鞅不等式与确定性不等式

相反，李明Nisnaval作为凹函数的逐点极限，并支配lim-gn，因此limngN≥ （林格南）. 利用, 我们看到了∞f（z）=limnAn+1f（z）=limn[Anfo φ（z，·）]（0）=[limnAnfo φ（z，·）]（0）=[A]∞Fo φ（z，·）]（0）=AA∞f（z）代表所有z∈ Z就是∞f是一个固定点。如果g∈Rzi是另一个固定点≥ f、 那么引理3.2 yieldsthatg=Ang中A的单调性≥ Anf，n≥ 所以是g≥ A.∞f通过达到极限。“简单”表示支持是XN的有限子集。备注3.5。让我们来看看→ R是任何函数，使得f≤ u和Au≤ u（因此Au=u；参见引理3.2）。然后是SUPu∈M∞（x） u[f（Z∞)] = A.∞f（z）≤ A.∞u（z）=u（z）；也就是说，为了证明鞅不等式在a的右边成立，必须证明a的一个固定点u支配f和满意度（z）≤ a、 正如引言中提到的，这与伯克霍尔德对几个特定鞅不等式所使用的证明策略的一般公式相对应。对于上述结论，没有必要确定u是最小的固定点；然而，这个属性保证u（z）是最佳的右手侧ide。找到一个明确的公式∞f（或任何其他固定点），研究A所保留的f的性质是很有必要的。我们给出一个简单的例子来说明这一点（另见第4.1节）。备注3.6。假设Z是一个圆锥体，φ是一次正齐次的。如果f∈RZis的正齐次度p>0，然后soare Af和A∞f、 的确，让λ≥ 0; thenAf（λz）=f（φ（λz，·））（0）=inf{ψ（0）|ψ（λ·）≥ f（φ（λz，λ·））}=inf{ψ（0）|ψ≥ λpf（φ（z，·））}=inf{λpψ（0）|ψ≥ f（φ（z，·））}=λpAf（z），其中in fima取所有凹函数ψ：X→R

A的同质性∞f紧随其后。接下来，我们想从抽象的角度解释与数学金融中出现的某些不等式之间的联系，我们将看到后者只是a引入的凹性的表现。为了后续讨论的目的，我们假设我们得到了一个对偶对X，X′和一个分离对h·，·i→ R、 超梯度h（d）在d处∈ X被定义为所有ξ的集合∈ X′使得h（d）+hξ，d- di≥ h（d）代表所有d∈ 十、 h被称为超可微，如果这个集合是非空的。引理3.7。让g:Z→ R.以下每一个条件都意味着下一个条件：（i）对于所有z∈ Z存在ξ（Z）∈ X′使得g（φ（z，d））≤ g（z）+hξ（z），di，d∈ X.（3.2）（ii）Ag=g.（iii）对于所有z∈ Z和所有ξ（Z）∈ g（φ（z，·））（0），g（φ（z，d））≤ g（z）+hξ（z），di，d∈ X.如果凹函数g（φ（z，·））在d=0时是超微分的，这些条件是等价的。特别是，如果X是有限维的，而g（φ（z，·））是等价的是有价值的。证据让我等一下。取（3.2）两边的凹面包络，我们看到ag（z）=g（φ（z，·））(0) ≤ g（z）+hξ（z），0i=g（z），由引理3.2表示（ii）。设ξ（z）∈ g（φ（z，·））(0); 也就是g（φ（z，·））（d）≤ g（φ（z，·））（0）+hξ（z），di≡ Ag（z）+hξ（z），di，d∈ X.然后（ii）和g（φ（z，d））的事实≤ g（φ（z，·））（d） 收益率（iii）。最后，如果g（φ（z，·））(0) 6=  尽管如此，z∈ Z、 显然，（iii）意味着（i）。我们提到引理3.7可以作为一个工具来验证g是一个执行点：在例子中，有时更容易验证像（3.2）这样的关系，它不涉及凹包络（例如[5]）。备注3.8。在数学金融的背景下，Rn估值过程X代表n种可交易证券的贴现价格，而f（ZT）则视为在时间T到期的期权。

