从萨缪尔森波动性效应到萨缪尔森相关性效应：

借助计算机代数软件找到了Ajis的闭式表达式，然后Bjis与Ajon[0，T]的积分成正比。命题2.2删除对j的引用，函数A:（t，t）7→ A（t，t）以封闭形式给出A（t，t）=√2zσ·（（M）-（t）- M+（t））X+XU+（t））C- 2（M+（t）X- 徐+（t））（C- iC）eλtM+（t）X- XU+（t）+σ·（（κ）- λ） M+（t）+（κ+λ）M-（t） ）X- ((κ - λ） U+（t）- 2λU-（t） ）XM+（t）X- XU+（t），带z=√C+iCand C，C，与t有关的常数，定义的asC=ρκ- λσXk=1uke-λTk，C=-(1 - ρ） Xk=1uke-λTk！，C=-Xk=1uke-2λTk，X=2Y U+（T）+4zλU-（T），X=2Y M+（T）- 2.σ（κ+λ）+z√CM-（T），Y=σ√C- ieλTC+eλTC- z（κ）- λ - iρf（T）σ），M±（T）=Mκz-σ√C2zλ±，κ+λ，σ√λizeλt！，U±（t）=Uκz-σ√C2zλ±，κ+λ，σ√λizeλt！。函数M和U是反超几何函数。M和U通常被称为Kummer函数，因为它们求解Kummer方程（Kummer，1836；Tr ic omi，1955）。函数M也称为asF，函数U称为Tr icomi函数。给定，a，b，z∈ C、 库默方程Wz+（b- z）WZ- aw=0。（8） 获得M（A，b，z）的一种方法是通过级数展开M（A，b，z）=1+∞Xn=1znQnj=1（a+j- 1） n！Qnj=1（b+j）- 1). （9） U（a，b，z）由M asU（a，b，z）=πsin（πb）得到M（a，b，z）Γ（1+a）- b） Γ（b）- z1-bM（1+a）- b、 二,- b、 z）Γ（a）Γ（2）- b）, （10） 式中，Γ表示扩展到复平面的伽马函数。Kummer函数的这些结果和附加性质（例如积分表示）可在Abramovitz和Stegun（1972）的第13章中找到。Pearson（2009）详细分析了如何实现Kummer的功能。

实现复伽马函数的合适方法是Lanczos（1964）近似。如前所述，上面介绍的模型是单因素Clewlow and Strickland（1999 a）和多因素Clewlow and Strickland（1999 b）模型对随机波动性的扩展。由于这些模型是有用的基准，我们对它们进行了描述，并计算了它们的关节特征函数。在风险中性度量Q中，期货价格F（t，Tm）是具有确定性时间依赖性波动函数^σj（t，Tm）：dF（t，Tm）=F（t，Tm）nXj=1^σj（t，Tm）dBj（t），（11）式中，B。。。，它们是独立的布朗运动。波动率函数的一个流行规范是^σj（t，Tm）：=e-λj（Tm）-t） 对于固定参数σj，λj，σj（12）≥ 0，因此在远离成熟期的很长一段时间内，合同的波动性会受到指数因子的抑制。在Clewlow-Strickland模型中，期货价格的边际分布和联合分布是对数正态的。尽管如此，了解单个和联合特征函数以及测试和b标记目的可能非常有用。下一个命题给出了它们的闭式解。命题2.3在（11）和（12）定义的Clewlow和Strickland模型中，时间T的联合特征函数φ≤ T、 T两个最到期的期货合约的对数收益率X（T），X（T）由φ（u）=φ（u；T，T，T）=nYj=1exp给出-σj4λj（e2λjT）- 1)i（ue）-2λjT+ue-2λjT）+（ue-λjT+ue-λjT）!.T时刻的单特征函数φ≤ t对于到期期货合约的对数回报，通过在联合特征函数中设置u=0给出。我们在附录A中证明了这一结果。通过将命题2.1的联合特征函数与命题2.3中的一个或多个因子相乘，该结果也可用于将非随机波动性因子添加到模型中。

