财富分配和集体知识。玻尔兹曼方法

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英文标题：
《Wealth distribution and collective knowledge. A Boltzmann approach》
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作者：
Lorenzo Pareschi and Giuseppe Toscani
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We introduce and discuss a nonlinear kinetic equation of Boltzmann type which describes the influence of knowledge in the evolution of wealth in a system of agents which interact through the binary trades introduced in Cordier, Pareschi, Toscani, J. Stat. Phys. 2005. The trades, which include both saving propensity and the risks of the market, are here modified in the risk and saving parameters, which now are assumed to depend on the personal degree of knowledge. The numerical simulations show that the presence of knowledge has the potential to produce a class of wealthy agents and to account for a larger proportion of wealth inequality.
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中文摘要：
我们介绍并讨论了波尔兹曼类型的非线性动力学方程，该方程描述了知识在一个通过Cordier、Pareschi、Toscani、J.Stat.Phys介绍的二元交易进行交互的代理系统中财富演化的影响。2005年。这些交易包括储蓄倾向和市场风险，在这里修改了风险和储蓄参数，现在假设这些参数取决于个人的知识程度。数值模拟表明，知识的存在有可能产生一类富有的代理人，并解释更大比例的财富不平等。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Wealth_distribution_and_collective_knowledge._A_Boltzmann_approach.pdf (544.36 KB)

2022-5-5 11:22:59 上传

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关键词：财富分配 Quantitative Applications distribution QUANTITATIV

财富分配和集体知识。玻尔兹曼方法。帕雷斯基*G.Toscani+2018年6月10日摘要我们介绍并讨论了一个玻尔兹曼类型的非线性k线性方程，该方程描述了通过[10]中介绍的二元交易进行互动的一个代理系统中财富演化的知识影响。这些交易，包括储蓄敏感性和市场风险，在风险和储蓄参数中进行了修改，现在假设这些参数取决于个人的知识程度。数值模拟表明，知识的存在有可能产生一类富有的代理人，并解释财富不平等的更大比例。关键词：多智能体系统、玻尔兹曼方程、财富分布、集合知识1简介在过去二十年中，统计力学的各种概念和技术已成功地应用于各种复杂的扩展系统，包括物理和非物理系统，以帮助理解它们的涌现特性。到目前为止，经济学是从粒子系统的统计力学中借用的方法被系统地应用到的系统之一[5,6,8,10,12,20,24,38]。从Angle[1,2]开发的原始数据开始，针对微观规则中的参数与使用宏观统计数据之间的关系[6,10,12,16,37]，提出并研究了各种离散和连续的财富分布模型。大多数模型的基本假设是，财富通过代表微观层面的二元交易在代理人之间进行交换。交易的一个典型要素是*费拉拉大学数学和计算机科学系，意大利费拉拉市，经马基雅维利35号，44121。

（洛伦佐）。pareschi@unife.it)+帕维亚大学数学系，经费拉塔大街1号，意大利帕维亚27100号。（朱塞佩）。toscani@unipv.it)一种储蓄机制，首次在[6]中介绍，它确保代理人可以在每次交易活动中交换其财富的大部分。此外，考虑到许多交易都有风险，随机性在几乎所有可用的模型中都发挥着重要作用，因此，确切的货币兑换量是未知的。在迄今为止介绍的大多数模型中，交易机制使总平均财富保持不变。然后，根据储蓄机制的具体选择和交易的随机性，所研究的系统能够生成具有所谓的比例幂律尾的财富曲线[13,31]。换句话说，如果f（v）是具有财富vZ的代理人的概率密度函数∞vf（w）dw~ 五、-u，其中指数u表示尾部行为，它与系统中的财富不平等程度有关。在其他方法中，通过Boltzmann型动力学方程描述市场模型是研究的沃土。这一强大的方法最近被扩展到涵盖更复杂的交易规则。例如，Cordier、Pareschi和Piateckiin[9]对股票价格行为进行了描述。此外，通过引入交易，价格理论也得到了考虑，在这种交易中，代理商根据埃奇沃思盒子策略交换货物进行交易[43]。此外，瓜拉[19]、皮亚内贡达（Pianegonda）、伊格莱西亚斯（Iglesias）、艾布拉姆森（Abramson）和维加[36]、加里波第（Garibaldi）、斯卡拉斯（Scalas）和维亚伦戈（Viarengo）[16]和比西（Bisi）、斯皮加（Spiga）和托斯卡尼（Toscani）[3,42]最近的作品中，也出现了非微观效应，比如全球税收（以及随后的分配）。

