论经济尾部风险的度量

对于α∈ [0,1]，在lα水平，X的ES定义为X的α尾分布平均值（Tasc he（2002）、Rockafellar和Uryasev（2002）），即ESα（X）：=X的α尾分布平均值=Z∞-∞xdFα，X（X），α∈ [0,1]，其中Fα，X（X）是定义为（Rockafella r和Uryasev（2002））：Fα，X（X）：=（0，对于X<VaRα（X）FX（X）-α1-α、 为了x≥ VaRα（X）。对于α=1，α级X的ES定义为ES（X）：=F-1X（1）。如果损失分布fx是连续的，那么Fα，Xis与给定X的X的条件分布相同≥ VaRα（X）；如果fx不是连续的，那么Fα，X（X）是条件损失分布的一个轻微修正。对于α∈ [0,1]，ρ（X）in（2）等于ESα（X）ifh（X）=（x1）-α、 x≤ 1.- α、 1，x>1- α.对于α=1，如果h（X）=1{X>0}，则ρ（X）in（2）等于ES（X）。例2.3。短缺中值（MS）。正如我们将在后面看到的，预期的短缺有几个统计上的缺点，包括非elic i表性和非稳健性。为了缓解问题，可以使用中间短缺。与ES（尾部损失分布的平均值）相反，MS是sam e尾部损失分布的中位数。更准确地说，X在α水平的MS∈ [0,1]定义为（寇、彭和海德（2013））MSα（X）：=X=F的α尾分布中值-1α，X（）=inf{X | Fα，X（X）≥}.对于α=1，α级的MS定义为MS（X）：=F-1X（1）。因此，α级的MS可以捕捉尾部风险，并考虑超过α级VaR的损失大小和可能性，因为它衡量损失大小的中位数，前提是损失超过α级VaR。可以看出msα（X）=VaR1+α（X），十、α ∈ [0, 1].因此，如果h（X）：=1{X>（1），则（2）中的ρ（X）等于MSα（X）-α)/2}.由于MSα=VaR（1+α）/2，MSα不能量化VaR（1+α）/2之外的风险。

然而，也很难知道ESα量化VaR（1+α）/2以外风险的准确程度；在fac t中，与MSα一样，ESα也无法显示Var（1+α）/2以外的大损失。例如，fix c:=VaRα，考虑一系列α尾分布Fα，n，这是转换指数分布和点质量分布的混合，由Fα定义，n（x）：=（0，对于x<c，（1）- β（n））（1- E-λ（x）-c） ）+β（n）1{n≤x} ，β（n）：=un-C-λ、 为了x≥ c、 （3）其中λ，u>0为常数。换句话说，Fα，nis是c+exp（λ）和概率（1）的混合物- β（n））和点mas sδn（概率为β（n））。在Fα，n下，以小概率β（n）发生大小为n的大损失。对于每个n，ESα，n，即Fα，n的平均值，总是等于c+u+λ；因此，ESα与MSα在检测可能出现在Var（1+α）/2之外的大小为n的大服务水平s时失败的方式相同。本例表明，ESα量化VaR（1+α）/2以外风险的程度也可能受到限制。毕竟，MSα和ESα分别是同一α尾损失分布的主题和平均值。分布均值中包含的信息可能不会超过同一分布均值中包含的信息，反之亦然。Moscadelli（2004年）和So and Wong（2012年）也使用了m“短缺中值”，但分别定义为常数u的中值[X | X>u]和中值[X | X>VaRα（X）]，与inKou、Peng和Heyde（2013年）定义的不同。事实上，前面提到的第二篇论文中的定义与Kou、Peng和Heyde（2006）提出的“尾部条件中值”相同。的确，对于阿尔法∈ （0，1），通过定义，MSα（X）=inf{X | Fα，X（X）≥} = inf{x|FX（x）-α1-α≥} =inf{x|FX（x）≥1+α}=VaR1+α（X）；对于α=1，定义为MS（X）=F-1X（1）=VaR（X）；对于α=0，定义为F0，X=fx，因此MS（X）=F-1X（）=VaR（X）。例2.4。