由于“Clewlow Strickland”系数仅取决于两个参数sλjandσj，因此它不会给市场数据的c校准增加重大负担，同时允许在将模型与观察到的波动性期限结构相匹配时增加灵活性。2.2普通期权的定价期货合约上的欧洲期权可以使用Fourier反转技术进行定价，如din Heston（1993）和Bakshi and Madan（2000）所述，或Carr和Madan（1999）的FFT算法。或者，可以使用（1）（Euler方案）或（4）（对数Euler方案）和（2）的离散化通过蒙特卡罗模拟定价。设K表示一个带有ma turity Tm的期货合约上的欧式看涨期权的行使和到期日≥ T，并让期货对数价格lnf（T，Tm）的单一特征函数Φ由Φ（u）=eiu lnf（0，Tm）φ（u）给出。在Bakshi和Madan（2000）的一般公式中，数∏：=+πZ∞RE-iu ln Kφ（u- i） iuφ(-（一）du，（13）π：=+πZ∞RE-iu ln Kφ（u）iudu，（14）表示在期货本身或无风险债券分别被定义为数字的情况下，在时间T完成货币的概率。欧式看涨期权的价格由公式e得出-rT（F（0，T）π- K∏）。（15） 欧洲看跌期权可以通过看跌期权定价- P=e-rT（F（0，T）- K） 。美式看涨期权和看跌期权可以使用Longstaff和Schwartz（2001）的方法通过蒙特卡罗模拟进行评估。或者，可以用Barone Adesi和Whaley（1987）的公式近似计算早期锻炼溢价。Trolle and Schwartz（2009）（附录B）阐述了从美国价格协会（Amerir ican price s）估算欧洲价格的问题。一个典型的WTI波动率表面在短端显示出较高的隐含波动率，在长端显示出较低的隐含波动率。这符合萨缪尔森效应。

此外，在短端通常有明显的微笑，而在长端通常有微弱的微笑。2.3随机相关性在多因素模型中，我们将在本节中展示，如果我们用两个或多个波动因子指定我们的模型，那么两个给定期货合约的收益率是随机相关的，这是一个现实而重要的特征。定义（t）：=hdF（t，Ti）F（t，Ti），dF（t，Tj）F（t，Tj）i/dt。（16） 然后，时间t的瞬时相关性ρ（t）由以下公式给出：ρ（t）=V（t）pV（t）pV（t）。（17） 让我们从考察单因素模型开始，在该模型中，期货收益遵循SDEdF（t，Tm）F（t，Tm）=e-λ（Tm）-t） pv（t）dB（t）（18），方差过程遵循SDEdv（t）=κ（θ）- v（t））dt+σpv（t）dB（t）。（19） 相关性由hdB（t）给出，dB（t）i=ρdt。在（16）中插入（18）得到瞬时协方差v（t）=e-λ（T+T）-2t）v（t）。（20） Cox等人（1985）表明，Random变量v（t）遵循非中心χ分布。很容易看出，在单因子模型中，惯性矩相关（17）总是等于一：ρ（t）=e-λ（T+T）-2t）v（t）pe-2λ（T）-t） v（t）pe-2λ（T）-t） v（t）=1。（21）最后，终端协方差由zthdf（t，t）F（t，t），dF（t，t）F（t，t）i=ZTe给出-λ（T+T）-2t）v（t）dt。关于它的分布我们能说些什么？Albanese a and Lawi（2005）总体上考虑了此类积分的拉普拉斯变换（见a lso Hurd and Kuznetsov（2008）），尤其是CIR/Heston过程：LT-t（Xt，θ）=以弗所-θRTtφ（Xs）dsq（XT）|ftit≤ T、 θ∈ C和θ，q:R→ R是两个Borel函数。然而，他们在卷积3公式（50）中得出结论，在我们的例子中，积分的拉普拉斯变换，包括一个指数因子，是不可计算的封闭形式。接下来，我们研究了双因素模型，其中期货收益遵循SDEdF（t，Tm）F（t，Tm）=e-λ（Tm）-t） pv（t）dB（t）+e-λ（Tm）-t） pv（t）dB（t）。

（22）这两个方差过程遵循SDEsdv（t）=κ（θ）- v（t））dt+σpv（t）dB（t），（23）dv（t）=κ（θ）- v（t））dt+σpv（t）dB（t）。（24）相关性由hdB（t）、dB（t）i=ρdt、hdB（t）、dB（t）i=ρdt给出，所有其他相关性均为零。将（22）插入（16）得到瞬时协方差v（t）=e-λ（T+T）-2t）v（t）+e-λ（T+T）-2t）v（t）。（25）与单因素模型相比，双因素模式l中的瞬时相关性ρ（t）现在是随机的。当然，对于n的一般多因素模型也是如此≥ 2.关于ρ（t）的分布，我们能说些什么？根据定义（17），0<ρ（t）≤ 1，所以两个期货合约的收益总是正相关的。为了获得更多的见解，我们在一个数值例子中考虑了双因素模型。模式l的参数是为了说明目的而设定的，如表1所示：第一个因子比第二个因子更易波动，而且衰减也更慢。表1：到期日分别为T=1年和T=2年的两份合同的模型参数κ1.00κ1.00θ0.16θ0.09ρ0.00ρ0.00ρ0.00σ0.25σ0.20v（0）0.16 v（0）0.09λ0.10λ2.00，我们在图1.0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.000.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07瞬时相关性相关概率图1：瞬时相关性的经验概率ρ（1；1，2）这些绘制的经验概率是通过在蒙特卡罗模拟中采样（17）百万次获得的。经验平均值为ρ=0。8575

