论经济尾部风险的度量

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英文标题：
《On the Measurement of Economic Tail Risk》
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作者：
Steven Kou and Xianhua Peng
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper attempts to provide a decision-theoretic foundation for the measurement of economic tail risk, which is not only closely related to utility theory but also relevant to statistical model uncertainty. The main result is that the only risk measures that satisfy a set of economic axioms for the Choquet expected utility and the statistical property of elicitability (i.e. there exists an objective function such that minimizing the expected objective function yields the risk measure) are the mean functional and the median shortfall, which is the median of tail loss distribution. Elicitability is important for backtesting. We also extend the result to address model uncertainty by incorporating multiple scenarios. As an application, we argue that median shortfall is a better alternative than expected shortfall for setting capital requirements in Basel Accords.
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中文摘要：
本文试图为经济尾部风险的度量提供决策理论基础，这不仅与效用理论密切相关，而且与统计模型的不确定性有关。主要结果是，对于Choquet预期效用和可引出性的统计特性（即存在一个目标函数，使得最小化预期目标函数产生风险度量），满足一组经济公理的唯一风险度量是平均函数和中值不足，即尾部损失分布的中值。可引出性对于回溯测试很重要。我们还通过合并多个场景来扩展结果，以解决模型的不确定性。作为一个应用，我们认为，在巴塞尔协议中设定资本要求时，中位数短缺是比预期短缺更好的选择。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
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关键词：Applications Quantitative Requirements epidemiology R statistics

论经济尾部风险的度量*Steven Kou+Peng Xianhua摘要本文试图为经济尾部风险的度量提供一种决策理论基础，它不仅与效用理论密切相关，而且与统计模型的不确定性也密切相关。主要结果是，对于Choquet预期效用和可诱导性的统计特性（即存在一个目标函数，如使预期目标函数收益最小化的风险度量），满足一组经济公理的唯一风险度量是平均函数和中位数短缺，这是尾部损失分布的主题。可引出性对于回溯测试很重要。我们还将结果扩展到通过合并多光谱来解决模型不确定性。作为一个应用，我们认为，在巴塞尔协议中设定资本要求时，中位数短缺是比预期短缺更好的选择。关键词：共单调独立性、模型不确定性、可靠性、可引出性、回溯测试、风险价值JEL分类：C10、C44、C53、D81、G17、G18、G28、K23*我们感谢中央财经大学、新加坡国立大学、北京大学、滑铁卢大学、巴黎第七大学、2015年国际工业和应用数学大会、2014年中国计量经济学会会议、2014年亚洲计量经济学会会议、，生态计量学会2014年欧洲会议，通知2013年年度会议，通知2014年年度会议，金融中的定量方法会议2013年，RiskMinds亚洲会议2013年，风险和监管研讨会2014年，第41届欧洲风险和保险经济学家组研讨会，以及第8届世界单身金融学会大会，感谢他们的有益评论和讨论。

这项研究得到了中国香港特别行政区大学教育资助委员会和香港科技大学数学系的支持。这项研究在彭显华2013年访问新加坡国立大学数学科学研究所和定量金融中心时部分完成。+新加坡国立大学风险管理研究所和数学系，地址：新加坡04-03号楼I3恒美径台21号，邮编：119613。电子邮件：matsteve@nus.edu.sg.——通讯作者。香港科技大学数学系，香港九龙清水湾。电子邮件：maxhpeng@ust.hk.电话：（852）23587431。传真：（852）23581643.1引言本文试图为经济尾部风险的度量提供决策理论基础。两个重要的应用是为金融机构设定保险费和资本要求。例如，Wang、Young和Panjer（1997）基于一组公理提出了一类广泛使用的设定保险风险保费的风险度量。在资本要求方面，Gordy（2003）通过证明在某些条件下，风险度量与99.9%的风险价值（VaR）渐近等价，为巴塞尔协议银行账簿风险度量提供了理论基础。VaR是一种广泛使用的尾部风险度量方法；例如，见杜菲和潘（1997年、2001年）和乔里昂（2007年）。在本文中，我们主要关注风险度量的两个方面。首先，风险度量与风险偏好的效用理论密切相关。