g=u=A的不等式（3.2）∞f表示交易策略Ht:=ξ（Zt-1） 如果u（z）按其价格收费，则可为期权卖方提供支持：u（z）+TXt=1hHt，Xt- Xt-1i≥ u（ZT）≥ f（ZT），（3.3），其中左边是从金额u（z）和根据H交易的收益/损失中获得的余额。如果时间范围T被视为固定的（这在金融中更自然），则类似的观察也适用；也就是说，Ht∈ [在-t（φ（Zt）-1, ·))]（0）产生这样一个过程：ATF（z）+TXt=1hHt，Xt- Xt-1i≥ f（ZT）。（3.4）特别是，这为导言中提到的[6]的结果提供了一个简单而有建设性的证明（注意，超梯度的一个元素可以通过简单的方向导数来选择）。根据其定义，AT（z）是最小常数，允许（3.4）形式的不等式在所有鞅定律下几乎肯定成立，因此在所有可行的模型中，AT（z）被称为稳健（或模型独立）超边际价格。为了进一步放大财务方面，假设Z 对于某些集合Y，X×Y；对于某些函数，φ（X，Y，d）=φ（X+d，Y）：X×Y→ Z、 我们现在写的是（x，y）而不是Z（另见下面4.1节）。如果u=A∞f、 那么u（·，y）是凹的，因为eu（x，y）是在x处计算的u（φ（·，y））的凹包络，而且徐（x，y）=u（φ（x，y，·））(0).换句话说，套期保值策略由ξ（x，y）=xu（x，y），在金融语言中对应于期权的增量。某些经典鞅不等式也适用于次鞅。这可能与上述情况有关，如下所示（在多变量情况下，子鞅属性是按分量理解的）。备注3.9。设X=r，g:X→R然后通过引理2.2，我们得到了supu∈M（x）u[g]=g（x） 。现在让我*（x） 是具有有限支撑和重心x的所有概率测度的集合*≥ 十、

如果函数g（分量）是非递增的，我们也有SUPu∈M*（x） u[g]=g（x） ，x∈ X.事实上，对于每种情况*∈ M*（x） 有很多∈ M（x）使得μ*[g]≤ u[g]。因此，在a∞f（φ（z，·））是非递增的。一些鞅不等式只适用于非负次鞅。这种情况可以通过选择合适的状态空间Z来解决，如下面第4.2节所示。在本节结束时，我们将简要介绍可测量性问题（我们尽可能避免了这些问题）。备注3.10。假设X=r，Z是一个波兰空间，φ是Borel可测的。如果f是Borel可测量的，可以检查AFA和∞f是上半解析的，尤其是普遍可测的；然而，Af可能无法测量。因此，备注3.8中的套期保值策略也可以选择为通用可测量。4例。1 Doob的最大不等式本小节的目的是通过对Doob的最大Lp不等式的参数化来说明上述抽象理论；在这种情况下，所有感兴趣的数量都可以显式计算。在下面的例子中，X是一个范数为|·|的向量空间。提议4.1。让1<p<∞, Z={（x，y）∈ X×R+：|X |≤ y} φ（x，y，d）=（x+d，y∨|x+d |），f（x，y）=yp-（pp-1） p | x | p，（x，y，d）∈ Z×X。那么支配f的最小不动点由A给出∞f（x，y）=（f（x，y）如果| x |<p-1py，~u（x，y）如果|x |≥P-1py，（4.1）式中u（x，y）：=pyp-聚丙烯-1 | x | yp-1，（x，y）∈ Z.备注4.2。下面的证明还表明，常数（pp-1） f的引脚定义是最佳的。

