从萨缪尔森波动性效应到萨缪尔森相关性效应：

我们在一个例子中阐明了这种相关性的分布，并将其与Corres-ponding Clewlow和Strickland（1999b）模型的确定性相关性进行了比较。我们还分析了模型中期货对之间依赖关系的期限结构。我们通过使用合适的表达式直接从关节特征函数中获得copula和copula密度来实现这一点。当校准到普通期权时，发现该模型能够产生风格化的事实，如Sa muelson效应和隐含波动率微笑，以及对差价期权的依赖性和隐含相关性微笑的递减期限结构。证明在本附录endix中，我们通过展示如何在随机波动率模型和Clewlowsand模型中获得对数收益X（T）和X（T）的联合特征函数φ来证明命题2.1和命题2.3。我们还证明了引理3.1和命题3.2，这说明了如何从联合特征函数计算copula及其密度。命题2.1的证明。我们有φ（u）=φ（u；T，T，T）=E“expiXk=1ukXk（T）！#=E经验iXk=1uknXj=1ZTe-λj（Tk）-t） qvj（t）dBj（t）-nXj=1ZTe-2λj（Tk）-t） vj（t）dt=nYj=1E“expiXk=1uk（中兴通讯-λj（Tk）-t） qvj（t）dBj（t）-中兴通讯-2λj（Tk）-t） vj（t）dt）#=nYj=1Ej（u，T），其中ej是由ej（u，T）=E“expiXk=1uk（中兴通讯）给出的u和T的函数-λj（Tk）-t） qvj（t）dBj（t）-中兴通讯-2λj（Tk）-t） vj（t）dt）#否则，这只取决于第j个模型参数λj，κj，θj，σj，vj，0，ρj。我们现在计算函数Ej。由于我们考虑的是一个固定的j值，我们在下面的计算中放弃了这个下标。我们还为Bn+j写了B，这是驱动第j个方差过程的布朗运动。然后我们可以将B=Bj分解为B=ρB+p1，B=Bj与方程（3）中给出的B=Bn+ji的相关性为bhbj，Bn+ji=ρjdt=ρdt- ρ^B，其中^B与B不相关。

定义f（u，t）=Xk=1uke给出的函数sf、fand和q-λ（Tk）-t） ，f（u，t）=Xk=1uke-2λ（Tk）-t） ，q（u，t）=iρκ- λσf（u，t）-(1 - ρ） f（u，t）-如果（u，t）。为了简单起见，我们在下面写f（t）表示f（u，t），f（t）表示f（u，t），q（t）表示q（u，t）。为了计算特征函数，我们首先需要一个辅助结果。引理A.1σZTf（t）pv（t）dB（t）=f（t）v（t）-κθλT+（κ- λ） ZTf（t）v（t）dt。（50）证据。将方程（2）乘以f（t）a，然后从0到t积分，得到ZTf（t）dv（t）=ZTf（t）κ（θ）-v（t））dt+σZTf（t）pv（t）dB（t）。（51）使用部分的o积分（参见Oksendal（2003）），我们还得到了ztf（t）dv（t）=[f（t）v（t）]t-ZTv（t）df（t）=[f（t）v（t）]t- λZTf（t）v（t）dt。（52）将等式（51）和（52）的右边相等，得到σZTf（t）pv（t）dB（t）=[f（t）v（t）]t- λZTf（t）v（t）dt-ZTf（t）κ（θ）-v（t））dt=[f（t）v（t）]t- κθZTf（t）dt+（κ- λ） ZTf（t）v（t）dt=f（t）v（t）-κθλT+（κ- λ） ZTf（t）v（t）dt证明了引理。我们现在可以计算E（u，T）。E（u，T）=“expiXk=1uk（中兴通讯-λ（Tk）-t） pv（t）dB（t）-中兴通讯-2λ（Tk）-t） v（t）dt）！#=E“expiZTf（t）pv（t）dB（t）-iZTf（t）v（t）dt！#=E“expiρZTf（t）pv（t）dB（t）+ip1- ρZTf（t）pv（t）d^B（t）-iZTf（t）v（t）dt！#=E“expiρZTf（t）pv（t）dB（t）-(1 - ρ） ZT（f（t））v（t）dt-iZTf（t）v（t）dt！#=进出口我知道f（t）v（t）-κθλT+iρκ- λσZTf（t）v（t）dt-(1 - ρ） ZT（f（t））v（t）dt-iZTf（t）v（t）dti=exp我知道κθλ（f（0）- f（T））- f（0）v（0）· E“expiρσf（T）v（T）+ZTq（T）v（T）dt！#。最后一行中的期望值可以使用费曼-卡克定理计算（见Okse-ndal（2003））。定义h（T，v）=E“expiρf（T）v（T）+ZTq（s）v（s）ds！#。然后满足PDEHt（t，v）+κ（θ）- v（t））Hv（t，v）+σv（t）Hv（t，v）+q（t）v（t）h（t，v）=0，（53），终端条件nh（t，v）=expiρf（T）v（T）.我们从Duffee等人（200 0）中得知，h的形式为h（t，v）=exp（a（t，t）v（t）+B（t，t）），（54），其中a（t，t）=iρσf（t），B（t，t）=0。

