从萨缪尔森波动性效应到萨缪尔森相关性效应：

有特殊情况，例如（u，u）∈ [0,1]，CGρ=+1（u，u）=C+（u，u）和CGρ=-1（u，u）=C-（u，u），C+和C在哪里-是通常的上下限。关于copula函数的定义和一般理论，我们参考了Nelsen（2006）和Mai and Scherer（2012）。当所选择的依赖结构由具有相关参数ρ的高斯-伊恩copula给出，且其边缘为Gand G时，strike K日历价差看涨期权的价格由Csc表示，对于ρ，Gand由给出∈] - 1，+1[，CSCG（0，T，T，T，K，ρ）=e-rTZ+∞G（x，T）- CGρ（G（x，T），G（x+K，T））dx，（38）和，对于ρ=±1CSCG（0，T，T，T，K，ρ=+1）=CSC+（K）=e-rTZG-1（u，T）- G-1（u，T）- K+du，CSCG（0，T，T，T，K，ρ=-1） =CSC-（K） =e-rTZG-1（u，T）- G-1(1 - u、 （T）- K+du，其中CSC+和CSC-表示当chosendepe独立结构分别为C+和C+时，日历价差期权获得的价格-.观察日历价差期权报价时，可以提取隐含相关性ρ*作为（38）中使用的相关参数的值，以使其再现给定的pr ice。隐含相关性的概念并不依赖于Black-Scholes-Merton模型的双变量扩展。在tead中，它对应于一个二元Gaussia n copula，它与隐含相关性ρ对应的真实底层边缘配对*使用jointlog normal模型时，不会在边缘嵌入错误。假设CSCobs（0，K，T，T，T）是在Fand F上写的日历价差期权赎回的观察套利价格，到期日为T，执行日为K。相关的隐含相关性ρ*这是独一无二的。它可以通过数值求解ρ中的方程来获得，对于ρ，它可以写成cscg（0，T，T，T，K，ρ）=CSCobs（0，K，T，T，T）∈ [-1, +1 ].

（39）关于隐含相关性计算的证明和更多细节，我们参考Tavin（2014）。注意，在这里，隐含相关性的概念已经通过日历存储调用进行了审查。看跌期权的定义可以与具有相同特征的日历价差看涨期权的定义相同，通过看跌期权平价，其值与日历价差看涨期权的值相同。在WTI日历期权市场上，隐含相关性取决于期权的行使和成熟度。通过与隐含效用的类比，这些现象被称为隐含关联微笑（或皱眉）和隐含关联期限结构。3.3两个期货之间的依赖结构分析对于分布函数，在我们的模型中，给定成熟度的两个期货之间的依赖结构并不容易获得。为了分析在我们的模型创建的未来时间范围内期货价格之间的相关性，我们需要使用联合特征函数。正如我们所看到的，可以直接从联合特征函数中恢复边际分布函数和联合分布函数。还可以通过解析表达式恢复copula函数和copula密度，它们表征了在选定时间范围内两个期货之间的依赖关系。这些分析表达式也适用于通过联合特征函数定义的二维随机过程的更一般情况。设0<T≤ T、 T选择的时间范围和T，T这对未来的到期日。通过对节理特征函数asg（X，X，T，T，T）=（X（T），X（T））的二维傅里叶反演，恢复了X（T）=（X（T），X（T））的节理密度g（，T，T，T）=4πZ+∞-∞Z+∞-∞E-i（ux+ux）φ（u，u，T，T，T）dudu。