广义谱测度。由ρ定义的广义光谱ri s k测量（十） ：=Z（0,1]F-1X（u）d（u） ，（4）在哪里 是（0，1）上的概率测度。（2）表示的风险测度类包括并严格大于广义谱风险测度类，因为它们都满足公理A1-A5。（4）的一个特例是光谱ris k测量（Acerbi（2002），定义3.1），定义为ρ（X）=Z（0,1）F-1X（u）φ（u）du，φ（·）在增加，非负，ndZφ（u）du=1。（5） 由于φ增加的要求，光谱风险度量i的类别比（4）中定义的广义光谱风险度量的类别小。谱风险测度与（4）中的谱风险测度的区别在于前者是凸的，但后者可能不是凸的。凸性要求（5）中的函数φ是递增函数。Chernyand Madan（2009）提出的用于衡量交易绩效的MINMAXVAR风险度量是光谱风险度量的特例，对应于失真函数h（x）=1- (1 - x1+α）1+αin（2），whereα≥ 0是一个常数。满足公理A1-A5的风险测度类和法律不变量一致（凸）风险测度类具有非空交点，但没有一个是另一个的子集。例如，预期短缺属于这两个类别；VaR属于前者，但不属于后者。满足A1A5公理的r isk测度类包括作为严格子集的律不变谱风险测度类。例如，VaR属于前者，但不属于后者。事实上，对于任何固定的∈ （0,1]，F-1X（u）=VaRu（X）作为L上的函数∞(Ohm, F、 P）是风险度量（2）的特例。

通过引理2.1的证明，VaRusatis证明了单调性、正同质性和共单调可加性，这意味着ρ纽约州的满意度公理A1-A4. 在L∞(Ohm, F、 P），ρ自动满足公理A5。另一方面，对于α∈ （0，1），右分位数q+α（X）：=inf{X | FX（X）>α}是（2）中定义的风险度量的特例，其中h（X）定义为h（X）：=1{X≥1.-α} ，但可以证明q+α不能用（4）表示。事实上，为了自相矛盾，假设存在 q+α（X）=ρ（十） ,，十、∈ L∞(Ohm, F、 P）。让X在它的支撑上有一个严格的正密度。然后，F-1X（u）是连续的，严格地在（0，1）上增加。设c>0为常数。definex=X·1{X≤F-1X（α）}+（X+c）·1{X>F-1X（α）}。它由q+α（X）得出- q+α（X）=ρ（十）-ρ（十） 那（（α，1]）=1，结合F的s trict单调性-1X（u）表示ρ（十） =R（α，1]F-1X（u）（du）>F-1X（α）=q+α（X）。这与ρ相矛盾（十） =q+α（X）。满足的公理A1-A5与Wang、Young和Panjer（1997）提出的“失真风险度量”类别相同。“失真风险度量”有时指（4）中定义的风险度量类别。正如我们在例2.4中指出的，（4）中定义的风险度量类别是满足公理A1-A5的风险度量类别的严格子集。如果风险度量ρ满足公理A4（定律不变性），则ρ（X）仅依赖于FX；因此，ρ导出了一个将分布fx映射到区域数ρ（X）的统计泛函。为了简单起见，我们仍然将诱导的统计函数表示为ρ。也就是说，我们将在续集中互换使用ρ（X）和ρ（FX）。2.2可引出性使用ρ测量X的风险可被视为ecasting问题的一个点，因为风险测量ρ（X）（或ρ（FX））通过区域数ρ（X）总结分布FX，就像重新计算X的点一样。

实际上，真实分布FX是未知的，人们必须找到一个估计值^FX来预测未知的真实值ρ（FX）。由于人们可能会提出不同的程序来预测ρ（FX），因此评估哪种程序可以更好地预测ρ（FX）是一个重要的问题。可引出性理论为点预测程序的有效评估提供了决策理论基础。假设一个人想用一个点x来预测一个随机变量Y的实现，而不知道真正的分布fy。预期的预测误差是（x，Y）=ZS（x，Y）dFY（Y），其中S（x，Y）：R→ R是一个预测目标函数，例如S（x，y）=（x- y） orS（x，y）=|x- y |。与S对应的最佳预测点为ρ*（FY）=arg minx（x，Y）。例如，当S（x，y）=（x- y） S（x，y）=|x- y |，最优预测是平均函数ρ*（FY）=E（Y）和中值函数ρ*（FY）=F-分别为1Y（）。如果t存在一个预测目标函数，使得预期预测误差最小化，则可以导出统计函数ρ。许多统计函数都是可以引出的。例如，中位数函数是可以导出的，因为S（x，y）=| x可以最小化预期的预测误差-y |产生中值函数。如果ρ是可导出的，则可以通过比较两种预测方法各自的预测误差ES（x，Y）来评估它们。由于Fy未知，预计的ecasting误差可近似为averagenPni=1S（xi，Yi），其中Y，Y是分布为FY和x的样本。