尽管有大量的研究致力于这一主题，最近的各种综述论文[4,18,33,35,44,45]都有充分的记录，但大多数动力学模型通常只依赖于财富参数，因此描述了一个社会，在这个社会中，所有代理人对其财富应用相同的变化规则，而不依赖于任何其他行为方面。对于这一共同思路，需要适当引用少数例外情况。可能是Lux和Marchesi[28,29]所做的最重要的贡献，他们认为系统由两个不同的动态贸易商阶层组成，以不同的交易活动行为为特征，为实现经济繁荣和崩溃的可能性奠定了基础。他们的想法随后被应用于[30]中，构建了一个动力学模型，其中个人观点负责策略的改变，将Lux和Marches考虑的两组交易者从一组转移到另一组。有意思的是，在[30]中，这些行为方面是通过求助于卡尼曼和特沃斯基[25,26]的前景理论，即风险决策分析来调整的。其他作者研究了储蓄参数在二元交易中的重要性，假设储蓄参数不是一个普遍的参数，但它可以随机变化[7]。关于上述大多数模型的动力学描述的最新介绍，以及用蒙特卡罗方法对其进行的数值模拟，我们参考了最近的一本书[34]。在各种行为方面中，知识是一个需要考虑的重要变量。事实上，知识是个人从自然、生理和社会限制中获得自主的必要条件，从而使人们改善生活条件。

因此，人们普遍认为，知识在任何可能导致社会条件改善的活动中都起着相关的作用，毫无疑问，财富交易属于这类活动[22]。知识是学习的结果，我们在理论上认为，这是由于经验或实践而产生的任何相对永久的变化行为[32]。知识积累的方式是一个非常复杂的问题，很难从数学的角度对其进行建模。然而，鉴于学习在多代理现象中的重要性，最近许多技术论文（参见[40,11,17,27]及其参考文献）对学习的各个方面进行了研究。在[23,21]中，作者引入了经济复杂性的概念，作为一国经济中知识总量的衡量标准。根据他们的观点，一个国家的公民从事的多样化和专业化工作越多，该国生产其他国家几乎无法生产的复杂产品的能力就越大，从而使该国更加繁荣。与此同时，经济的复杂性会在不同国家的社会条件中产生明显的差异。事实上，人们认为知识积累可能是很大一部分财富不平等的根源[27]。在这篇文章中，我们将介绍一个非常简单而朴素的知识形成过程，它是用与背景的线性交互来描述的，可以同时考虑信息的获取和选择过程，这似乎是自然和普遍的特征。知识量将以正变量的形式量化。

知识交互将与[10]中介绍的财富交换的二元交易相结合，其中既包括储蓄属性，也包括市场风险。这里的新颖之处在于，假设交易的储蓄能力和风险部分都取决于个人知识。一个典型而自然的假设是，知识可以在交易过程中起作用，既增加预期效用，又减少风险中存在的随机性。在经典亲缘理论的原则下，这些相互作用的规则将被合并，从而为知识和财富的联合进化推导出一个类似玻尔兹曼的非线性动力学方程。为完整起见，对适合描述人类行为的动力学模型的定义进行了评论。（真实）代理人群体的社会经济行为极其复杂。除了数学和经济学的要素外，一个合理的描述——如果真的存在的话——必然需要来自其他各个领域的贡献，包括心理学。显然，可用的数学模型过于简单，甚至无法假装反映真实情况。然而，用一个动力学方程来描述知识和财富的进化的想法，从理论和数值的角度出发，引发了一系列具有挑战性的数学问题。特别值得注意的是，这类模型拥有如此广泛的可能平衡（其中一些确实类似于现实中看到的分布，比如一致中产阶级的存在，以及稳态分布中重尾的持续性）。此外，动力学模型在引入其他效应方面非常灵活[34]。

这样，描述的模型应该被视为基本的构建块，可以很容易地组合、调整和改进。论文的结构如下。在第2节中，我们介绍并讨论了多智能体社会中知识形成的动力学模型。该线性模型基于具有固定背景的微观相互作用，使得群体知识的密度朝着稳定分布移动，这在很大程度上取决于微观相互作用的微观参数。然后，将知识规则与二元财富交易相融合，得到了财富与知识联合密度的非线性玻尔兹曼模型。第3节介绍了这一部分。第4节讨论了福克-普朗克型方程的推导，该方程用所谓的准不变量极限过程来模拟财富和知识联合密度的形成。最后，第5节介绍了各种数值实验，这些实验使我们能够恢复财富和知识在人口中的稳定分布，以适应r相关参数的各种选择。2知识的进化模型部分继承自父母，但普遍认为环境是影响知识的主要因素。产生知识的经验不能像基因组那样从父母那里获得，而是在生命过程中从每个个体周围环境的不同元素中获得[39]。学习的过程是非常复杂的，每个人的学习过程都是不同的。虽然所有个体的总体情况可能是相同的，但经过这一过程后，每个个体的知识水平都有所不同。