（40）X（T）a和X（T）a的边缘密度分别用g（，T，T）和g（，T，T）表示，并在g（X，T，T）=πZ时恢复+∞重新E-iuxφ（u，0，T，T，T）du，（41）g（x，T，T）=πZ+∞重新E-iuxφ（0，u，T，T，T）杜。（42）使用表达式（35）、（36）和（37）也可以直接从φ中恢复边际分布函数和联合分布函数G、G和G。期货价格之间的依赖结构现在可以直接从φ作为对数收益X（T）和X（T）之间的copula函数来覆盖。这个连词用C（，T）表示。注意，用copula（或copula密度）表示，对数收益之间的依赖结构与价格本身之间的依赖结构相同。在本节的剩余部分，为了便于阅读，我们删除了显式引用，并对表达式进行了修改。命题3.2描述X（T）和X（T）之间依赖关系的copula函数以及相应的copula密度可以恢复为（v，v）∈ [0,1]，分别为asC（v，v，T）=eaG-1（v，T）+aG-1（v，T）4πZ+∞-∞Z+∞-∞E-i（uG）-1（v，T）+uG-1（v，T））φ（u+ia，u+ia，T）（a- iu）（a）- iu）dudu，（43）c（v，v，T）=R+∞-∞R+∞-∞E-i（uG）-1（v，T）+uG-1（v，T））φ（u，u，T）duduR+∞-∞E-iuG-1（v，T）φ（u，0，T）duR+∞-∞E-iuG-1（v，T）φ（0，u，T）du，（44）式中G-1和G-1是X（T）和X（T）的逆累积分布函数。我们在附录A中证明了这一结果。由X（T）和X（T）之间的模型创建的依赖结构完全由C（，，T）的copula函数描述，该函数是使用位置3.2中的表达式从φ恢复的。这个copula函数依赖于所选的时间范围T，我们实际上有一个依赖项结构，可以从φ中得到。

copula C的T索引应该被理解为一个时间范围，因为它描述了随机向量的分布（G（X（T），T），G（X（T），T））。所选择的模型产生了一个依赖项结构（即c opulas的项结构），它不应与依赖时间的copula混淆。图2绘制了使用SV2F模型和表1中给出的参数获得的两个期货价格之间的copula函数和copula密度。所选期货的到期日分别为0.25年和0.75年。选择的n时间范围为T=0.25年。获得的copula及其密度似乎是平滑的。时间范围的不同选择（例如较短的时间范围）会导致两种期货之间的依赖性不同。要用一个数字而不是一个函数来评估X（T）和X（T）之间的依赖性，可以依赖一致性和依赖性度量。两种常用的一致性度量是肯德尔的tau和斯皮尔曼的rho。对于（X（T），X（T））这些测量用τK（X，X，T）和分别为S（X，X，T）。两种常用的依赖性度量是Schweizer-Wolf的sigma和Hoeffing的phi。对于（X（T），X（T））这些测量分别用σSW（X，X，T）和ΦH（X，X，T）表示。一致性和依赖性度量可以表示为（X（T），X（T）的copula函数。

一点。20.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.5 0.0.0.0.5 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.40.40.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.20.20.20.20.20.20.20.20.T）和F（T，T），对于T=T=0.25年和T=0.75年，使用表1中给出的SV2F模型和参数进行计算。这里提到的四个测量可以写成sτK（X，X，T）=4ZZ[0,1]C（v，v，T）C（v，v，T）dvdvv- 1, (45)S（X，X，T）=12ZZ[0,1]C（v，v，T）dvdvdv- 3，（46）σSW（X，X，T）=12ZZ[0,1]| C（v，v，T）- C⊥（v，v）| dvdvv，（47）ΦH（X，X，T）=90ZZ[0,1]|C（v，v，T）- C⊥（v，v）| dvdvv，（48）其中C⊥（v，v）=vv是与变量之间的独立性相关联的产品。我们参考Nelsen（2006）了解这些措施的更多细节和性质。4市场数据的校准和经验考虑在本节中，我们考虑WTI的经验数据。我们根据不同的市场情况，在不同的日期校准模式的双因素版本。然后，我们分析了校准模型产生的依赖项结构，以及在定价时获得的隐含相关性。4.1数据对于实证应用，我们使用三组WTI市场数据。每个数据集对应于给定日期的期货和期权收盘价的一个cro部分。我们选择了三种不同情况的市场代表。第一个日期是2008年12月10日，可以认为是在金融危机期间，因为那是雷曼兄弟违约后的几个月。在那一天，WTI香草期权在最短期限内的隐含波动率在80%以上，OVX指数在9%以上。