，xn对应的预测点。如果统计函数ρ不可导出，则对于任何目标函数S，预期预测误差的最小化不会产生真实值ρ（F）。因此，无论使用什么样的目标函数，我们都无法通过比较它们的预测误差来判断ρ（F）的竞争点预测中哪一个表现最好。可诱导性的概念可以追溯到Savage（1971）、Thomson（1979）和Osband（1985）的开创性工作，并由Lambert、Pennockand Shoham（2008）和Gneiting（2011）进一步发展，世卫组织认为，“在发布和评估点预测时，必须事先指定目标函数（即函数），或指定可引出的目标函数，如期望值或分位数，并使用与目标函数一致的目标函数。”Engelberg、Manski和Willia ms（2009）也指出了目标函数或可引出的目标函数规范的关键重要性。在本文中，我们关注的是由单值统计函数给出的风险度量。在定义2 Ingneting（2011）之后，定义了集值统计函数的可引出性，我们定义了单值统计函数的可引出性，如下所示。定义2.1。如果存在一个预测目标函数S:R，则对于一类分布P，可以导出一个单值统计函数ρ（·）→ r取ρ（F）=minx | x∈ arg minxZS（x，y）dF（y）, F∈ P.（6）在定义中，我们只要求满足Rs（x，y）dF（y）对任何F的定义良好且确定的条件∈ P

我们不需要其他条件，例如在定义2.1中，ρ（F）是预期目标函数的最小值集的最小值的要求不是必要的。事实上，如果将（6）中的第一个“min”替换为“max”，论文的结论将保持不变；只需在orem2中将“VaRα”更改为正确的quantileq+α。1.S.2.3的连续性或光滑性主要结果如下定理2。1表明中位数短缺和平均功能是（i）唯一可以引发的风险度量；（ii）具有Choquet期望效用的决策理论基础（即满足公理A1-A5）。α级的中位数缺口通过中位数精确描述了VaRα以外的平均损失规模；而平均f函数a l捕捉了尾部风险，即已知E（l）导致尾部概率P（l>x）的n上界Xe（l），如果l≥ 0.定理2.1。设ρ：X→ R是一个满足A1-A5和X公理的风险度量 L∞(Ohm, F、 P）。设P:={FX | X∈ X}。那么，当且仅当以下两种情况之一成立时，ρ（·）（视为P上的统计函数）对于P是可导出的：（i）对于某些α，ρ=VaRα∈ （0,1]（注意到α的MSα=VaRα+1∈ [0, 1]). 此处，Varα是第2.1节定义的单值函数。（ii）ρ（F）=RxdF（x），F证据见附录B。证明的主要困难在于，满足公理A1-A5的风险度量表示方程（2）中的失真函数h（·）在[0，1]上可能有各种不连续性；特别是，该证明不是基于关于h（·）的左或右连续性的任何假设。证据的概要如下。首先，ρ可导的一个必要条件是ρ具有凸水平集，即ρ（F）=ρ（F）意味着ρ（F）=ρ（λF+（1- λ） F），λ ∈ (0, 1).