将（54）放入（53）给定sbt+Atv+κ（θ- v） A+σvA+qv=0，并将带v和不带v的项收集到两个常微分方程- κA+σA+q=0，（55）Bt+κθA=0。（56）这就完成了命题的证明。命题2.3的证明。我们计算了Clewlow a and Strickland（1999b）模型中的关节特征函数。φ（u）=φ（u；T，T，T）=E“expiXk=1ukXk（T）！#=E经验iXk=1uknXj=1ZTe-λj（Tk）-t） σjdBj（t）-nXj=1ZTe-2λj（Tk）-t） σjdt=nYj=1E“expiXk=1uk（中兴通讯-λj（Tk）-t） σjdBj（t）-中兴通讯-2λj（Tk）-t） σjdt）#=nYj=1expiXk=1uk(-中兴通讯-2λj（Tk）-t） σjdt）！E“expiXk=1uk（中兴通讯）-λj（Tk）-t） σjdBj（t））#=nYj=1expiXk=1uk“-σj4λje-2λj（Tk）-t） #t经验-σj4λjXk=1uke-λj（Tk）-t） !！T=nYj=1exp-σj4λj（e2λjT）- 1)i（ue）-2λjT+ue-2λjT）+（ue-λjT+ue-λjT）!.这就完成了命题的证明。引理3.1的证明。获得该表达式的证据与Courtois和Walter（2014）提供的单变量案例中的证据相同。为了便于阅读，我们去掉了T、T和T上的显式依赖项。假设a>0和a>0是固定的，h是由h（x，x）=e定义的函数-（ax+ax）G（x，x）=e-（ax+ax）Zx-∞Zx-∞g（s，s）DSD。现在让∧成为h的二维Fourier变换。

