论经济尾部风险的度量

然而，这个开放性问题的完整答案还不清楚；我们把它留给未来的研究。2.5回溯测试风险度量将在以下小节中显示，回溯测试风险度量有三种方法：（i）最直接回溯测试，测试模型下风险度量的点估计或点预测是否等于未知的真实风险度量；（ii）间接回溯测试，可分为两类：（a）第一类间接回溯测试检查整个损失分布、整个数据损失分布或一组统计数据（包括模型下的利益风险度量）是否与真实潜在未知模型下的相应数量相等；（b） 第二种间接回溯测试是基于一系列风险度量的可诱导性；（iii）基于风险度量可引出性的预测评估方法。我们还将在小节中展示：（i）VaR和中值缺口可以通过所有三种方法进行回溯测试。（ii）没有针对预期短缺的直接回溯测试方法。（iii）文献中提出了预期短缺的间接回溯测试方法。预测短缺的第一种间接回溯测试是部分回溯测试，即：（a）如果预期短缺的间接回溯测试未被拒绝，则意味着预测短缺的预测点不会被拒绝；（b） 然而，如果对预期短缺的间接回溯测试被拒绝，则不清楚是否应该拒绝对预期短缺的点预测。

第二种间接回溯测试基于（VaRα，ESα）的共引出性，无法回答银行模型下预测的ESα是否比abenchmark模型下预测的更准确的问题。2.5.1直接回溯测试方法直接回溯测试方法是测试在模型下计算的风险度量是否等于风险度量的未知真实值。它关系到风险度量的点估计或点预测是否可接受。例如，假设一家银行报告其交易账簿的99%为10亿。直接回溯测试方法回答了单个数字10亿是否可以接受的问题。更准确地说，假设第tth天银行的损失是Lt，t=1，2，T每天- 1.本行根据t日的可用信息预测贷款期限的风险度量ρ- 1，表示为Ft-1.让Gt|t-1指定贷款条件分布的德诺特银行模型-1，让ρGt|t-1（Lt）表示Gt | t模型下的LTA风险度量-1.假设LTFT的未知条件分布-1英尺-1真实风险度量值表示为ρFt | t-1（Lt）。然后，对风险度量ρ最直接的回溯测试是t o testH:ρGt|t-1（Lt）=ρFt | t-1（Lt），t=1，TH:否则。（11） 对于ρ=VaRα，（11）中的零假设等价于：=1{Lt>VaRα（Lt）}，t=1，i.i.d.伯努利（1- α） Random变量（Christo Offersen（1998），Lemma1）。基于这样的观察，Kupiec（1995）提出了回溯测试VaR的失败测试比例，这与巴塞尔协议（Basel Committee on Banking Supervision；1996，2006）中采用的回溯测试VaR的“转换光”方法密切相关。

Christo Offersen（1998）提出了一阶马尔可夫过程模型中VaR的条件覆盖和独立性测试。有关VaR回溯测试的最新进展，请参见洛佩兹（1999a）、洛佩兹（1999b）、恩格尔和曼加内利（2004）、克里斯托弗森和佩尔蒂埃（2004）、哈斯（2005）、坎贝尔（2006）、克里斯托弗森（2010）、伯克维茨（Berkowitz）、克里斯托弗森和佩尔蒂埃（2011）、加格利亚农（Gaglianone）、利马（Lima）、林顿和史密斯（2011）等。MSα=VaR（1+α）/2，中值缺口的回溯测试与VaR的回溯测试完全相同。相比之下，现有文献中没有针对预期缺口的直接回溯测试方法。原因可能很简单：直接回溯测试预期不足的无效假设是ESGt | t-1α（Lt）=ESFt | t-1α（Lt）。很难（如果不是不可能的话）找到一个分布在零假设下已知的统计数据。相比之下，在直接回溯检验VaR的零假设下，指标随机变量It=1{Lt>VaRα（Lt）}的分布是已知的，因此它可以用来构造直接回溯检验VaR的检验统计量。2.5.2间接回溯检验方法有两种间接回溯检验方法。第一种间接回溯测试方法涉及银行对整个损失分布的模型是否与未知损失分布相同。更准确地说，间接回溯测试方法是测试：H:Gt|t-1（x）=Ft | t-1（x），十、∈ Rt=1，TH:否则。（12） 如果无效假设未被拒绝，则意味着ρGt|t-1（Lt）=ρFt | t-1（Lt），即风险度量不会被拒绝；然而，如果预测值为空，则不清楚该点是否为空-1（Lt）是否应该被拒绝。因此，这种间接回溯测试方法只能对部分风险度量进行部分回溯测试。

