从萨缪尔森波动性效应到萨缪尔森相关性效应：

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英文标题：
《From the Samuelson Volatility Effect to a Samuelson Correlation Effect:
  Evidence from Crude Oil Calendar Spread Options》
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作者：
Lorenz Schneider and Bertrand Tavin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We introduce a multi-factor stochastic volatility model based on the CIR/Heston stochastic volatility process. In order to capture the Samuelson effect displayed by commodity futures contracts, we add expiry-dependent exponential damping factors to their volatility coefficients. The pricing of single underlying European options on futures contracts is straightforward and can incorporate the volatility smile or skew observed in the market. We calculate the joint characteristic function of two futures contracts in the model in analytic form and use the one-dimensional Fourier inversion method of Caldana and Fusai (JBF 2013) to price calendar spread options. The model leads to stochastic correlation between the returns of two futures contracts. We illustrate the distribution of this correlation in an example. We then propose analytical expressions to obtain the copula and copula density directly from the joint characteristic function of a pair of futures. These expressions are convenient to analyze the term-structure of dependence between the two futures produced by the model. In an empirical application we calibrate the proposed model to volatility surfaces of vanilla options on WTI. In this application we provide evidence that the model is able to produce the desired stylized facts in terms of volatility and dependence. In a separate appendix, we give guidance for the implementation of the proposed model and the Fourier inversion results by means of one and two-dimensional FFT methods.
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中文摘要：
我们介绍了一个基于CIR/Heston随机波动过程的多因素随机波动模型。为了捕捉商品期货合约表现出的萨缪尔森效应，我们在其波动系数中加入了到期相关的指数阻尼因子。期货合约上单一标的欧洲期权的定价很简单，可以结合市场中观察到的波动性微笑或扭曲。我们以解析形式计算模型中两个期货合约的联合特征函数，并使用Caldana和Fusai（JBF 2013）的一维傅里叶反演方法对日历价差期权进行定价。该模型导致两个期货合约的收益之间存在随机相关性。我们用一个例子来说明这种相关性的分布。然后，我们提出了直接从一对期货的联合特征函数中获得copula和copula密度的解析表达式。这些表达式便于分析由该模型产生的两个期货之间依赖的期限结构。在一个实证应用中，我们将所提出的模型校准到WTI上的普通期权的波动面上。在这个应用中，我们提供了证据，证明该模型能够在波动性和依赖性方面产生所需的程式化事实。在另一个附录中，我们给出了通过一维和二维FFT方法实现所提出模型和傅里叶反演结果的指南。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> From_the_Samuelson_Volatility_Effect_to_a_Samuelson_Correlation_Effect:_Evidence.pdf (504.78 KB)

2022-5-5 12:10:52 上传

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关键词：萨缪尔森 缪尔森 萨缪尔 相关性 波动性

从萨缪尔森波动效应到萨缪尔森相关性效应：来自原油日历价差期权的证据*Lorenz Schneider+Bertrand Tavin2015年2月23日摘要我们介绍了一个基于CIR/Heston随机波动过程的多因素随机波动模型。为了捕捉商品期货合约显示的萨缪尔森效应，我们在其波动系数中加入了依赖于经验的指数阻尼因子。期货合约上单一标的欧式期权的定价很简单，可以包含市场中观察到的波动性微笑或偏差。我们以解析形式计算模型中两个期货合约的联合特征函数，并使用Caldana和Fusai（2013）的一维Fourier反演方法对日历价差期权进行定价。该模型导致两个期货合约的收益率之间存在因果关系。我们用一个例子来说明这种相关性的分布。然后，我们提出了直接从一对期货的联合特征函数中获得copula和copula密度的解析表达式。这些表达式便于分析由themod el产生的两个未来之间的依赖项结构。在一个实证应用中，我们将所提出的模型校准到WTI上Vanilla期权的波动面上。在这个应用中，我们提供了证据，证明该模型能够在波动性和依赖性方面产生所需的程式化事实。