也就是说，iffc（x，y）=yp- c | x | p（4.2）表示c≥ 0，我们将看到∞足球俱乐部≡ ∞ 对于c<（pp-1） p，而A∞FCC的最终价值为c≥ （pp-1） p.设置| M|*T=max0≤T≤T | Mt |并应用上一小节的结果，我们立即推导出Doob\'s最大Lp不等式的以下分支。推论4.3。适用于所有人（x，y）∈ Z、 T≥ 0和每一个（简单的）X值从M=X开始，我们有（|M）|*T） p∨ yp- （pp-1） p | MT | p≤（yp）- （pp-1） p | x | pif | x |<p-1个，pyp-聚丙烯-1 | x | yp-1如果| x |≥P-1.右侧是最佳选择。特别是对于y=|x |的情况，wehaveE（|M）|*T） p- （pp-1） p | MT | p≤ -聚丙烯-1 | x | p≤ 0（4.3），因此k | M|*Tkp≤聚丙烯-1kMTkp。我们提到函数u也出现在[11]中（4.3）的证明中。那里没有研究常数的最优性；顺便说一句，我们看到∧u（x，y）实际上产生了最优常数f或初始条件y=|x |。函数u也可以从Cox[15]中提取（通过一些额外的工作），Cox[15]考虑了X=R情况下Doob不等式的有限水平版本。命题4.1和备注4.2的证明。修正c≥ 0，并将f:=fc定义为（4.2）。根据注释3.4，函数u:=A∞f的表示形式为u（x，y）=supu∈M∞（x） u[f（Z∞)], （4.4）从f的形式来看，这意味着u（x，y）只依赖于x，通过| x |。此外，我们还得到了λ的标度性质u（λx，λy）=λpu（x，y）≥ 0; 参见备注3.6。因此，u完全由函数描述 : [0, 1] →R（|x |）：=u（x，1）；也就是说，我们有u（0，0）=0和u（x，y）=yp（|x |/y）代表所有人（x，y）∈ Z，y>0。另一方面，我们知道u是a的固定点，u（x，y）=Au（x，y）=u（x+·y）∨ |x+·|）#（0）=u（·，y）∨ | · |)#（x） ，（4.5）因此x 7→ u（x，y）是凹的。特别是，使用u≥ f和scalingproperty，我们看到u（x，y）=∞ 在某一点（x，y）当且仅当u≡ ∞在Z上。

目前，让我们假设我们是在u是有限的情况下。在这种情况下，根据（4.5）和（4.4）的缩放特性，或者直接根据（4.4）得出x7→ u（x，y）是连续的。因此 是[0,1]上的连续凹函数，由（4.5）可知，其在边界点r处的（左）切线t=1满足（r）≥ rp（1） ，r∈ [1, ∞); （4.6）注意rp（1） =u（xr，| xr |）如果xr∈ X是| xr |=r的任意点（我们可以假设X6={0}）。为了以后的使用，我们注意到相反的是：一个连续凹函数“ 在[0,1]上，满足（4.6）的类似物确定a的固定点u。让我们确定(0) ≥ 1和(1) < 0. （4.7）事实上，（0）=u（0，1）≥ f（0，1）=1。此外，如果（1） 如果是非负的，那么p>1和（4.6）将意味着切线t具有非负斜率，因此（1） =t（1）≥ t（0）≥ (0) ≥ 1.但（4.6）指出，功能t（r）主导rpon[1，∞), 这是不可能的。因此，R7→ rp（1） 是凹的，我们看到切线条件（4.6）可以用不同的术语等价地表示。也就是说，如果′（1） 表示t的斜率，（4.6）等于0>′(1) ≥ P(1). （4.8）鉴于（4.7），切线t具有唯一的零rin[0,1]。使用插入定理，（4.8）意味着- R(1)=(1) - t（0）=′(1)≤P（1） 亨瑟呢≤ 1.- 1/p.（4.9）接下来，我们构建A的另一个固定点进行比较。设t为（唯一确定的）与t和touchesr 7平行的函数→ f（xr，1），r∈ [0, 1].我们用（r，f（xr，1））表示这个接触点的坐标。设置“（r） ：=（f（xr，1）代表r∈ [0，r]，\'t（r）代表r∈ （r，1），（4.10）定义，“” 是一个满足（4.8）的连续凹函数。