第二步也是关键的一步是证明只有四种风险度量具有凸水平集：（i）cVaR+（1）- c） 关于常数c∈ [0, 1]; （ii）VaRα，α∈ （0,1），特别是MSα，α∈ [0,1]；（iii）ρ=cq-α+ (1 - c） q+α，其中α∈ （0,1）和c∈ [0,1]是常数，q-α（F）：=inf{x|F（x）≥ α} 和q+α（F）：=inf{x | F（x）>α}；（iv）平均函数。最后，我们检验了上述四种风险度量的可引出性；具体来说，我们证明ρ=cq-α+ (1 - c） c的q+α∈ [0,1]不能通过扩展霍姆森（1979）的主要命题来引出。我们感谢一位匿名裁判向我们指出了这一点。2.4共同可引出性k的共同可引出性≥ 2统计函数是一个较弱的可引出性概念，而不是定义2中定义的一个统计函数的可引出性概念。1.共诱发性的概念是在Ambert等人（2008年，定义9）中提出的，我们在下文中对其进行了略微概括和重新表述：定义2.2。K≥ 2单值统计泛函ρ（·），如果存在一个预测目标函数S:Rk+1，则ρk（·）被称为关于一类分布P的等价表→ R使得（ρ（F），ρk（F））=min（x，…，xk）|（x，…，xk）∈ arg min（x，…，xk）ZS（x，…，xk，y）dF（y）, F∈ P.（8）共诱发性的概念比诱发性的概念弱，因为：（i）如果foreach i=1，k、 ρiI可与相应的预测目标函数Si（·，·）引出，然后（ρ，…，ρk）可与相应的函数S（x，…，xk，y）共同引出：=Pki=1Si（xi，y）；（ii）如果（ρ。

，ρk）是可诱导的，这并不意味着每个ρii都是可诱导的。Acerbi和Sz’ekly（2014）表明，（VaRα，ESα）与一组分布P是可共同推导的，这些分布P基于直觉论证满足一些限制条件；Fissler和Z iegel（2015）表明，（VaRα，ESα）分别与P={F | F在R上有一个连续的密度，F在所有α上有唯一的α分位数∈ （0，1）}，以及定义2中相应的预测目标函数。2可以是特定的asS（x，x，y）=（1{x≥y}- α)(-G(-x） +G(-y） ）+1- αG(-x） 1{x<y}（y- x） +G(-x） （十）- 十）- G(-x） ，（9）当Gand Gare严格增加连续可微函数时，GisF-可积为ny F∈ P、 利克斯→-∞G（x）=0，以及G′=G，例如，G（x）=x和G（x）=ex。在没有推广的情况下，Lambert et al.（2008）中的定义9可以通过将（8）替换为：（ρ（F），ρk（F））=arg min（x，…，xk）ZS（x，…，xk，y）dF（y），F∈ P.（7）因此，唯一的推广在于增加min{···}，以将（8）中的优化问题有多个极小值的情况合并到一起。（VaRα，ESα）的共同可引出性意味着可以通过比较不同预测程序的预测误差来评估不同预测程序的性能，这些程序预测（VaRα，ESα）的集合。更准确地说，程序1被认为比程序2更好地预测（VaRα，ESα）的集合，如果TTXt=1S（vart，est，Yt）<TTXt=1S（vart，est，Yt），（10）其中（varit，esit）是第i个程序在时间t产生的eCast，i=1，2，而Yt是时间t，t=1，T（ESα，VaRα）的共同可引出性并不能导致评估ESα预测的可靠方法。

更准确地说，即使程序1在（10）的意义上比程序2更好地预测集合（VaRα，ESα），程序1也可能比程序2提供更差的ESα预测；示例2对此进行了说明。5和第2.5.2节末尾的示例2.6。理论2。1.识别风险度量类别中满足公理A1-A5的所有可引出的风险度量；下面的问题是一个定理≥ 2.我们能识别所有风险度量的k元组（ρ，…，ρk）吗？这样（ρ，…，ρk）是可共同引出的，并且每个ρ都是公理A1-A5？由于生态可诱导性弱于可诱导性，上述问题与理论2中研究的问题不同。1.这个问题的答案并不意味着定理2.1，而定理2.1也没有给出这个问题的完整答案。inFissler和Ziegel（2015）提供了一些满足上述问题条件的风险度量示例。除了（VaRα，ESα），（VaRα，…，VaRαk，Pki=1wiESαi）被证明是可共同引出的，其中0<α<·αk<1，（w，…，wk）表示满足Pki=1wi=1和wi>0，i=1。