第二个日期是2011年3月9日，对应的是正在从危机最严重的状态中恢复的amarket。第三个考虑的日期是2014年4月9日，至少从市场价格的角度来看，这可以被视为“恢复正常”的市场情况。WTI的期货和期权在纽约商品交易所进行交易和报价。从B loomberg和DataStream获得了期货、va nilla和日历价差期权的利率数据和收盘价。4.2对本文中考虑的普通期权模型的校准，即SV2F（提议的随机波动模型的双因素版本）和CS2F（Clewlow Strickland模型的双因素版本），可以适用于观察到的普通期权价格的横截面。对于每个数据集，我们通过最小化模型和观测价格之间的平方误差来校准这些模型。这相当于对隐含可用性进行校准。对于给定的数据集，校准的模型参数集θ*得到θ*= arg minθ∈ΘNTXi=1NKXj=1O（Kj，Ti，Ti；θ）- OOB（Kj，Ti，Ti）, （49）式中，Θ是一组可行的模型参数，Nt是期权集中的到期日数，Nk是每个到期日的罢工次数（在不丧失一般性的情况下，我们认为每个到期日的罢工次数相同）。O（；θ）表示使用参数θ和OObs（.）的所选模型获得的期权价格表示相应的观察价格。在所考虑的数据集中，我们使用五种到期日，从两个月到四年不等（因此NT=5），每种到期日七次，根据相应期货价格的货币性来确定。具体来说，这些打击分别为60%、80%、90%、100%、110%、120%和150%（因此NK=7）。一旦解决了最小化程序，就可以测量所获得校准的质量。

fit质量可以通过价格的平均绝对误差或均方根误差来衡量。这些误差计算为asMAE=NTXi=1NKXj=1O（Kj，Ti；θ）*) - OObs（千焦，德州仪器）NKNT，RM SE=vuutNTXi=1NKXj=1（O（Kj，Ti；θ*) - OObs（Kj，Ti））NKNT。同样的fit度量也可以应用于隐含波动率，而不是价格。表2给出了每个数据集使用校准模型获得的这些误差度量。由于沿走向轴存在隐含效用微笑，CS2F模型无法与观察到的价格紧密匹配。相反，SV2F模型可以为隐含波动率的走向结构和期限结构提供适当的拟合。用SV2F模型得到的误差度量似乎是MAE的大约半个波动点，RMSE的大约四分之三个波动点，考虑到期权的大走向和到期跨度，这可以被认为是非常好的。MAE MAE（ATM）RME稳重价格卷价格卷价格卷CS2F型号12月。2008年3月0.4607 0.0156 0.5205 0.0148 0.5827 0.0180。2011年4月0.5394 0.0169 0.3941 0.0082 0.680 3 0.0243。2014年0.2884 0.0162 0.2644 0.0074 0.3616 0.0226SV2F ModelDec。2008年0.1278 0.0052 0.1627 0.0062 0.1777 0.0066Mar。2011年4月20日0.2071 0.0056 0.2419 0.0056 0.292 0.0078。2014年0.1113 0.0043 0.0965 0.0026 0.1517 0.0059表2:SV2F和CS2F模型的价格和隐含波动率的MAE和RMSE误差度量，根据普通期权价格调整。左面板代表整个选项矩阵上的MAE，中面板代表mo ne y选项上的MAE，右面板代表整个选项矩阵上的RMSE。4.3结果图3为每个数据集绘制了与市场数据相对应的隐含波动率，以及与SV2F模式l校准为普通期权价格的隐含波动率。左列中的Plo T证明了我们的数据集中隐含的积极微笑。