如上所述，这意味着 定义a的固定点u，通过u（0，0）：=0和u（x，y）：=yp（|x |/y）表示（x，y）∈ y>0时的Z。事实上≤ u和“u”的构造意味着“u”≤ u、 另一方面，我们有“u”≥ f和u是A在f之上的最小固定点，所以u≤ 因此，\'u=u，\' =  特别是，这建立了 属于特殊形式（4.10）；仍然需要精确地确定切线。考虑r:=（1/c）1/p，R7的零点→ 1.-crp=f（xr，1）。根据凹度，我们必须有r≤ R回想一下，ris是切线的零点。鉴于（4.9），我们得出结论：≤ R≤ 1.- 1/p；（4.11）因此，每当c<（第页）时，我们关于u是有限的假设就相矛盾-1） p.支持c=（pp-1） 然后r=1- 1/p，所以（4.11）意味着r=r=1-1/p.R7的坡度→ 这里的f（xr，1）是-聚丙烯-1.因此，t（r）=-rpp- 1+p。鉴于（4.10），这与所要求的公式（4.1）相对应。因为我们已经看到，这种形式的u定义了一个支配f的固定点，所以我们不必在a∞f是有限的；此外，当f相对于c递减时，A∞然后，f也是所有c的定义≥ （pp-1） p.4.2不同的从属鞅本小节的主要目的是说明如何适应仅适用于特定类别鞅的鞅不等式。为此，我们将处理不同从属鞅的一个不等式，首先由Burkholder在[9]中推导出实值过程，并在[10]中扩展到Hilbert值情况。如果| Nt+1，则一个鞅N不同地从属于另一个鞅M- 新界|≤ |Mt+1- Mt |适用于所有t≥ 0

换句话说，这意味着二元马氏体（M，N）的增量取锥{（d，d）：|d|中的值≤ |d |}，这是定义（二元）鞅类的条件，对于这类鞅，它们的内质是成立的。设H为Hilbert空间。在下面的内容中，我们的基本向量空间是X:=H×H，状态空间是Z=X∪ {}; 另外一点将用作违反从属条件的路径的墓地状态。提案4.4。让1<p<∞ d p*= max{p，p/（p）- 1)}. 为了z∈ Zand d=（d，d）∈ 十、 定义φ（z，d）=( 如果z= 或者| d |>d |，z+d，否则f（z）=(-∞ 如果z=,|x | p- （p*- 1） p | x | pif z=（x，x）∈ 十、 ~u（z）=(-∞ 如果z=,p（1）- 1/p*)P-1（|x|- （p*- 1） |x |）p-1if z∈ X.那么支配f的最小不动点由A给出∞f=u，其中u定义为1<p≤ 2 byu（z）=-∞ 如果z=,如果z=（x，x），则为u（z）∈ X和| X |≤ （p*- 1） |x |，f（z）如果z=（x，x）∈ X和| X |>（p*- 1） |x |与| u和f相同，如果2则互换≤ p<∞.推论4.5。让1<p<∞ 和p*= max{p，p/（p）- 1)}. 设M，MbeH值（简单）鞅从（M，M）=（x，x）开始，满足| Mt+1- Mt|≤ |Mt+1- Mt |适用于所有t≥ 0.ThenE[|MT | p- （p*- 1） p | MT | p]≤ u（x，x），尤其是kMTkp≤ （p*- 1） kMTkpif x=x.命题4.4的证明。[10]中包含了所有相关属性；我们只是把它们翻译成我们的设置。事实上，我们有f() = u() 通过定义，并在[10]中的方程式（1.10）下检查f（z）≤ ~u（z）代表z∈ 因此，f≤ u、 此外，根据[10]中的备注1.2，u是控制X上f的最小函数，其性质为R7→ u（z+rd）对于所有z都是凹的∈ X和所有d=（d，d）∈ X使得| d |≤ |d |。使用我们的符号并回顾u（φ（z，·））=-∞ 在布景之外{d|≤ |d |}，因此u是控制fonz的最小函数，使得u（φ（Z，·））在X上是凹的。