在另一个附录中，我们给出了用一维和二维FFT方法实现所提出模型和傅里叶反演结果的指南。关键词：商品·原油·期货曲线·随机波动性·多因素模型·特征函数·傅里叶变换·日历价差期权JEL:C63·C52·G131简介原油是迄今为止世界上交易最活跃的商品。它通常以期货合约的形式在交易所交易。两种最重要的基准原油是在纽约商品交易所交易的西德克萨斯中质原油（WTI）和在洲际交易所交易的布伦特原油。最近，迪拜石油交易所（Dubai Me rcantile Exchange）的阿曼合同吸引了寻求中东含硫原油基准的投资者。在标准普尔高盛商品指数中，WTI的权重为24.71%，布伦特原油的权重为24.71%*我们要感谢伊恩·克拉克、让·巴蒂斯特·盖勒特、凯西奥·内里、达米恩·庞斯和马蒂亚斯·谢勒，感谢他们提供了有益和启发性的评论、讨论和建议。+埃姆里昂商学院金融风险分析中心（CEFRA），schneider@em-里昂。com.埃姆里昂商学院金融风险分析中心（CEFRA），tavin@em-里昂。通用域名格式。权重为22.34%，加起来几乎是该指数的一半。另一个被广泛引用的指数JimRogers\'RICI对WTI的权重为21%，对布伦特的权重为14%。原油衍生品市场也是流动性最强的商品衍生品市场。受欢迎的产品有欧洲、美国、亚洲和日历期货合约价差期权。原油市场的一个重要经验特征是缺乏季节性，这与农产品市场形成鲜明对比。第二个经验特征是期货合约的随机波动性，这在2008年7月CBOE上引入的石油波动性指数（OVX）或“石油VIX”中得到了明确反映。

第三个特征是众所周知的萨缪尔森效应（萨缪尔森，1965年；贝塞姆宾德等，1996年），即经验观察到，一个给定的期货合同在接近到期日时增加了不可撤销性。最后，欧洲和美国的期货期权（通常规定在基础期货合约本身前几天到期）往往会表现出更明显或不太明显的波动微笑，其形状取决于期权的到期日。欧洲和美国的期权仅取决于一个基础期货合约的演变。与此相反，calenda r价差期权的支付是根据两个不同到期日的期货合约的差异来计算的。因此，对卡伦达尔价差期权的数学分析和评估必须在一个对多个期货合约的联合随机行为建模的框架内进行。在本文中，我们提出了一个原油期货曲线的多因素随机波动率模型。与流行的Clewlow a and Strickland（1999 a，b）模型一样，该模型是基于期货的，而不是基于现货的，这意味着它可以通过相应地指定期货的初始值来匹配任何给定的期货曲线，而不会“耗尽”任何其他模型参数。方差过程基于Cox等人（1985）和Heston（1993）的随机方差过程。然而，为了消除萨默森效应，我们添加了与到期时间相关的指数阻尼因子。与赫斯顿（1993）模型一样，期货收益率和方差是相关的，因此市场上观察到的美国和欧洲期权的波动率可以紧密匹配。

在我们的多因素模型中，两个期货合约收益率的瞬时相关性也是随机的，因为它是根据随机方差计算的。我们的第一个结果是以分析形式计算两个未来合同的对数收益的联合特征函数。使用该函数，calenda r价差期权价格可以通过Caldana和Fusai（2013）或Hurd和Zhou（2010）的二维快速傅里叶变换（FFT）算法所示的一维傅里叶积分获得。当根据这些产品校准模型时，这些算法的快速性非常重要。我们的第二个结果是给出分析公式，从模式l的联合特征函数中恢复两个未来精神的依赖结构。建议的表达式给出了作为两个价格的copula函数或其copula密度的依赖结构。在许多研究中，描述依赖性的指标是皮尔逊的rho，然而，它也取决于边际分布。为了将我们的分析与边际分布的影响完全隔离，我们通过联合特征函数生成的copula函数进行分析。一旦我们有了copula和它的copula密度，就可以为两个期货合约计算各种依赖性和一致性度量，比如斯皮尔曼的rho和肯德尔的tau。利用这些数学工具，我们对两个期货合约的收益相关性进行了分析。我们观察到，在固定的时间范围内，随着第二个基础期货合约的到期日增加，这些回报的依赖性降低，并远离初始期货合约的到期日。

