论经济尾部风险的度量

事实上，对于任何0≤ K≤ 2n-1.-1，自1起≤ 2k+1≤ 2n- 1，由（52）可知，g（2k+1n+1）=g（）g（2k+1n）=2k+1n+1，0≤ K≤ 2n-1.- 1.（54）对于任何2n-1.≤ K≤ 2n- 1.它认为≤ 2n+1- （2k+1）≤ 2n- 因此，它由（51）得出，即g（2k+1n+1）=1- g（n+1）- （2k+1）n+1）=1-n+1- （2k+1）n+1（by（54））=2k+1n+1，2n-1.≤ K≤ 2n- 1.（55）此外，对于任何≤ K≤ 2n- 1，g（2kn+1）=g（kn）=kn，这与（54）和（55）结合意味着（53）适用于n+1，因此适用于任何n。因为{k/2n，k=1，…，2n- 1，n∈ N} 在（0，1）上是稠密的，而在（0，1）上是连续的，从（53）可以看出，对于所有的u，g（u）=u∈ （0，1），这就完成了证明。最后，定理2.1的证明如下。理论证明2。1.根据引理B.1和定理B.1，只有那些风险度量列在定理B的情况（i）-（iv）中。1.满足成为合理风险措施的必要条件。因此，我们只需要研究这些风险度量的可引出性。首先，我们将展示c∈ （0,1]，ρ=cVa R+（1- c） 这是不可能的。假设为了矛盾，ρ是可导出的，那么存在一个函数，使得（6）成立。对于任何u，设F=δuin（6），并注意ρ（δu）=u屈服强度（u，u）≤ S（x，u），十、u、 只有当你≤ x、 （56）对于任何u<v和p∈ （0,1），设F=pδu+（1- p） δvin（6）产生pS（cu+）（1-c） v，u）+（1- p） S（cu+）（1- c） v，v）≤ pS（x，u）+（1）- p） S（x，v），x、 让p→ 0导联至（铜+（1- c） v，v）≤ S（x，v），u<v，x、 （57）设x=v在（57）中，我们得到（cu+（1）- c） v，v）≤ S（v，v），u<v.（58）乘（56），S（v，v）≤ S（cu+）（1-c） v，v），u<v，与（58）结合意味着S（v，v）=S（cu+（1- c） v，v），u<v；然而，通过（56），S（v，v）=S（cu+（1- c） v，v）意味着v≤ cu+（1）- c） v与u<v相矛盾。

因此，ρ是不可导出的。其次，我们将证明，对于c=0，ρ=cVaR+（1- c） VaR=相对于P的可引出变量。设a>0为常数，并定义预测目标函数（x，y）=（0，如果x≥ y、 a，还有别的。那么对于任何F∈ P和任意x≥ ρ（F），ZRS（x，y）dF（y）=Zy≤F（y）ρ=0。另一方面，对于任何F∈ P和任意x<ρ（F），ZRS（x，y）dF（y）=Zx<y≤ρ（F）S（x，y）dF（y）=aZx<y≤ρ（F）dF（y）=a（1）- F（x））>0。因此，对于任何F∈ P、 ρ（F）=min{x |x∈ a rg minxRS（x，y）dF（y）}。第三，我们将证明对于任何α∈ （0，1），VaRα对于P是可导出的。设g（·）是定义在R.定义（x，y）=（1{x）上的严格递增函数≥y}- α） （g（x）- g（y））。（59）定义P={FX | E | g（X）|<∞}.根据Gneiting（2011）中的定理9，[q-α（F），q+α（F）]=arg minxZS（x，y）dF（y），其中q-α（F）：=inf{y|F（y）≥ α} q+α（F）：=inf{y|F（y）>α}。因此，VaRα（F）=q-α（F）满足（6）和（59）中定义的要求。第四，我们将证明（24）中定义的ρ相对于P是不可导出的。为了矛盾的目的，假设ρ是可导出的。修正任何a>0并表示i:=(-a、 a）。设PI为区间I上具有严格正概率密度且其支持度为I的概率测度集 P和ρ对于P是可导的，ρ对于PI也是可导的。因此，存在一个预测目标函数S（x，y），使得ρ（F）=min{x | x∈ arg minxZS（x，y）dF（y）}，F∈ 圆周率。对于任何F∈ 方程F（x）=α有唯一的解qα（F）和q-α（F）=qα（F）=q+α（F）。因此，ρ（F）=qα（F），F∈ 圆周率。因此，我们有qα（F）∈ arg minxZS（x，y）dF（y），F∈ 圆周率。然后，它来自于inThomson（1979年，p。