与本文最相关的论文是希梅德勒（1986年、1989年），他通过将独立性公理放宽到协单调独立性公理，扩展了预期性理论；这类风险偏好可以成功地解释各种违反预期效用理论的行为，如埃尔斯伯格悖论。其次，衡量尾部风险的一个主要困难是，损失分布的尾部很难估计，因此具有很大的模型不确定性。正如Hansen（2013）所强调的，“不确定性可能来自有限的数据、未知的模型和这些模型的误判。”面对统计不确定性，可以使用不同的程序来预测风险度量。因此，我们希望能够评估哪种程序更适合预测。风险度量的可引出性是一种基于决策理论框架的属性，用于评估不同预测程序的性能（Gneiting（2011））。风险度量的可引出性意味着风险度量可以通过最小化预测目标函数的期望（即评分规则，Seevinkler和Jo se（2011））；然后，预测目标函数可用于评估不同的预测程序。可引出性与回溯测试密切相关，回溯测试的目的是评估风险预测模型的性能。

如果风险度量是可引出的，那么基于目标函数的样本平均预测误差可用于回溯测试风险度量。Gneiting（20 11）表明，VaR是可引出的，但预期短缺不是，这“可能会对预期短缺作为风险预测指标的使用提出挑战，并可能为缺乏关于评估预期短缺预测的文献提供部分解释，而不是分位数或VaR预测。”Gaglianone、Lima、Linton和Smith（2011）提出了一种评估VaR估计的回溯测试，该测试在有限样本中提供了比现有方法更强大的力量，并开发了一种机制，以找出模型被误判的原因和时间；参见alsoJorion（2007年，第6章）。Linton和Xiao（2013）指出，VaR比预期的短期下跌具有优势，因为VaR的渐近推断程序“具有相同的渐近行为，且尾部厚度不受影响”风险度量的可引出性也与Davis（20 13）提出的风险度量的“一致性”概念有关。Davis（20 13）表明，Va R对其他风险度量表现出一些固有的优越性。本文的主要结果是，满足Chmeidler（1989）提出的一系列经济公理和合理性统计要求（Gneiting（2011））的唯一风险度量是平均函数和短缺中值，这是尾部损失分布的中值，也是更高密度下的VaR。如果（i）风险度量能够适应模型的误判（可能通过合并多个场景和模型）和（ii）具有统计稳健性，这意味着模型中的小偏差或数据中的小变化只会导致风险度量中的小变化，则称风险度量是稳健的。

稳健性的第一部分含义与决策理论中的模糊性和模型不确定性有关。为了解决这些问题，可以使用多个先验或多个模型；参见Gilboa和Schmeidler（1989年）、Maccheroni、Marinacci和Rustichini（2006年）、Hansen和Sargent（2001年、2007年）等。本文还引入了多种模型；见第3节。我们通过研究风险度量和统计不确定性之间的联系，通过可引出性来补充这篇文献。至于稳健性含义的第二部分，Cont、Deguest和Scandolo（2010）表明，预期的短缺导致的ro-Burst风险测量程序比historicalVaR更少；Kou、Peng和Heyde（2006、2013）提出了一套稳健外部风险度量的公理，其中包括VaR。关于银行监管和稳健风险度量的资本要求已有大量文献。Glasserman和Kang（2013）研究了风险权重的设计，以在投资组合选择的均值-方差框架中调整监管目标和私人目标。Glasserman和Xu（2014）开发了一个框架，用于量化模型误差的影响，并以对模型误差鲁棒的方式测量和最小化风险。Keppo、Kofman和Meng（2010）表明，BaselII市场风险要求可能会产生意想不到的后果，推迟银行的资本重组，从而增加银行的违约概率。我们通过将我们的理论结果应用于研究哪些风险度量可能更适合在巴塞尔协议中设定资本要求，从而补充了这些文献；见第4节。对基于经济公理的风险度量做出了重要贡献，包括研究赌博风险度量（即具有正均值的随机变量和以正概率取负值的随机变量）的乌曼和塞拉（2008）、福斯特和哈特（2009、2013）以及哈特（2011）。