我们有∧（u，u）=Z+∞-∞Z+∞-∞ei（ux+ux）h（x，x）dxdx，=Z+∞-∞Z+∞-∞ei（ux+ux）E-（ax+ax）Zx-∞Zx-∞g（s，s）DSDdx，=Z+∞-∞Z+∞-∞Zx-∞Zx-∞ei（ux+ux）e-（ax+ax）g（s，s）DSDX。注意到-∞ < s<x<+∞ 和-∞ < s<x<+∞, λ的表达式变成了∧（u，u）=Z+∞-∞Z+∞-∞Z+∞sZ+∞sei（ux+ux）e-（ax+ax）g（s，s）dxdsds，=Z+∞-∞Z+∞-∞g（s，s）Z+∞sZ+∞sei（ux+ux）e-（ax+ax）DXDSD。圆括号之间的二重积分可以按z计算+∞sZ+∞sei（ux+ux）e-（ax+ax）dxdx=Z+∞seiuxe-axdxZ+∞seiuxe-axdx=E-（a）-iu）x-（a）- （国际单位）+∞sE-（a）-iu）x-（a）- （国际单位）+∞s、 注意E-（a）-iu）x-→ 当x0转到+∞ 和E-（a）-iu）x-→ 当x0转到+∞, 所以我们得到∧（u，u）=Z+∞-∞Z+∞-∞g（s，s）-E-（a）-iu）s-（a）- （国际单位）-E-（a）-iu）s-（a）- （国际单位）DSD，=（a）- iu）（a）- iu）Z+∞-∞Z+∞-∞g（s，s）e-（a）-iu）se-（a）-iu）sdsds，=（a）- iu）（a）- iu）Z+∞-∞Z+∞-∞g（s，s）ei（（u+ia）s+（u+ia）s）dsds，=φ（u+ia，u+ia）（a）- iu）（a）- iu），因为φ（u，u）=Z+∞-∞Z+∞-∞ei（美国+美国）g（s，s）DSD。函数h可以写成∧：h（x，x）=4πZ的二维逆傅里叶变换+∞-∞Z+∞-∞E-i（ux+ux）φ（u+ia，u+ia）（a- iu）（a）- iu）dudu，然后很容易得到G（x，x）=eax+ax4πZ+∞-∞Z+∞-∞E-i（ux+ux）φ（u+ia，u+ia）（a）- iu）（a）- dudu，这是证据的结论。命题3.2的证明。Sklar定理允许我们将一对随机变量的copula函数从其联合分布函数写成，for（v，v）∈ [0,1]，C（v，v，T）=GG-1（v，T），G-1（v，T），T.命题3.2中的copula函数表达式使用了L emma 3.1，它用联合特征函数φ表示联合分布函数。

假设C（，T）是绝对连续的，我们可以写出它的copula密度，对于（v，v）∈ [0,1]，asc（v，v，T）=g（g-1（v，T），G-1（v，T），T）g（g）-1（v，T），T）g（g）-1（v，T），T）。同样，第3.2项中的copula密度表达式通过使用表达式（40）、（41）和（42）来表示（X（T），X（T））的关节和边缘密度，以关节特征函数φ表示。参考米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·A·斯特根。数学函数手册。应用数学系列55。国家标准局，第十印刷版，1972年。克劳迪奥·阿尔巴尼斯和斯蒂芬·拉维。Ma-rkov过程积分的拉普拉斯变换。马尔科夫过程和相关领域，11（4）：677-7242005。Gurdip Bakshi和Dilip Madan。衍生证券估值。《金融经济学杂志》，55（2）：205–238，2000年。古尔迪普·巴克希、查尔斯·曹和陈志武。替代期权定价模型的实证表现。《金融杂志》，52（5）：2003-2049，1997年12月1日。乔瓦尼·巴龙·阿德西和罗伯·波特·惠利。美式期权价值的有效解析近似。《金融杂志》，42（2）：301-320，1987年6月。亨德里克·贝塞姆宾德、杰伊·F·考格努尔、保罗·J·赛格·尤因和玛格丽特·梦露·斯穆勒。期货波动率是否存在一个合理的结构？重新评估萨缪尔森假说。衍生工具杂志，4（2）：45-58，1996年冬季。彼特·比耶克松和冈纳·斯滕斯兰。封闭式价差期权估值。定量金融，iFirst:2011年1月至10日。费希尔·布莱克。商品合同的定价。《金融经济学杂志》，3（1-2）：167-1791976年3月。Ruggero Caldana和Gianluca Fusai。一个通用的闭式价差期权定价公式。《银行和金融杂志》，37（12）：4893-49062013年12月。勒内·卡莫纳和瓦尔多·杜勒曼。定价和对冲spre ad期权。SI AM Review，45（4）：627-6852003。彼得·卡尔和迪利普·B·马丹。