如果通过在方程（23）和（24）中设置σ=σ=0来确定两种随机波动率，则经验平均值为ρ=0.8619，这与相应的2因子克莱洛-斯特里克兰模型与波动率函数σj（t，Tm）=e的确定性瞬时相关性非常一致-λj（Tm）-t） σj，j=1，2，其中λ=0.10，λ=2.00，σ=√θ= 0.40, ^σ=√θ=0.30.3日历价差期权和相关性分析在本节中，我们回顾日历价差期权的定义、功能和定价。然后，我们回顾了与日历价格相关的隐含相关性。最后，我们介绍分析结果，以获得通过其联合特征函数定义的模型产生的copula函数和copula密度。3.1 WTI futuresCalendar价差期权（CSO）上的日历价差期权在大宗商品市场上非常受欢迎。这些选项有两种类型：日历价差买入（CSC）和日历价差卖出（CSP）。与股票衍生品市场中的差价期权一样，它们的收益取决于两种标的资产的价格差。在时间T时，两股股票的看涨期权和S向持有人提供最大支付（S（T）- S（T）- K、 0）和a将支付最大值（K- （S（T）- S（T）），0）。在日历价差期权的情况下，两个基础是同一商品上的两个期货合约，但到期日和期限不同。除了波动性，两个合约之间的依赖性对期权的价格有很大影响。请注意，写在大宗商品期货上的CSO不应与众所周知的“日历价差”期权策略相混淆。

该策略涉及两种不同到期日的普通期权（一种买入，一种过期），而CSO是一种单一期权。CSO的例子是纽约商品交易所原油日历价差期权（WTI）。WTI CSC（CSP）代表在展期的第一个到期期货合约中承担多头（空头）头寸，在第二个合约中承担空头（多头）头寸的期权。还有在纽约商品交易所交易的所谓金融CSO，以现金结算。出于定价目的，本文不区分这两种定居点类型。1个月期息差通常有很好的流动性（T- T=1个月），其中2个月、3个月、6个月和12个月的息差为les流动性。纽约商品交易所1个月WTI利差的CSO可在彭博社使用WA股票代码访问。让两个期货到期日T、T、一个期权到期日T和一个履约期K（允许受益）固定。然后，c alendar价差看涨期权和看跌期权的收益CSC和CSP分别由CSC（T）=（F（T，T）给出- F（T，T）- K） +，（26）CSP（T）=（K）- （F（T，T）- F（T，T））+。（27）为了使用定价模型评估此类期权，必须在风险中性度量中计算支付的贴现费用。假设一个连续复合的无风险利率r，我们在时间t=0:CSC（0，t，t，t，K）=e-rTEh（F（T，T）- F（T，T）- K） +i，（28）CSP（0，T，T，T，K）=e-rTEh（K）- （F（T，T）- F（T，T））+i.（29）注意，日历价差期权有一个独立于模型的看跌期权平价：CSC（0）- CSP（0）=e-rT（F（0，T）- F（0，T）- K） 。（30）除了蒙特卡罗模拟（CIR/Heston过程的模拟非常深入）之外，我们知道对价差期权进行定价的有效方法。前两种适用于jointcharacteristic功能可用的情况。