本文通过将风险度量的经济公理与统计模型不确定性联系起来，补充了他们的研究结果；此外，我们的方法侧重于测量一般随机变量的尾部风险。因此，本文考虑的风险度量具有不同的目标。论文的其余部分组织如下。第二部分是本文的主要结果。在第3节中，我们建议使用场景聚合函数来组合多个模型下的风险度量。在第4节中，我们将前面几节的结果应用于巴塞尔协议资本要求的研究。第5节引用了相关评论。2主要结果2。1公理和表示let(Ohm, F、 P）是一个概率空间，描述未来时间T的状态和状态发生的概率。假设概率空间足够大，因此可以定义均匀分布在[0,1]上的随机m变量。假设概率空间中定义的随机变量X表示将在时间T实现的金融资产组合的随机损失。然后-X是portfo lio的随机属性。设X是一组随机变量，包括所有有界随机变量，即X L∞(Ohm, F、 P），我在哪里∞(Ohm, F、 P）：={X |存在M<∞ 这样| X |≤ M、 a.s.P}。风险度量ρ是定义在X上的函数，它将随机变量X映射为实数ρ（X）。X依赖ρ的规格；特别是，X可以包含无界随机变量。例如，如果ρ是方差，那么X可以指定为L(Ohm, F、 P）；如果ρ是VaR，那么X可以指定为所有随机变量的集合。两个随机变量之间的一个重要关系是共单调性（Schmeidler（1986））：两个随机变量X和Y被称为共单调，如果（X（ω）-X（ω））（Y（ω）- Y（ω））≥ 0, ω, ω∈ Ohm. 设X和Y分别为两个对开本的损失。

假设经济中有一个代表性的代理人，他或她更喜欢这个代理人-X到专业-Y如果代理人厌恶风险，那么他或她的偏好可能意味着-X的风险比-Y基于这一点，我们提出了以下一组公理，这些公理是基于风险度量ρ的Choquet期望性公理（Schmeidler（1989））。公理A1。共单调独立性：对于所有成对的共单调随机变量X、Y、Z和所有α∈ <X（α），ρ（X，ρ）意味着- α） Z）<ρ（αY+（1）- α） Z）。公理A2。单调性：ρ（X）≤ ρ（Y），如果X≤ Y公理A3。标准化：ρ（x·1）Ohm) = sx，为所有x∈ R、 其中，s>0是一个常数。公理A4。定律不变性：ρ（X）=ρ（Y），如果X和Y具有相同的分布。公理A5。连续性：林姆→∞ρ（最小值）最大值（X，-M） ，M））=ρ（X），X.公理A1对应于Choquetexp-ected效用风险偏好的共单调独立公理（Schmeidler（1989））。Axiom A2是合理风险度量的最低要求。s=1的公理A3在施梅德勒（1986）中使用；公理A3中的常数s可以与Gordy和Howells（2006）中提出的“反周期指数化”风险度量相关联，其中使用在繁荣期增加、衰退期减少的时变乘数来抑制资本要求的周期性；参见alsoBrunnermeier和Pedersen（2009年）、Brunnermeier、Crockett、Goodhart、Persaud和Shin（2009年）、a和Adrian和Shin（2014年）。Axiom A4是法律不变风险度量的标准。公理A5指出，无界随机变量的风险度量可以近似为有界随机变量的风险度量。函数h:[0，1]→ 如果h（0）=0，h（1）=1，且h在增加，则称[0，1]为失真函数；h不需要是左或右连续的。