与经典的萨缪尔森波动效应类似，我们将这种效应称为萨缪尔森相关效应。Copula函数也可用于严格定义差价期权的隐含相关性。传统定义假设两个下垫面为二元Black-Scholes-Merton模型，该模型特别假设边缘分布为对数正态分布。相比之下，在这里，根据Tavin（2014），并使用模型的实际边际分布，对于固定的日历价差期权价格，我们将隐含相关性定义为复制该价格的二次高斯copula中相关参数的值。请注意，隐含相关性取决于期权的打击和成熟度，这种现象通常被称为相关微笑/倾斜/皱眉和相关项结构。在实证部分，我们根据三个不同日期的市场数据校准了模型的双因素版本。我们证明，该模型能够非常接近地拟合欧洲和美国的期权价格，以及期权价格的利差。因此，原油市场的价格制定者可以使用该模型向其他市场参与者提供一致且无套利的价格。我们通过对以往文献的综述来结束本文的介绍。Clark（2014）对商品模型进行了详细阐述。最重要且仍被广泛使用的模型之一是Black（1976）期货模型，该模型建立在Black-Scholes-Merton框架内。在这种情况下，不同期限的合同可能具有不同的波动性，但对于每个合同，波动性都是恒定的。因此，布莱克的模型没有捕捉到萨缪尔森效应。该模型中的欧式期权价格由Black-Scholes-Merton公式给出，因此，具有不同行使方式的期权没有波动性。

最后，在这个模型中，所有契约都是完全相关的，因为它们是由相同的布朗运动重新驱动的。Clewlow和Strickland（1999a，b）提出了整个未来的单因素和多因素模型，具有确定性的时间依赖性波动函数。这些函数的一个流行规范是指数阻尼因子。由于该规范仍然导致对数正态分布的未来趋势，因此该模型中没有波动微笑或偏差。在单因素模型中，不同期限合同的瞬时收益是完全相关的；然而，在多因素模型中，这些收益并不完美，而是具有决定性的相关性。Scott（19871997）、Wiggins（1987）、Hull and White（1987）、Stein and Stein（1991）、Heston（1993）、Bakshi等人（1997）和Schoe bel and Zhu（1999）等人提出了随机波动率模型。Christo Offersen等人（2009年）将Heston（1993）模型扩展到多个因素，结果表明，在独立性假设的certa下，可以直接获得包含形式的特征函数，并使用傅里叶变换形式计算欧式期权价格。然后他们继续研究的一个重要方面是该模型隐含的股票收益率和方差之间的随机相关性。杜菲等人（2000年）研究了一类非常普遍的跳跃差异。本文提出的模型适用于该框架（在扩展到时间相关参数的版本中）。Trolle和Schwartz（2009）介绍了一个非常通用的基于现货的双因素模型，此外，还有两个随机波动因素以及两个随机因素，用于预测汽车的远期成本。

方差过程将CIR/Heston过程扩展为更为通用的均值回归规范。他们还根据未来电流给出了他们模型的动态。他们研究的主要焦点是期货合约上单一标的期权的非退火随机波动性。利差期权在一个双因素Bla-ck-Scholes-Merton框架中得到了很好的研究。Margrabe（1978）给出了K等于零时的事后公式，Kirk（1995）、Carmona和Durreman（2003），Bjerksund和Stensland（2011）以及Venktramanan和Alexander（2011）给出了任何K.Caldana和Fusai（2013）最近提出了一种非常快速的一维傅里叶方法，将Bjerksund和Stensland（2011）给出的Black-Scholes-Merton模型的近似值扩展到已知联合特征函数的任何模型。正如Bjerksund和Stensland（2011）所述，该方法为价差期权价格提供了一个下限，但在实践中，该下限似乎非常接近实际期权价格，因此可以将其用作价格本身。Carr a and Madan（1999）展示了如何使用快速傅立叶变换（FFT）在一步中为不同打击的欧式期权定价。Dempster and Hong（2002）和Hurd and Zhou（2010）将二维FFT应用于差价期权的定价。与卡尔和马丹（1999）的方法类似，赫德和周的方法在一个反转步骤中返回了许多不同走向的sprea d期权价格（经过重新校准和插值步骤）。本文其余部分的处理过程如下。在第2节中，我们定义了提议的模式l，并提供了相关的关节特征函数。第3节讨论了前置选项和模型产生的依赖结构。第4节根据不同的市场情况进行了实证分析。