后者意味着au（z）=u（φ（z，·））（0）=u（φ（z，0））=u（z），因此u是a的固定点。反之，如果g:z→R是A的任意一个固定点，那么g（φ（z，d））=g（z+d+·）因此g（φ（z，·）是凹的。因此，u是占主导地位的u.5 Tchakaloff的鞅定理的最小固定点。在前面的章节中，我们将注意力限制在简单鞅上，我们仍然必须指出，这不会导致普遍性的本质损失。一方面，让我们再次提到，对于nice函数f和φ，从简单鞅到一般鞅的扩展可以通过直接逼近变元来完成；例如，参见文献[13]中引理2.2的证明或文献[8]中定理2.2的证明。另一方面，我们在没有规则条件的情况下发展了该理论，因此我们希望能够在确定预期所需的自然要求下实现扩展；也就是说，只有可测量性。这将通过chakalo-off定理的鞅版本实现。继拜尔和泰奇曼[3]之后，关于容积公式存在性的Tchakaloff经典定理[24]的一般版本可以表述为：给定概率空间上的可积函数f(Ohm, F、 u），给出了一个概率度量ν和有限的支持度，使得ν[F]=u[F]，而且支持度可以选择为位于u的支持度中。函数f可以是多元的，这允许我们在ν上加入一个线性约束的单位；例如，该ν应具有与u相同的第一时刻。我们的目的是提供一个定理的版本，其中u和ν是鞅定律。这种扩展不是即时的，因为Matingable属性对应于有限数量的约束。定理5.1。让k，n，T∈ N和X=Rn。让x∈ 设u是一个X值鞅M的定律。

，M=x，让A XT+1bea（u-可测量）设置为u（A）=1。此外，设f:XT+1→ RK应该是一个u-可测量的函数，使得u[|f |]<∞. 存在一个鞅定律ν，仍然从x开始，这样#suppν≤ （n+k+1）T，支持 A和ν[f]=u[f]。证据通过改变u-空集上的f，并用更小的完整u-度量集替换a，我们可以假设f和a是Borel。现在，T=1是Tchakaloff定理的结果，其形式为[3，推论2]，应用于函数φ：X→ Rn+k+1由φ（x）=（f（x），x，1）驱动。因此，我们认为这个定理适用于某些T∈ N和s如何传递到T+1。设μ为XT+1上的鞅定律，并设a XT+1满足u（A）=1。设u为XT上u的边缘，由u（B）给出：=u（B×X）表示B∈ 我们感谢Josef Teichman对这个定理的深入讨论。使u=u u. （5.1）很容易看出u是XT上的鞅定律，如果a是XT上a的（普遍可测）正则投影，则u（a）=1。另一方面，从（5.1）可以看出，存在N∈ B（XT），u（N）=0，因此对于所有x∈ 我们有r|f（x，x′）|u（x；dx′）<∞u（x）是x上满足u（x；Ax）=1的鞅定律，其中Ax∈ B（X）是截面Ax={X′∈ X:（X，X′）∈ A} 。根据归纳假设，在x上存在一个鞅定律≤ （n+k+1）T，支持 A\\N（5.2）和ν[g]=u[g]表示g（x）：=Zf（x，x′）u（x；dx′）。修正x∈ 通过将T=1的情况应用于函数f（x，·）和测度u（x），我们得到了x上的鞅定律ν（x），使得#suppν≤ n+k+1，支持 AxandZf（x，x′）ν（x；dx′）=Zf（x，x′）u（x；dx′）≡ g（x）。我们可以看到x7→ ν（x）作为内核，定义ν=ν ν;本产品被定义为（5.2）的结果。通过构造，我们得到了#suppν≤ （n+k+1）T+1。