作为对施梅德勒（1986）结果的直接应用，我们得到了满足公理A1-A5的风险度量的以下表示。引理2.1。让X L∞(Ohm, F、 P）是一组随机变量（X可以是CludeUnbound随机变量）。风险度量ρ：X→ 满足公理A1-A5，如果存在失真函数h（·），使得ρ（X）=sZX d（ho P）（1）=sZ-∞（h（P（X>X））- 1） dx+sZ∞h（P（X>X））dx，十、∈ X，（2）其中（1）中的积分是X的Choquet积分，其范围为畸变的非加性概率ho P（A）：=h（P（A）），A.∈ F.证据。见附录A。引理2.1扩展了Wang，Young和Panjer（1997）中的表示定理，作为limd的要求→0ρ（（X）- d） 这里不需要连续性公理中的+）=ρ（X+。注意，在随机变量的情况下，Schmeidler（1986）中的coro-llary要求随机变量有界，但引理2.1不要求；AxiomA5自动满足有界随机变量的要求。从（2）中可以清楚地看出，任何满足公理A1-A5的风险度量对于一阶随机优势都是单调的。许多常用的风险度量是（2）中定义的风险度量的特例。例2.1。风险价值（VaR）。VaR是在某个预先定义的概率水平上损失分布的分位数。更准确地说，假设X是具有一般性的随机损失。Wang、Young和Panjer（19 97）中使用的公理，包括一个共单调可加性公理，暗示了公理A1-A5。更准确地说，让Q和Q+分别表示有理数和正运算数。在不丧失一般性的情况下，假设公理A3中的s=1。（i） 它们的同调可加性公理意味着，对于任意X和λ，ρ（λX）=λρ（X）∈ Q+，与它们的标准化相结合，a xiomρ（1）=1意味着ρ（λ）=λρ（1）=λ，λ∈ Q+。自ρ(-λ） +ρ（λ）=ρ（0）=0，因此ρ（λ）=λ，λ ∈ Q

那么对于任何λ∈ R、 存在{xn} Qand{yn} Q这样xn↓ λ和yn↑ λ. 根据单调公理，xn=ρ（xn）≥ ρ(λ) ≥ ρ（yn）=yn。让n→ ∞ 产生ρ（λ）=λ，λ ∈ R因此，Axiom A3 ho lds。（ii）通过单调函数ρ（min（X，M））≤ ρ（最小值）最大值（X，-M），M）≤ ρ（max（X，-M） ）。让我→ ∞ 使用条件ρ（min（X，M））→ ρ（X）和ρ（max）（X，-M）→ ρ（X）为M→ ∞ 在他们的连续性中，不需要条件限制→0ρ（（X）- d） +）=ρ（X+，公理A5如下。（iii）然后我们证明正同质性成立，即ρ（λX）=λρ（X）对于任何X和任何λ>0。对于任何X和m>0，表示XM:=min（max（X，-M），M）。对于任意>0和λ>0，存在{λn} Q+这样的λn→ λas n→ ∞ λnρ（XM）-=ρ（λnXM）-) ≤ ρ（λXM）≤ ρ（λnXM+）=λnρ（XM）+。让n→ ∞ 收益率λρ（XM）-  ≤ ρ（λXM）≤ λρ（XM）+， > 0. 让↓ 0导致ρ（λXM）=λρ（XM），λ ≥ 0.让我→ ∞ 应用Axio m A5得到ρ（λX）=λρ（X），λ ≥ 0.它们的共单调可加性公理和正同质性暗示了公理A1。对于两个随机变量X和Y，如果X一阶随机支配Y，则P（X>X）≥ P（Y>x）表示所有x，这意味着对于由（2）表示的风险度量ρ，ρ（x）≥ ρ（Y）。分布函数FX（·），可能不是连续的或严格递增的。给定α∈ （0,1），αi级X的Var定义为Varα（X）：=F-1X（α）=inf{x|FX（x）≥ α}.对于α=0，在α水平上X的VaR被定义为VaR（X）：=inf{X | FX（X）>0}，并且VaR（X）等于X的基本值。对于α∈ 如果h（x）：=1{x>1，则（2）中的ρ等于VaRα-α}; ρin（2）等于varifh（x）：=1{x=1}。关于t阶随机优势的VaR是单调的。例2.2。预期短缺。