例如，假设一家银行报告其交易账簿的ES99%为10亿。使用间接回溯测试方法，可以测试银行的整个损失分布模型。如果测试没有被拒绝，那么这意味着10亿这个数字是可以接受的；然而，如果测试被拒绝，那么10亿这个数字应该被接受还是被拒绝就不清楚了。严格来说，这种间接回溯测试方法不应被视为回溯测试特定风险度量的方法，因为回溯测试与任何特定风险度量无关，尽管测试对特定风险度量的点预测的可接受性有部分影响。这种间接回溯测试方法是针对文献中回溯测试的不足而提出的。Berkowitz（2001）提出了基于截尾高斯似然比的似然比检验（12）。Kerkhof和Melenberg（2004）提出了一种功能性增量方法来检验假设（12）。Acerbi和Sz\'ekly（2014）提出了三种间接测试来回溯测试ESα。前两项测试是在假设VaRα已被测试且l，LTA独立：H:Gt|t-1，α（x）=Ft | t-1，α（x），十、∈ Rt=1，TH：否则，（13）其中Gt | t-1，α和Ft | t-1，，α和Gt | t的α尾分布-1英尺|吨-1相应地（参见示例2.2了解α-ta-il分布的定义）。第三个测试与测试（12）相同。作者提出的所有三个测试都需要一个knowshow来模拟分布为Gt | t的随机样本-1（·）以模拟测试统计并计算测试的p值。Costanzino和Curran（2015）提出了一种通过测试间接回溯ESα的方法：H:Zα{Lt≤VaRp（Lt）}dp，t=1。

i.i.d.，VaRFt | T-1p（Lt）=VaRGt|t-1p（Lt），P∈ [α，1），t=1，…，TH：否则。（14）这种方法不需要在零假设下模拟随机样本来计算p值。McNeil和Frey（2000）假设损失过程{Lt，t=1，…，t}遵循动力学Lt=mt+stZt，其中mt和stare分别表示条件平均值和条件标准偏差，Ztisa表示严格的白噪声。在这种假设下，他们建议通过检验假设：H:mGt | t来对ESα进行回溯检验-1t=mt，军士长|t-1t=st，VaRGt | t-1α（Lt）=VaRFt | t-1α（Lt），ESGt | t-1α（Lt）=ESFt | t-1α（Lt），TH:否则。（15） 该检验是ESα的间接检验，因为如果无效假设被拒绝，则不清楚索赔是否为ESGt | t-1α（Lt）=ESFt | t-1α（Lt），t是否应该被拒绝。第二种间接回溯测试是基于风险度量集合的共同可引出性。例如，let（VaRBenα（Lt），ESBenα（Lt）），t=1，T}，是根据基准模型（如监管机构指定的标准模型）预测的（VaRα，ESα）。Fissler等人（2015）提出了以下两种间接回溯测试，用于回溯测试ESα：H-:Et-1[S（VaRGt|t-1α（Lt），ESGt | t-1α（Lt），Lt）]≥ Et-1[S（VaRBenα（Lt）、ESBenα（Lt）、Lt）]，tH-:否则H+：Et-1[S（VaRGt|t-1α（Lt），ESGt | t-1α（Lt），Lt）]≤ Et-1[S（VaRBenα（Lt）、ESBenα（Lt）、Lt）]，tH+：否则，（16）其中S（·，·，·，·）是（9）中定义的预测目标函数，其中G（x）=x和G（x）=ex/（1+ex）。这些测试是ESα的间接回溯测试，因为无论这些测试是否被拒绝，我们现在都知道ESGt | t-1α比ESBenα（Lt）更准确。事实上，这些测试无法找出哪个模型能更准确地预测α，如例2所示。5.例2.5。假设银行损失随机变量L的真实分布为（u，σ），其中u=-1.5, σ = 1.0.