第三种更直接，但需要基础期货的边际和联合分配功能。Bjerksund和Stensland（2011）关于Black-Schole联合模型的公式由Caldana和Fusai（201 3）推广到已知联合特征函数的模式ls。严格来说，这些方法给出了价差期权价格的下限。然而，我们的测试使我们同意上述作者的观点，即该下限非常接近实际价格（通常逗号后的前三位数字是sa me），因此我们将该下限视为价差期权本身。此外，在K=0的情况下，公式是精确的（交换期权情况）。设ΦT（u）=Φ（u）是两个期货价格的对数lnf（T，T），lnf（T，T）的联合特征函数，如等式（7）所示。继Caldana和Fusai（2013）之后，到期日为T且行使时间为K的日历价差期权看涨期权的价格是根据傅里叶逆变换公式asCSC（0，K，T，T，T）给出的=E-δk-rTπZ+∞E-iγkψT（γ；δ，α）dγ+, 式中ψT（γ；δ，α）=ei（γ）-iδ）ln（ΦT（0，-iα）i（γ）- iδ）·[ΦT（（γ- iδ）- 我-α(γ - 我（δ）- ΦT（γ）- 我，-α(γ - iδ）- （一）- KΦT（γ）- 我，-α(γ - α=F（0，T）F（0，T）+K，K=ln（F（0，T）+K。参数δ控制一个指数衰减项，如Carr和Madan（1999）所述。我们发现δ=1的值在数值应用中表现良好。这种方法最适合我们的模型和设置。Hurd和Zhou（2010）提出了一种同样适用于对数收益联合特征函数的替代方法。在他们的论文中，分析计算了走向为K=1的日历支出函数的变换。然后根据分析结果推导出相应期权的价格。

设xm（T）：=lnf（T，Tm）表示时间T期货对数价格。继Hurd和Zhou（2010）之后，到期日为T、基础未来成熟度为T、T和行使K=1的日历价差看涨期权的定价为：CSC（0，K=1，T，T，T）=e-rT4πZZR+iφ（u；T，T，T）^P（u）du，（32）式中^P（u）=Γ（i（u+u）- 1)Γ(-iu）Γ（iu+1），Γ是定义为R（z） >0乘以积分Γ（z）=R∞E-ttz-1dt。使用二维快速傅里叶变换（2dFFT）对（32）中的双积分进行数值计算。该算法返回x=ln F（0，T）和x=ln F（0，T）不同值的期权价格的完整矩阵。然后使用相同的矩阵，通过重新缩放和插入（如有必要）来评估具有其他打击（K 6=1）的选项。使用分布函数而非特征函数的方法也可用于toprice日历排列选项。在这类方法中，最直接的方法是计算支付函数的二重积分乘以两个基础期货合约的联合密度。然而，继Tavin（2014）之后，我们可以将日历价差期权价格作为边际分布函数和联合分布函数上的单积分。日历价差看涨期权和看跌期权的价格为a，att=0，K为≥ 0，byCSC（0，K，T，T，T）=Z+∞（G（x，T，T）- G（x，x+K，T，T，T））dx，（33）CSP（0，T，T，T，K）=Z+∞（G（x+K，T，T）- G（x，x+K，T，T））dx，（34），其中，Gand分别表示x和x的边际分布函数，G是它们的联合分布函数。K<0的情况被视为写在背面的日历排列选项F（T，T）- F（T，T）与反打击-K.Tavin（2014）中给出了一个易于适应我们案例的差价期权证明。在我们的模型中，（33）和（34）中涉及的分布函数并不容易获得。

然而，可以使用g（X，T，T）=eax2πZ给出的直接反演公式，从（X，X）的联合特征函数φ计算Gand gf+∞-∞E-iuxφ（u+ia，0，T，T，T）a- iudu，（35）G（x，T，T）=eax2πZ+∞-∞E-iuxφ（0，u+ia，T，T，T）a- iudu，（36），选择适当的平滑参数a>0。我们发现a=3在我们的应用程序中运行良好。这些反转结果的详细证据可在Courtois和Walter（2014）中找到。联合分布函数G可以用直接二维反演公式以类似的方式恢复。引理3.1G（x，x，T，T，T）=eax+ax4πZ+∞-∞Z+∞-∞E-i（ux+ux）φ（u+ia，u+ia，T，T，T）（a）- iu）（a）- 都都。（37）这种表达的证据与Courtois a和Walter（2014）给出的单变量案例的证据相同。它在附录A中给出。在这里，需要正确选择平滑参数A，A>0；我们发现a=a=3在我们的应用程序中运行良好。反演公式（35）、（36）和（37）适用于在一维和二维中使用FFT方法。3.2日历价差期权的隐含相关性给定日历价差期权的观察价格，可以提取反映给定价格中隐含依赖水平的隐含数量。这个数量是一种隐含的相关性，可以定义为重现观察价格的高斯copula参数。这种定义的优势在于，只要观察到的价格没有套利，就可以很好地定义隐含的相关性。这种基于copula的定义有利于将保证金的影响从对日历spre ad期权价格的依赖结构中分离出来。Tavin（2014）对隐含相关性的概念进行了介绍和详细说明。对于ρ∈ [-1，1]，我们用CGρ表示参数为ρ的二元高斯copula。