测试1在第一个测试中，我们考虑Φ（x）=（1+x）的风险相关知识的情况-β、 t=1000时的wealthknowled Gesolution 3 4 5012345 t=1001 2 30.511.522.530.20.40.60.811.21.4时的wealthknowled Ge动能密度图5.2：试验2：含有N=1000试剂的颗粒溶液（左）和动能密度（右）。β=2，常数ψ=1。首先我们取λ=λB=γ=σ=0.1。这些参数对应于玻尔兹曼机制。我们考虑一个时间步长t=1，最终计算时间t=100，实际达到稳态。由于模型中知识的演化与财富无关，因此对财富进行了标度，以将平均财富乘以1。我们在图5.1中报告了粒子密度和动力学密度的结果。在图5.3和图5.4中，我们将边缘密度与尾部分布F（x）=1一起绘制- F、 \'G（x）=1- G、 以对数比例绘制，以可视化尾部行为。很明显，知识在最小化风险方面的作用会导致受过良好教育的人倾向于占据平均财富周围的地区，即所谓的中产阶级。相比之下，每个人都是由那些敢于承担潜在报酬交易风险的人组成的。在福克-普朗克体系中也进行了同样的测试，将所有相互作用参数的比例放大了10倍。