环境或生活经历的不同，会产生不同水平的知识，并因此产生一种依赖于个人周围环境的不同行为。此外，个人知识显然是一种选择的结果，这种选择允许保留大部分个人认为重要的概念，而放弃其余的概念。最伟大的哲学家和当代意大利作家之一翁贝托·埃科[15]最近以令人信服的方式讨论了学习过程的这一基本方面。在这场引人入胜的讲座中，E co概述了为保持一定程度的独创性，对大量信息进行大量选择的重要性。如今尤其如此，通过网络全球访问信息使每个人都有可能拥有一个有限的容量，从中提取任何类型（有用或不有用）的信息。前面的评论是基于一个合适的描述，即通过与固定背景的微观相互作用，知识在群体中分布的演变。在这幅图中，知识的每一种变化都被解释为一种相互作用，即个体的一部分知识因选择而丢失，同时，外部背景（周围环境）可以将一定数量的知识转移给个人。如果我们用标量参数x（从零到单位）和byz来量化个体的知识≥ 0在一次交互中从背景中获得的知识，新的知识量可以按asx计算*= (1 - λ（x））x+λB（x）z+κx。

（2.1）在（2.1）中，函数λ=λ（x）和dλB=λB（x）分别量化了选择量和外部学习量，而κ是一个随机p参数，考虑了知识过程中可能不可预测的修改。我们通常将κ的平均值计算为零。由于某些选择总是存在的，并且有时它不能超过总知识的一定量，所以假设λ-≤ λ（x）≤ λ+，其中λ-> 0和λ+<1。同样，假设从背景中获取知识的上限也是合理的。然后，0≤ λB（x）≤其中λ<1。最后，选择随机部分以满足下限κ≥ -(1 -λ+).通过这些假设，可以确定交互后的值x*对知识的理解是非负的。设C（z），z≥ 0表示（固定）背景知识的概率分布。假设C（z）有一个有界平均值是合理的，因此Zr+C（z）dz=1；ZR+z C（z）dz=M（2.2）我们注意到背景的分布会导致某种知识获取策略。例如，假设背景是均匀分布在区间（0，a）上的随机变量，其中a>0是固定常数。如果我们为了简单起见选择λ（x）=λB（x）=λ，并且个体的知识程度x>a，在没有随机性的情况下，交互作用将始终产生一个值x*≤ x、 即知识的部分减少。在这种情况下，事实上，高知识个体的选择过程无法通过与环境的互动来恢复。个体之间（2.1）型相互作用所导致的知识分布的时间演化研究，可以借助动力学碰撞模型[34]获得。设F=F（x，t）在t>0时由知识x表示的代理的密度∈ R+。

然后，F（x，t）的时间演化服从类似玻尔兹曼方程。这个等式可以用弱形式写成。它对应于这样一种说法：对于所有光滑的F函数φ（x）（可观测量）ddtZR+F（x，t）φ（x）dx=DZR，解F（x，t）满足+~n（x）*) - ~n（x）F（x，t）C（z）dx-dzE。（2.3）在（2.3）中，交互后的k确认x*由（2.1）给出。和往常一样，h·i代表了数学期望。这里的期望考虑了（2.1）中随机参数κ的存在。亲缘关系方程式（2.3）的含义很清楚。在任何正时间t>0时，知识分布的时间变化（左侧）是由于代理系统与环境的时间类型（2.1）的交互作用导致的知识变化。这种变化由右侧的交互操作符测量。很快就可以证明方程（2.3）保留了总质量，因此F（x，t），t>0，仍然是一个概率密度，如果它最初是这样的话。通过选择φ（x）=x，我们可以改变agent系统的平均知识MK（t）的演化。平均知识满足方程Dmk（t）dt=-ZR+xλ（x）F（x，t）dx+MZR+λB（x）F（x，t）dx，（2.4），通常它是不可显式解的，除非函数λ（x）和λB（x）是常数。然而，由于λ（x）≥ λ-, 而λB（x）≤“λ，平均值总是等于微分不等式dMk（t）dt≤ -λ-MK（t）+λM，（2.5），保证系统的平均知识永远不会超过由mmax=\'λλ给出的（有限）值mmax-M.如果λ（x）=λ且λB（x）=λ裸常数，则方程（2.4）变为Mk（t）dt=-λMK（t）+λBM。（2.6）在这种情况下，可以求解线性微分方程，并且MK（t）=MK（0）e-λt+λBMλ1.- E-λt.