第5 c节总结了这一点。2原油期货的随机波动模型2。1财务框架和模型我们首先给出了风险中性度量Q下模型的数学描述≥ 1是一个整数，让B。。。，B2nbe布朗运动下的Q.让TMT成为给定未来合同的成熟度。时间t，0时的期货价格F（t，Tm）≤ T≤ 假设Tm遵循随机微分方程（SDE）dF（t，Tm）=F（t，Tm）nXj=1e-λj（Tm）-t） qvj（t）dBj（t），F（0，Tm）=Fm，0>0。（1） 过程vj，j=1。。。，n、 CIR/Heston平方根随机方差过程是否假定遵循SDEdvj（t）=κj（θj）- vj（t））dt+σjqvj（t）dBn+j（t），vj（0）=vj，0>0。（2） 对于相关性，我们假设hdbj（t），dBn+j（t）i=ρjdt，-1<ρj<1，j=1。。。，n、 （3）否则布朗运动Bj，Bk，k6=j，j+n，are相互独立。正如我们将看到的，这个假设的结果是，特征函数分解为n个独立的期望。还要注意标识det英国广播公司= 详细信息- BC）与Sylvester的描述一起，可以用来表明（3）确定的相关矩阵对于参数ρj，j=1，…，的任何选择都是正的。。。，n、 对于固定市盈率，期货低价格ln F（t，Tm）遵循SDEd ln F（t，Tm）=nXj=1E-λj（Tm）-t） qvj（t）dBj（t）-E-2λj（Tm）-t） vj（t）dt, lnf（0，Tm）=ln Fm，0。（4） 从时间0到时间T的积分（4）≤ Tm，givesln F（T，Tm）- lnf（0，Tm）=nXj=1ZTe-λj（Tm）-t） qvj（t）dBj（t）-nXj=1ZTe-2λj（Tm）-t） vj（t）dt。（5） 我们定义了到期日为TmasXm（T）：=ln的期货合约的0倍和T倍之间的对数收益率F（T，Tm）F（0，Tm）.在下文中，两个原木网X（T），X（T）的联合特征函数φ将起重要作用。对于u=（u，u）∈ C、 φ由φ（u）=φ（u；T，T，T）=公式“expiXk=1ukXk（T）！#。

（6） 期货原木价格lnf（T，T），lnf（T，T）的联合特征函数Φ由Φ（u）=expiXk=1ukln F（0，Tk）！·给出φ（u）。（7） 请注意，我们模型中的期货价格不是均值-r外翻，并且在t时刻的对数价格ln F（t，Tm）和对数回报ln F（t，Tm）- lnf（t，Tm）是独立的随机变量。在下面的描述中，我们展示了如何通过两个普通微分方程（ODE）系统给出联合特征函数φ，以及因此得到的单个特征函数φ。命题2.1时间T的联合特征函数φ≤ T、 T对于两个到期日为T的期货合约的对数收益X（T），X（T）由φ（u）=φ（u；T，T，T）=nYj=1exp给出iρjσjκjθjλj（fj，1（u，0）- fj，1（u，T））- fj，1（u，0）vj（0）exp（Aj（0，T）vj（0）+Bj（0，T）），其中fj，1（u，T）=Xk=1uke-λj（Tk）-t） ，fj，2（u，t）=Xk=1uke-2λj（Tk）-t） ，qj（u，t）=iρjκj- λjσjfj，1（u，t）-(1 - ρj）fj，1（u，t）-ifj，2（u，t）和函数Aj：（t，t）7→ Aj（t，t）和Bj：（t，t）7→ Bj（t，t）满足两个微分方程AjT- κjAj+σjAj+qj=0，北京t+κjθjAj=0，其中Aj（t，t）=iρjσjfj，1（u，t），Bj（t，t）=0。T时刻的单特征函数φ≤ T通过在联合特征函数中设置u=0，给出到期期货合约的对数收益X（T）。关于单一特征函数的声明紧跟在关节特征函数的定义之后。联合特征函数的计算见附录A。在下一个命题中，我们将展示如何解析求解该常微分方程系统。