设α=0.975，这是巴塞尔银行监管委员会（2013）建议的。那么（VaRα（L），ESα（L））的真值是（VaRα，ESα）=（0.460，0.838）。假设银行模型给出的预测为（varα，x·ESα），而基准模型（监管机构首选）给出的预测为（x·varα，ESα），其中0<x<1；因此，银行的模型总是预测α，但基准模型总是真实地预测α；因此，应该重新考虑银行的模式。然而，这些测试将表明，ban k的模型优于基准模型，因为银行模型（即e[s（V aRα，x·ESα，L）]）的预测误差总是小于benc-hmark模型（即e[s（x·V aRα，ESα，L）]的预测误差∈ (0.55, 1.0). 换句话说，即使BANKS模型对ESα的预测低达45%，它仍然会被错误地认为比真实预测ESα的基准模型更好，这主要是因为共同可引出性并不意味着可引出性，以及（9）中定义的预测目标函数的一些奇怪行为。图1.0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1说明了这一点-0.305-0.3-0.295-0.29-0.285-0.28X预期预测误差银行模型：预期预测误差=E[s（VaR，x· 基准模型：预期预测误差=E[S（x· VaR，ES，L）]图1：示例2.5中反例的图表。银行模型（即e[s（V aRα，x·ESα，L）]）的预测误差总是小于基准模型（即e[s（x·V aRα，ESα，L）]）对任何x的预测误差∈ (0.55, 1.0); 因此，（16）中的测试将得出结论，银行的模型比基准模型更好地预测ESα。然而，BANK的模型总是低于ESα的预测，而基准模型总是真实地预测ESα。

这种不一致性主要是由于共同可诱导性并不意味着可诱导性这一事实，表明（16）中的测试无法找出哪个模型能更准确地预测ESα。这些回溯测试的另一个缺点是，当损失随机变量的规模增加时，回溯测试的性能会进一步恶化，因为(-x） 式（9）中，当x变为单位时，变为零。其结果是，如果回溯测试用于回溯测试ESα，大型银行比小型银行更容易低估ES。示例2对此进行了说明。6.例2.6。假设有一家更大的银行，其损失随机变量为例2中损失L的15倍。5.因此，这家较大银行的损失率变量具有正态分布N（u，σ），其中u=-1.5 × 15, σ = 15.0. 设α=0.975。注（VaRα，ESα）的真值为（VaRα，ESα）=（0.460,0.838）×15。假设银行模型给出的预测为（varα，x·ESα），而基准模型（监管机构首选）给出的预测为（x·varα，ESα）。此外，如Figure1所示，图2显示了回溯测试得出了错误的结论，即哪个模型更好地预测α。此外，图2显示，当x∈ （0.55,1.0），这是由于当α足够大时，术语E[1]-αG(-x·ESα）1{V aRα<L}（L）- V aRα）+G(-x·ESα）（V-aRα-xES（α）-G(-预期预测误差中的x·ESα）将非常小，以至于当x变化时，预期预测误差不会有太大变化。换句话说，当损失随机变量L的规模足够大时，预期预测误差E[S（V aRα，x·ESα，L）]对x的值变得敏感。