例如，如果g（x）：=x，那么P={FX |x∈ L(Ohm, F、 P）}；如果g（x）：=x2n+1（n≥ 1） ，然后用有限的平均值（如柯西分布）来计算重尾分布。Thomson（1979）o B得出区间I=(- ∞, ∞); 在我们的例子中，我=(-a、 a）。可以证明，霍姆森（1979）命题的证明可以适用于I=(-a、 a）。详细信息可向作者索取。为了使这篇论文能够自圆其说，这里引用了托姆森（1979年，第372页）的建议：方案H到合法x的必要条件和充分条件*, 所以“F（x）=r”的解，最好的答案是H满足：H（x，y）=（A（x）+B（y）A.e.如果y≤ xA（x）+B（y）a.e.如果y>x（60）与（a（x）- A（x））r+（A（x）- A（x））（1- r） =0，x、 x，（61）和B（·）- B（·）是非递增的a.e.（62）B（·）- B（·）+A（·）- A（·）=0a.e.（63）可测函数A，A，B和B，如（x，y）=（A（x）+B（y）A.e.如果y≤ x、 A（x）+B（y）A.e.如果y>x，（64）和（A（x）- A（x））α+（A（x）- A（x））（1- α) = 0, x、 x∈ I.（65）选择一个分布F∈ P使得q-α（F）<q+α（F），作为密度F，满足F（x）=0表示x∈ （q）-α（F）、q+α（F）和F（q-α（F））=F（q+α（F））=α。然后，从（64）可以得出，对于任何x∈ [q]-α（F），q+α（F）]，ZS（x，y）dF（y）=Zy≤xS（x，y）f（y）dy+Zy>xS（x，y）f（y）dy=Zy≤x（A（x）+B（y））f（y）dy+Zy>x（A（x）+B（y））f（y）dy=A（x）Zy≤xf（y）dy+Zy≤xB（y）f（y）dy+A（x）Zy>xf（y）dy+Zy>xB（y）f（y）dy=A（x）α+Zy≤xB（y）f（y）dy+A（x）（1）- α） +Zy>xB（y）f（y）dy.（66），因为x的f（x）=0∈ （q）-α（F），q+α（F）），它紧随其后≤xB（y）f（y）dy=Zy≤xB（y）f（y）dy，x、 x∈ [q]-α（F），q+α（F）]，（67）Zy>xB（y）F（y）dy=Zy>xB（y）F（y）dy，x、 x∈ [q]-α（F），q+α（F）]。（68）自c∈ [0,1]，ρ（F）=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F）∈ （q）-α（F），q+α（F）]。

然后从（65）、（66）、（67）和（68）中得出，对于任何x∈ [q]-α（F），q+α（F）]，ZS（x，y）dF（y）-ZS（ρ（F），y）dF（y）=（A（x）- A（ρ（F）））α+（A（x）- A（ρ（F））（1）- α） =0，与ρ（F）结合使用∈ arg minxRS（x，y）dF（y）表示[q-α（F），q+α（F）] arg minxZS（x，y）dF（y）。因此，ρ（F）=min{x |x∈ arg minxZS（x，y）dF（y）}≤ Q-α（F），与ρ（F）>q相矛盾-α（F）。因此，无法得出（24）中定义的ρ。第五，根据Ingneting（2011）的定理7，ρ（F）：=RxdF（x）对于P是合理的。这样就完成了证明。参考Acerbi（2002年）。风险的光谱度量：主观风险规避的一致表示，《银行与金融杂志》26（7）：1505–1518。Acerbi，C.和Sz\'ekly，B.（2014年）。回测预计短缺，风险Magazi nepp。76–81.Adrian，T.和Shin，H.S.（2014）。顺周期杠杆和风险价值，金融研究综述27（2）：373-403。Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量，数学财务9（3）：203–228。Aumann，R.J.和Serrano，R.（2008）。《风险的经济指数》，政治经济学杂志116（5）：810–836。巴塞尔银行监管委员会（1996年）。根据瑞士巴塞尔国际清算银行《公司市场风险》文件对资本进行的修订。巴塞尔银行监管委员会（2006年）。资本计量和资本标准的国际趋同：修订框架，文件，国际清算银行，巴塞尔，瑞士。巴塞尔银行监管委员会（2009年9月20日）。巴塞尔II市场风险框架的修订，文件，国际清算银行，巴塞尔，瑞士。巴塞尔银行监管委员会（2013年）。《tradingbook基本面回顾：经修订的市场风险框架》，咨询文件，国际清算银行，瑞士巴塞尔。贝利尼，F。

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