这些微笑的凸度和倾斜度（在货币斜率处）随成熟度而变化，这也是不可否认的。这种成熟度效应在2011年3月的数据中尤为明显。右栏中的曲线图表示货币波动率的期限结构。它们为货币期权市场价格的萨缪尔森波动效应提供了经验证据。图3显示，我们的模型一旦校准到普通期权价格，就能够正确地重新产生隐含波动性的经验风格化事实，即斯米林和萨缪尔森效应的存在和到期依赖性。图4绘制了2008年12月和2011年3月的da tasets，由c校准SV2F模型产生的两个期货价格之间的一致性和依赖性度量。该图代表了WTI期货市场参与者感兴趣的一种依赖项结构。它对应的情况是，时间范围和第一个期货到期日都保持不变，而期货到期日之间的差异则有所不同。我们观察到，随着到期日之间的差异增大，pairof期货的依赖性变小，这符合人们可以拥有的先验直觉。我们称这种现象为萨缪尔森关联效应。这种现象对于报价人来说是一个理想的特性，可以用来报价和转换WTI上的一系列产品。现有的经验应用表明，所提出的模型能够正确地再现这一点。图5为2008年12月和2011年3月的da tasets曲线图，由校准的SV2F模型产生的两个期货价格之间的一致性和相关性度量。它对应于时间范围变化，而期货到期之间的差异保持不变的情况。在2008年12月的案例中，期货之间的依赖程度几乎不受ho rizon时间的影响。

对于2011年3月的情况，随着时间范围的增加，两个期限相差6个月的期货对变得更加依赖。在这里，直觉不会导致一个特定的结构，即随着时间的推移而增加或减少。图6绘制了根据2008年12月和2011年3月的数据集校准SV2F模型获得的利差期权价格的隐含相关性行使和到期结构。所考虑的展期期权具有固定到期日和首次期货到期日，而两种基础期货到期日之间的差异各不相同。对于每一对基础期货，五次打击对应于一组适用于货币价差F（0，T）的变动-F（0，T）。这些转变是- 10, -5.-2.5、0、+2.5、+5和+10。我们观察到，获得的项结构正在减少。这一观察结果符合直觉，也符合图4所示，即萨缪尔森相关性效应。对于2011年3月的ca se，该模型产生了隐含相关性的非恒定走向结构。我们观察到，对于更大的罢工（无息看涨期权），隐含的波动率低于货币。较低的隐含相关性反过来对应较高的期权价格。对于2008年12月的情况，该模型产生了一个相当灵活的隐含相关性结构。因此，在这种情况下，该模型产生的价格接近于使用高斯copulas对期货价格之间的依赖关系产生的价格。图7绘制了根据2008年12月和2011年3月的数据集校准SV2F模型获得的利差期权价格的隐含相关性行使和到期结构。

所考虑的展期期权的到期日和首次期货到期日各不相同，而两个基础期货到期日之间的差异是不变的。对于每一对基础期货，五次打击对应于货币价差F（0，T）时的一组转移- F（0，T）。这些变化与图6相同。我们观察到，获得的项结构正在减少。我们观察到，获得的2008年12月的期限结构相当复杂，这与图5所示的一致性和相关性的期限结构一致。在2011年3月的案例中，m-结构的隐含相关性在增加，这再次与图5中的相关性和依赖性度量相一致。对于2011年3月的案例，该模型产生了一个隐含相关的非恒定走向结构。对于2008年12月的案例，该模型产生了一个相当复杂的隐含关联结构。这些走向构造与图6 a中发现的走向构造相似，适用相同的注释。5结论建立了商品期货合约的多因素随机波动模型。为了捕捉商品期货合约所显示的萨缪尔森效应，我们在其波动系数中加入了到期依赖的指数衰减因子。期货合约上单一标的欧洲期权的定价很简单，可以结合市场中观察到的波动性微笑或扭曲。我们在模型中计算了两个期货合约的联合特征函数，并使用Caldana和Fusai（2013）的一维傅立叶反演方法对日历价差期权进行定价。该模型得出了两个期货合约收益率之间的随机相关性。