这个反例再次出现，主要是由于（9）中定义的预测目标函数的一些奇怪行为。0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10.8750.880.8850.890.8950.90.905预期预测误差银行模型：预期预测误差=E[S（VaR，x· 基准模型：预期预测误差=E[S（x· VaR，ES，L）]图2：示例2.6中反例的图表。例2中银行模型的预期预测误差（即e[s（V aRα，x·ESα，L）]）。当x∈ （0.55,1.0），因为当ESα足够大时-αG(-x·ESα）1{V aRα<L}（L）-V aRα）+G(-x·ESα）（V-aRα-xES（α）-G(-预期预测误差中的x·ESα）]x变化时，预期预测误差变化不大。换句话说，当损失随机变量L的规模足够大时，预期的预测误差E[S（V aRα，x·ESα，L）]对x.2.5.3基于风险度量的可引出性的回溯测试方法基于预测评估框架和可引出性的回溯测试方法被提出用于回溯测试VaR。这种方法需要一个基准模型，因为可引出性涉及多个变量的比较模型，而不是单一模型的验证。Lopez（1999a）建议在Gt|t模型下定义VaRα的预测误差-1asPTt=1S（VaRGt | t-1α（Lt），Lt），其中S（·，·）是预测目标函数（损失函数）。由于VaRα是可引出的，因此S可以定义为Sα（x，y）=（1{x≥y}- α） （十）- y） 。

然后，将预测误差与基准模型下计算的abenchmark预测误差进行比较，以回溯检验VaRα。相比之下，这种方法无法对预期短缺进行回溯测试，因为它是不可引发的，因此，没有函数S可用于定义预测错误。3对企业多模型的扩展上一节从合理性的角度讨论了模型不确定性的问题。继Gilboa和Schmeidler（1989）以及Hansen和Sargent（20012007）之后，我们通过考虑多个模型（场景）进一步结合了稳健性。更准确地说，我们考虑m个概率测度Pi，i=1，我在州际空间(Ohm, F） 。每一个图片对应一个模型或一个场景，可能指的是特定的经济体制，如经济繁荣和金融危机。在不同的情况下，随机损失X的损失分布可能会有很大的不同。例如，由于损失分布的差异，2007年金融危机情景下计算的VaR远高于正常市场条件下的VaR。假设在第i种情况下，风险的度量由ρi满足公理A1-A5给出。然后是外稃2。1，ρi可以用ρi（X）=RXd（hi）表示o Pi），其中Hi是畸变函数，i=1，m、 然后，我们提出了以下风险度量，以纳入多个场景：ρ（X）=f（ρ（X），ρ（X），ρm（X）），（17）式中f:Rm→ R被称为情景聚合函数。我们假设情景聚合函数f满足以下公理：公理B1。正同质性和平移比例：f（ax+b1）=af（~x）+sb，~x∈ Rm，A.≥ 0, B∈ R、 其中s>0为常数，1:=（1，1，…，1）∈ Rm。公理B2。单调性：f（~x）≤ f（~y），如果~x≤ ~y，其中~x≤  ≤ 易，我=1，m、 公理B3。

不确定性厌恶：如果f（~x）=f（~y），那么对于任何α∈ （0,1），f（αx+（1）- α） ~y）≤ f（~x）。公理B1规定，如果在每种情况下，Y的风险度量是X的有效函数，那么Y的总风险度量也是X的有效函数。公理B2规定，如果在每种情况下，X的风险度量小于或等于Y，那么X的总风险度量也小于或等于Y。Axiom B3由Gilboa和Schmeidler（1989）提出，用于“捕捉套期保值现象”；它被用作包含健壮性的maxmin Expected实用程序的目标之一。引理3.1。s cenario聚合函数f:Rm→ 满足公理B1-B3且仅当存在一组权重W={W} rm，每一个w=（w，…，wm）∈W令人满意的wi≥ 0和pmi=1wi=1，这样f（~x）=s·sup ~w∈W（mXi=1wixi），~x∈ Rm。（18） 证据。首先，我们证明了公理B1-B3与公理C1-C4 inKou、Peng和Heyde（2013）等价，其中ni=1，i=1，m、 公理B1和B2分别与公理C1和C2相同。公理C4适用于任何函数，当ni=1，i=1，m、 公理C1和C3显然暗示了公理B3。然后我们将证明，公理B1和B3意味着公理C3。事实上，对于任何∧x和∧y，根据公理B1，f（∧x- f（x）/s）=f（y）- f（y）/s）=0。然后，根据公理B1和B3，f（~x+~y）- f（~x）- f（~y）=f（~x- f（x）/s+~y- f（y）/s）=2f（x）- f（x）/s）+（y）- f（y）/s）≤ 2f（~x）- f（x）/s）=0。